2023年廣東省中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年廣東省中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題10小題，每題3分，共30分，每小題給出四個選項中只有一個是正

確的，請把答題卡上對應(yīng)題目所選的選項涂黑）．

1．（3分）﹣2023的倒數(shù)是（）

A．﹣2023B．2023C．D．

2．（3分）KN95型口罩能過濾空氣中95%的粒徑約為0.0000003m的非油性顆粒．用科學(xué)記

數(shù)法表示0.0000003是（）

A．0.3×10﹣6B．0.3×10﹣7C．3×10﹣6D．3×10﹣7

3．（3分）如圖，已知∠1＝68°，∠2＝68°，∠3＝56°，則∠4＝（）

A．68°B．56°C．34°D．32°

4．（3分）如圖所示的正六棱柱的俯視圖是（）

A．B．

C．D．

5．（3分）木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍色卡片，隨機從木箱里摸出1張卡

片記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到藍色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，

則估計木箱中藍色卡片有（）

A．18張B．12張C．6張D．10張

6．（3分）把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是（）

A．B．

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C．D．

7．（3分）給出下列判斷，正確的是（）

A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B．對角線相等的四邊形是矩形

C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D．有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形

8．（3分）已知函數(shù)y＝x﹣3，y＝﹣x+1，y＝kx+6的圖象交于一點，則k值為（）

A．2B．﹣2C．3D．﹣3

9．（3分）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價40元，銷售期間發(fā)

現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少

10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每

天銷售紀念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）

A．y＝10x+740B．y＝10x﹣140

C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40）D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）

10．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，對于下列說法：其中正確的有（）

①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤當x＞0時，y隨x的增大而減小，

A．5個B．4個C．3個D．2個

二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）

11．（3分）一元二次方程x2＝2023x的解是．

12．（3分）分解因式：8m3﹣2mn2＝．

13．（3分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC

的面積為18，陰影部分三角形的面積為8，若AA′＝1，則A′D的值為．

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14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若∠BAC=28°，

則∠D＝°．

15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，把BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，把CD繞點C逆時針旋

轉(zhuǎn)，它們交于點M，連接BM、CM并延長，分別交AD于點E、F，連接BD交CF相交

于點H，連接DM．下列判斷中，其中正確結(jié)論為．（填序號）

①MF＝FE；②△FMD∽△MHB；③S△FMD：S△CMD＝；④tan∠BHC＝2+．

三、解答題（本大題共8小題，16-18題每題8分，19-21題每題9分，22-23題每題12分，

共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16．（8分）計算：（2021﹣π）0+4cos45°﹣．

17．（8分）某數(shù)學(xué)社團開展實踐性研究，在一公園南門A測得觀景亭C在北偏東37°方向，

繼續(xù)向北走105m后到達游船碼頭B，測得觀景亭C在游船碼頭B的北偏東53°方向．求

南門A與觀景亭C之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan53°≈）

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18．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB邊上且AD＝BD，連接CD，E

是CD的中點，過點C作CF∥AB，交AE的延長線于點F，連接BF．

（1）求證：AE＝EF；

（2）求證：四邊形BDCF是菱形．

19．（9分）我市某小區(qū)為了解疫苗接種進度，該小區(qū)管理人員對小區(qū)居民進行了抽樣調(diào)查，

按接種情況可分如下四類：A類——接種了還需注射一針的疫苗；B類——接種了還需注

射二針的疫苗；C類——接種了還需注射三針的疫苗；D類——還沒有接種．圖1與圖2

是根據(jù)此次調(diào)查得到的統(tǒng)計圖（不完整）．請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題：

（1）此次抽樣調(diào)查的人數(shù)是多少人？

（2）接種B類疫苗的人數(shù)的百分比是多少？接種C類疫苗的人數(shù)是多少人？

（3）為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，小區(qū)管理部門準備在已經(jīng)接種疫苗的居民中

