材料物理化學(xué)習(xí)題

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一、限做題〔每題10分計(jì)70分）

1、計(jì)算FCT（晶格常數(shù)為a,a,c）與BCT［晶格常數(shù)為d）晶格中ihkl］晶面的晶

面間距d（hkl）與d'（hkl）,并圖示說(shuō)明FCT晶格與BCT晶格是等價(jià)的。

答：考慮一個(gè)正交Bravais晶格，圖中所示的是與通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的（胸/）晶面最近鄰的（/?幼晶

面，該晶面在X,y,Z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為a/h,b/k和c〃。晶面間距d（秘Z）是上述

兩晶面間的垂直距離。

x

假定（〃劭晶面的法向矢量d（胸/）與尤,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角為&和a，cosq="，

a/h

cose,=，_，cose,=2-為〃（胸。的方向余弦。

b/kcH

22。

由于COS0x+COS2+COS?2=1,

因而〃（碗/）=（3分）

對(duì)FCT：（1分）

（1分）

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F

兩個(gè)FCT單胞ABCD-A，BC，。和BEFC-B'ET'CSG與H和G，與H，為上下外表中

心原子，O為BB，CC面中心原子。

可見(jiàn)，GBHC-GEHC為一個(gè)BCT單胞，其中0為體心位置。AB=BC=a,AA'=c,

GB=BH=正°=a',BB，=c=c1/GBH=/BHC=/GG'B=90。。因止匕，F(xiàn)CT與BCT

是等價(jià)的。（2分）

2、考慮一個(gè)在T>OK具有N個(gè)原子與M（V）個(gè)空位的一維單原子固體，說(shuō)明空位濃度分

數(shù)nv（T）=NL（V）/N可以近似地表示為nv~A///0-Aa/ao,其中l(wèi)o=Nao,為固體在T=0K

時(shí)的長(zhǎng)度，△/為長(zhǎng)度的變化，即固體在T=OK時(shí)的晶格常數(shù)，為晶格常數(shù)的變化。

答：O=原子，V=空位

T=0K時(shí)：N個(gè)原子，無(wú)空位。

OOOO??…OOOO原子間距為即，總長(zhǎng)度為/o=Nao（2分）

T>0K時(shí)：N個(gè)原子，M（V）個(gè)空位。

OVOO??…OOVOO原子間距為a,總長(zhǎng)度為/=/o+A/（2分）

△/=/—/（）=AI故膨脹+△/空位（1分）

熱膨脹xN'a（1分）

△I空位-JVL（V）a[1分）

因此，M?N^a+NL（N）a（1分）

由于a7ao

AZAa

故MT）=NL（V）/NX-------------X（2分）

Naa

3、分別在FCC與BCC金屬中圖示出稱為“啞鈴”的雙原子Frenkel對(duì)間隙的位置。

答：圖中給出了FCC與BCC晶體結(jié)構(gòu)中穩(wěn)定的“啞鈴”狀的雙原子Frenkel對(duì)間隙的位置,

兩個(gè)黑色的原子分享一個(gè)晶格位置。FCC中“啞鈴”的軸沿＜100＞方向，BCC中“啞鈴”的

軸沿＜110＞方向。

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FCCBCC

o

（5分）（5分）

4、用Debye模型計(jì)算二維晶體的潛熱。

答：總模數(shù)為2N,其中N為原子數(shù)，2為可能的激化數(shù)。因此,

22

2N=2jAJjt/（2^）0（JlD-k）=Akl/（24），其中A為二維晶體的面積。

故有：kD=兀N/A

內(nèi)能可表示為：U=21Ad2左/（2萬(wàn)）20依0-jt>?/[exp（/^0）-l]

