數(shù)學(xué)01（新高考卷新題型結(jié)構(gòu)）-學(xué)易金卷：2024年高考考前押題密卷含解析

數(shù)學(xué)01（新高考卷，新題型結(jié)構(gòu)）-學(xué)易金卷：2024年高考考前押題密卷2024年新高考考前押題密卷高三數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．某公司有營(yíng)銷部門、宣傳部門以及人事部門，其中營(yíng)銷部門有50人，平均工資為5千元，方差為4，宣傳部門有40人，平均工資為3千元，方差為8，人事部門有10人，平均工資為3千元，方差為6，則該公司所有員工工資的方差為（

）A． B． C． D．3．金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（

）A．72種 B．48種 C．36種 D．24種4．已知是正六邊形邊上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（

）A．511 B．61 C．41 D．96．在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.過(guò)A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．8．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)锽．是周期函數(shù)C．在單調(diào)遞減D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，但不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10．已知圓，直線是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．的方程可以是 D．的方程可以是11．已知球是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是.13．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.14．表示三個(gè)數(shù)中的最大值，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見(jiàn)的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問(wèn)題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的9個(gè).(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個(gè)問(wèn)題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差.16．（15分）如圖所示，三棱柱所有棱長(zhǎng)都為，，為中點(diǎn)，為與交點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．17．（15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（17分）過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點(diǎn)，且．

(1)求拋物線的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過(guò)D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．19．（17分）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)設(shè)，，且，求的值；(3)記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求.2024年新高考考前押題密卷數(shù)學(xué)全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出兩個(gè)集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】或，，所以.故選：D.2．某公司有營(yíng)銷部門、宣傳部門以及人事部門，其中營(yíng)銷部門有50人，平均工資為5千元，方差為4，宣傳部門有40人，平均工資為3千元，方差為8，人事部門有10人，平均工資為3千元，方差為6，則該公司所有員工工資的方差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出總的平均工資，再根據(jù)分層抽樣的方差公式求解即可.【詳解】所有人的平均工資為千元，故該公司所有員工工資的方差為.故選：D3．金華市選拔2個(gè)管理型教師和4個(gè)教學(xué)型教師去新疆支教，把這6個(gè)老師分配到3個(gè)學(xué)校，要求每個(gè)學(xué)校安排2名教師，且管理型教師不安排在同一個(gè)學(xué)校，則不同的分配方案有（

）A．72種 B．48種 C．36種 D．24種【答案】A【分析】首先取2名教學(xué)型老師分配給一個(gè)學(xué)校，再把剩余老師分成組，然后分給剩余2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解.【詳解】選取一個(gè)學(xué)校安排2名教學(xué)型老師有種不同的方法，剩余2名教學(xué)型老師與2名管理型教師，各取1名，分成兩組共有種，這2組分配到2個(gè)不同學(xué)校有種不同分法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同的分法.故選：A4．已知是正六邊形邊上任意一點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算，將向量轉(zhuǎn)化為進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.【詳解】設(shè)正六邊形的中心為，．根據(jù)正六邊形的對(duì)稱性，以點(diǎn)在邊上為例，當(dāng)點(diǎn)在與頂點(diǎn)重合時(shí)，最大為2，當(dāng)時(shí)，最小為，則，所以.故選：B5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（

）A．9 B．41 C．61 D．511【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，即可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，再由分組求和可得結(jié)果.【詳解】由可得，即，所以，兩式相除可得；即，由可得，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.故選：C6．在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換與正弦定理的邊角變換，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，從而利用銳角三角形的性質(zhì)得到的范圍，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化所求即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得，又，所以，則，因?yàn)槭卿J角三角形，則，則，所以，即，則，所以，解得，則，所以.故選：A.7．已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.過(guò)A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，，即，其中，，從而，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.8．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進(jìn)而分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，即，可知關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)锽．是周期函數(shù)C．在單調(diào)遞減D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，但不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BCD【分析】對(duì)于A，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式為，但是注意到，由此即可判斷；對(duì)于B，在定義域內(nèi)，由誘導(dǎo)公式可得，由此即可判斷；對(duì)于C，在函數(shù)有意義的前提下，由正弦函數(shù)單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于D，利用代入檢驗(yàn)法，并注意定義域是否相應(yīng)的關(guān)于直線或點(diǎn)對(duì)稱即可判斷.【詳解】對(duì)于A，．因?yàn)椋?，所以的值域是，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，的定義域且，對(duì)任意恒有，B正確．對(duì)于C，在有意義，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，C正確．對(duì)于D，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且的定義域關(guān)于對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于直線稱．，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，但的定義域不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確．故選：BCD．10．已知圓，直線是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)的坐標(biāo)為C．的方程可以是 D．的方程可以是【答案】BCD【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，即可求出，再求出過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程，聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)切線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出，即可得解.【詳解】圓圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，因?yàn)槭侵本€上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則切線長(zhǎng)的最小值為，故A錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程為，則，解得，所以，由，解得，所以，故B正確；顯然過(guò)點(diǎn)的切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，則，解得或，所以切線的方程為或，故CD正確.

