新高考數(shù)學二輪復習恒成立與存在性求參（選填題6種考法）（解析版）

專題04恒成立與存在性求參（選填題6種考法）

考法解讀

形如ax'+bx+c不等式在R恒成立或能成立

r「=0廣誓照>判斷是否符合題意

一元二次不等式

[a豐?！?gt;開口+△

在R（能）恒成立

-分離參變量轉(zhuǎn)化成最值

控制兩端法----兩端的函數(shù)值均為正為負

一元二次不等式分離參數(shù)法

一在某區(qū)間（能）-

J大于最大值

恒成立[小于最小值

分離參數(shù)法----參數(shù)與無參函數(shù)的最值=>

[大于最小值

L、于最大值

（注意：是否取“=”依題意決定）

一元一次不等式-￡分離參數(shù)法

控制兩端法

恒

成

單r分離參數(shù)法

變

立

量恒成立問題轉(zhuǎn)化為的圖象在上方（或下方），

與?-數(shù)形結(jié)合法----

模進而求得參數(shù)的范圍

存

型

恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，討論求得函數(shù)的

在討論最值法----

單調(diào)性與最值，列出不等式，從而求得參數(shù)的范圍

性

求

一般地，已知函數(shù)y=f(x),xe[a,b],y=g(x),xe[c,d],

參

分

離

@^Vxie[a,b],V再e[c,d],總有/(不)<€&)成立，故f(x)?,<g(x)11ttt

參

雙

數(shù)

變

法@^Vx,e[a,h],3x2e[c,d],有/(W)<g(巧)成立,故f(x)11111Vg(x).；

量

不蠟切4則，3xe[c,rf],有成立，故

等2

式

L同構(gòu)____構(gòu)造同一種模型，同樣部分變自變量，利用導數(shù)法求單調(diào)

導數(shù)法性進行求解

單變量等式（一元二次不等式-R+判別式

一分離參數(shù)轉(zhuǎn)相交----轉(zhuǎn)化成兩個基本函數(shù)有交點

若憶€[<1出，3xe[c,rf],有/（%）=g（s）,

分離參數(shù)2

雙變量等式

轉(zhuǎn)值域

則/（x）的值域是g（x）值域的子集.

J更換主元—誰已知范圍誰做主元

典例剖析

考法一一元二次不等式在R考法四雙變量的恒成立或能成立

恒成立或

考法二一元二次不等式在某區(qū)間考法五等式恒成立或能成立

能成立求參

考法三單變量的恒成立或能成立考法六更換主元

考法——元二次不等式在R

【例1-1](2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)已知命題P：王eR,尤2+2尤+2一”0,若p為假命題，則實數(shù)。的

取值范圍為()

A.B.口,+8)C.(一8,1)D.(fl]

【答案】D

【解析】因為命題P：爐+2尤+2—。<0,所以M：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因為P為假命題，所以力為真命題，即VxeR,f+2x+2-“20恒成立，

所以A40,即22-4(2-a)V0,解得故選：D.

【例1-2】(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)"m>0"是汨xeR,(加一1)爐+2(l-/n)x+340是假命題''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由題意，命題"HreR,(m-1)/+2(1-m)x+3V。是假命題”

可得命題“VxeR,(m-l)x2+2(1-in)x+3>0是真命題”

當加-1=0時，即〃?=1時，不等式3>0恒成立；

m-1>0

當根一IwO時，即機時，則滿足|廠/\i2/、，解得1〈機<4,

[2(l-m)J-4(m-l)x3<0

綜上可得，實數(shù)1W根<4,

即命題"3XGR,(m-l)x2+2(1-m)x+3<0是假命題〃時，實數(shù)加的取值范圍是口,4),

又由>0〃是''"m<4〃的必要不充分條件，

所以"機>0"是"HXER,(加-1)%2+2(1-㈤x+34。是假命題〃的必要不充分條件，

故選：B.