應(yīng)用G并引進(jìn)變量X=例。$左，有：

2

4邛x

U=-3f---------dX

加C?31I-1

單位面積的熱焰為CA=（l/4）dU/dr,因此

3T2XrX2tlCk3

（8分）

^^2C|lex-ln:T（eXD-1）

因此，對(duì)二維晶體

6k3T2

在低溫極限：=+；門,（1分）

成Cg

在高溫極限：。4=2左萬(wàn)"/4（1分）

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5、考慮一個(gè)厚度為△尤的無(wú)限大平板狀固體，其中某一元素的濃度梯度dC/dx在空間的分

布不為常數(shù)。由于擴(kuò)散作用，該元素原子以凈流量力由平板的一側(cè)流入，以凈流量J2

由平板的另一側(cè)流出。試由Fick第一定律推導(dǎo)出Fick第二定律。

答：考慮如下列圖所示的濃度分布C（x,f）,其中濃度梯度dC/及在空間的分布不為常數(shù)，因

此凈流量將隨空間位置變化。由Ax=&-尤1薄層的一側(cè)流進(jìn)其中的凈流量為人，由

另一側(cè)流出其中的凈流量為（3分）

由擴(kuò)散產(chǎn)生的濃度分布隨時(shí)間的變化率可由一維連續(xù)性方程給出：

組初=—V?J=—2儀+上以（2分）

dtdxAx

由Fick第一定律有：

J（x,t）=-D—（2分）

dx

此即dC/dx在空間的分布不為常數(shù)的情況下擴(kuò)散的Fick第二定律。（1分）

6、對(duì)一個(gè)具有四方對(duì)稱性的晶體，如果讓邊長(zhǎng)為。的立方樣品到達(dá)熱平衡，人們發(fā)現(xiàn)晶體

外形會(huì)變?yōu)檫呴L(zhǎng)為a',〃和〃的四方形，求a'與晶體（100）與"00）面的外表能為加

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如圖，假定初始態(tài)立方體的邊長(zhǎng)為。，故體積為％=足。此時(shí)外表能為：

q=%（2/）+/2（4/）（2分）

發(fā)生四方變形后，對(duì)上下外表a-〃，對(duì)高度afa',故體積為匕■=”方2,此

時(shí)外表能為：

uf=%儂2）+%（4”&）（2分）

23

假定變形時(shí)體積不發(fā)生變化，V=Vi=Vf=a'b'=a

Uf2M叱/〃（2分）

將此式對(duì)b，求極小值，有：

8Uf4瞑y

—L=0=4//'--（2分）

db'1b'2

173

因此，b'=a（/2//J,a'=a（/i/人尸”（2分）

7、計(jì)算Si在1300K升華反響Si（s）-Si（g）的平衡常數(shù)與Si（g）的平衡蒸氣壓Peq[Si（g）,

1300K]o

答：

NfG°[Si（g）;1300K]=+257.766kJ/mol（1分）

△尸倒s）;1300K]=0口分）

ArG°（T）=AZG°[Si（g],T]-NfG0[Sr（s）,T]=+251.166kJ/mol（T=1300K）

（2分）

而

K（T）=expRTJa畫s）,T]（2分）

因此，KQ300K）=4,4X10-"（2分）

假定固體Si的活度為1,即研Si（s）]=l,那么

116（

Peq[Si（g）,1300K]=K=4.40X10-atm=4.85XIO-Pa2分）

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二、選做題〔選做2題，每題15分；共30分)

1、考慮一個(gè)沿易軸方向磁化在零外加場(chǎng)下M=跖的單疇單軸鐵磁顆粒，其磁各向異性能

密度為￡a=Ksin2&其中K>0,以磁化強(qiáng)度M與易軸應(yīng)之間的夾角?，F(xiàn)在與易軸呈

90。的方向加一外加磁場(chǎng)H：

(1)試說(shuō)明顆粒各向異性能與靜磁能密度的和為u(0)=Ksin2^-]LioMHsin0；

(2)求。與外加磁場(chǎng)大小H之間的關(guān)系；

(3)畫出磁化曲線。

答：[1)在外加磁場(chǎng)H下，M=跖的鐵磁顆粒的靜磁能密度為：

71

%g=-NOM?H=~/J0MSHCOS(^-0)=-sin0

因此，各向異性能與靜磁能密度的和為"(份二Ksi/efoA/Hsine,

7^7/

⑵令——=2Kcos6sine—〃oMs"cos8=0,有兩種可能的情況：

50

情況1：cos6=0〔。=90。)，

情況2：sin.=4°此”。

2K

為驗(yàn)證結(jié)果的穩(wěn)定性,令'：=-ZKsin。0+2KCOS20+/JQMHsin0>0,

dd2

o2rsirz"

