2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（全國乙卷）（理科）（解析版）

2024年高考第一次模擬考試（全國乙卷）（理科）

數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題）

一、選擇題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z（3+4i）=|2幾-“，貝丘=（）

K答案』A

K解析X由z（3+4i）=|2&-i|,得z=J（2府+包5（3-4i）_34.

（3+4i）（3-4i）-5-51

所以-z=3*4i,

故選：A.

2.已知集合4={*|2*>4},3={jceZ|log2X<3},則（JA）CB=（）

A.（0,2）B.（0,2]C.{1,2}D.（1,2]

K答案Xc

K解析》因?yàn)榧?=卜|2'>4}={上>2},所以”={巾42},

3

又5={xeZ|log2x<3}=eZ|0<x<21={1,2,3,4,5,6,7},

所以（\A）c6={l,2}.

故選：C

3.下列條件中，為“關(guān)于X的不等式HU2Tm+1>0對VxeR恒成立，，的充分不必要條件的有

（）

A.0<m<4B.0<m<2C.l<m<6D.-l<m<6

K答案1B

K解析U若關(guān)于％的不等式如2_如+1〉。對VxcR恒成立，

當(dāng)根=0時(shí)，不等式等價(jià)于1〉0恒成立，故機(jī)=0滿足要求,

m＞0

當(dāng)機(jī)wO時(shí)，原不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)《/$＜八，解得。＜機(jī)＜4,

A=-4m＜0

綜上所述，若關(guān)于X的不等式如2_如+1＞0對v%wR恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)0W相＜4,

而選項(xiàng)中只有0〈根＜2是0?機(jī)＜4的充分不必要條件.

故選：B.

.33

4.已知函數(shù)/（"=理3+”二，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

cosxsinx

A.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.兀是函數(shù)/（X）的一個(gè)周期

C.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于直線x、對稱D.當(dāng)xe（0,3時(shí)，〃尤）的最小值為1

[答案工C

[[解析X選項(xiàng)A：易知函數(shù)“X）的定義域?yàn)?尤卜+左ez],

即Jx卜w4eZ>,

3

sin3(-x)cos3(-x)sin3xCOSX

所以/（-尤）==-?。?

cos(-x)sin(-x)cosxsinx

所以/(X)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以A正確.

3H、sin3(x+7i)cos3(x+7i)sin3xcos3x”、

選項(xiàng)B：/r((%+")=-^7+—v\——+--=/(可，

cos(x+7i)sin(x+7i)cosxsinx

所以兀是函數(shù)〃X）的一個(gè)周期，所以B正確.

選項(xiàng)C：根據(jù)“x+兀）=/（%）=—/（—X）,得〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)已。卜寸稱，故C錯(cuò)誤.

?33sin4%+cos4%_(sin2x+cos2x)-2sin2%-cos2%

選項(xiàng)D：/⑴=sm%?cosx

cosxsin%sinx?cosxsinx-cosx

1--sin22x

=----------=---------sin2%.

1.sin2x

—sin2x

2

當(dāng)時(shí)，2XG(O,TI),所以0<sin2xVl,

2

所以/(%)=------sin2x>2-1=1,當(dāng)sin2x=1即x=￡時(shí)，等號(hào)成立,

sin2x

所以“X）的最小值為1,所以D正確.

故選：C.

5.如圖，在矩形ABCD中，已知A3=2AD,E為邊的中點(diǎn).將VADE沿DE翻折成△人2￡，

若加為線段AC的中點(diǎn)，給出下列說法：①翻折到某個(gè)位置，可以使得

AC,平面AOE；②無論怎樣翻折，點(diǎn)M總在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng).則（）.

AEB

A.①和②都正確B.①和②都錯(cuò)誤

C.①正確，②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤，②正確

k答案》D

k解析U對①：假設(shè)AC_L平面AQE,DEu平面ADE,則AC_LDE,

則NDE4=45。，tan/C42=；wl,故AC,OE不垂直，假設(shè)不成立，①錯(cuò)誤;

對②：取8中點(diǎn)。，連接OM,M為線段AC的中點(diǎn)，則

則M在以。為球心，半徑為的球上，②正確；

故選：D.