【例1-3】（2023?全國■iWi二對口iWj考）已知命題P：三尤eR,使得"加2+2x+l<0成立"為真命題，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】（f』）

【解析】因為命題P：士?R,使得"依?+2無+1<0成立"為真命題，

當。=0時，2x+l<0,貝故成立；

當a>0時，A=4-4?>0,解得：0<a<l；

當a<0時，總存在加+2x+l<0;

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為

故答案為：（一叫1）

【變式】

1.（2023?四川廣安?四川省廣安友誼中學?？寄M預測）若命題：“現(xiàn)eR,使":-皿。+1<。"是假命題，

則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】[0,4）

【解析】由題意可知：命題：VxeR,Ara;。-7/zx+l>0.是真命題，

①當相=0時，結(jié)論顯然成立；

fm>0

②當〃件0時，貝叫八2,解得0<〃2<4；

[A=/7j--4m<0

故答案為：[0,4）.

2.（2023秋?江蘇連云港?高三?？茧A段練習）若不等式如2+〃,_4<2/+2彳-1對任意實數(shù)兀均成立，則實

數(shù)機的取值范圍是

【答案】（一1。,2]

【解析】因為不等式〃1r一4<2/+2彳-1對任意實數(shù)》均成立，

即不等式（m-2）x2+（m-2）x-3<0對任意實數(shù)尤均成立，

當機-2=0,即加=2時，有—3<0恒成立，滿足題意；

m-2<0

當根-2片0,即時，則有L,c\2n>解得T0<〃z<2,

A=（m-2）+12（m-2）<0

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍為（TO,2].故選：B.

3.（2023?廣東潮州）若命題："叫eR,使（療-1濡-（9+1）%+120"是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為一.

【答案】

【解析】當蘇-1=0即加=±1時，易得m=l時命題成立；

當加2一1vo即一1vm<1時，A=（m+1）2-4（m?-1）=-3m2+2m+5>0.\-l<m<l

當根2一1>0一根<一1或m>1時，貝IJ命題等價于A=（m+1）?-4（m2-1）=-3m2+2m+5>0.\l<m<-,

故答案為：—1<m<

考法二一元二次不等式在某區(qū)間

【例2?1】（2023?河南?長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知命題-焉+3/+，>0〃為真命

題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-oo,-2）B.（-oo,4）C.（-2,+oo）D.（4,+oo）

【答案】C

【解析】因為命題"*oc[-1,1],-%；+3%+。>0”為真命題，

所以，命題“土i）￡>無；-3%〃為真命題，

所以，不?-1,1]時，（看一,

因為，y=/_3%=[一一（,

所以，當時，ymin=-2,當且僅當x=l時取得等號.

所以，不時，”（片-3/%=—2,即實數(shù)。的取值范圍是（—2,依）

故選：c

【例2-2]（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測）若命題〃丑qi,4],使西2+%—2>0成立〃

的否定是真命題，則實數(shù)丸的取值范圍是（）

A?（一8』B,

O

【答案】C

【解析】若"3x，[L4],使2牡+%_2>0成立"的否定是:

z,Vxe[l,4],使2￡+x-2W0"為真命題，即XW—；令=丁=21：-￡|

由xe[l,4],得所以〃x)1nm="4)=-：，所以2W-：,故選：C.

X[_4Joo

2

【例2-3】（2023?遼寧大連）（多選）已知pVxe[-l,l],x-ax-2<0,則使p為真命題的一個必要不充

分條件為（）

A.-2<av1B.—1<a<1C.—1<a<2D.0<a<l

【答案】AC

【解析】令/0）=/-方-2,則/（X）的圖象開口向上,

若Vxe[-l,r|,/(無)<0,解得-1<a<1,

/(-1)=1+。一2<0

對于A,當-l<a<l時，-2<a<l成立，而-2<a<l時，一1<a<1不一定成立,

所以-2<〃<1是p為真命題的一個必要不充分條件，所以A正確,

對于B,是0為真命題的充要條件，所以B錯誤,

對于C,當一1<。<1時，一1<。<2成立，當一/<。<2時，一1<。<1不——定成立，

所以7<a<2是〃為真命題的一個必要不充分條件，所以C正確，

對于D,當一1<。<1時，0Wa<l不——定成立，當0<a<l時，一1<。<1成立，

所以04。<1是〃為真命題的一個充分不必要條件，所以D錯誤，

故選：AC

【例2-4】（2023秋?湖北宜昌）若竺土1<0（"件0）對一切x“恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是（）

