專題05 二次函數圖像與系數的關系型問題（中考數學特色專題訓練卷）（解析版）

專題05二次函數圖像與系數的關系型問題（中考數學特色專題訓練卷）1．（2021?攀枝花）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為x=-12，且經過點（﹣2，A．bc＜0 B．a＝b C．當x1＞x2≥-12時，y1＞y2 D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜【思路點撥】根據函數圖象和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解題過程】解：由圖象可得，b＞0，c＜0，則bc＜0，故選項A正確；∵該函數的對稱軸為x=-1∴?b2化簡得b＝a，故選項B正確；∵該函數圖象開口向上，該函數的對稱軸為x=-1∴x≥-12時，y隨當x1＞x2≥-12時，y1＞y2，故選項∵圖象的對稱軸為x=-12，且經過點（﹣2，∴圖象與x軸另一個交點為（1，0），不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜1，故選項D錯誤；故選：D．2．（2021?畢節(jié)市）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c開口向上，與x軸的一個交點為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．下列結論錯誤的是（）A．abc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0【思路點撥】利用函數圖象的開口，與y軸交點坐標，和對稱軸，分別判斷出a，b，c的正負，可以判斷出A選項，由拋物線與x軸交點個數，可以判斷Δ＝b2﹣4ac的正負，可以判斷出B選項，又當x＝2時，y＝4a+2b+c，根據圖象可以判斷C選項，由對稱軸為x＝1，可以判斷D選項．【解題過程】解：由圖象可得，拋物線開口向上，故a＞0，由于拋物線與y軸交點坐標為（0，c），由圖象可得，c＜0，對稱軸為x=-b∴-b∴b＝﹣2a，∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故A選項正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故B選項正確；由圖象可得，當x＝2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故C選項錯誤；∵拋物線的對稱軸為x＝1，∴-b∴2a+b＝0，故D選項正確，故選：C．3．（2021?涼山州）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中不正確的是（）A．abc＞0 B．函數的最大值為a﹣b+c C．當﹣3≤x≤1時，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0【思路點撥】利用拋物線開口方向得到a＜0，根據拋物線的對稱性得到b＝2a＜0，根據拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對A進行判斷；利用二次函數的最值問題可對B進行判斷；利用拋物線與x軸的交點與圖象可對C進行判斷；利用x＝﹣2，y＞0可對D進行判斷．【解題過程】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2∴b＝2a＜0，∵拋物線與y軸的交點坐標在x軸上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以A不符合題意；當x＝﹣1時，函數的最大值為：a?（﹣1）2+b?（﹣1）+c＝a﹣b+c，故B不符合題意；由圖可知，拋物線與x軸的另一交點為（﹣3，0），所以﹣3≤x≤1時，y≥0，故C不符合題意；當x＝﹣2時，y＞0，所以，a?（﹣2）2+b?（﹣2）+c＞0，即4a﹣2b+c＞0，故D符合題意，故選：D．4．（2021?株洲）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，點P在x軸的正半軸上，且OP＝1，設M＝ac（a+b+c），則M的取值范圍為（）A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0【思路點撥】法一：由圖象得x＝1時，y＜0即a+b+c＜0，當y＝0時，得拋物線與x軸有兩個交點，x1x2=ca＜0法二：根據拋物線開口方向和與y軸交點位置確定a，c的取值范圍，結合函數圖象，當x＝1時，函數值為負，求得a+b+c＜0，從而求解．【解題過程】解：方法一：∵OP＝1，P不在拋物線上，∴當拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），x＝1時，y＝a+b+c＜0，當拋物線y＝0時，得ax2+bx+c＝0，由圖象知x1x2=ca∴ac＜0，∴ac（a+b+c）＞0，即M＞0，方法二：∵拋物線開口向下，∴a＜0；∵與y軸的交點在正半軸，∴c＞0；由圖象觀察知，當x＝1時，函數值為負，即a+b+c＜0，∴M＝ac（a+b+c）＞0．故選：D．5．（2021?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）經過點（﹣1，﹣1），（0，1），當x＝﹣2時，與其對應的函數值y＞1．有下列結論：①abc＞0；②關于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個不等的實數根；③a+b+c＞7．其中，正確結論的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】①當x＝0時，c＝1，由點（﹣1，﹣1）得a＝b﹣2，由x＝﹣2時，與其對應的函數值y＞1可得b＞4，進而得出abc＞0；②將a＝b﹣2，c＝1代入方程，根據根的判別式即可判斷；③將a＝b﹣2，c＝1代入a+b+c，求解后即可判斷．【解題過程】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）經過點（﹣1，﹣1），（0，1），∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1，∴a＝b﹣2，∵當x＝﹣2時，與其對應的函數值y＞1．∴4a﹣2b+1＞1，∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4，∴a＝b﹣2＞0，∴abc＞0，故①正確；②∵a＝b﹣2，c＝1，∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0，∴Δ＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16，∵b＞4，∴Δ＞0，∴關于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個不等的實數根，故②正確；③∵a＝b﹣2，c＝1，∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1，∵b＞4，∴2b﹣1＞7，∴a+b+c＞7．