征集2名志愿宣傳者，現(xiàn)有3男2女共5名居民報名，要從這5人中隨機挑選2人，求

恰好抽到一男和一女的概率是多少．

20．（9分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)

的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點，直線AB與x軸交于點C，點B的

坐標為（﹣4，n）．

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（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若，請直接寫出x的取值范圍；

（3）在x的負半軸上有點P，使△AOP是等腰三角形，請直接寫出S△AOP＝．

21．（9分）如圖，四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB交AB于點

E，點P在AB延長線上，∠PCB＝∠BDC．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：PE2＝PB?PA．

22．（12分）（1）如圖1，⊙A的半徑為1，AB＝2.5，點P為⊙A上任意一點，則BP的最

小值為；

（2）如圖2，已知矩形ABCD，點E為AB上方一點，連接AE，BE，作EF⊥AB于點F，

點P是△BEF的內(nèi)心，求∠BPE的度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，CP，若矩形的邊長AB＝6，BC＝4，BE＝BA，

求此時CP的最小值．

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23．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，

6），頂點為D，且D（1，8）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在線段BC上存在一點M，過點O作OH⊥OM交CB的延長線于H，且MO＝

HO，求點M的坐標；

（3）點P是y軸上一動點，點Q是在對稱軸上一動點，是否存在點P，Q，使得以點P，

Q，C，D為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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2023年廣東省中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題10小題，每題3分，共30分，每小題給出四個選項中只有一個是正

確的，請把答題卡上對應(yīng)題目所選的選項涂黑）．

1．【分析】根據(jù)相乘等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，即可求解．

【解答】解：﹣2023的倒數(shù)是．

故選：C．

【點評】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

2．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大

數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為

零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．

故選：D．

【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，

n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

3．【分析】由∠1，∠2的度數(shù)，可得出∠1＝∠2，利用“同位角相等，兩直線平行”，可得

出a∥b，再利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，即可求出∠4的度數(shù)．

【解答】解：∵∠1＝68°，∠2＝68°，

∴∠1＝∠2，

∴a∥b，

∴∠4＝∠3＝56°．

故選：B．

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，牢記“同位角相等，兩直線平行”及“兩直

線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．

4．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示．

【解答】解：從上面看可得到一個正六邊形．

故選：D．

【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．

5．【分析】根據(jù)藍色卡片的頻率可得摸到藍色卡片的概率，根據(jù)概率公式即可求出藍色卡片

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的數(shù)量．

【解答】解：設(shè)木箱中藍色卡片有x張，根據(jù)題意得：

＝0.6，

解得：x＝12，

經(jīng)檢驗x＝12是原方程的解，

則估計木箱中藍色卡片有12張．

故選：B．

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固

定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．

6．【分析】求得不等式組的解集為﹣1＜x≤1，所以B是正確的．

【解答】解：由第一個不等式得：x＞﹣1；

由x+2≤3得：x≤1．

∴不等式組的解集為﹣1＜x≤1．

故選：B．

【點評】不等式組解集在數(shù)軸上的表示方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，

≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示

解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．

在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．

7．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到結(jié)論．

【解答】解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，可能是

等腰梯形，

故不符合題意；

B、對角線相等且平分的四邊形是矩形，

故不符合題意；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，

故不符合題意；

D、有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形，

故符合題意；

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故選：D．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟

練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵．

8．【分析】函數(shù)y＝x﹣3，y＝﹣x+1，y＝kx+6的圖象交于一點，可先通過函數(shù)y＝x﹣3，

y＝﹣x+1求出交點，再代入函數(shù)y＝kx+6即可求出k值．

【解答】解：

依題意，得，解得

∴交點為（3，0）代入y＝kx+6得，0＝3k+6，

解得k＝﹣2

故選：B．

【點評】此題考查的是一次函數(shù)的交點問題，兩函數(shù)相交，交點必在兩函數(shù)上．

9．【分析】利用每天的銷售量＝300﹣10×銷售單價上升的錢數(shù)，可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式，再利用商家每天銷售紀念品獲得的利潤＝每個的銷售利潤×每天的銷售量，即可