情況1.[0=90?！常阂?=—2長(zhǎng)+0+〃0河,”>。.僅當(dāng)五>------="長(zhǎng)時(shí)成立，

?AM,

情況2：將sine=〃°"s”代入片〉0,得到烏=2K〉0,也就是K>0。所以

2K502de2

6由sin6*="°"、"確定,直到H=刈=2K,當(dāng)H>HK時(shí)，0=90。。

2K

(4)沿外加磁場(chǎng)H方向的磁化強(qiáng)度，即Mssin。的磁化曲線見(jiàn)下列圖：

由第(2)問(wèn)知，sine=〃oM"，即Arsine=,直到H=HK，這是一條

2K2K

斜率為〃。的直線。當(dāng)H>HK時(shí)，0=90°,M平行于H。注意此處沒(méi)有損失。

2K

按粗糙界面的連續(xù)方式進(jìn)行；而以形成二維晶核方式進(jìn)行的長(zhǎng)大，在任何情況下其可能

性都是很小的。這是因?yàn)樵谶^(guò)冷度很小的時(shí)候，二維晶核不可能形成；當(dāng)過(guò)冷度增大時(shí)，又

易于按連續(xù)長(zhǎng)大方式進(jìn)行。（2分）

8、推導(dǎo)成分過(guò)冷的判別式并求出成分過(guò)冷的過(guò)冷度。

答：設(shè)液相線的斜率為加「那么液相熔點(diǎn)溫度分布梯度可表示為:

dTL_dCL

dx'Ldji

要保持平界面凝固，界面處液相中的實(shí)際溫度梯度Gz應(yīng)大于等于液相熔點(diǎn)分布的梯度:

「、dCL

x'=0

（2分）

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由式

V

l-e@(----x')

g-孰=1___________J

C*L-CQ

l-exp(-——3N)

DL

求出dCL/dx',

dCL\vC：-Co

t/y1D..zv

k=oLl-exp(-—

DL(2分)

將式

_____________^0___________

左0+(1-)W(----SN)

DL

整理后得穩(wěn)定態(tài)凝固C；：

c;=------------------------

k。+(1-zo)e邛(一1-名)

DL(2分)

最后得：

生之也------J---------(2分)

□DL-2—+exp(---dN)

"k。P'DL

此乃“成分過(guò)冷”判別式的通用式。對(duì)于液相中沒(méi)有對(duì)流的情況，5N-8,

G［〉祖2。(1―4o)_G"

v

D,k。DL

式中△”=7%G）（I—%）/%為結(jié)晶溫度間隔，即△"=￡（「）—4（Co），說(shuō)明結(jié)晶溫度

間隔愈大，“成分過(guò)冷”的傾向愈大，平界面愈容易破壞。（2分）

固液界面前沿不同位置處，其“成分過(guò)冷”的程度可表示為：

M（x）=TL-Tq

式中7；為液相中的實(shí)際溫度，Tq^Ti+GLx',其中Z為界面處的實(shí)際溫度，為液相中

的實(shí)際溫度梯度；液相線溫度。可表示為:

TL=Tn11mLeL。（2分）

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另外，當(dāng)平界面、液相只有擴(kuò)散情況下到達(dá)穩(wěn)定態(tài)生長(zhǎng)時(shí)，固-液界面的z可表示為：