故選：BCD11．已知球是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是球的球面上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B．三棱錐的體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，則的大小為定值【答案】ACD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，先證得面可得點(diǎn)軌跡為平面與內(nèi)切球的交線，由到面的距離為面與面的距離可得，結(jié)合求解即可，對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)三棱錐的體高經(jīng)過(guò)球心時(shí)體積取得最大值，結(jié)合空間向量坐標(biāo)法求得球心到平面距離，進(jìn)而由計(jì)算即可，對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用極化恒等式可得，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的范圍，作出平面截球的截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題可得，進(jìn)而可求得結(jié)果，對(duì)于D項(xiàng)，作出平面截球與橢球的截面圖，結(jié)合橢圓與圓的對(duì)稱性可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由正方體性質(zhì)得面，且內(nèi)切球半徑，分別取、、中點(diǎn)、、，如圖所示，易知面面，故面，則點(diǎn)軌跡為平面與內(nèi)切球的交線，即為截面圓的周長(zhǎng)，易知球心面，則到面的距離為面與面的距離，所以截面圓半徑為.故點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，所以到平面距離為，因?yàn)槊?，面，所以，又，所以三棱錐的體積的最大值為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、、，如圖所示，則，所以，平面截球的截面圖如圖所示，又，，則，所以當(dāng)位于時(shí)，所以當(dāng)位于時(shí)，，則，所以，即的范圍為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由題意知，，又，所以點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)在以為球心，1為半徑的球面上，所以點(diǎn)在橢球面與球面的交線處，則平面截球與橢球的截面圖如圖所示，由橢圓與圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)位于、、、時(shí)，為定值，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】與球截面有關(guān)的方法點(diǎn)睛：①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．第II卷（非選擇題）三、填空題12．若實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個(gè)虛數(shù)根的模為4，則的取值范圍是.【答案】【分析】因?yàn)閷?shí)系數(shù)的一元二次方程若有虛數(shù)根，則兩根共軛，可設(shè)兩根分別為和，則，又，再由可求的取值范圍.【詳解】設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根為和，則.所以.由.故答案為：13．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令可得，或，由條件結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對(duì)數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長(zhǎng)速度更快，從而，當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒(méi)有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.14．表示三個(gè)數(shù)中的最大值，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，，則的最小值是．【答案】2【分析】設(shè)，因，可得，借助于基本不等式可得，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，即得.【詳解】設(shè)，則，，，因，則得．又因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為2．故答案為：2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題的思路在于，先根據(jù)的含義，設(shè)出，即得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，而這可以利用基本不等式求得，同時(shí)需驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.四、解答題15．ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見(jiàn)的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問(wèn)題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問(wèn)題中，小張能正確作答其中的9個(gè).(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個(gè)問(wèn)題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差.【答案】(1)；(2)0.9；(3)小張答對(duì)題數(shù)的的期望為8.1，方差為0.09，ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望為8.1，方差為0.81.【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）設(shè)事件表示“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問(wèn)題能被ChatGPT正確回答”，確定相應(yīng)概率，根據(jù)全概率公式，即可求得答案；（3）根據(jù)期望以及方差的計(jì)算公式，即可求得答案；【詳解】（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則. 3分（2）設(shè)事件表示“輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問(wèn)題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則， 5分； 7分（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是，且，， 9分設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，， 11分，. 13分16．如圖所示，三棱柱所有棱長(zhǎng)都為，，為中點(diǎn)，為與交點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，證明四邊形為平行四邊形，得出，從而證明平面．（2）由題意證明，，得出平面，即可證明平面平面．（3）依題意可得為直線與平面所成角，由直線與平面所成的角的正弦值求出，從而求出，再由余弦定理求出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，計(jì)算二面角的余弦值．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，；因?yàn)椋謩e為和的中點(diǎn)，所以且， 1分又且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以， 3分又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?4分（2）因?yàn)槿庵欣忾L(zhǎng)都為，，所以，，為的中點(diǎn)，四點(diǎn)共面， 5分所以，且，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面． 7分（3）由題意知，，且，，平面，，所以平面，又，所以平面，所以為直線與平面所成角， 8分又，所以，因?yàn)椋云矫妫矫?，所以，所以為直角三角形，所以，所以，在中，，所以?9分以為原點(diǎn)，作平面，以，，方向?yàn)?，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，由，所以，所以，， 11分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為， 13分記二面角的平面角為，由圖可得為銳角，則，即二面角的平面角的余弦值為． 15分17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）分和討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性驗(yàn)證恒成立是否滿足.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則， 2分所以切線斜率為，又，所以，切線方程是. 5分（2）①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?記，則， 6分令，則. 7分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，， 8分所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以. 9分②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，則， 10分若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增. 11分若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增. 12分所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，存在，使得，所以，?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 15分18．過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點(diǎn)，且．