nvc+1

A.1m|m<3jB.[同m<-；｝C.\n^m>21D.|m|—2<m<01

【答案】B

【解析】因為不等式"―-<0^>（m2x-l）（mx+l）<0（m^O）,

mx+1

所以（機2犬-1）（如+1）=0=%=4或%=---（）,

mm

①當機>0時，一~-<—r?

mm

所以不等式（〃72*一1）（〃《+1）<0的解集為｛劃一」~<尤<±｝,

mm

所以原不等式不可能對一切x24恒成立，故相>0不符合題意;

②當加《-1時，二<一~-,

mm

所以不等式(加工-1)(如+1)<0的解集為或x>-,｝，

mm

又因為原不等式對一切1之4恒成立，

m<-1?

所以11/解得根<一1,

——<4

、m

③當一lvmvO時，二〉一~-,

mm

所以不等式(m2x-l)(mx+1)<0的解集為｛xI%工或x>,

mm

又因為原不等式對一切％之4恒成立，

-1<m<0^

所以11..,解得一1<根<一]，

丁<4?2

、m

綜述，<——.

故選:B.

【變式】

1.(2023春?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習)若命題〃*?1,3],爐+^+1>()〃是假命題，則實數(shù)

a的最大值為.

【答案】

【解析】由題知命題的否定"\/%￡口,3],工2+改+1<0〃是真命題./(X)=X2+OX+1(XG[1,3]),則

[ff常(l]==a3+a+2<10,<0,解得小150，故實數(shù)。的最大值為一1寸0

故答案為：-

3.(2022秋?北京?高三統(tǒng)考階段練習)若存在xe[0,1],有￡+(l-a)x+3-a>0成立,則實數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】(-十,3)

【解析】將原不等式參數(shù)分離可得a<\+x+3,設(shè)〃X)=L+X+3,

x+1v7x+1

已知存在[。內(nèi)，有龍2+(1—a)%+3—Q>0成立，則a</(x)1mx，

令"X+1,則/⑺=（I）2；I+3）：+3=,+：_],/e[l,2],

由對勾函數(shù)知f（x）在

[1,若）上單調(diào)遞減，在（若,2]上單調(diào)遞增，

335

/⑴=1+「=3,/（2）=2+--1=-,

所以〃x）a=/（l）=3,即"3,

故答案為：(7,3).

2.(2022秋,重慶沙坪壩?高三重慶市鳳鳴山中學校考階段練習)若x>l時，4d-(3a+2)x+3a+72()恒成

立，則。的取值范圍為.

【答案】a<6

【解析】解法1：x>l時，4x?-(3a+2)x+3a+72。恒成立,

4x~—2x+7

即3。（1）<4x2-2x+7恒成立,即〃-3（尤一1）恒成立.

4X2-2X+74（f+l）2-2（r+l）+7

令1-1=/（/>0）,貝壯=r+1,

3（x-l）3t

當且僅當*=Q7,即，=3['等號成立,

故aW6,即。的取值范圍為

解法2：令/（兀）=4x2—（3a+2）x+3a+7,

則由題意知，〃x)20,在時恒成立，即%>1時，”同而了。.

①當f?1,即時，在[1,+8)單調(diào)遞增,

8

止匕時，/(x)n,n>/(1)=4—(3。+2)+3。+7=9>。成立,

所以,〃x)20恒成立；

②當?shù)?>1,即。>2時，/(x)在上單調(diào)遞減，

在(十，+-單調(diào)遞增，所以十)，

此時只需，即可，即-(3a+2)x[^^)+3a+720

解得，-2<a<6,02<a<6,

綜上所述，。的取值范圍為。<6.