（=7；—%G="—"C。/左0。所以

――。;—。）口,（-9受

k°DL

將K及Tq的表達(dá)式代入式AT（xj=5—7；得

AT=叫C。".Lexp（-上x,）］-G/,

k。L力」

為求該九區(qū)間內(nèi)的最大過(guò)冷度，令dAT/dx'=0,得

21nMzc0（1一瓦）

VG/AO

此處的最大“成分過(guò)冷”度為：

△7_°0（1-—o）G4D.口?拈打〃￡。0（1-［。）］

maX

-―K—GLDLk0

（4分）

9、三個(gè)成分相同，但鑄造溫度和鑄模材料不同的鑄件得到三種橫截面：A.粗等軸晶B.

細(xì)等軸晶C.典型三層晶帶組織，試解釋為何產(chǎn)生不同的組織。其中A為高的澆注溫度,

導(dǎo)熱性差的砂模；B為低的澆注溫度，導(dǎo)熱性差的砂模；C為適中的澆注溫度，導(dǎo)熱性

好的砂模。

答：在合金成分一定的情況下，通過(guò)控制溫度梯度與凝固速度，可使結(jié)晶以平界面方式轉(zhuǎn)變

為宏觀的胞狀晶形式。隨生長(zhǎng)速度的增加，胞狀晶轉(zhuǎn)變?yōu)榘麪顦渲?。從胞晶組織的開展過(guò)

程看，隨著G/V的減小，胞晶的生長(zhǎng)方向開始轉(zhuǎn)向優(yōu)勢(shì)的結(jié)晶方向，胞晶的橫斷面受晶體

學(xué)因素的影響而出現(xiàn)凸緣結(jié)構(gòu)；當(dāng)G/V進(jìn)一步減小，凸緣上又會(huì)出現(xiàn)鋸齒結(jié)構(gòu)，即通常所

說(shuō)的二次晶臂，出現(xiàn)二次枝晶臂的胞晶稱為胞狀樹枝晶；當(dāng)凝固速度足夠大時(shí)，二次臂還會(huì)

長(zhǎng)出三次臂，通常將這種一次臂與熱流方向平行高度分枝（三次及三次以上）的晶體稱為柱

狀樹枝晶。（10分）

澆注溫度高那么溫度梯度大，砂模導(dǎo)熱性差那么凝固速度慢，因此三個(gè)成分相同、但鑄

造溫度和鑄模材料在凝固過(guò)程中滿足條件：［G/v）A＞［G/v）B＞［G/v）c，所以出現(xiàn)

三種橫截面：A.粗等軸晶B.細(xì)等軸晶C.典型三層晶帶組織。（6分）

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10、根據(jù)凝固理論說(shuō)明材料鑄態(tài)晶粒度的控制方法O

答：細(xì)化晶粒不僅能提高材料的強(qiáng)度和硬度，還能提高;材料的塑性和韌性。工業(yè)上將通過(guò)細(xì)

化品粒來(lái)提高材料強(qiáng)度的方法稱為細(xì)晶強(qiáng)化。（3分）

控制鑄件的晶粒大小，是提高鑄件質(zhì)量的一項(xiàng)重要措施。細(xì)化鑄件晶粒的根本途徑是形

成足夠多的晶核，使它們?cè)谏形达@著長(zhǎng)大時(shí)便相互接觸,完成結(jié)晶過(guò)程。（3分）

m.提高過(guò)冷度

金屬結(jié)晶時(shí)的形核率N、長(zhǎng)大線速度G與過(guò)

冷度AT的關(guān)系如下圖。

過(guò)冷度增加，形核率N與長(zhǎng)大線速度G均增|

力口，但形核率增加速度高于長(zhǎng)大線速度增加的速V

度，因此，增加過(guò)冷度可以使鑄件的晶粒細(xì)化。

在工業(yè)上增加過(guò)冷度是通過(guò)提高冷卻速度來(lái)

實(shí)現(xiàn)的。采用導(dǎo)熱性好的金屬模代替砂棋；在模

外加強(qiáng)制冷卻；在砂模里加冷鐵以及采用低溫慢

過(guò)冷度△丁一?

