2024年廣東省高三二模數(shù)學(xué)試卷（含標(biāo)準(zhǔn)答案）

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廣東省2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）

數(shù)學(xué)2024.04

本試卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)和考

生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息

點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂

改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-3+i1=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

A.(%-3)2+(y+I/=2B.(%+3)2+(y-I)2=2

C.(%-3)2+(y+1產(chǎn)=4D.(%+3)2+(y-I)2=4

2.已知集合A={x|ln(xT)20},集合.B=久|%2—3久<0,則AUB二

A.(0,2]B.[2,3)

C.(0,+°°)D.[2,+8)

3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足AE=-AC,貝麗=

4

A.-AB--ADB.--AB+-AD

4444

-?i>-->1>

C.AB--ADD.-AB+-AD

44

4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若(的=1,S4=3s3+Si,則a4=

A.-5B.-7

C.5D.7

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）第1頁(yè)（共5頁(yè)）

5.在一堂數(shù)學(xué)實(shí)踐探究課中，同學(xué)們用鏡面反射法測(cè)量學(xué)校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場(chǎng)

的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時(shí)測(cè)量人和小鏡子的距離為由=1.00m,

之后將小鏡子前移(a=6.00皿重復(fù)之前的操作，再次測(cè)量人與小鏡子的距離為(&=0.60犯已知人

的眼睛距離地面的高度為h=1.75風(fēng)則鐘樓的高度大約是

A.27.75m

B.27.25m

C.26.75m

D.26.25m

6.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(2)=3,若VxGR,f(x)>l,則f(x)>x+l的解集為

A.(-2,2)B.(2,+8)

C.(-8,2)D.(-8,+oo)

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓(O:x2+y2=1,若等腰直角aABC的直角邊AC為圓O的一條弦,

且圓心。在AABC外，點(diǎn)B在圓。外，則四邊形OABC的面積的最大值為

A.+1B,ypZ+1C.+1D.V3+1

8.已知球O與圓臺(tái)O1O2的上、下底面和側(cè)面均相切，且球O與圓臺(tái)01。2的體積之比為右則球O與圓

臺(tái)的表面積之比為

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.若y是樣本數(shù)據(jù)Xi,x2,x3,X4的平均數(shù)，則

A.Xi,x2,x3,X4的極差等于Xi,x2,x3,x4,y的極差

B.Xi,x2,x3,X4的平均數(shù)等于Xi,x2,x3,x4,y的平均數(shù)

C.Xi,x2,X3,X4的中位數(shù)等于Xi,x2,x3,x4,y的中位數(shù)

D.Xi,x2,x3,X4的標(biāo)準(zhǔn)差大于Xi,x2,x3,x4,y的標(biāo)準(zhǔn)差

io.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(-氤-9上單調(diào)遞增的是

A.f(x)=|sin2x|B.f(x)=|cos2x|

C.f(x)=IsinxI+cosxD.f(x)=sinx+1cosx|

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(二)第2頁(yè)(共5頁(yè))

11.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線1與x軸的交點(diǎn)為(入,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物

線C交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,B分別作1的垂線，垂足分別為4,Bi，則下列說(shuō)法正確的有

4?|B/i|=\FFrl2B.MiBil<2下川

C.\OA\■\0B\=|OXi|?lOBilD.\OA\+\0B\>\0At\+\0Br\

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(%-y)(x+丫尸的展開(kāi)式中/丫4的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答).

13.將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方.如圖，記直角三角板為AABC,其中

C==14,BC=7,記桌面為平面a.若CGa,且BC與平面a所成

的角為-也，則點(diǎn)A到平面a的距離的最大值為.z

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中放置著一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形PAB,且滿足PB與x軸平行，點(diǎn)

A在x軸上.現(xiàn)將三角形PAB沿x軸在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是y

=/(。則f(x)的最小正周期為；y=f(x)在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為一

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

已知雙曲線：，一，=l(a〉0,b>0)的焦點(diǎn)與橢圓9+y2=1的焦點(diǎn)重合，其漸近線方程為y=±手尤.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若A,B為雙曲線C上的兩點(diǎn)，且直線1:y=(久過(guò)AB的中點(diǎn)，求直線AB的斜率.

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(一)第3頁(yè)(共5頁(yè))

16.(15分)

如圖，在直三棱柱ABC-中，點(diǎn)D是eg的中點(diǎn)，AC=BC,AA1=AB.