得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

【解答】解：當銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天

銷量減少10個，

∴銷售單價為x元時，每天的銷售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天銷售紀念品獲得的

利潤w＝（x﹣40）y，

∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．

故選：D．

【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w

（y）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．

10．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象分別得出a，c，以及b2﹣4ac的符號進

而求出答案．

【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，

∴ac＜0，故①錯誤；

②由對稱軸可知：﹣＜1，

∴2a+b＞0，故②正確；

第3頁（共14頁）

③由拋物線與x軸有兩個交點，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正確；

④由圖象可知：x＝1時，y＝a+b+c＜0，

故④正確；

⑤由圖象可得，當x＞﹣時，y隨著x的增大而增大，故⑤錯誤；

故正確的有3個．

故選：C．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖

象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合分析．

二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）

11．【分析】先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x﹣2023＝0，

然后解兩個一次方程即可．

【解答】解：x2﹣2023x＝0，

x（x﹣2023）＝0，

x＝0或x﹣2023＝0，

所以x1＝0，x2＝2023．

故答案為：x1＝0，x2＝2023．

【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

12．【分析】直接提取公因式2m，進而利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】解：原式＝2m（4m2﹣n2）

＝2m（2m+n）（2m﹣n）．

故答案為：2m（2m+n）（2m﹣n）．

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式分解因

式是解題關(guān)鍵．

13．【分析】由S△ABC＝18、S△A′EF＝8且AD為BC邊的中線知S△A′DE＝S△A′EF＝4，S△

2

ABD＝S△ABC＝9，根據(jù)△DA′E∽△DAB知（）＝，據(jù)此求解可得．

【解答】解：如圖，

第4頁（共14頁）

∵S△ABC＝18、S△A′EF＝8，且AD為BC邊的中線，

∴S△A′DE＝S△A′EF＝4，S△ABD＝S△ABC＝9，

∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，

∴A′E∥AB，

∴△DA′E∽△DAB，

則（）2＝，即（）2＝，

解得A′D＝2（負值舍去），

故答案為：2．

【點評】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的

性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．

14．【分析】如圖，連接BC，證明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得結(jié)論．

【解答】解：如圖，連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，

∴∠D＝∠ABC＝62°，

故答案為：62．

【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．

15．【分析】由正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定方法，銳角的正切，三角形的面積公式即

可解決問題．

【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝DC，

由題意知：BM＝BA，CM＝CD，

∴BM＝CM＝BC，

∴△BCM是等邊三角形，

∴∠MBC＝∠MCB＝60°，

∵EF∥BC，

∴∠MFE＝∠MCB＝60°，

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∴∠MEF＝∠MBC＝60°，

∴∠MEF＝∠MFE＝∠FME，

∴△MEF是等邊三角形，

∴MF＝FE，

故①正確；

∵∠DCM＝∠BCD﹣∠MCB＝90°﹣60°＝30°，

∵CD＝CM，

∴∠CDM＝∠CMD＝75°，

∴∠FDM＝∠ADC﹣∠CDM＝90°﹣75°＝15°，

∵∠MBH＝∠MBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，

∴∠FDM＝∠MBH，

∵∠BMH＝∠MFE＝60°，

∴△FMD∽△MHB，

故②正確；

令DF＝a，

∵∠DCF＝30°，∠FDC＝90°，

∴FC＝2a，CM＝CD＝a，

∴FM＝FC﹣CM＝2a﹣a，

S△FMD：S△CMD＝FM：CM＝（2a﹣）：a＝，

故③錯誤；

∵∠BHC＝∠HCD+∠HDC＝45°+30°＝75°，

∴∠CDM＝∠BHC，

作MN⊥CD于N，

令MN＝x，

∴MC＝DC＝2x，CN＝x，

∴DN＝CD﹣CN＝2x﹣x，

∴tan∠MDN＝＝＝2+，

∴tan∠BHC＝2+．

故④正確．

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故答案為：①②④．

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟

練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共8小題，16-18題每題8分，19-21題每題9分，22-23題每題12分，

