第05講 全等三角形的綜合應(yīng)用知識解讀+真題演練+課后鞏固（原卷版）

第05講全等三角形的綜合應(yīng)用1．掌握判定兩個三角形全等的四種方法，并能應(yīng)用它們解決簡單問題；2．學(xué)會用全等的方法證明線段、角、面積相等；3．在探索利用三角形全等解決問題的過程中，能夠進(jìn)行有條理的思考并進(jìn)行簡單的推理；4．經(jīng)歷利用三角形全等解決問題的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程情感與態(tài)度鼓勵學(xué)生敢于實踐，勇于發(fā)現(xiàn)，大膽探索，合作創(chuàng)新的精神；體會數(shù)學(xué)在生活中的作用，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣知識點1：全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等．尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊．(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角．(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角．(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)．要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵．知識點2：全等三角形的判定方法(1)邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(2)角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(3)邊邊邊定理(SSS)：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(4)角角邊定理(AAS)：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．知識點3：全等三角形的應(yīng)用運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線．拓展關(guān)鍵點：能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)．【題型1利用三角形全等測量能到兩端的距離】【典例1】（2022秋?防城港期末）如圖，為了測量B點到河對面的目標(biāo)A之間的距離，在B點同側(cè)選擇一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，此時測得MB的長就是A，B兩點間的距離，那么判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．HL【變式1-1】（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，小明和小麗用下面的方法測量位于池塘兩端的A、B兩點的距離；先取一個可以直接到達(dá)點A的點C，量得AC的長度，再沿AC方向走到點D處，使得CD＝AC；然后從點D處沿著由點B到點A的方向，到達(dá)點E處，使得點E、B、C在一條直線上，量得的DE的長度就是A、B兩點的距離．在解決這個問題中，關(guān)鍵是利用了△DCE≌△ACB，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．ASA或AAS【變式1-2】（2022秋?鞍山期末）如圖，要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，可在河的一側(cè)取AB的垂線BM上兩點C，D，使BC＝CD，再畫出BM的垂線DE，使E在AC的延長線上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，則A，B兩點的距離是（）A．5m B．10m C．12m D．13m【變式1-3】（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖所示，某工程隊欲測量山腳兩端A、B間的距離，在山旁的開闊地取一點C，連接AC、BC并分別延長至點D，點E，使得CD＝AC，CE＝BC，測得DE的長，就是AB的長，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【題型2利用三角形全等求兩端的距離】【典例2】（2022秋?泗水縣期末）如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離DE的長度為（）A．30cm B．27cm C．24cm D．21cm【變式2-1】（2022秋?孝義市期中）如圖，小張同學(xué)拿著老師的等腰直角三角尺，擺放在兩摞長方體教具之間，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每個小長方體教具高度均為4cm，則兩摞長方體教具之間的距離DE的長為cm．【變式2-2】（2022秋?鐘樓區(qū)校級月考）如圖，工人師傅要在墻壁上的點O處用電鉆打孔，要使鉆頭從墻壁對面的點B處打出．已知墻壁厚30cm，點B與點O的鉛直距離AB長15cm．在點O處作一直線平行于地面，在直線上截取OC＝30cm，過C作OC的垂線，在垂線上截取CD＝15cm，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，就能使鉆頭正好從點B處打出，為什么？【變式2-3】（2022春?嶧城區(qū)期末）如圖，小明站在堤岸的A點處，正對他的S點停有一艘游艇．他想知道這艘游艇距離他有多遠(yuǎn)，于是他沿著堤岸走到電線桿B旁，接著再往前走相同的距離，達(dá)到C點．然后他向左直行，當(dāng)看到電線桿與游艇在一條直線上時停下來，此時他位于D點，量得CD的距離是35米．你知道在點A處小明與游艇的距離嗎？請說出他這樣做的理由．【題型3利用三角形全等測量物體的內(nèi)徑】【典例3】（2022秋?濰坊期末）如圖，將兩根同樣的鋼條AC和BD的中點固定在一起，使其可以繞著O點自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工件內(nèi)徑的工具．這時根據(jù)△OAB≌△OCD，CD的長就等于工件內(nèi)槽的寬AB，這里判定△OAB≌△OCD的依據(jù)是（）A．邊角邊 B．角邊角 C．邊邊邊 D．角角邊【變式3-1】（2022秋?蜀山區(qū)期末）在測量一個小口圓形容器的壁厚時，小明用“x型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，測量AB的長度即可知道CD的長度，理由是根據(jù)可證明△AOB≌△DOC．【變式3-2】（2022秋?路南區(qū)校級月考）學(xué)習(xí)了《全等三角形》后，王老師給同學(xué)們布置了一個任務(wù)：請設(shè)計一個方案，測量出如所示的零件的厚度x，并說明方案的可行性（測量數(shù)據(jù)可以用字母表示，例如a，b等）【題型4利用三角形全等解決工程中的問題】【典例4】（2022秋?如皋市校級期末）一塊三角形玻璃不小心摔壞了，帶上如圖所示的玻璃碎片就能讓玻璃店的師傅重新配一塊與原來相同的三角形玻璃的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【變式4-1】（2022秋?曲靖期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點M、N重合，過角尺頂點C作射線OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【變式4-2】（2023?惠陽區(qū)校級開學(xué)）如圖所示，小語同學(xué)為了測量一幢樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P，測得PC與地面夾角∠DPC＝38°，測得PA與地面夾角∠APB＝52°，量得點P到樓底的距離PB與旗桿的高度都是9m，量得旗桿與樓之間的距離DB＝36m，則樓高AB＝（）A．36m B．27m C．