6.如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、4、4、4是道路

網(wǎng)中位于一條對角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)加、N處的甲、乙兩人分別要到N、M處,

他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N、/處為

止.則下列說法正確的是（）

A.甲從/到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從/必須經(jīng)過為到達(dá)N處的方法有64種

Q1

C.甲、乙兩人在4處相遇的概率為M

400

D.甲、乙兩人相遇的概率為g

k答案1C

k解析UA選項(xiàng)，甲從M到達(dá)N處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走,

則甲從M到達(dá)N處的方法有C：=20種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，甲經(jīng)過4到達(dá)N處，可分為兩步：第一步，甲從/經(jīng)過人需要走3步，

其中1步向右走，2步向上走，方法數(shù)為C；種；

第二步，甲從4到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法數(shù)為C；種，

故甲經(jīng)過4到達(dá)N的方法數(shù)為C；=9種，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，甲經(jīng)過4的方法數(shù)為C；?C；=9種，乙經(jīng)過劣的方法數(shù)也為C；?C；=9種，

...甲、乙兩人在4處相遇的方法數(shù)為C；?C；?C；?C；=81種，

8181

故甲、乙兩人在4處相遇的概率為反？=礪，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在4、4、&、4處相遇，

若甲、乙兩人在A處相遇，甲經(jīng)過4處，則甲的前三步必須向上走，

乙經(jīng)過A處，則乙的前三步必須向左走，兩人在A處相遇的走法種數(shù)為1種；

若甲、乙兩人在4處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為81種;

若甲、乙兩人在4處相遇，甲到4處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走,

乙到4處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走,

兩人在A處相遇的走法種數(shù)為C；C；C；C；=81種；

若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過處,

則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為1種;

1+81+81+141

故甲、乙兩人相遇的概率一氏y礪，D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選：C.

71

7.已知函數(shù)〃了）=5m3l+0）?〉。）.若VxeR,，且“X）在（0㈤上恰

有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（O的取值范圍為（）

3339

A.(0,—]B.(-,-]c(D.(-,-]

42-z24

（答案IB

71

（解析I由得,

fsinl+=1,

所以殳G+°=?+2E,gp=—+2fai--67,

3223

兀C7兀71

/(x)=sin(G%+0)=sin(DXH------F2K7T-----CD=cosCOX------CD

233

71712兀

因?yàn)棰佟?,0<X<7l,------CD<COX-------CO<------CO,

333

因?yàn)椤ㄓ龋┰冢?㈤上恰有1個(gè)零點(diǎn),

3兀,兀71

--------V-------G)<-------

232

所以①，無解,

c2a71

0<——(D<—

32

兀,兀八

——<——0<0

2333

,解得丁腔于

兀2兀，3兀

—<——G)<——

1232

實(shí)數(shù)。的取值范圍為黃，

綜上,

故選：B.

y>x+2

、x+1

8.已知實(shí)數(shù)羽丫滿足*+y4a,其中。=log39Jog28,則實(shí)數(shù)大不■的最小值為（）

%>1"

A.-B.-C.-D.—

57911

（答案》D

k解析U由已知可得，a=log39-log28=6,

y>x+2

則不等式為，x+yW6.

x>l

則k表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與。點(diǎn)連線的斜率.

由圖象可知，直線3。的斜率最小，CD的斜率最大.

x+y—6=0[x=2/、4+-

聯(lián)立「可得，U="所以82,4），3.

y=x+2\%-2+1

2

ex+y—6=0可得J：X=L所以C（L5）,5+-

聯(lián)立11.

。二kcD~1+1-

54

1

所以，=士<口?

2x+14

4,1%+1,2

根據(jù)不等式的性質(zhì)，可知11一人,1一3,

y+一

2

2,x+11x+1,1

——<--------=—x--------<——

_

所以，l「2y+l2v+j_3.

故選：D.

9.如圖，某城市有一條公路從正西方MO通過市中心。后轉(zhuǎn)向東北方ON,為了緩解城市交

通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路并在MOON上分別設(shè)置兩個(gè)出口A,8,若AB部

分為直線段，且要求市中心。與AB的距離為20千米，則A8的最短距離為（）

A.20（夜-1）千米B.40（夜-1）千米

C.20（&+1）千米D.40（夜+1）千米

K答案UD

［解析X在ABC中，ZAOB=135°,

^AO=a,BO=b,

貝|JAB2-a1+b2-2a/?cosl35°=a2+b2+41ab>（2+0）ab,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，

設(shè)=則NABO=45。-”，

20720

又。到A3的距離為20千米，所以。=--,b=—^―v

smasin（43-a）

4001600、1600

故"=7sinasin（45。-a）=2sin（2e+45?^=（。=22.5。時(shí)取等號(hào)）,

所以43?」60°（2j2^）=]600（0+1）2,得AB240（&+1）,故選：D.