故答案為：a<6.

3.（2023?全國?高三對口高考）3（?=浸一3尤+1對于總有/（尤）>0成立,則實數(shù)。的最小值

為.

【答案】4

【解析】由題意可得了'（%）=3加-3,

當aWO時，/'（%）=3依2-3<0在［-1,1］上恒成立,

故/（元）在［-1,1］上單調(diào)遞減，則/。）*=八1）=。-2<。，不合題意;

當0<aWl時，f\x）=3ax2-3=3fl

由于521,一七4-1,故/'（力（。在［-1,1］上恒成立,

僅當。=1,元=±1時，等號成立,

則f（x）在［-1,1］上單調(diào)遞減,則/。）血"=八1）=。-2<。，不合題意;

當a>l時，/'（尤）=362-3=3a

由于0<-<1,-1<--7=<0,故/（X）在（-y=,l）,（一L上單調(diào)遞增,

-Ja7ayja

在（--［，；）上單調(diào)遞減，

7a7a

故令-0+42/刀1二」

+1>0,解得“24,

J7a

故實數(shù)。的最小值為4,故答案為：4

4.（2023秋?安徽銅陵?高三統(tǒng)考階段練習）若命題"女目-1,2］,使得尤2+小一〃.520"是假命題，則加的

取值范圍是.

【答案】（-2,1）

【解析】由題意原命題的否定“Vxe［T,2］,使得f+如一〃2-5<0"是真命題,

不妨設(shè)"X）=X?+M-m-5=［x+晟］-g-m-5,其開口向上，對稱軸方程為x=-^,

則只需F（無）在［T,2］上的最大值1mx<0即可，我們分以下三種情形來討論:

情形一：當-葭4-1即〃出2時，/（元）在［-1,2］上單調(diào)遞增，

此時有［/（尤）L*=〃2）=加一1<0,解得m<1,

故此時滿足題意的實數(shù)加不存在；

情形二：當-1〈-￡<2即Y<2時，〃元）在-1,-y上單調(diào)遞減，在-￡,2上單調(diào)遞增，

此時有o⑺L=max{〃2）J（_l）}<。,只需

解不等式組得-2<m<l,

故此時滿足題意的實數(shù)加的范圍為-2<唐<1；

情形三：當-122即機WT時，f（x）在［-1,2］上單調(diào)遞減，

此時有［〃X）L*=F（T）=-2〃L4<0,解得機>-2,故此時滿足題意的實數(shù)機不存在；

綜上所述：加的取值范圍是（-2,1）.故答案為：（-2,1）.

考法三單變量的恒成立或能成立

【例3-1】（2023?全國?高三對口高考）若存在負實數(shù)使得方程2工-。=一1成立,則實數(shù)。的取值范圍是（）

x-1

A.（2,+oo）B.（0,+oo）C.（0,2）D.（0,1）

【答案】C

【解析】由題意可得：a=T-一

x-1

令無）=2"--二（尤<0）,因為y=2*,y=-一二在（一雙。）上均為增函數(shù)，

X—LX~1

所以〃x）=2,-一、在（一00）為增函數(shù)，且〃0）=2,2工>0,

x-1X~1

所以0<2'-二：<2,所以實數(shù)a的取值范圍是（0,2）.

故選：C.

【例3-2］（2023?江蘇南通,三模）若Jxv（O/）,sin2尤-盡inx<0”為假命題，則左的取值范圍為（）

A.（-a>,-2］B.（F,2］C.（-oo,-2）D.（~°0,2）

【答案】A

【解析】依題意知命題"*w（0,下）,sin2x-Asinx<。"為假命題，

貝Ij"X/xG（0,7i）,sin2x-feinx..0〃為真命題,

所以2sinxcosx..feinx,則鼠2cosx,

解得左，-2,所以上的取值范圍為（-8,-2].故選：A

【例3-3]（2023?吉林?吉林省實驗?？寄M預測）已知命題p:3x?0,3）,尤2一。一21n*40.若P為假命題，則

。的取值范圍為.