25m D．18m【變式4-3】（2021秋?孟村縣期末）如圖，A，B，C，D是四個村莊，B，D，C在一條東西走向公路的沿線上，BD＝1km，DC＝1km，村莊A和C，A和D間也有公路相連，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有A和B之間由于間隔了一個小湖，無直接相連的公路．現(xiàn)決定在湖面上造一座橋，測得AE＝1.2km，BF＝0.7km，則建造的橋長至少為（）A．1.2km B．1.1km C．1km D．0.7km【題型5利用三角形全等解決面積問題】【典例5】（2022秋?仙居縣期末）如圖，一形狀為四邊形的風(fēng)箏（四邊形ABCD），測量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，BD＝112cm，則此風(fēng)箏的大小為（即四邊形ABCD的面積）cm2．【變式5】（2022?百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面積．1．（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC2．（2021?攀枝花）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③3．（2022?太原一模）“又是一年三月三”．在校內(nèi)勞動課上，小明所在小組的同學(xué)們設(shè)計了如圖所示的風(fēng)箏框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周長為24cm，F(xiàn)C＝3cm．制作該風(fēng)箏框架需用材料的總長度至少為（）A．44cm B．45cm C．46cm D．48cm4．（2022?東莞市校級一模）一塊三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如圖所示），小明經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店，就可以讓師傅配一塊與原玻璃一樣的玻璃．你認(rèn)為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、2或2、4去就可以了5．（2022?環(huán)江縣模擬）如圖，為測量池塘兩端AB的距離，學(xué)校課外實踐小組在池塘旁的開闊地上選了一點C，測得∠ACB的度數(shù)，在AC的另一側(cè)測得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再測得AD的長，就是AB的長．其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．（2022?岳麓區(qū)校級模擬）如圖，在測量一個小口圓形容器的壁厚時，李師傅用“X型轉(zhuǎn)動鉗”按如圖方法進(jìn)行測量，其中O是AD、CB的中點，由三角形全等的知識可知只要測量A、B的距離，即得C、D的距離，便能計算出圓形容器的壁厚．請問李師傅得到△AOB≌△COD的依據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL7．（2022?望花區(qū)模擬）王強同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．8．（2021?柳州）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點A和B，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB，連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？請結(jié)合解題過程，完成本題的證明．證明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．9．（2021?前郭縣模擬）如圖，在一條河的兩岸各聳立著一座寶塔，隔河相對，在無任何過河工具的情況下，你能測量出兩座寶塔間的距離嗎？說說你的方法和理由．1．（2022秋?常德期末）如圖所示，小明試卷上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出一個與試卷原圖完全一樣的三角形，那么兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS2．（2022秋?大安市期末）如圖，聰聰書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)知識很快就畫了一個與書本上完全一樣的三角形，那么聰聰畫圖的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，有一塊三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新劃一塊與原來形狀、大小一樣的玻璃，只需帶到玻璃店（）A．① B．② C．③ D．①、②、③其中任一塊4．（2022秋?屯留區(qū)期末）2022年10月12日某中學(xué)八年級（4）班的同學(xué)在聽了“天宮課堂”第三課，即我國航天員在中國空間站進(jìn)行的太空授課后，組成數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了設(shè)計傘的實踐活動．康康所在的小組依據(jù)全等三角形的判定設(shè)計了截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)，當(dāng)傘完全打開后，測得AB＝AC，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，ED＝DF，那么△AED≌△AFD的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS5．（2022秋?棗陽市期末）如圖，有一池塘，要測量池塘兩端A，B的距離時，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點C．連接AC并延長到D，使CD＝CA．連接BC并延長到E，使CE＝CB．可證明△EDC≌△BAC，從而得到ED＝AB，則測得ED的長就是兩點A，B的距離．判定△EDC≌△BAC的依據(jù)是（）A．“邊邊邊” B．“角邊角” C．“角角邊” D．“邊角邊”6．（2021秋?臨海市期末）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平長度DF相等，那么判定△ABC與△DEF全等的依據(jù)是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS7．（2021秋?孝昌縣期末）下列選項中，不是依據(jù)三角形全等知識解決問題的是（）A．利用尺規(guī)作圖，作一個角等于已知角 B．工人師傅用角尺平分任意角 C．利用卡鉗測量內(nèi)槽的寬 D．用放大鏡觀察螞蟻的觸角8．（2022秋?杭州期末）如圖是一個滑梯示意圖，左邊是樓梯，右邊是滑道，已知滑道AC與AE的長度相等，滑梯的高度BC＝6m，BE＝2m．則滑道AC的長度為m．9．（2022秋?上城區(qū)校級期中）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請根據(jù)上述信息求標(biāo)語AB的長度．10．（2022秋?萬州區(qū)期末）小明在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進(jìn)一步的探究：在一個支架的橫桿點O處用一根細(xì)繩懸掛一個小球A，小球A可以自由擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置．當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠進(jìn)小球時，小球從OA擺到OB位置，此時過點B作BD⊥OA于點D，當(dāng)小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直（圖中的A、B、O、C在同一平面上），過點C作CE⊥OA于點E，測得CE＝15cm，AD＝2cm．（1）試說明OE