故③正確；故選：D．6．（2021?丹東）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c=-12，a﹣b+c=-32．判斷下列結論：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③拋物線與x軸正半軸必有一個交點；④當2≤x≤3時，y最?。?a；⑤該拋物線與直線y＝A．2 B．3 C．4 D．5【思路點撥】由題意易知b=12，c＝﹣1﹣a，則有c＜0，進而可判定①②；當x＝1時，則y＝a+b+c=-12，當x＝﹣1時，則有y＝a﹣b+c=-32，然后可判定③；由題意可知拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=-14a【解題過程】解：∵a+b+c=-12，a﹣b+c∴兩式相減得b=12，兩式相加得c＝﹣1﹣∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正確；∴2a+2b+c＝2a+2×12-1﹣a＝a＞0∵當x＝1時，則y＝a+b+c=-12，當x＝﹣1時，則有y＝a﹣b+c∴當y＝0時，則方程ax2+bx+c＝0的兩個根一個小于﹣1，一個根大于1，∴拋物線與x軸正半軸必有一個交點，故③正確；由題意知拋物線的對稱軸為直線x=-b∴當2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x＝2時，有最小值，即為y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正確；聯立拋物線y＝ax2+bx+c及直線y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：ax∴Δ=1∴該拋物線與直線y＝x﹣c有兩個交點，故⑤正確；∴正確的個數有5個；故選：D．7．（2021?荊門）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）開口向下且過點A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列結論：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則4ac﹣b2＜4a．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點撥】根據題意得出x＝﹣2時函數值的符號和x＝1時函數的值，以及頂點的縱坐標即可得出答案．【解題過程】解：根據題意得a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，當x＝﹣2時，有4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，∴2a+c＜0，∴②正確，由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，∴2（﹣a﹣c）+c＞0，∴2b+c＞0，∴①正確，若a（m+1）﹣b+c＞0，則a﹣b+c＞﹣am，取x＝﹣1，則y＝a﹣b+c＞0，又∵拋物線開口向下，∴a＜0，m＜0，∴﹣am＜0∴﹣am＜a﹣b+c，即a（m+1）﹣b+c＞0成立，∴③正確，若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個不相等的實數根，即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有兩個不相等的實數根，∴頂點的縱坐標4ac∵a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，∴④正確，故選：A．8．（2020?廣安）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象頂點的坐標為（2，1），與x軸的一個交點在點（3，0）和點（4，0）之間，有下列結論：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m為任意實數）．其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路點撥】①拋物線的開口方向，對稱軸以及與y軸的交點即可判斷；②根據x＝﹣1時，y＜0，即可判斷．③根據對稱軸x=-b2③根據拋物線與x軸有兩個交點，可知Δ＞0，即可判斷．④根據拋物線的頂點坐標為（2，1），函數有最大值，由此即可判斷．【解題過程】解：由圖象可知，拋物線開口向下，對稱軸在y軸的右側，與y軸的交點在y軸的負半軸，∴a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＞0，故①錯誤；由圖象可知，x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②錯誤；∵拋物線的頂點坐標為（2，1），∴-b2a=2，b∵4a+2b+c＝1，∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正確．∵拋物線的開口向下，頂點坐標為（2，1），∴am2+bm+c≤1（m為任意實數），故⑤正確．故選：B．9．（2020?鄂州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0）和B，與y軸交于點C．下列結論：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正確的結論個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸求出2a與b的關系．【解題過程】解：①∵由拋物線的開口向上知a＞0，∵對稱軸位于y軸的右側，∴b＜0．∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c＜0，∴abc＞0；故錯誤；②對稱軸為直線x=-b2a＜1，得2a＞﹣b，即2a+故錯誤；③如圖，當x＝﹣2時，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正確；④∵當x＝﹣1時，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正確．綜上所述，有2個結論正確．故選：B．10．（2020?恩施州）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣2，0）、B（1，0）兩點．則以下結論：①ac＞0；②二次函數y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正確的有（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】根據拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及過特殊點時系數a、b、c滿足的關系綜合判斷即可．