⑴證明：AB11平面A\BD：

（2）若BC1AC,AB=2,求平面4BD與平面ABD的夾角的余弦值.

17.(15分)

已知/(%)=|czx2+(1—2d)x—21nx,a>0.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)了（尤）的圖象上是否存在兩點(diǎn).A（%i，yi）,B（%2，y2）（其中久1。久2）,使得直線AB與函數(shù)f（x）

的圖象在殉=巖處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線AB；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）第4頁(yè)（共5頁(yè)）

18.（17分）

已知正項(xiàng)數(shù)列an,九,滿足an+1=警,%+1=呼其中c>0）.

⑴若田。bl,且囪+blH2G證明：數(shù)列Ian-bnI和｛呢+小-2c｝和均為等比數(shù)列;

⑵若>如。1+bl=2c,以an,bn,c為三角形三邊長(zhǎng)構(gòu)造序列.△AnBnCn（其中AnBn=c,Bn

2

Cn=an?AnCn=bn）,記△AnBnQ外接圓的面積為Sn，證明：Sn>^C；

（3）在⑵的條件下證明：數(shù)列｛Sn｝是遞減數(shù)列.

19.（17分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中有一個(gè)點(diǎn)陣，點(diǎn)陣中所有點(diǎn)的集合為M

Jn，

（工，y）J^n6N,,從集合M中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它

xeN,

.yeN,

們之間的距離.

（1）當(dāng)幾=2時(shí)，求X的分布列.

（2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n>4）.

（i）求隨機(jī)變量X的所有可能取值的個(gè)數(shù)；（用含有n的式子表示）

（）求概率P（X<魚(yú)（八-1））.（用含有n的式子表示）

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）第5頁(yè)（共5頁(yè)）

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2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）

數(shù)學(xué)參考答案

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題

的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的

內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)

得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

題號(hào)12345678

答案CCBADBAD

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)91011

答案ABDACACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.-513.y14.3耆+佚第1空2分，第2空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.解：⑴因?yàn)殡p曲線C：2-￡=l（a＞0,。＞0）的焦點(diǎn)與橢圓?+『=1的焦點(diǎn)重合,

所以＜?+從=5-1=4..............................................2分

因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為7=士冬，

所以生=與......................................................3分

a5

解得a=5,6=1..................................................5分

所以雙曲線C的方程為號(hào)-/=1....................................6分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）參考答案第1頁(yè)（共7頁(yè)）

（2）①當(dāng)直線4B過(guò)原點(diǎn)時(shí)，y=上過(guò)45的中點(diǎn)恒成立，因?yàn)橹本€48與雙曲線相

交,所以一亨（及加〈亨，且人居力/?..................................8分

/2

②當(dāng)直線48不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)4（%，％）,8（如，力），則年-4=1,整-4=1，

兩式相減得財(cái)~嗎（‘土也）一（%一%）（%+%）=。，..................10分

即￡.山=去............................................11分

X|-x2X|+x23

由4B的中點(diǎn)（土產(chǎn)，空2）在直線/：y=也上，得"及=/......12分

\Z2/Jx}+x2J

所以21二四=1,即4=1..............................................................................13分

X\-X2

16.（1）證明：如圖1,記41與44的交點(diǎn)為點(diǎn)0,連接力0,

0D,.............................................................................1分

因?yàn)槿庵侵比庵?44B=乙0。=

ZBlClD=90°..................................................................2分

因?yàn)?4=48,所以四邊形44向8是正方形，故4/JL48.

..................................................................................3分

因?yàn)?C=8C,BC=BtClt所以4C=BC1.又因?yàn)?。是Cg的

中點(diǎn)，所以。9=CM,所以/!〃=/CO?+4C?=JgO?+OCJ……4分

因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

所以ABJ0D................................................................................................5分

又因?yàn)?①，00U平面4聞，A,Bn0D=0,...............................................6分

所以4凡，平面4BD....................................................................................7分

⑵解：因?yàn)锽CJ_4C,AB=AA,=2,IjJfU.AC=BC=y/2.............................8分

方法一：如圖2,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以C4,CB,CG所在

直線為工，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4（獷，0,0）,

B（0,J2,0）,修（0,網(wǎng),2）,0（0,0,1）...........9分

所屈=（-互，&,0）,麗=（0,-右，1）,福=（-區(qū)