10.若函數(shù)"x）=alnx+g+5（ax0）既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（）

A.bc>0B.ab>0

C.b2+8ac>0D.ac<0

K答案》A

K解析工函數(shù)/⑶的定義域?yàn)椋ā?+功，

2

,z./\1bc/日\〃匕2cax-bx-2c

由/⑺=〃ln%+_+T（”0）,得廣⑺=-------=------------，

XXXX2-X5X5

因?yàn)楹瘮?shù)/（%）既有極大值也有極小值，

所以函數(shù)/'（%）在（0,+8）上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而〃wo,

所以方程依2一笈-2c=0有兩個(gè)不等的正根石,無2，

A=b2+8ac>0

b

所以《%+%2=—>。，所以從+Sac>0,>0,tzc<0,

a

2c八

玉“2=---------〉0

、a

所以〃兒<0,即秘<0.故BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：A.

22

11.已知橢圓C:j+2=l（〃>10）的左、右焦點(diǎn)分別為月、尸2,若橢圓。上恰好有6個(gè)

ab

不同的點(diǎn)p,使得月入尸為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

（答案ID

(1)當(dāng)點(diǎn)尸與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△尸￡居是以月月為底邊的等腰三角形,

此時(shí)，有2個(gè)滿足條件的等腰△尸片與；

(2)當(dāng)△尸耳工構(gòu)成以月入為一腰的等腰三角形時(shí)，

則|尸制=忸閶或|P周=閨囚，此時(shí)點(diǎn)尸在第一或第四象限，

由對稱性可知，在每個(gè)象限內(nèi)，都存在一個(gè)點(diǎn)尸，使得△尸月月是以月工為一腰的等腰三角

形，不妨設(shè)點(diǎn)尸(％y)在第一象限，貝卜2=/一1/,其中0<x<a,

a

22222

則娟=J(x+c)2+V-^x+2cx+c+b~~^x=+2cx+a=—x+a=2c，

|Pg|=J(x—c)~+y2=2cx+/+/——%2=J——/—2cx+a2=a—x—2c,

由￡%+Q=2。可得x=四二《，所以，0<2用一，<〃,解得《<e=￡<i,

acc2a

.c_.〃目a2-lac匚匚2八a2-lac立刀加1c1

由Q—%=2?？筛?=-------,所以，0<------------<a9斛何=<e=—<—,

acc3al

綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是］11

故選：D.

12.已知Q,Z?,CW(1,+8)，且e"=9〃lnll,e'=10Z?lnl0,ec=llcln9,則〃也。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.ob>a

K答案ID

eae—pc

K解析U由題知，—=91nll,—=101nl0,—=llln9,

記/(x)=J,xe(l,+oo),貝lj/⑺=(x：)e,

當(dāng)x?l,+?))時(shí)，f\x)>0,單調(diào)遞增,

故比較。，瓦c的大小關(guān)系，只需比較/(a),〃b),〃c)的大小關(guān)系,

即比較91nli,101nl0,llln9的大小關(guān)系,

，己g(x)=(20-x)lnx,x>l,貝|Jg'(x)=_ln尤H-------1

70170

ifi/2(x)=-lnx+——1,則〃(x)=------<0,

XXXr

所以〃(x)在(Ly)上單調(diào)遞減，

2033

又〃⑻=-ln8+——1=——In8V——Ine2<0,

82

所以，當(dāng)xe(8,+oo)時(shí),/z(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(ll)<g(10)<g(9),BP91nll<101nl0<llln9,

所以所以a<b<c.

故選：D

第II卷（非選擇題）

二、填空題

22

13.已知雙曲線事-%=1（。＞0,。＞0）的漸近線與圓f+y2-6x+8=0相切，則雙曲線的離心

率為.

（答案x巫

k解析》圓/+/-6》+8=0即（x-3『+y2=i,圓心為（3,0）,半徑廠=1,

22R

雙曲線三-今=l（a＞0,10）的漸近線方程為》=±與，

故（答案》為：述

14.在一ABC中，過重心G的直線交邊A3于點(diǎn)尸，交邊AC于點(diǎn)。（P、。為不同兩點(diǎn)）,

且逑=4養(yǎng)，AQ=〃AC,則彳+〃的取值范圍為.