【解題過程】解：對于①：二次函數開口向下，故a＜0，與y軸的交點在y的正半軸，故c＞0，故ac＜0，因此①錯誤；對于②：二次函數的圖象與x軸相交于A（﹣2，0）、B（1，0），由對稱性可知，其對稱軸為：x=-2+1對于③：設二次函數y＝ax2+bx+c的交點式為y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比較一般式與交點式的系數可知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，因此③正確；對于④：當x＝﹣1時對應的y＝a﹣b+c，觀察圖象可知x＝﹣1時對應的函數圖象的y值在x軸上方，故a﹣b+c＞0，因此④正確．∴只有③④是正確的．故選：C．11．（2020?濱州）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）如圖所示，小明同學得出了以下結論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實數），⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大．其中結論正確的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路點撥】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解題過程】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵-b2∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；②∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當x＝2時，y＝4a+2b+c＜0，故③錯誤；④當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當x＝1時，y取到值最小，此時，y＝a+b+c，而當x＝m時，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故⑥錯誤，故選：A．12．（2020?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，下列結論：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【思路點撥】根據拋物線的開口方向、對稱軸、與坐標軸的交點判定系數符號及運用一些特殊點解答問題．【解題過程】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，根據拋物線的對稱軸在y軸右邊可得：a，b異號，所以b＞0，根據拋物線與y軸的交點在正半軸可得：c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故②正確；∵直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，所以-b2a=1，可得b由圖象可知，當x＝﹣2時，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正確；由圖象可知，當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，兩式相加得，5a+b+2c＞0，故④正確；∴結論正確的是②③④3個，故選：B．13．（2020?湘西州）已知二次函數y＝ax2+bx+c圖象的對稱軸為x＝1，其圖象如圖所示，現有下列結論：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正確的是（）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【思路點撥】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解題過程】解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①錯誤；②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②錯誤；③當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，故③錯誤；④當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，而當x＝n時，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正確；⑤當x＝3時函數值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且該拋物線對稱軸是直線x=-b2a=1，即a=-b2，代入得9（-b2）+3b+c＜0，得故④⑤正確．故選：D．14．（2021?煙臺）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．下列結論：①ac＞0；②當x＞0時，y隨x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由圖象可知，函數圖象開口向下，所以a＜0，可得b和c的符號，及a和c的數量關系；由函數解析式可得拋物線對稱軸為直線：x=-b2a=1，根據函數的增減性和最值，可判斷【解題過程】解：把點A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c，可得二次函數的解析式為：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵該函數圖象開口方向向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，∴ac＜0，3a+c＝0，①錯誤，③正確；∵對稱軸為直線：x=-b2∴x＜1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而減?。虎阱e誤；∴當x＝1時，函數取得最大值，即對于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正確．綜上，正確的個數有2個，故選：B．15．（2020?資陽）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，其中點A在點（3，0）的右側，直線y=-12x+c經過A、B兩點．