&,2）......................................................................10分

因?yàn)?4上平面4B。，所以平面480的法向量為福=

（-汽,#,2）.......................................................11分

設(shè)平面480的法向量為"=（x,y,z）,

圖

,[n?AB=O,?[-J2x+^2y=0,,2產(chǎn)=y,“2

則n一’u即「'解得右取y=l,

I”?80=0,\-,/2y+z=0,lz=歷，

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）參考答案第2頁(yè)（共7頁(yè)）

得”=(1,1,#)............................13分

設(shè)平面/1出。與平面ABD的夾角為仇

刖有I”.福?2#1

貝IJcos0-i?>?—~一K-，14分

InI\AB,|2x2a2

所以平面與平面ABD的夾角的余弦值為右.15分

方法二：如圖3,平面480與平面480的交線為8。，

過(guò)點(diǎn)。作0E_L8。，垂足為點(diǎn)E,連接4E.

由（1）知401平面4/。，

因?yàn)镸U平面480,

所以401B0.

又因?yàn)镺E,40U平面40E,OEQAO=O,

所以平面40E.........................................................9分

因?yàn)?EU平面AOE,

所以B0JL4E.

所以44E。是平面48。與平面480的夾角...........................10分

在△408中，AD=BD=&

由/\ADB的面積可得去x2xy(A)2-l2=yxAx4E,

解得4后=醇..................................................11分

A

因?yàn)?EU平面4B0,

所以AO_LOE..........................................................................................................12分

在RQ40E中，sinZ.AEO=....................................................13分

4E2應(yīng)'2

T

所以cosZ.AEO=.............................................................................................14分

所以平面480與平面4B。的夾角的余弦值為次.......................15分

17.解：(1)由題得函數(shù)/(工)的定義域?yàn)?0,+00),................................................1分

求導(dǎo)得/'(*)=ax+l_2a_2=M+(l2a)x-2=(x-2)(a*l),……4分

XXX

因?yàn)閍＞0,

由/（工）＞0,得"2;由/'（工）＜0,得0（工＜2,............................................6分

所以/（工）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增..............7分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）參考答案第3頁(yè)（共7頁(yè)）

%=yaX|+(1-20)與-21n航,

(2)由題得8分

y2=—0X2+(1-2a)x2-21nx2,

-%[/欣+(1-2a)&-21nxJ-[」-ax,+(1-2a)X]-21nx

則鮑="■x]

xi一町

-^-a(x2-X1)(x24-x,)+(1-2a)(x2一肛)-21nx2+21nxx

X2f

1、，、21nx-21nx,

=-a(x+x()+(1-2a)----2=-------9分

Z2町一4]

由題得/(#)的圖象在3=號(hào)三處的切線斜率為/)=a(號(hào)^)+

4

1-2a,....................................................10分

*2+?1

假設(shè)“=/'(%),

則了1。(町+,孫)+(-2、a)21-nx-,-…21nx,=/xa,(+x0,\-)+」2“-訴4,

整理得.孫一“%=V~,即.叼―、々_2(必[孫)=o,............I1分

x2一盯X2+xxx2+X|

2(包-1)

所以In3_—----=0,............................................12分

4包+1

陽(yáng)

設(shè)，=，?，貝1],>0且2*1,

*1

記g(0=1…2(；;；),即或，)=/，+備-2,，>0且"1,........13分

求導(dǎo)得g'Q)=:-7受==(廣?；>0恒成立，

I(t+1)/(z+1)?(?+!)

所以g(c)在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞增，.........................14分

因?yàn)間(l)=0,

所以g(c)K0在ce(0,1)U(1,+8)上恒成立，

所以不存在這樣的兩點(diǎn)48........................................15分

18.證明：⑴由==丁，b”二1,兩式相減得0-%=-￡(%-4),

...............................................................1分

因?yàn)橛?"，所以5-6|7^0,.....................................2分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(二)參考答案第4頁(yè)(共7頁(yè))

