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文檔簡介
邢臺市2023—2024學(xué)年高三(上)期末測試
數(shù)學(xué)
注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡
上.
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)
號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題
時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部內(nèi)容.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選
項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合4={工-3<%<4},B=-4%-12<oj,則43=()
A.{九|一2<%<4}B.{x[—3<尤<6}
C.{x|-3<x<2}D.{X-6<x<4}
Q*
2.若2=-----,則N=()
1+i
A.2-iB.l-2iC.l+2i
D.2+i
3.已知向量Q,〃滿足同=2,〃.。=一2,則(a+3b),〃=()
A.-2B.2C.-4D.4
22
4.已知橢圓二+匕=1(m〉0)的上焦點(diǎn)為(0,3),則加=()
m16
A.加B.5c.SD.7
—昱,且a為第三象限角,
5.若sina=則tantz=()()
4
A.一叵R屈「V13
13134
4
6.已知函數(shù)/(%)=加聞,則函數(shù)y=—/(-%+1)的圖象是()
7.《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖,在鱉腌尸-A5C
中,Q4J_平面ABC,ABLBC,PA=AB=2BC=2,以。為球心,血為半徑的球
2
8.設(shè)a,/?eR,若4a?+〃+2仍=6,貝U3a?+2廿的最小值為()
A.6B.3布c.2A/6D.4
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項
中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的
得0分.
9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認(rèn)為:子時(23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn))的睡眠對一天至
關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明,入睡時間越晚,沉睡時間越少,睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的
抽樣數(shù)據(jù),對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個,如下表:
編號12345678910
早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295
晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290
根據(jù)樣本數(shù)據(jù),下列說法正確的是()
A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高
B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85
C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66
D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小
22
10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),K,工分別為雙曲線C:=—與=1(。〉0]〉0)的左、右焦
ab
點(diǎn),尸為C上一點(diǎn),且歸耳|=3歸閭,若耳到一條漸近線/的距離為3,且
cosN-P£=—;,則下列說法正確的是()
A.雙曲線。的漸近線方程為x土=O
B.雙曲線。的離心率為6
r[77:
C.尸的坐標(biāo)可能是丹一,士今-
D.若過點(diǎn)尸且斜率為左的直線與C的左支有交點(diǎn),則左€(-,1,后)
11.已知正方體ABC?!?與GA的棱長為2,E,尸分別為AD,CC]的中點(diǎn),則
()
9
A.BFHD.EB.過A,B,E的截面面積為萬
C.直線3歹與AC所成角的余弦值為?D.Eb與平面ABCD所成角的正
5
弦值為逅
6
12.已知函數(shù)/(x)=f°23+e2°23x—e-2023*—5m2023%+1,若對任意xe(0,+oo),都有
f(x-ae2x-l)+f(x\nx)<2,則實數(shù)。的值可以為()
,111
A.—-B.—-C.-D.1
eee
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.將函數(shù)/(x)=sin[2x-f]的圖象向左平移土個單位長度,所得圖象的一個對稱中
I4J12
心為.
14.已知(2x--d)”展開式的二項式系數(shù)之和為256,則其展開式中了飛的系數(shù)為
(用數(shù)字作答)
15.若函數(shù)/(3%-2)的定義域為[—2,3],則函數(shù)/(2x+3)的定義域為.
16.在平面直角坐標(biāo)系。孫中,已知A(0,3),動點(diǎn)P滿足訓(xùn)=2|OP|,點(diǎn)。在直線
/:3%+4y—16=0上,貝11PQ|的最小值為.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演
算步驟.
17.TO分)
在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。,b,c,已知2asinC—Qc=0.
(1)求A;
(2)求4sinB—4sinC的取值范圍.
18.(12分)
已知數(shù)列{??}滿足q=3,an+1=3an-2.