【答案】（/1）

【解析】P為假命題

iP：e（0,3）,廠一a—21nx>0為真命題，故avY—zlnx,

令/（力=幺-21nx,xe（O,3）,則廣⑺=2尤_2=（0,3），

令用X）>0解得1<X<3,令/'（力<0解得0<x<l,

所以廣（X）在（0,1）上單調(diào)遞減,在（1,3）上單調(diào)遞增，所以〃力*=;'⑴=1,所以a<L

故答案為：（一叫1）.

【例3-4]（2023秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）若不等式ae3，+2x+lnqNlnx對任意

xe（O,y）成立，則實數(shù)。的最小值為.

【答案】工

3e

【解析]因為ae'+2%+lna2111%對任意了￡（。,+00）成立，

不等式可變形為:ae3x+3%+lna21n%+%,即*73%+（3%+1口〃）之山1+斕，，

即e3"+ln￡Z+（3尤+Ina）2elnx+Inx對任意x￡（0,內(nèi)）成立,

記g（x）=e"+x,則g<x）=e"+l>0,所以g（x）在R上單調(diào)遞增,

貝Ue3x+lna+（3x+ln?）>elnx+lnx可寫為g（3x+lna）之g（lnx）,

根據(jù)g（x）單調(diào)性可知，只需3x+Ina21nx對任意iw（0,y）成立即可,

即InaNin%—3%成立，記/z（x）=ln九一3九，即只需Ina之力（九）慚,

因為〃34_3=必故在xe[o,'上，h\x）>Q,%（x）單調(diào)遞增,

XX

在xeg+8)上，h'(x)<0,//(x)單調(diào)遞減，所以/z(x)1n叱=/z，J=lng-l=ln：,

所以只需丘吟即可，解得心。故答案為金

【變式】

1.(2023?四川成中?？寄M預測)命題"*目1,2],使得f+lnx-aVO"為假命題，則。的取值

范圍為.

【答案】

【解析】若"*句1,2],使得Y+m元”<0"為假命題，

可得當xe[l,2]時，尤2+加尤)a恒成立，只需。<(f+lnx)1nhi.

又函數(shù)y=/+lnx在[1,2]上單調(diào)遞增，所以a<l.

故答案為：(—(50,1)

—+x,xW1

2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(%)=logM，x>l，貝廳(〃3))=;若對任意的xeR，

、3

都有/(%)<|"1|成立，則實數(shù)上的取值范圍為.

35

【答案】—2(-^,-]J[-,+^>)

44

(、

【解析】/(/(3))=/log,3=/(-1)=-(-1)2+(-1)=-2,

\37

對任意xeR,都有;'(x)W%T成立，即/(無)1||,

畫出函數(shù)“X)的圖象，如圖所示

—X2+X,X<1]

觀察/(%)=log]X,x>l的圖象可知，當％=5時，函數(shù)/(%)

max4

、3

iQ5

所以解得左v：或左

3535

國實數(shù)人的取值范圍為(-8,不匕,+8).答案：-2；(-?,-][-,+<?).

4444

3.(2023?全國?高三專題練習)若命題"玉0c[0,e],使得x；e“T>l成立."為假命題，則實數(shù)。的最大值為?