K答案H［「同431

11

K解析X由題意/W2V1,

延長AG交8C于。，則。是BC中點(diǎn),

uuin2uuu21uimuumiuuniuum

AG=-AD=-x-(AB+AC)=-AB+-AC,

33233

ULIUUUU一一.，-1,六1*八

又AP=XA5，AQ=JLIAC,所以AG=^yAP+「AQ,

“JjLl

11；

又P,G,Q三點(diǎn)共線，所以7T+丁=1,〃=#T，

343〃32-1

。。X

x+n=ZH---------,

32-1

3幾-1-3彳32(3"2)

設(shè)〃㈤=2+±則尸(2)=1+

3/1—1(34-1)2(32-I)2

199

時(shí)，r（2）＜o(jì),/（㈤遞減，:＜幾＜1時(shí)，r（2）＞o,“㈤遞增,

/au=/（|）=P又A?=AI）=T，即〃㈤m”=|，

43

所以4+〃的取值范圍是1,萬］,

故［答案》為：［4，/3，

15.在二ABC中，AB=5C=|,當(dāng)BC+3AC取最大值時(shí)，AC=

（答案》也

13

K解析』設(shè)BC=a,AC=b，AB=c，

c=石，C=—,

3

a_b

----二2,

sinAsinBsinC

.,.a+3Z7=2sinA+6sin5,

a+3b=2sinA+6sin(A+C),

:.a+3b=2sinA+6sin(A+—),

:.a+3b=5sinA+36cosA，

其中品'

a+3b=2^13sin(A+(p)，c°s°=

2兀

,sin*〉O,cos夕＞0,AG(0,—),

兀i—

當(dāng)A+(p=—+2hl(keZ)時(shí)a+36取最大值2而

a2+/-c2￡

cosC=

lab2

a+3b=25

a2+b2-31，

2ab2

.._7A/13

..b、=瓦=]3'

即AC的值為邁.

13

64

16.已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若該四棱錐體積的最大值為?，則該球的體

積為.

（答案』36兀

k解析工若四棱錐體積最大，需滿足四棱錐底面積最大，并且高也最大，先求底面積最大;

由圖可知：S四邊形A8CD-$AEB+SAED+BEC+DEC

=^EA^Bsinl+g￡A?EDsin(p?1)|EB?ECsin(/2?1)^ED^Csin1

=-EA-EBsinZl+-EA-EDsinZl+-EB-ECsinZl+-ED-ECsinZl

2222

=gEB?(EAEC)sin?1^EDl^EAEC)sin?1

=-EBBCsinl+-￡DBCsinl=-BDBCsin1,

222

若使四邊形面積最大，則四邊形ABCD是正方形，此時(shí)四棱錐是正四棱錐;

所以若四棱錐體積的最大值為5，則此時(shí)四棱錐一定是正四棱錐，并且四棱錐的底面和頂

點(diǎn)一定不在球的大圓同側(cè).

因?yàn)閂=；S/z?一，設(shè)在保證底面是正方形的前提下，

33

設(shè)正方形的邊長是。，四棱錐的高為"，外接球的半徑為R,所以27?.

164

此時(shí)四棱錐的體積為：V=-a2hl—

22

由圖可知：在中，h-R=yjR--a,

整理得：a2=4Rh-2lr,

所以=2/"?即：*?16

令〉=聞2一萬其中尺？62R,所以>416,即ymax=16,

所以弁=2出-鏟,

所以河=2a?-丑2在［R27?）上單調(diào)遞減，

當(dāng)yC=2R/?_|/72=0時(shí)，%=丁,

所以居=2劭-|『在昵心上y>o,在翳2R±y<o,

所以y=在弱心上單調(diào)遞增，在野R,2R上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)〃時(shí)，-R?察2舞”16,即以=27,

44

所以此時(shí)球的體積為。=§兀R3=§兀？27=36兀

故K答案』為：3671.

三、解答題

(一)必考題

17.當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)

展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：

年份201720182019202020212022

編號(hào)X123456

企業(yè)總數(shù)量y(單位：百個(gè))5078124121137352

⑴若用模型y=ae慶擬合>與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出丁與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、

乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽.比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②

每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公

司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”.已知在每場

比賽中，甲勝乙的概率為甲勝丙的概率為g,乙勝丙的概率為若首場由甲乙比賽,

求甲公司獲得“優(yōu)勝公司''的概率.