共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16．【分析】分別根據(jù)零指數(shù)冪的運算法則、特殊角的三角函數(shù)值及數(shù)的開方法則計算出各

數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可．

【解答】解：原式＝1+4×﹣2

＝1+2﹣2

＝2﹣1．

【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟知零指數(shù)冪的運算法則、特殊角的三角函數(shù)值及

數(shù)的開方法則是解題的關(guān)鍵．

17．【分析】過點C作CE⊥BA于E，設(shè)EC＝xm，BE＝y(tǒng)m，由題意可構(gòu)建方程組求出x，y，

再由勾股定理即可解決問題．

【解答】解：過點C作CE⊥BA于E，如圖所示：

設(shè)EC＝xm，BE＝y(tǒng)m，

在Rt△ECB中，tan53°＝，

即≈，

∴x≈y，

在Rt△AEC中，tan37°＝，

即≈，

∴≈，

解得：y≈135，x≈180，

∴AE≈105+135＝240（m），

∴AC＝≈＝300（m），

答：南門A與觀景亭C之間的距離約為300m．

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【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔

助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用方程思想解決問題．

18．【分析】（1）由CF∥AB，得∠DAE＝∠CFE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”

證明△ADE≌△FCE，得AE＝EF；

（2）由AD＝FC，AD＝BD，得FC＝BD，可證明四邊形BDCF是平行四邊形，由∠ACB

＝90°，AD＝BD，得CD＝BD＝AB，即可證明四邊形BDCF是菱形．

【解答】證明：（1）∵CF∥AB，

∴∠DAE＝∠CFE，

∵E是CD的中點，

∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴AE＝EF；

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AD＝FC，

∵AD＝BD，

∴FC＝BD，

∵FC∥BD，

∴四邊形BDCF是平行四邊形，

∵∠ACB＝90°，AD＝BD，

∴CD＝BD＝AB，

∴四邊形BDCF是菱形．

【點評】此題考查菱形的判定與性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等

知識是解題的關(guān)鍵．

19．【分析】（1）由A類的人數(shù)除以所占百分比即可求解；

（2）由接種B類疫苗的人數(shù)除以此次抽樣調(diào)查的人數(shù)得出此次抽樣調(diào)查的人數(shù)所占的百

第8頁（共14頁）

分比，再由此次抽樣調(diào)查的人數(shù)乘以接種C類疫苗的人數(shù)所占的百分比即可；

（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結(jié)果，恰好抽到一男和一女的結(jié)果有12種，再由概

率公式求解即可．

【解答】解：（1）此次抽樣調(diào)查的人數(shù)為：20÷10%＝200（人）；

（2）接種B類疫苗的人數(shù)的百分比為：80÷200×100%＝40%，

接種C類疫苗的人數(shù)為：200×15%＝30（人）；

（3）畫樹狀圖如下：

共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到一男和一女的結(jié)果有12種，

∴恰好抽到一男和一女的概率為＝．

【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．樹狀圖法可以

不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意

此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

20．【分析】（1）把點B（﹣4，n）代入y＝x+2得到B（﹣4，﹣2），把B（﹣4，﹣2）代入

，求得k＝8，于是得到結(jié)論；

（2）在第一象限寫出一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方的x的值即可；

（3）解方程組得到A（2，4），根據(jù)勾股定理得到OA＝2，當OA＝OP時，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）∵點B（﹣4，n）在y＝x+2上，