【答案】--

e

【解析】由題意得知命題"Vxe[0,e],Ye"一<1成立

(1)當x=0時，不等式x2e"iW1成立；

(2)當0<xWe時，由尤則e"T?L

不等式兩邊取自然對數(shù)得依-lW-21nx,可得a《l21nx,

X

構(gòu)造函數(shù)〃彳)=匕也，其中o<x《e,則(⑺=勁口，

XX

令尸(x)=0,得了=￡>e，當。<xVe時，/'(“<0,

所以函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減，則[〃尤)L,=〃e)=T，

所以aV-L,因此實數(shù)。的最大值為-L

ee

考法四雙變量的恒成立或能成立

【例4-1](2023?遼寧大連)已知/(x)=lg(x2+l),g(_r)=2*7〃，若存在占耳。,3],使對任意的.W1,2],有

/(尤1)08(9)成立，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】[3,+8)

【解析】當xe[0,3]時,/⑴叱=”3)=1.當xe[1,2]時,g(x)加=g(2)=4-m.

若存在不?0,3],使對任意的有存在安g(%)成立,

等價于/Wmax2g(X)max，可得124-租，所以丁23.

故答案為：[3,+8)

【例4-2】(2023秋?江蘇?高三宿遷中學校聯(lián)考開學考試)已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，若對任意的士e[0,1],

總存在唯一的馬目-1』，使得%+考e勺-a=。成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(1+Le]

e

【解析】由玉+—a=0,得=a-xx,

令f(x)=X2CX,XG[-1,1],求導得/'(%)=(x2+2x)ex=x(x+2)ex,

當xe[-l,O)時，((無)<0,函數(shù)/(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減，函數(shù)值從工減小到0,

e

當尤w(0,l]時，f'(x)>0,函數(shù)"X)在[0,1]上單調(diào)遞增,函數(shù)值從0增大到e,

令g(x)=a-尤,xe[0,l],顯然函數(shù)g(x)=a-x在[0,1]上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)的值域為[a-1,a\,

由對任意的占總存在唯一的x,w[T』，使得為+x；e*-a=0成立，得團-l,a]=(2,e],

e

'1I

ci-I>—I

因止匕1e,解得1+—<aVe,

,e

a<e

所以實數(shù)。的取值范圍是(1+Le].

e

【變式】

1.(2023秋?湖南衡陽?高三衡陽市田家炳實驗中學校考階段練習)已知/(x)=log2(r),g(尤)=2”",

“e[-4,-2],川e[-4,-2],使"&)一(&)區(qū)1成立.則a的取值范圍()

A.[-3,-2]B.[-5,-2]

C.[-3,-1]D.[-A-2]

【答案】B

【解析]由題設(shè)V±e[-4,-2],王2?[-4,-2],使g(%)-l</(占)<g(%)+l成立，

所以《在“4,-2]上成立,

/("maxTWgOOm

pW?+1=/(-2)+1=2

對于/(%)=log2(-%)m

1raol=1，

g(x)min

對于g(x)=2…,有

g(無)max

2—<2-4-a<l

所以即可得—5Wa4—2.故選：B

2-2一">i-2—a>0

2.(2023?全國?高三專題練習)已知f(x)=lnx-ax+l,g(x)=xe、,且對xe(0,+?)都有/(無)<g(x)成立，則實

數(shù)°的范圍為_______________

【答案】[-L—)

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=ln尤-or+Lg(x)=xe，，

要使得〃尤)<g5),即xe，21nx-ax+l,即。2巨1七旦對xe(0,+s)恒成立，

X

即qN[(x+lnx)-ei]+l-x對16(0,+OT)恒成立,

X

令M尤)=e*-x-l,可得/z'(x)=e*-1,

當x>0時，//(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；當x<0時，h'(x)<0,%(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)h(x)在(-甩0)單調(diào)遞減，在(0,+◎單調(diào)遞增，

所以/7(X)N/Z(0)=0,即e，-x-120,即e*2x+l,當且僅當元=0時，等號成立，

設(shè)a(x)=x+ln尤,則u(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

而"⑴=1>0,故“(無)在(0,+8)上存在零點飛,

ee

故(x+Inx)—e%+ln%<x+Inx—(x+Inx+1)=—1,當且僅當x=/時等號成立，

即[(x+ln^-e'+Ml+l—Xg—],所以a2—1,

X

即實數(shù)，的取值范圍是[T，+8).