速澆鑄等部是有效的方法。對(duì)于厚重的鑄件，很

難獲得大的冷速，這種方法的應(yīng)用受到鑄件尺寸的限制0（4分）

（2）.變質(zhì)處理

外來(lái)雜質(zhì)能增加金屬的形核率并阻礙晶核的生長(zhǎng)。Zm果在撓注前向液態(tài)金屬中參加某些

難熔的固體顆粒，會(huì)顯著地增加晶核數(shù)量，使晶粗細(xì)化o這種方法稱為變質(zhì)處理。參加的難

熔雜質(zhì)叫變質(zhì)劑。變質(zhì)處理是目前工業(yè)生產(chǎn)中廣泛應(yīng)用的方法。如往鋁和鋁合金中參加錯(cuò)和

鈦；往鋼液中參加鈦、錯(cuò)、帆；往鑄鐵鐵水中參加Si-Ca合金都能到達(dá)細(xì)化晶粒的目的。往

鋁硅合金中參加鈉鹽雖不起形核作用卻可以阻止硅的長(zhǎng)大，使合金細(xì)化。（3分）

（3）.振動(dòng)、攪拌

在澆注和結(jié)晶過(guò)程中實(shí)施攪拌和振動(dòng)，也可以到達(dá)細(xì)化晶粒的目的。攪拌和振動(dòng)能向液

體中輸入額外能量以提供形核功，促進(jìn)晶核形成；另外還可使結(jié)晶的枝晶碎化，增加晶核

數(shù)量。

攪拌和振動(dòng)的方法有機(jī)械、電磁、超聲波法等。（2，分）

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三、固態(tài)相變〔在4中選做2題，每題14分，共28分)

11、試定性說(shuō)明珠光體生長(zhǎng)速度和片層間距與過(guò)冷度、界面能和擴(kuò)散系數(shù)的關(guān)系。

答：珠光體中的片狀Fe3c和片狀a-鐵是半共格的，它們一經(jīng)形成便向晶界的一側(cè)長(zhǎng)大，通

常是長(zhǎng)入與其不共格的晶粒中。(2分)

假定相變的速率受碳原子長(zhǎng)程擴(kuò)散到達(dá)Fe3c的進(jìn)程控制。這樣，考慮到珠光體中Fe3c

的量遠(yuǎn)小于a鐵的量，為了形成單位體積珠光體必須通過(guò)擴(kuò)散被移走的碳的總體積近似為

［分-C1)。這些碳必須在反響前沿附近以擴(kuò)散流的形式轉(zhuǎn)移?？紤]單位面積反響前沿，立

即可得出以下關(guān)系：

v(c0-q)=Aj

其中v為珠光體生長(zhǎng)的速度，j為碳的擴(kuò)散流密度，A為相對(duì)擴(kuò)散截面，它等于擴(kuò)散場(chǎng)在反

響前沿法線方向的有效厚度與珠光體片間距s的比。擴(kuò)散流/可由下式估計(jì)：

j=D—

L

其中。為擴(kuò)散系數(shù)，Ac為擴(kuò)散場(chǎng)兩端碳原子的濃度差，L為擴(kuò)散路徑的平均長(zhǎng)度，曾鈉將

其估計(jì)為片間距6的一半即：L=s/2,于是有

為求出生長(zhǎng)速度n,面間距s,界面能a和過(guò)冷度AT之間的關(guān)系，作了以下進(jìn)一步的

分析：考慮單位體積奧氏體轉(zhuǎn)變?yōu)橹楣庑?，其自由能的變化?/p>

AF=A/^+—=-AT+—

ss

式中常；為相變的體自由能下降，。為鐵素體-Fe3c界面能，s為珠光體片間距，AS'為

相變時(shí)單位體積中燧的變化，AT為過(guò)冷度。容易看出，對(duì)于一定的過(guò)冷度AT存在一個(gè)臨

界面間距外,使AE=0。s“，的值由下式給定：

c-----2-b----

M|ASV-AT|

s<s,“的珠光體將無(wú)法形成。將上兩式合并，有

AF=2cr(--—)