所以I%-如是以巴為首項(xiàng)，-木為公比的等比數(shù)列..............3分

由。"+1=與上，力+]=當(dāng)匕，兩式相加得4+1+4+1=S~(Qn+A)+%...4分

兩邊同時(shí)減2%得4+|+6n+I-2c=y(an+6“)-c,

即4+1+鼠1-2c=y(an+Z>?-2c)....................................5分

因?yàn)橛?b[W2c,所以由+“-2c#0,.................................6分

所以&+6“-2修是以為+“-2。為首項(xiàng)，十為公比的等比數(shù)列........7分

(2)因?yàn)闉?gt;4,由(1)得14-4[是等比數(shù)列，所以a.-%*),即…8分

由(1)得?！ù?^>i-2c=y(an+6“-2c),

因?yàn)椤?+々=2。,所以0[+，-2c=0,

所以｛%+6.-2c|為常值數(shù)列0,故4+6.=2c.........................9分

a+/，

由cd+瓦-c?""-(2)3lbn1311

由C0SC”=^^-=—五—了N了一了

因?yàn)閍11M，所以等號(hào)不成立，故cosC.>/........................10分

因?yàn)镃e(0,TT),所以C*e(0,f),所以sinC,〈容..............11分

由正弦定理得△48￡,外接圓的直徑2r=肅｝>聲嚕所以,>方

所以叢=^2>竽................................................12分

(3)由(1)可知a“-b.=(9-6)(-9?),由⑵可知%+4=2%.....13分

解得a“=<+"；'’(一/)，b,=c-。'2''(一，...............14分

所以a/xc2一('"力仇)(-/)=/-3-A)?(+)，............15分

a1A隨著n的增大而增大，

▽國(guó)王T+比-J(a?+b?)2-c2-2a?b?3c21AA

又因?yàn)閏°rsC=-^T=------遷-------=立-1,..........g分

所以cosC?隨著n的增大而減小，所以|cosC?|是遞減數(shù)列，

因?yàn)镃.e(0,f),所以1sinC,｝是遞增數(shù)列，所以｛京旨｝是遞減數(shù)列，

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(二)參考答案第5頁(yè)(共7頁(yè))

所以IS.｝是遞減數(shù)列...................17分

19.解：(1)當(dāng)〃=2時(shí)，集合M中共有9個(gè)點(diǎn)，

則X的所有可能取值為1,及；2,6,2立1分

所以「(x=i)嗤

P哈壹卷，

尸(X=2)哈端/

尸(*=⑸哈*看,

P(X=2")=*=點(diǎn)/

所以X的分布列為

X1品262立

12121

P

TT186分

(2)(i)由題意得，集合M中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離的總數(shù)可以轉(zhuǎn)化成

邊長(zhǎng)為i(i=l,2,3,…，n)的正方形邊界上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)之間的不同距離

的個(gè)數(shù)的總和，.....8分

在邊長(zhǎng)為1的正方形中,有2個(gè)不同的距離,

在邊長(zhǎng)為2的正方形中,有3個(gè)不同的距離,

在邊長(zhǎng)為n的正方形中，有n+1個(gè)不同的距離，.......................9分

由各正方形大小不同，距離大小各不相同，

得X的所有可能取值的個(gè)數(shù)為2+3+4+…+(n+l)="(2+尸)=n(n+3)

.............................................................10分

5)由對(duì)立事件，不妨考慮X妾45-1)的情況，

①當(dāng)X="(n-1)時(shí)，取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)為n-1的正方形的頂點(diǎn)，

此時(shí)，這種正方形共有4個(gè)，每個(gè)正方形中距離等于立(n-1)的情形有2種，

所以，事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4x2=8；.............11分

②當(dāng)X>聞n-1)時(shí)，不妨設(shè)X=dwn且“wN*,

fj]-Jn+d2>J2(n-1),d2>n2-4n+2=(n-2)2—2,

因?yàn)閚M4,所以(n-2)2-2>(n-3)2,

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(二)參考答案第6頁(yè)(共7頁(yè))

所以d>n-3,即"=n-2,n-1,n,................................12分

8)當(dāng)"=〃-2,即X=，/+(n-2>時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)分別為“，〃-2的矩

形的頂點(diǎn)，

此時(shí)，這種矩形共有6個(gè)，每個(gè)矩形中距離等于M?+(n-2>的情形有2種,

所以，事件［X=+(n-2)21包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為6x2=12；........13分

1,)當(dāng)4=“-1.即*=，，+(--I)?時(shí),取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)分別為，I,”-1的矩

形的頂點(diǎn)，

此時(shí)，這種矩形共有4個(gè)，每個(gè)矩形中距離等于+(n-1)2的情形有2種,

所以，事件|X=/?+(n-1)”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為4x2=8；.........14分