(1)求拋物線的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過(guò)D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．【答案】(1)；(2)；(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，據(jù)此求出可得解；（2）求出弦長(zhǎng)及點(diǎn)到直線的距離，可得出面積，由點(diǎn)在圓上，可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與面積關(guān)系得解；（3）求出過(guò)點(diǎn)切線方程，聯(lián)立可得橫坐標(biāo)，據(jù)此利用橫坐標(biāo)可得，即可得證.【詳解】（1）由題意得，，由，所以 4分（2）設(shè)，聯(lián)立，，設(shè)方程的兩根為，則， 6分由，所以，聯(lián)立直線可得，代入方程中，得，即， 8分故的面積. 9分因?yàn)樵趫A上，所以且，于是，顯然此式在上單調(diào)遞增，故，也即，因此，由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為. 12分（3）由（2）知，,設(shè)，過(guò)的切線，即，過(guò)點(diǎn)切線交得，同理， 14分因?yàn)椋?所以，即. 17分【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式得出，再由切線相交得出點(diǎn)坐標(biāo)，求出三角形面積，再由點(diǎn)在圓上得出面積的范圍是求解“囧邊形”面積范圍的關(guān)鍵，第三問(wèn)中利用直線上線段長(zhǎng)度之比可化為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之比是解題的關(guān)鍵.19．已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)設(shè)，，且，求的值；(3)記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求.【答案】(1)7；(2)或10；(3)【分析】（1）根據(jù)集合新定義，確定中最小的元素即可；（2）根據(jù)集合中的元素可得，設(shè)，，分別討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的取值情況，即可得結(jié)論；（3）設(shè)，則，其中，，所以，根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)確定與的關(guān)系，即可求得的值.【詳解】（1）中的最小元素為. 3分（2）由題得，設(shè)，.①當(dāng)時(shí)，或或或或或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以. 5分②當(dāng)時(shí)，或或或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以. 7分③當(dāng)時(shí)，不符合題意.因此，或10. 8分（3）設(shè)，則，其中，，所以，設(shè)，則. 10分因?yàn)?，所?12分.因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋? 17分【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，注意兩點(diǎn)：（1）根據(jù)集合定義式，確定集合中元素的特點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算確定指數(shù)的取值情況從而得集合中的元素性質(zhì)；（2）確定集合中的元素個(gè)數(shù)為時(shí)，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)確定與的關(guān)系.2024年新高考考前押題密卷數(shù)學(xué)·參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。12345678DDABCABD二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。91011BCDBCDACD二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分12． 13． 14．2四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）【答案】(1)；(2)0.9；(3)小張答對(duì)題數(shù)的的期望為8.1，方差為0.09