3(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)已知/(%)=分2+],g(x)=；+；：：：，若對“21,叫wR使/(xJWgG)

成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】J"，-5

\16」

【解析]令%=；+；：：：,貝U左sinx+cosx=l—2左，BPV)t2+1sin(x+(p)=l-2k^

.,、l—2k1

所以sm(x+e)=及4^(。為輔助角，tan^)=-),

故即|1—2左歸^^,解得0V左

/\4--丫/、2

由題可知，Vx^l,〃xjvg(x)a=.,即對fl<3=4m-_l.

x23x

令——^0<—<t=—,te(0,1],則y=1/T,

Q4Qa

當"5時，k#T的最小值為-2，即GL=-2，

oJ101O

3(3~

貝而n=一而,即"￡「8'一記]’

故答案為：f-a),-77

I16」

考法五等式恒成立或能成立

金x<l

【例5-1](2023秋?福建三明?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=%25,g(x)=f—2x-4,設(shè)人為

ln(x+2),x>l

實數(shù)，若存在實數(shù)。，使得g(b)成立，貝伊的取值范圍為()

A.(一00彳B.g,+8)

-37、r37-

C.D.--，-

i22)L22j

【答案】D

【解析】當a<1時，?)=攀=/+：=]+)4-

令t=—,由于a<1且。片0,所以f>l或f<0,所以~~4

.?■/(?)的取值范圍是[-；,+?);

當時，"a)=ln(a+2),，/⑷的取值范圍是[ln3,+8)；

綜上可得/(a)的取值范圍是一；，+8)；

要存在實數(shù)。，使得〃a)=l-g。)成立，則函數(shù)〃。)=1-g(b)2-；,

即g(6)Wj即g伍)=/一26-44“解得：故選：D

【例5-2](2023秋?江蘇鹽城?高三江蘇省建湖高級中學?？茧A段練習)已知函數(shù)/'(力=必,

g(x)=&]-m.若％e[—l,2],3x2e[-3,l],使得〃xj=g(%)成立，則實數(shù)機的取值范圍為()

，19

B.-4,——u-,8o

22

D.

【答案】C

【解析】設(shè)函數(shù)/⑺在[-1,2]上的值域為A,函數(shù)g(x)在[-3,1]上的值域為8,

因為若％e[-1,2],3x2e[-3,l],使得/(占)=gQ)成立，所以

因為〃幻=/,XG[-1,2],所以/⑺在[-1,2]上的值域為[0,4],

因為g(x)=[J-m,

當mWO時，g(x)=[g]-機在上單調(diào)遞減，所以g(x)在[-3』上的值域為

---HlW01

因為AgB,所以2",m#-<rn<4,又mSO,所以此時不符合題意，

8-m>42

當機>0時，g(x)=]￡|-相圖像是將y=-加下方的圖像翻折到X軸上方，

令g(x)=O得=0,即x=log]〃?

2

①當時，即相色時，g(x)在[-3,1]上單調(diào)遞減，

g(*Lx=g(—3)=|8-叫，g。)*=g(l)=；-機，所以g(x)的值域，=；一他，|8-時

4N

—~m<01

又所以2，解得加=

|8-m|>4~

②當-3<logjw<l時，即1<加<8時，g(x)在(-3，bg〃)上單調(diào)遞減，在

222

、

log:"7上單調(diào)遞增,

27

g(x)min=g(log，=°,=g(—3)=|8-耳或g(x)1mx=g6=,

所以g(x)的值域B=[o,|8-Mi1或1o,，一機,又AgB,所以|8—用24或g-m24,

11

當|8-利24時，解得m44或相212,又萬〈根<8,所以5<小44,

17919(1

當不一機24時，解得加工―或加之[,X-<m<8,所以相<8,所以加的取值范圍W,4

乙乙乙乙乙IN9

③當-321og,”時，〃也8時，g(M在上單調(diào)遞增，

所以g(x)max=g(l)=；-機，gCx)*=g(-3)=|8-m|,所以g(X)在[-3,1]上的值域3=|8-加一加

|8-m|<0

119

又A=所以1解得機=8,綜上所述，加的取值范圍為-,4u-,8.