給出以下四個結論：①b＞0；②c＞32；③3a+2b+c＞0；④-A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【思路點撥】根據拋物線開口方向和對稱軸即可判斷①；把A（3，0）代入y=-12x+c，求得c的值，即可判斷②；由3a+2b+c整理得到3a﹣4a+c＝﹣a+c即可判斷③；根據圖象即可判斷【解題過程】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵-b2∴b＝﹣2a＞0，故①正確；∵直線y=-12x+c經過點A，點A在點（3，∴-12×3+c∴c＞32，故∵a＜0，c＞0，b＝﹣2a，∴3a+2b+c＝3a﹣4a+c＝﹣a+c＞0，故③正確；由圖象可知，當x＝3時，9a+3b+c＞-3∴9a+3b＞-∴3a＞-∴a＞-∴-12＜a＜0故選：D．16．（2020?日照）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m為任意實數，則有a﹣bm≤am2+b；④若圖象經過點（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|），則2x1﹣x2＝5．其中正確的結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【思路點撥】由圖象可知a＜0，c＞0，由對稱軸得b＝2a＜0，則abc＞0，故①錯誤；當x＝1時，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，得②正確；由x＝﹣1時，y有最大值，得a﹣b+c≥am2+bm+c，得③錯誤；由題意得二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2的一個交點為（﹣3，﹣2），另一個交點為（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，進而得出④正確，即可得出結論．【解題過程】解：由圖象可知：a＜0，c＞0，-b∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0錯誤；當x＝1時，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正確；∵x＝﹣1時，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m為任意實數），即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③錯誤；∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經過點（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|），∴二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2的一個交點為（﹣3，﹣2），∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴二次函數y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2的另一個交點為（1，﹣2），即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正確．所以正確的是②④；故選：C．17．（2021?棗莊）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=12，且經過點（2，0）．下列說法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（-12，y1），（52，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；⑤14b+c＞m（am+b）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路點撥】拋物線開口向下，且交y軸于正半軸及對稱軸為x=12，推導出a＜0，b＞0、c＞0以及a與b之間的關系：b＝﹣a；根據二次函數圖象經過點（2，0），可得出0＝4a+2b+c；再由二次函數的對稱性，當a＜0時，距離對稱軸越遠x所對應的y越小；由拋物線開口向下，對稱軸是x=12，可知當x【解題過程】解：∵拋物線開口向下，且交y軸于正半軸，∴a＜0，c＞0，∵對稱軸x=-b2a=1∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（2，0），∴0＝4a+2b+c，故③不正確；又可知b＝﹣a，∴0＝﹣4b+2b+c，即﹣2b+c＝0，故②正確；∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x=12，且12-(-∴y1＞y2，故選④不正確；∵拋物線開口向下，對稱軸是x=1∴當x=12時，拋物線y取得最大值ymax當x＝m時，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且m≠1∴ymax＞ym，故⑤正確，綜上，結論①②⑤正確，故選：B．18．（2020?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于A，B兩點，與y軸負半軸交于點C．若點B（4，0），則下列結論中，正確的個數是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）與N（x2，y2）是拋物線上兩點，若0＜x1＜x2，則y1＞y2；④若拋物線的對稱軸是直線x＝3，m為任意實數，則a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，則4b+3c＞0．A．5 B．4 C．3 D．2【思路點撥】根據圖象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判斷①；再由圖象可得對稱軸在直線x＝2右側，可得-b2a＞2，可判斷②；再根據二次函數在y軸右側時的增減性，判斷③；根據拋物線對稱軸為直線x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判斷④；最后根據AB≥3，則點A的橫坐標大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由當x＝4時，得出16a+4b+c＝0，變形為a=4b+c-16【解題過程】解：如圖，拋物線開口向下，與y軸交于負半軸，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，c＜0，-b2a＞0，∴abc＞0，故①正確；如圖，∵拋物線過點B（4，0），點A在x軸正半軸，∴對稱軸在直線x＝2右側，即-b∴2+b2a=4a+b2a＜0，又a∵M（x1，y1）與N（x2，y2）是拋物線上兩點，0＜x1＜x2，可得：拋物線y＝ax2+bx+c在0＜x＜-b在x＞-b2a∴y1＞y2不一定成立，故③錯誤；若拋物線對稱軸為直線x＝3，則-b2a=3，即b則a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正確；∵AB≥3，則點A的橫坐標大于0或小于等于1，當x＝1時，代入，y＝a+b+c≥0，當x＝4時，16a+4b+c＝0，∴a=4則4b+c-16+b+c≥0，整理得：4b+5c≥0，則4b+3﹣2c＞0，∴4b+3c＞0，故⑤正確，故正確的有4個．