66

參考數(shù)據(jù)：?=28.5,?必=106.05,其中，%=Iny

Z=1Z=1

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(4%)。=1,2,3,…,77),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線5>=標(biāo)+&的斜率和截距的

^x^-nx-y

最小二乘估計(jì)分別為b=號(hào)---------4=y-bx

￡xf-nx2

/=i

解：（1）令〃=Iny=Inaebx=bx+Ina,

-1+2+3+4+5+6

x=-----------------------=3,5,M=—=4.75,

66

Vx.u；-nX'U

J-106.05-6x3.5x4.75

貝U匕=號(hào)---------=------------------------------7

位212+22+32+42+52+6-X（3.5『

1=1

349

lna=4.75-0.36x3.5=3.49,所以°=e-，

二匚l、l,,八3.49_0.36X_0.36X+3.49

所以y=ee=e

(2)設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件A,

…/八11123112113

則P(A)=-x—+_x—x—x—+_x—x—x—=—,

5232352253210

3

所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為5.

18.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA_L平面ABC。，AB=PA=2,3c=3,點(diǎn)M,N

分別在線段陰PC上.

(1)求證：直線CD_L平面八1D.

(2)是否存在M,N,使得若存在，求出直線MN與平面P8C所成角

的正弦值.若不存在，請說明理由.

(1)證明：因?yàn)槠矫鍭SCD,CDu平面ABCD,所以R4LCD.

又底面A5CD為矩形，CD1AD,又B4cD=A,PA,A￡>u平面尸AT),

所以CD_L平面尸AD.

(2)解：以A為原點(diǎn)，AP為z軸，A3為無軸，為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

所以3（2,0,0）,P（0,0,2）,C（2,3,0）,AB=（2,0,0）,PC=（2,3,-2）,

令叔（m,0,0）,PN=nPC，得N（2〃,3〃,2-2〃），所以肱V=（2〃一根,3〃,2-2”）,

8

m=一

MN?AB=4〃-2m=013f191QA

根據(jù)，則,所以MN=[0,衛(wèi)，百J,取MN的方向向量為

4

MNPC=lln-2m-4=0n=一

13

n=（0,2,3）,

設(shè)平面尸5。的法向量為根=(〃力,c),心=(2,0,—2),BC=(0,3,0),

m-PB=2a-2c=0

根據(jù)<取Q=1,得加=(1,0,1),

m-BC=3b=0

所以Icos<n,機(jī)>|=二L=d竺，即直線MN與平面PBC所成角的正弦值d叵.

11V13XV22626

19.(12分)數(shù)列｛q｝中，對任意正整數(shù)”都有(3〃+9>(〃+1)2%=5+2)3

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，證明:

①“"Cl?("+1)；

②S“<：2幾+5

43

(1)解：因?yàn)?3“+9)?仇+1)24用=5+2)3%，

35+3”用("+2)?！?〃+3)%+|=1(〃+2)%

5+2)2-5+iy,RI(〃+2y-§?W

又因?yàn)?(1+2)%01所以數(shù)\(n列+2是]a首項(xiàng)為“i公比為i*等比數(shù)歹”

n+

從而

n+1)(幾+2〉3〃.

H+1)2n+1n+1n+1

(2)證明：①因?yàn)?------------<------?(H+1)；

(〃+2〉3〃n+23"3〃

②由①得s“<g+j+…,

、幾T23n+1

設(shè)三+???+丁，

則m=23n+1

三+予+…+產(chǎn),

n-\

11

1-

兩式相減得2T2_1...1,77+1293四,

=+++---7~~----1-----

3"31323"3"+i33n+1

n-\

2211n+152n+5

1-〃

即/Tk33+i%一2-3向'

u52〃+5,52〃+5

從而1=7-ZFz

44-3n

20.已知函數(shù)/(尤)=依111(1+尤)+%.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,〃。))處的切線方程;

⑵若0是函數(shù)g(x)=e，-〃x)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解:(1)由〃x)=axln(l+x)+x,XG(-1,+OO),

X

則/'(x)=〃ln(x+l)+------+1,

x+1

所以r(0)=1,即切線斜率為i,

又/(0)=0,則切點(diǎn)為(0,0),切線方程為>=龍,

所以曲線y=/⑺在點(diǎn)(o，/⑼)處的切線方程為>=x.

(2)根據(jù)題意得，g(x)=ex-arln(x+l)-x,

X

則g'(x)=]_]-〃ln(x+l)+---

x+1

由0為g(x)的極小值點(diǎn),可知g'(0)=0.