一一m>422

2

故選：C

【變式】

1.(2023秋?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學?？奸_學考試)已知函數(shù)y=F(x)的表達式為

〃力=32-1,若對于任意占目0』，都存在々句0』，使得〃西)+〃々+m)=10成立，則實數(shù)機的取

值范圍是.

【答案】[log23-l,l]

【解析】〃力=32-1在R上單調(diào)遞增，

當xe[0,l]時，"41m"⑼=2,〃*颯=〃1)=5,

/(x()+/(x2+m)=10,與e[0,l],即10—〃石)目5,8],

[3?2加一1<5?

故[5,8]是/伍+〃。值域的子集，故~,解得log23-lWm〈l.

13?2—l^o

故答案為：[1223-1』.

2(2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)〃x)=]1+2*+<0,若%es,。],"e(0,同,

[Ainx-x,x>Q

使得/(為)=/(%)成立，則實數(shù)力的取值范圍為.

【答案】(-°0,0)[e2,+co)

【解析】設(shè)“X)在(e,。]上的值域為A,在(0,+向上的值域為B,

若“e(-oo,0],3x2G(0,-KO),使得/(%)=/(%)成立，則

1.當xW0時，貝！|/(x)=—x2+2x+A=—(%—1)2+/1+1,

可知y=-(x-l)~+2+1開口向下，對稱軸為x=l,

則在(f,0]上單調(diào)遞增,可得/(x)</(0)=2,

所以〃x)在(f,0]上的值域為4=(-8,幻，所以(—以旭當

2.當x>0時，貝!]了(無)=/llnx—x,

(1)若2<0,則“X)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

且當X趨近于0時，“X)趨近于+8,當X趨近于+8時，〃X)趨近于

所以B=R,符合題意；

(2)若4=0,貝"(力=一尤<0,即A=(3,0],3=(—,0),不合題意；

(3)若2>0,則/(x)=2-l=^——,

XX

令制x)>0,解得0<x<:；令r(x)<0,解得x>4；

則/(X)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4內(nèi))上單調(diào)遞減，nJW/(x)<f(2)=^ln/l-2,

且當x趨近于0或+8時，f(x)均趨近于-s,所以3=(-乂山2-刃，

又因為AgB,則21n/l-2>2,

注意到2>0,即解得XZe?；

綜上所述：實數(shù)2的取值范圍為(-8,0)，32,+8).

故答案為：(-0,0)[e2,+oo).

考法六更換主元

【例6】(2024秋?吉林通化?高三校考階段練習)若四e(g,2j,使得一兄無一1<0成立，則實數(shù)x取值范

圍是()

【答案】B

【解析】若皿eg,2)使得3d一加-1<0成立,

貝1]一；1彳+3/一1<0,gpAX-3X2+1>0,

當x=0時，1>0成立,

當x>0時，令”/1）=忒-3/+1,在Xe/a]上單調(diào)遞增，

即/'（2）=2X—3X2+1>0,則（3X+1）（X—1）<0,解得:-1<x<l,

因為％>0,所以0v尤vl,

當x<0時，令/⑷=疝-3爐+1,在2eg,2）上單調(diào)遞減，

即/&]=）了-3/+1>0,W（2X+1）（3X-2）<0,解得：-1<x<|,

因為x<0,所以-g<x<0,綜上：實數(shù)x取值范圍是[-;,1].故選：B.

【變式】

1.（2023秋?廣東珠海）若d+W-勺x+d-Z"〉。為真命題，則x的取值范圍為（）

A.（fl]B.（1,3）

C.（一8,1）,（3,+?））D.[1,3]

【答案】C

【解析】由題意知，V//7e[-l,l],/+（機一4）x+4-2〃?>0恒成立，

設(shè)函數(shù)g（"z）=（x-2）〃z+（x-2）2,

即