(1)證明{%—1}是等比數(shù)列,并求出{4}的通項公式;
1113
(2)證明:-+—+
a2an4
19.(12分)
如圖,在四棱雉尸—A3CD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,ZBAD=6Q0,/\PAD
為正三角形,。為尸C的中點(diǎn),平面。,鉆與平面PCD的交線為/.
(1)證明:〃/平面
(2)若二面角尸―AD—3為60。,求銳二面角A—/—C的余弦值.
20.(12分)
某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊,其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高
三學(xué)生有5名.
(1)若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊中隨機(jī)抽取3人參加一項數(shù)學(xué)奧賽,求抽取的3名同學(xué)中恰有2
名同學(xué)來自高一的概率.
(2)現(xiàn)學(xué)校欲對數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊成員進(jìn)行考核,考核規(guī)則如下:考核共4道題,前2道題
答對每道題計1分,答錯計。分;后2道題答對每道題計2分,答錯計。分,累積計分不
低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員.現(xiàn)已知張同學(xué)前2道題每道題答對的概率均為工,后2道題
3
每道題答對的概率均為工,是否正確回答每道題之間互不影響.記張同學(xué)在本次考核中累
2
積計分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望,并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的
概率.
21.(12分)
已知函數(shù)/(%)=sinx+x2.
(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)”"(14處的切線方程;
(2)證明:/(%)>一亮.
22.(12分)
設(shè)E為拋物線〃:/=2px(p>0)的焦點(diǎn),尸是拋物線M的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),A是拋
物線
〃上一點(diǎn),當(dāng)AELx軸時,|AP|=2后.
(1)求拋物線”的方程.
(2)A尸的延長線與河的交點(diǎn)為5,K4的延長線與M的交點(diǎn)為C,點(diǎn)A在尸與C之
間.
(i)證明:B,C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱.
(ii)記△EBC的面積為△PEC的面積為$2,求邑-2d的取值范圍.
邢臺市2023—2024學(xué)年高三(上)期末測試
數(shù)學(xué)參考答案
1.A因為5=一4%—12<0}=何一2<%<6},所以AB=1x|-2<x<4}.
3-i,一
2.C因為z=--=1—2i,所以5=l+2i.
3.A因為阿=2,a.b=—2,所以(a+3Z?),〃=a?+3a,Z?=4—6=—2.
4.C因為橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以。=4,b=m.
因為02=〃2—所以32=42—根之,所以冽=
5.B因為sina=—立,且e為第三象限角,所以cosa=—,1—[—3]=—巫,
4VI4J4
I,sinaA/39
故tana=----=-----
cosa13
6.D因為/(x)=|ln|4的定義域為{X|XH0},所以y=x+1)的定義域為
{x|xwl},所以排除A,C.因為/(%)=111聞..0,所以y=—/(—x+l)K0,所以排除
B.故選D.
7.B因為PAJ_平面ABC,3Cu平面ABC,所以
因為ABLBC,PAAB=A,所以平面
如圖所示,設(shè)DE為球C與平面的交線,則CD=CE=G,BC=1,所以
BD=BE=E所以DE所在的圓是以8為圓心,&為半徑的圓.因為NPA4=2,
所以弧DE的長為叵.
8.D設(shè)『>0,
222222
4a2+b+lab=4tz+b+2---tb<4tz+b+^+rb=4+Fa2+(l+t2)b2,
4+^-廣9
令〃_3,解得.=正,所以7片0+30/26,即34+2廿24,當(dāng)且僅當(dāng)
2
Q2
a2=—,/=—時,等號成立.
77
9.BD因為早睡群體的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高,所以A錯誤;因為早
睡群體的睡眠指數(shù)的10個樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多,所以B正確;因為晚睡群體的睡
眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為強(qiáng)土生=67,所以C錯誤;由樣本數(shù)據(jù)可知,早睡群體的睡
2
眠指數(shù)相對比較穩(wěn)定,所以方差小,故D正確.
10.D因為可到漸近線/的距離為夜,所以6=行.