。)當(dāng)4="即X=&n時(shí)，取出的兩點(diǎn)為邊長(zhǎng)為n的正方形的頂點(diǎn)，

此時(shí)，這種正方形共有1個(gè)，每個(gè)正方形中距離等于后的情形有2種，

所以，事件｛X=&n｝包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為1x2=2；...................15分

由題知樣本空間包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4"y，

所以由古典概型得尸(X舁丘(n-1))=紅普也X=會(huì)紇，.........16分

所以由對(duì)立事件公式得尸(x<"("-D)=1-P(XN&(n-l))=1-滓-=1-

60

*分

n(n+2)(n+1)r

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(二)參考答案第7頁(yè)(共7頁(yè))

★啟用前注意保密

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬測(cè)試（二）

數(shù)學(xué)參考答案

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比

照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視

影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解

答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.-513.y14.3/元/3+遮（第1空2分，第2空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.解：⑴因?yàn)殡p曲線（噌2一力2=1（。）0/>0）的焦點(diǎn)與橢圓”2+『=1的焦點(diǎn)重合，所以02+〃=

5—1=4..........................................2分

因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±梟，

所以2=.................…3分

a3

解得a=V3,b=1................5分

所以雙曲線C的方程為y-y2=1.....................……6分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（-）參考答案第1頁(yè)（共7頁(yè)）

（2）①當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，y=!支過(guò)AB的中點(diǎn)恒成立，因?yàn)橹本€AB與雙曲線相交，所以—

<今且kABW8分

X

②當(dāng)直線AB不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)/A（Xi,yD,B（2,y2）,則日一比=1,學(xué)一資=1,兩式相減得

（5*收）-（為-3（％+'2）=。，1°分即4.鬻號(hào)

11分

由AB的中點(diǎn)（遼產(chǎn)，空）在直線1：y="上，得霍魯12分

所以g=1,即%B=L……13分

Xr-X2

16.（1）證明：如圖1,記AiB與ABi的交點(diǎn)為點(diǎn)0,連接BXD,0

D,.......................................................................................1分

因?yàn)槿庵鵄BC-&B1C1是直三棱柱，所以乙414B=NDCA=NBiCiD=9

B

0°......................................................................2分圖I

因?yàn)?4i=4B,所以四邊形AAiBiB是正方形，故AB」AiB.

..........................................................................................................................................3分

因?yàn)锳C=BC,BC=B1C1,所以,AC=B￡i.又因?yàn)镈是CC1的

中點(diǎn)，所以CD=gD,所以.40=+"2=+/弓=B[D.…4分

因?yàn)樗倪呅蜛AiBiB是正方形，所以點(diǎn)O是ABi的中點(diǎn)，

所以ABi^OD........................................................................................................5分

又因?yàn)锳iB,ODu平面AiBD,A】BCOD=O,.......................

,6分

所以ABi_L平面AiBD..............................…7分

（2）解：因?yàn)锽C_LAC,AB=AAi=2,所以AC=BC=&8分

方法一:如圖2,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA,CB,CCi所在直線為x,y,z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，則/A（a,0,0）,B（0,V2,0）,Bi（0,V2,2）,D（0,0,

1）..............9分所以B=（-V2>V2<0）,BD=（0,一魚(yú)，1）,福=（-V2,V2,

2）............10分

因?yàn)锳B1，平面AiBD,所以平面AiBD的法向量為何=

（-V2-V2-2）................................................................11分

設(shè)平面ABD的法向量為n=（x,y,z）,

則卜.亞=0,+仞=0,解得x=y,

即z=色，取尸，

(n-BD=0,-V2y+z=0,

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）參考答案第2頁(yè)（共7頁(yè)）

n=（l,1,V2…??13分得：).

設(shè)平面AiBD與平面ABD的夾角為0,

_I”.同2顯1

則\n\\AB,|2x2&214分

所以平面AtBD與平面ABD的夾角的余弦值為i15分

方法二；如圖3,平面A^D與平面ABD的交線為BD,過(guò)點(diǎn)0作OE

XBD,垂足為點(diǎn)E,連接AE.

由（1）知AOL平面AiBD,因?yàn)锽Du平面A、

BD,所以AOXBD.

又因?yàn)镺E,AOu平面AOE,OECAO=O,所以BDJ_平面AO

E........................................................9分

因?yàn)锳Eu平面AOE,圖3

所以BD1AE.