故選：B．19．（2021?齊齊哈爾）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，結合圖象給出下列結論：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m為任意實數）．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】①將（1，0）代入二次函數y＝ax2+bx+c可對①進行判斷；②根據開口方向和與y軸的交點位置可得a＞0，c＜0，根據拋物線的對稱軸方程得到-b2a=-③利用二次函數的對稱性可對③進行判斷；④因為拋物線開口向上，離對稱軸越遠，函數值越大，可對④進行判斷；⑤根據二次函數的性質，根據x＝﹣1時y有最小值可對⑤進行判斷．【解題過程】解：①∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個交點坐標為（1，0），∴a+b+c＝0，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2∴b＝2a，∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，∴a＞0，c＜0，∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，故②正確；③由對稱得：拋物線與x軸的另一交點為（﹣3，0），∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1，故③正確；④∵對稱軸為直線x＝﹣1，且開口向上，∴離對稱軸越近，y值越小，∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，點（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數圖象上，∴y2＜y1＜y3，故④不正確；⑤∵x＝﹣1時，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m為任意實數），∴a﹣b≤m（am+b），故⑤不正確．所以正確的結論有①②③，共3個．故選：C．20．（2021?鄂州）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經過點（﹣1，0），其對稱軸為直線x＝1．①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③8a+c＜0；④若拋物線經過點（﹣3，n），則關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，5．上述結論中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】由已知條件得出：a＜0，-b2a=1，c＞0，a﹣b+【解題過程】解：∵拋物線的開口向下，∴a＜0．∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴-b∴b＝﹣2a，b＞0．∵拋物線經過點（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．①∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0．故①正確；②∵b＝﹣2a，∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．故②錯誤；③∵a﹣b+c＝0，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．故③正確；④∵拋物線經過點（﹣3，n），其對稱軸為直線x＝1，∴根據對稱性，拋物線必經過點（5，n），∴當y＝n時，x＝﹣3或5．∵y＝ax2+bx+c（a≠0），∴當ax2+bx+c＝n（a≠0）時，x＝﹣3或5．即關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3，5．故④正確；綜上，正確的結論有：①③④．故選：C．21．（2021?恩施州）如圖，已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣1，m），則以下結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，則x≤﹣2或x≥0；④b+c=12A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】①由拋物線的開口方向、對稱軸以及與y軸的交點，可得a、b、c的符號，進而可得abc的符號，結論①錯誤；②由拋物線與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣1，m），可判斷出拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，結論②正確；③由題意可知對稱軸為：直線x＝﹣1，即-b2a=-1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化簡得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并計算可得b=-12m，由對稱軸可得b＝2a，∴a=-14m，由a+b+c＝0可得c=3【解題過程】解：①∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸左邊，與y軸交于負半軸，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故結論①錯誤；②∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣3，0），頂點是（﹣1，m），∴拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），∵拋物線開口向上，∴當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，故結論②正確；③由題意可知對稱軸為：直線x＝﹣1，∴x=-b∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴當y≥c，則x≤﹣2或x≥0，故結論③正確；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b=-1∵b＝2a，∴a=-1∵拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），∴a+b+c＝0，∴c=3∴b+c=-1故選：B．