因為歸耳|=3|尸國第|P耳|—|P閭=2歸閭=2a,所以|「閡=a,|尸制=3a.
因為cos”戶2=附「+明「一閨母9a2+/—4。2
—,所以C?=3a2?
2“附|
因為c?=a?+A?=a?+2=3a?,所以a=l,c=,
所以。的漸近線方程為y=±缶,故A錯誤.
由上知C的離心率e=f=6,所以B正確.
a
因為閭sinN甲鞏=;比初曲=夜,
所以力=±如,所以。¥,土半,故c錯誤.
當(dāng)左=±應(yīng)時,直線只與右支相交一點(diǎn);當(dāng)左e(-時,直線與左右兩支各交一
點(diǎn);
當(dāng)上e(-8,-虎)I,(、叵,+co)時,直線與右支相交于兩點(diǎn),故D正確.
11.BCD取。。的中點(diǎn)G,連接AG(圖略),則AG〃3E.因為AG,相交,所
以BF,RE
異面,故A不正確.取GA的中點(diǎn)N,連接AN,FN,AB(圖略),則等腰梯形
45RN即為過A,B,尸的截面.因為%B=2亞=2FN,&N=BF=E所以等
腰梯形ABRN的高為£1,面積為2,故B正確.連接CG(圖略),因為AG〃肉,
22
所以NG4c即直線8尸與AC所成的角.在△ACG中,AC=2日
AG=CG=B所以cosNGAC=噂=叵,故C正確.連接EC(圖略),
755
NFEC即EF與平面ABCD所成角的平面角,因為B=l,EE=痛,所以所與平
面ABCD所成角的正弦值為上=亞,故D正確.
V66
12.CD4g(x)=/(x)-1=x2023+e2023x-e-2023x-sin2023%,
則g(—x)=—鏟23+e-2023x_e2023x+sin2023%=一g(X),所以g(%)為奇函數(shù).
因為g'(x)=2O23%2022+2023e2023x+2023e^2023x-2023cos2023x
2023x2023x
=2023尤2°22+2023(e+e^-cos2023%),
2023x2023x
且2O23f°22>o,e+e->2,cos2023%<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在
(0,+s)上單調(diào)遞增.
因為/(x—ae2xT)+/(xlnx)<2等價于/(x-ae2'_1)-l<-[/(xlnx)-l],
所以g(x-ae2i)<—g(xInx)=g(—xInx),所以%—aerx~'<-x\nx>
即a2二學(xué)在(0,+8)上恒成立.
令/z(x)=x-l-lnx,則〃(%)=1-4,當(dāng)〃(冗)>0時,x>l,當(dāng)〃(x)<0時,
x
0<x<1,
所以力。)在(L+a))上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以以x)2〃(l)=0,所以x?l+lnx,所以,xe(0,+a)).
e2^1e2^1
令9(%)=^^,%e(0,+oo),則,(x)=2嗎丁),
ee
當(dāng)夕'(x)>0時,0cx<1,當(dāng)“(x)<0時,x>l,
所以夕(x)在(1,+w)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,
|X+yinx1I
所以°(X)〈貝1)=—,所以一z--<-,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時,等號成立,所以。2一.
eeee
13.^,0j(答案不唯一)由題意知所得圖象的解析式為
g(x)=sin+—(=sin]2x—^J,令2x—左乃,左wZ,得
X=—+—,keZ,所以所得圖象的對稱中心為五+5-,0%左eZ).
14.1792由2"=256,得九=8.(2獷2一^丫的通項公式為=項(2r2廣,(_/丫
=G2~(—1Y/T6.45r-16=-6,得r=2,所以展開式中含廣6的項為
6
T3=Cj2x^=1792/.
15.--,2因為—2<x<3,所以—843x—2W7,所以/(x)的定義域為[—8,7],
要使/(2x+3)有意義,需滿足—8W2X+3W7,解得—U〈x?2.