§Sm

（6分）

共13頁(yè)第11頁(yè)

作進(jìn)一步假定：珠光體轉(zhuǎn)變速度是受碳原子體擴(kuò)散控制的，它應(yīng)當(dāng)滿足以下關(guān)系:

其中「為比例常數(shù)。曾訥更進(jìn)一步假定：實(shí)際出現(xiàn)的s的數(shù)值.應(yīng)使相變速度v為最大。

由dv/Os=0立即可以求出，此時(shí)有

4a

Sp=2力,

|ASV-AT!

實(shí)際生長(zhǎng)速度為

rn|ASv-（AT）2,

V=------------------二r?

4cr

式中「為各種常數(shù)合并而成的一個(gè)新常數(shù),Qa為碳原子在鐵素體中擴(kuò)散的激活能。

（6分）

12、說(shuō)明控制固溶度的因素及規(guī)律。

答：①形成合金的各組分元素原子尺寸之差假設(shè)超過(guò)14%~15%,固溶度必定有限，這稱為

15%規(guī)律。（4分）

②穩(wěn)定中間化合物的形成將限制初次固溶度，這種化合物在一種合金系中形成的難易

與組元元素的化學(xué)親和性有關(guān)，當(dāng)一種組元元素的電負(fù)性越大，另一種組元元素的電正性越

大時(shí)，就越易于形成穩(wěn)定的中間化合物。導(dǎo)致固溶度下降的一般原因由初次固溶體及中間相

的假想自由能曲線示于圖11-1中。陰影區(qū)的寬度表示了初次固溶度的大小，中間相的穩(wěn)定

圖11-1中間相的穩(wěn)定性對(duì)初次固溶度的限制

性越大，陰影區(qū)就越小，上述原那么稱為電負(fù)性價(jià)效應(yīng)。（4分）

③實(shí)驗(yàn)研究指出，在許多合金系中決定固溶度極限和某些中間相的穩(wěn)定性的最重要因素之

一是電子濃度。這種參量通常用于指出當(dāng)晶格中所有原子位置均被占據(jù)時(shí)每單胞所提供的價(jià)

電子總數(shù)，可取作價(jià)電子總數(shù)對(duì)原子總數(shù)的比值，e/a.（4分）

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另外，研究還指出，兩種給定元素的相對(duì)固溶度與它們的相對(duì)價(jià)有關(guān)，即在低價(jià)元素為

溶劑時(shí)的固溶度總是大于相反情況的固溶度。這種一般原理被稱為相對(duì)價(jià)效應(yīng)。它僅適用于

一價(jià)貴金屬如金、銀、銅與大于一價(jià)的A主族元素形成合金時(shí)的情況。（2分）

13、說(shuō)明脫溶的一般序列及特征。

答：過(guò)飽和固溶體的分解過(guò)程常常是多階段的，同一系統(tǒng)合金的析出階段數(shù)與合金成分和溫

度相關(guān)，過(guò)飽和度愈高，分解階段愈多，一般順序如下:

偏、聚區(qū)〔或稱G.p區(qū)）,過(guò)懣相〔亞穩(wěn)相）一平衡相

V"V-----

預(yù)脫溶期脫溶期

這很容易用各種相（￡或像，a有序，,夕）的

自由能-成分的示意圖來(lái)表示（圖12-1）。（5分）

脫溶不直接析出平衡相的原因，是由于平衡相

一般與基體形成新的非共格界面，界面能大，而亞

穩(wěn)定的脫溶產(chǎn)物往往與基體完全或局部共格，界面

能小。在相變初期，界面能起決定性作用，界面能

小的相，形核功小，容易形成。因此，相變初期首

先形成形核功最小的過(guò)