22．（2021?達州）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點（2，0），且對稱軸為直線x=12，有下列結論：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④無論a，b，c取何值，拋物線一定經過（c2a，0）；⑤4am2+4bmA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】由題意得到拋物線的開口向上，對稱軸-b2a=12，判斷a，b與0的關系，根據拋物線與y軸交點的位置確定c與0的關系，從而得到根據拋物線對稱軸方程可得a+b＝0，即可判斷②；根據拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣2，0）以及c＜0，得到4a+2b+3c＜0，即可判斷③；先根據a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根據對稱性可知：拋物線過（﹣1，0），即可判斷④；根據b＝﹣a，把b換成﹣a，提公因式，分解因式，根據平方的非負性即可判斷⑤．【解題過程】解：①∵拋物線的對稱軸為直線x=12，即對稱軸在∴ab＜0，∵拋物線與y軸交在負半軸上，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線x=1∴-b∴﹣2b＝2a，∴a+b＝0，故②不正確；③∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵c＜0，∴4a+2b+3c＜0，故③正確；④由對稱得：拋物線與x軸另一交點為（﹣1，0），∵a+∴c＝﹣2a，∴c2a∴當a≠0，無論b，c取何值，拋物線一定經過（c2a，故④正確；⑤∵b＝﹣a，∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，∵a＞0，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，故⑤正確；本題正確的有：①③④⑤，共4個．故選：D．23．（2020?丹東）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A坐標為（﹣1，0），點C在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點），拋物線的頂點為D，對稱軸為直線x＝2．有以下結論：①abc＞0；②若點M（-12，y1），點N（72，y2）是函數圖象上的兩點，則y1＜y2；③-35＜A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】由-b2a=2，得b＝﹣4a，由點A坐標與點C坐標得a﹣b+c＝0，2＜c＜3，由二次函數圖象可知a＜0，則b＞0，得出abc＜點N（72，y2）關于對稱軸x＝2的對稱點為（12，y2），12＞-12，y隨x的增大而增大，則y由b=-4aa-b+c易求AB＝6，DA＝DB，則△ADB是等腰三角形，如果△ADB是等腰直角三角形，則點D到AB的距離等于12AB＝3，則a-b+c=0b=-4a3=4a+2b+c，求出二次函數解析式為y=-13x2+43x+53，當x【解題過程】解：∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為：x=-b∴-b2∴b＝﹣4a，∵點A坐標為（﹣1，0），點C在（0，2）與（0，3）之間，且都在拋物線上，∴a﹣b+c＝0，2＜c＜3，由二次函數圖象可知，a＜0，∴b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①不正確；∵點N（72，y2）關于對稱軸x＝2的對稱點為（12，y2），12＞-∴y1＜y2，故②正確；∵b=-4解得：-35＜故③正確；∵拋物線的頂點為D，對稱軸為直線x＝2，∴點A與點B關于直線x＝2對稱，點D在直線x＝2上，∴AB＝6，DA＝DB，∴△ADB是等腰三角形，如果△ADB是等腰直角三角形，則點D到AB的距離等于12AB＝3，即D（2，3則a-解得：a=-∴二次函數解析式為：y=-13x2+4當x＝0時，y=53，與點C在（0，2）與（0，∴△ADB不可能是等腰直角三角形，故④不正確；∴正確的有2個，故選：B．24．（2021?日照）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，其圖象如圖所示．下列結論：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是拋物線上的兩點，則當|x1+1|＞|x2+1|時，y1＜y2；④拋物線的頂點坐標為（﹣1，m），則關于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1無實數根．其中正確結論的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路點撥】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與y軸交點位置判斷a，b，c符號．②把x＝±2分別代入函數解析式，結合圖象可得（4a+c）2﹣（2b）2的結果符號為負．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠的點y值越大．④由拋物線頂點縱坐標為m可得ax2+bx+c≥m，從而進行判斷ax2+bx+c＝m﹣1無實數根．【解題過程】解：①∵拋物線圖象開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在直線y軸左側，∴a，b同號，b＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，故①正確．②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），當x＝2時ax2+bx+c＝4a+c+2b，由圖象可得4a+c+2b＞0，由圖象知，當x＝﹣2時，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由圖象可得4a+c﹣2b＜0，∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正確．③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，∵|x1+1|＞|x2+1|，∴點（x1，y1）到對稱軸的距離大于點（x2，y2）到對稱軸的距離，∴y1＞y2，故③錯誤．④∵拋物線的頂點坐標為（﹣1，m），∴y≥m，∴ax2+bx+c≥m，∴ax2+bx+c＝m﹣1無實數根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．25．（2021?