所以NAEO是平面AiBD與平面ABD的夾角.............10分

在4ADB中，AD=BD=V3,

由4ADB的面積可得|x2XJ(V3)2-I2=|XV3XAE,解得AE=等.

11分

因?yàn)镺Eu平面AiBD,

所以AO±OE.12分

sinz.AEO——V2_V3

在RtAAOE中,AE2V2-2J13分

W

所以COSAAEO=14分

所以平面AiBD與平面ABD的夾角的余弦值為去15分

17.解：（1）由題得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,1分

求導(dǎo)得/'（無(wú)）=”久+1_2a_：=a/+（l2a）x2=（>2）（ax+l）,4分

'XXX

因?yàn)閍>0,

由f(x)>0,得x>2;由F(x)<0,得0<x<2,6分所以f（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上

單調(diào)遞增.......7分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）參考答案第3頁(yè)（共7頁(yè)）

y1=|ax1+(1-2a)x1—2111rL

(2)由題得8分

y2=+(1-2a)x2-2lnx2f

———

及一。1<ZX2+(12(z)x221nx2j2￡Z)x1—21nx1]

^AB=貝

—X

^21x2-xr

^a(x2-xi)(x2+xi)+(l-2a)(x2-Xi)—21nx2+21nxi

=：a(>2+久1)+(1-2d)-21nz21nxi,9分

2x2-x1

1

由題得f(x)的圖象在x0=華處的切線斜率為r(與)=r(空)=口(號(hào))+

—2a--------,10分

Xz+X±

假設(shè)kAB=r(%o),

則；a(.+/)+(1-2a)-2]吟也『="弩)+1_2。一一

2打一九1\2/X2+Xj

整理得lnX2-lnX1=，—，即ln%2Tn尤1-2fe-X1)=0,11分

X2~X1X2+X1X2+X1

所以In盤(pán)一量"=0,

12分

以爭(zhēng)1

設(shè)t=N則t>0且twi,

X1

記g(±)=Int_2(；：；),即g(t)=hit+言—2,t>0且tWl,…13分

求導(dǎo)得⑴十尋(t+l)2-4t=套>°恒成立,

t(t+l)2

所以g(t)在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞增，.........................14分

因?yàn)間⑴=0,

所以。g(t)WO在16(0,1)U(1,+8)上恒成立，

所以不存在這樣的兩點(diǎn)A,B.15

分

18.證明：(1)由Cln+i=智三既+i=因］兩式相減得—b“+i=—1(。”一既),1

分因?yàn)?1牛b1,所以?1-610,........................................................2

分

數(shù)學(xué)模擬測(cè)試(~)參考答案第4頁(yè)(共7頁(yè))

所以a0-b團(tuán)是以a「bi為首項(xiàng)，—為公比的等比數(shù)歹U...............3分

由每+i=竽,砥+1=%，兩式相加得?n+i+bn+1=I（a?+bn）+c,...4分

兩邊同時(shí)減2c,得an+i+bn+i—2c=-（an+b”）—c,

即an+l+^n+1-2c=：（an+—2c）.*?5分

因?yàn)橛?biW2c,所以由+bi—2cW0,6分

所以a回+b回-2c是|以巴+九-2c為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)列.…7分

⑵因?yàn)樗?gt;玩,由⑴得?；匾籦團(tuán)是等比數(shù)列，所以（a回一b團(tuán)豐0,即a回豐b團(tuán).…8分

由（1）得an+i+bn+i—2c--（an+bn—2c）,

因?yàn)閍[+b]=2G所以tii+—2c=0,

所以a團(tuán)+b團(tuán)一2c為常值數(shù)列？，故a團(tuán)+b團(tuán)=2c…9分

COSC=*+底―上2_2）=3（如?an）_1>2_1=1

n-

-2anbn-2anbn-8\anbnJ444-2’

由

因?yàn)閍日。他所以等號(hào)不成立，故cosC?>10分

因?yàn)镃團(tuán)G（0，兀），所以CnC（0?），所以sing<y.11分

由正弦定理得△ACBC外接圓的直徑2r=—，>5■=

smCnV3

2

署所以r>者所以Sn=兀產(chǎn)>手.

12分

（3）由（1）可知每一%=（%—%）（《）”，由（2）可知a團(tuán)+6團(tuán)=2c,…13分

解得a0=c+守（一￡）""，既=c—守