∴n＝﹣2，

∴B（﹣4，﹣2），

∵B（﹣4，﹣2）在上．

∴k＝8，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；

（2）當0，觀察圖象可知x的取值范圍為：x＞2時，

故答案為：x＞2；

第9頁（共14頁）

（3）解得或，

∴A（2，4），

∴OA＝＝2，

當OA＝OP＝2時，

∴P（﹣2，0）；

∴S△AOP＝×4＝4，

故答案為：4．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的

判定，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．

21．【分析】（1）連接OC，根據(jù)∠ACB＝90°，可證∠PCB+∠OCB＝90°，則OC⊥PC，

且OC是半徑，即可證明；

（2）首先證明△PCB∽△PAC，得PC2＝PB?PA，再由∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝

45°+∠PCB，得∠CEB＝∠PCE，則有PC＝PE，從而證明結(jié)論．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠ABC＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵∠BDC＝∠CAB，∠PCB＝∠BDC，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，

∴OC⊥PC，

∵OC是半徑，

∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∴PC2＝PB?PA，

∵CD平分∠ACB，

第10頁（共14頁）

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∵∠CEB＝∠CAB+45°，∠PCE＝45°+∠PCB，

∴∠CEB＝∠PCE，

∴PC＝PE，

∴PE2＝PB?PA．

【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定

與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

22．【分析】（1）當A、B、P三點共線，且點P在線段AB上時，BP有最小值；

（2）點P是△BEF的內(nèi)心，故有，利用三角形內(nèi)角

和定理即可求解；

（3）如圖，作△APB的外接圓⊙Q，連接AQ，BQ，CQ，過Q作QM⊥CB，交CB的延

長線于M，設(shè)⊙Q的半徑為r，由（1）可知CP的最小值為：CQ﹣r，由（2）易證優(yōu)弧

所對的圓周角為270°，即∠AOB＝90°，結(jié)合已知解直角三角形△QAB得；

同理求出QM和CQ即可解決．

【解答】解：（1）當A、B、P三點共線，且點P在線段AB上時，BP有最小值，BP最

小值為：

BP＝AB﹣PA＝2.5﹣1＝1.5，

故答案為：1.5；

（2）∵EF⊥AB，

∴∠EFB＝90°，

∴∠FEB+∠FBE＝90°，

∵點P是△BEF的內(nèi)心，

∴，

∴

＝，

∴∠BPE＝180°﹣（∠PEB+∠PBE）

＝180°﹣45°

＝135°；

第11頁（共14頁）

（3）如圖，作△APB的外接圓⊙Q，連接AQ，BQ，CQ，

過Q作QM⊥CB，交CB的延長線于M，

設(shè)⊙Q的半徑為r，

由（1）可知CP的最小值為：CQ﹣r，

∵點P是△BEF的內(nèi)心，

∴∠PBE＝∠PBA，

∵BE＝BA，BP＝BP，

∴△PBE≌△PBA，

∴∠BPE＝∠BPA＝135°，

∴優(yōu)弧所對的圓周角為270°，

∴∠AQB＝90°，

又∵QA＝QB，AB＝6，

∴△QAB是等腰直角三角形，

∴∠QBA＝45°，

∵QA2+QB2＝AB2＝2QA2＝36，

∴，

由作圖可知∠M＝90°，∠QBA＝45°，

∴QM＝BM，

∵QM2+BM2＝BQ2＝2QM2＝18，

∴QM＝3，

∴，

故CP的最小值為：．

【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和、內(nèi)心及角平分線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、

解直角三角形；解題的關(guān)鍵掌握內(nèi)心的概念，構(gòu)造三角形外接圓模型．

23．【分析】（1）由頂點為D（1，8）得拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+8，把點C（0，6）

代入即可求解；

（2）由待定系數(shù)法得直線BC的解析式為y＝﹣2x+6，設(shè)點M的坐標為（m，﹣2m+6）

（0＜m＜3），過點M作MN⊥y軸于點