隨州）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸在y軸右側，拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸的負半軸交于點C，且OB＝2OC，則下列結論：①a-bc＞0；②2b﹣4ac＝1；③a=14；④當﹣1＜b＜0時，在x軸下方的拋物線上一定存在關于對稱軸對稱的兩點M，N（點M在點A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】首先根據函數圖象可判斷a，b，c的符號，a＞0，b＜0，c＜0，從而可判斷①錯誤；由OB＝2OC可推出點B（﹣2c，0）代入解析式化簡即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點A（﹣2，0）和點B（﹣2c，0），再結合韋達定理可得x1?x2=ca=（﹣2）×（﹣2c）＝4c，可得a=14，即可判斷③正確；根據a=14，2b﹣4ac＝1，可得c＝2b﹣1，從而可得拋物線解析式為y=14x2+bx+（2b﹣1），頂點坐標為（﹣2b，﹣b2+2b﹣1），繼而可求得A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．所以對稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對稱性可知，∠APB＝90°，且點P一定在對稱軸上，則△APB為等腰直角三角形，PQ＝PQ=12AB=2﹣2b，得P（﹣2b，2b﹣2），且2b﹣2＞﹣b2+2b【解題過程】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（﹣2c，0）．由圖象可知，a＞0，b＜0，c＜0．①：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴a-bc②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac﹣2b+1＝0，即2b﹣4ac＝1，故②正確；③：∵拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（﹣2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c為相應的一元二次方程的兩個根，由韋達定理可得：x1?x2=ca=（﹣2）×（﹣2c）＝∴a=14．故④：如圖，∵a=14，2b﹣4ac＝∴c＝2b﹣1．故原拋物線解析式為y=14x2+bx+（2b﹣1），頂點坐標為（﹣2b，﹣b2+2b﹣∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．∴對稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對稱性可知，∠APB＝90°，且點P一定在對稱軸上，∵△APB為等腰直角三角形，∴PQ=12AB=12[2﹣4b﹣（﹣2）]∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，這與﹣1＜b＜0矛盾，故④錯誤．綜上所述，正確的有②③，一共2個，故選：B．26．（2021?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為（1，n），與x軸的一個交點B（3，0），與y軸的交點在（0，﹣3）和（0，﹣2）之間．下列結論中：①abc＞0；②﹣2＜b＜-53；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】①②根據二次函數圖象開口方向，對稱軸可求得a，b符號和關系，與y軸交點判斷c的取值范圍，③利用當x為1，﹣1時，y對應的值進行判斷對錯，④依據頂點坐標可以判斷出系數與n關系式．【解題過程】解：①∵函數圖象開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在y軸右側，a與b異號，∴b＜0，∵函數圖象與y軸交負半軸，∴c＜0，故abc②∵頂點坐標（1，n），對稱軸x=-b2∴b＝﹣2a＜0，a=-b∴B點（3，0）關于對稱軸x＝1對稱點為（﹣1，0），∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，得c=32∵﹣3＜c＜﹣2，∴﹣3＜32∴﹣2＜b＜-③當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正確．④當x＝1，時，y＝a+b+c＝n，∵a=-b2，c=∴n＝2b，∴2c﹣a=7∵b＜0，∴72b＞4b，即2c﹣a＞故選：B．27．（2020?黑龍江）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸為x=12，且經過點（2，0）．下列說法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（-52，y1），（52，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2；⑤14b＞m（amA．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤【思路點撥】①根據拋物線開口向下，可得a＜0，根據拋物線對稱軸為x=-b2a=12，可得b＝﹣a＞0，根據拋物線與y軸的交點在②根據對稱軸為x=12，且經過點（2，0），可得拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），可得ca=-1×2＝﹣2，即c③根據拋物線經過（2，0），可得當x＝2時，y＝0，即4a+2b+c＝0，進而可以判斷；④根據點（-52，y1）離對稱軸要比點（52，y2）離對稱軸遠，可得y1＜⑤根據拋物線的對稱軸x=12，可得當x=12時，y有最大值，即14a+12b+c＞am2+bm+c（其中【解題過程】解：①∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為x=-b∴b＝﹣a＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；②∵對稱軸為x=12，且經過點（2，∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣1，0），∴ca=-1×2＝﹣∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0所以②正確；③∵拋物線經過（2，0），∴當x＝2時，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③錯誤；④∵點（-52，y1）離對稱軸要比點（52，∴y1＜y2，所以④正確；⑤∵拋物線的對稱軸x=1∴當x=12時，∴14a+12b+c＞am2+bm+c（其中∵a＝﹣b，∴14b＞m（am+b）（其中m≠所以⑤正確．所以其中說法正確的是①②④⑤．故選：A．28．（2021?黔東南州