X

設(shè)力⑺=g'(x)=e》ln(x+l)+---,x>—1,

x+1

x+2

則H⑺=e'一%+以"⑼=1-2a.(i)當(dāng)時(shí)，//(x)>0,

所以/(%)在(Ty)上單調(diào)遞增，又g'(0)=0,

所以當(dāng)xe(-l,0)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以0是g(x)的極小值點(diǎn)，符合題意.

(ii)當(dāng)0<Q<：時(shí)，設(shè)根(x)="(x),

Q(X+3)

貝|mA(x)=ex+>0,

(x+爐

所以“(%)在(-I,y)上單調(diào)遞增，〃'(0)=1-2a>0,

”(G-l)=eG-a-^--1+22+=<0,

-1+1)

所以存在,e(-1,0),使得磯%)=0,

所以當(dāng)工4-1,占)時(shí)，//(x)<0,力⑺單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(%,+oo)時(shí),h，(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，即g'(x)單調(diào)遞增.

又g'(o)=o,

所以當(dāng)xe(玉,0)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(0,+oo)時(shí)，g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以。是g(x)的極小值點(diǎn)，符合題意.

(iii)當(dāng)a=g時(shí)，/i'(0)=0,且〃'⑺在(-1,y)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)無€(-1,0)時(shí)，h'(x)<0,為⑺單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)X￡(0,4W)時(shí)，”(x)>0,M%)單調(diào)遞增,即g'(x)單調(diào)遞增.

又/(。)=0,所以/(x)N/(O)=O,g(x)單調(diào)遞增，不符合題意.

(iv)當(dāng)時(shí)，〃(0)<0,"(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，//(ln2?)>eln2,,-2a=0,

所以存在/?0,ln2a),使得〃(%)=0,

所以當(dāng)x?-l，N)時(shí)，h'(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，又g，(0)=0,

所以當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(O,X2)時(shí)，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以0是g(x)的極大值點(diǎn)，不符合題意.

綜上，0的取值范圍是

21.已知點(diǎn)E0,-2忘)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,A乃為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不

垂直x軸，廠為焦點(diǎn)，且滿足|A司+忸尸|=8.

（1）求〃的值，并證明：線段A3的垂直平分線過定點(diǎn)；

（2）設(shè)（1）中定點(diǎn)為當(dāng)右ABM的面積最大時(shí)，求直線A8的斜率%.

解：⑴將點(diǎn)41,-2⑹代入拋物線方程，可得（-20y=2pxl,解得p=4,所以拋物線方

程為J2=8x,

設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m(k^Q),A[xl,yl),B(x2,y2),

Iy=kx+mco/、o

聯(lián)立方程jy2=8x'消去y得左X+（2加—8）x+wr=。，

由韋達(dá)定理得：&+々=豆羿,可々=%，

KK

根據(jù)拋物線定義：恒刊+忸司=%+々+4=號(hào)處+4=8,可得〃z=J-2k,

KK

此時(shí)A=（2版一8）2-4k2m2=32（2-^77）=64（〃一1）>0,解得左<一1或左>1,

x尸+々「2

設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（七,%）,則1°2,

y0=kxQ+m=2k+m

可得A8的垂直平分線方程為：y-2k-m=-]-（x-2）,

K

將根=1一2人代入整理得：y=一:（'—6）,

KK

故AB的垂直平分線過定點(diǎn)（6,0）.

⑵由⑴可得n用=67記彳強(qiáng)]一誓=再后.啤已,

4左+工

且點(diǎn)“（6,0）到直線A8的距離方16人+訓(xùn)％,

J1+/Jl+/

k+—

則一ABM的面積為01].句”7-1…卜,

S=-\AB\-d=---------p---------

256(V-l))t2*4+1+2

可得S2=cu/III

=256Id-------

k2Ik2k"k6

設(shè)］=r，設(shè)/(r)=l+f_/一/(0<f<D,貝|/'(r)=l_2r_3?

K

令（（。>0,解得0<f<g；令尸（r）<0,解得g<r<l；

則/⑺在［o，!上單調(diào)遞增，在t，"上單調(diào)遞減

所以當(dāng)時(shí),一的面積取最大值，此時(shí)％2=3,即％=±百.

（二）選考題

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

X=2COS6Z

22.已知曲線C的參數(shù)方程為r-.(。為參數(shù)),直線/過點(diǎn)尸（0,1）.

y=A/3sina

（1）