2
16.2設(shè)P(x,y),因為|E4|=2|OP],所以好十“一3)?=4(/+/),
整理得動點(diǎn)P的軌跡方程為Y+(y+1)2=4,
所以動點(diǎn)P的軌跡為以(0,-1)為圓心,2為半徑的圓.
因為圓心(0,—1)到直線/:3x+4y—16=0的距離乙=上?@=4,所以
|Pd.=d-2=2.
IImin
17.解:(1)因為2asinC—Gc=0,所以2sinAsinC—J^sinC=0.
因為sinCHO,所以sinA=@.因為△ABC為銳角三角形,所以A=工.
23
712
(2)因為A=—,所以5+C=—
33
0<B<-,
9TTIT
因為△ABC為銳角三角形,所以〈.得一<B<一.
c2n萬62
因為4sin5-4sinC=4sinB-4sin(A+B)=2sin.8-2^3cosB=4sin-g
且£[一,所以dsin^B—dsinC^l—ZZ).
18.證明:(1)因為%+1=3%-2,所以q+i—1=3(%—1).
因為%=3,所以q一1=2,
所以{為—1}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,所以1=2X3〃T,
故{4}的通項公式為?!?2x3〃T+1.
11
(2)由(1)知一二
an2x3n-1+l
111
當(dāng)心1時,2x3"T+l>2x3f所以乙=心率(市力
所以
19.(1)證明:因為四邊形A3CD為菱形,所以A3〃C£).
因為ABu平面尸CD,CDu平面PCD,所以A3〃平面PCD.
因為ABu平面QA5,平面QA8平面尸CD=/,所以〃/AB.
因為/《平面BLB,ABu平面所以/〃平面75AB.
(2)解:取AD的中點(diǎn)。,連接08,BD,OP.
因為△MD,△ABQ均為正三角形,
所以O(shè)BLAD,OPLAD,
所以NPO3為二面角F—AD—3的平面角,即NPOB=60°.
如圖所示,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,08所在直線分別為工,丁軸建立空間直角坐標(biāo)系,
(出3、
則A(1,O,O),6(0,73,0),C(-2,指,0),£>(-1,0,0),P0,^-,-,
I22J
,363、
Q
3百J、
設(shè)平面。48的法向量為根=(冷加4),AB=(-1,A/3,0),AQ=-2,
m-AB=-%+布=0,
則3J33令M=G,得〃z=(3,6,5).
m-AQ=-2xi%+-2i=0,
V3g、
設(shè)平面PCD的法向量為"=(々,%,22),DC=(-1,73,0),DP=1,
-T,2'
n-DC=-x2+43y2-0,
則y/33令丁2=1,得力=(6,1,一百),
n?DP—x2——%+5z2=。,
/、m-n73V777
所以COS(九?1)=^^
\m\\n\國x"259
所以銳二面角A-l-C的余弦值為《亙.
259
20.解:(1)設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”,
C2cl28
則P(A)=?產(chǎn)
■95
(2)X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,
RX=O)=1T“-
“x=D=C;彳
1
P(X=2)=
6
P(X=3)=C^x|xh-|jxC^x1xh-1j=|,
P(X=4)=gJxC^x|x(l-|)+(l-|J
P(X=5)=C;x|x1|H[j
22
P(X=6)=
所以X的分布列為
X0123456
1£j_2j_
p
36969499
所以X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0XL+1X』+2XL+3><2+4X1+5X』+6X』=W.
369694993
張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號的概率為2.
9
719+1.
21.⑴解:/'(%)=cos%+2%,f
故曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為y=—土+1,即
[212〃*4
4〃x-4_y-yr2+4=0.
(2)證明:由(1)得/''(%)=cosx+2x.
令函數(shù)"(x)=7'(x),則/(x)=-sin尤+2>0,所以〃(x)=/'(x)是增函數(shù).
因為/'(0)=1,/{-|]=cos1-l<0,
所以存在玉)《
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