2024年浙江強基聯(lián)校高三數(shù)學(xué)(文)3月模擬聯(lián)考試卷及答案解釋

2024年浙江強基聯(lián)校高三數(shù)學(xué)（文）3月模擬聯(lián)考試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合S{x∣x2}，Tx∣x23x40，則S?T=（

）A．,1

B．4,

C．2,1

D．2．已知i是虛數(shù)單位，則

i1i

（）A．

12i2

B．

1i2

2i2

D．

12i23．現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，每天要從5人中安排2人參加，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（

）A．20種

B．10種

C．8種

D．6種4．已知x0，y0，則（A．7lnxlny7lnx7lnyC．7lnxlny7lnx7lny

）

B．7ln7lnxlnyD．7lnlnxlny5．若0x，則“xcos2x1”是“xcosx1”的（2

）A．充分而不必要條件C．充分必要條件6．(1x)6(1x)4的展開式中，x6的系數(shù)為（

B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件）A．2

B．2

C．8

D．10πx的xxxx（

）A．以π為周期

B．最大值是1

121,C．xy7xy777．已知21,C．xy7xy777．已知函數(shù)f定義域為R，且ff1，若fyfy2fcosy，則函數(shù)f02ππ44

D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)8．設(shè)點A，B，C是拋物線y24x上3個不同的點，且ABAC，若拋物線上存在點D，使得線段AD總被直線BC平分，則點A的橫坐標是（

）A．1

B．2

C．3

D．4二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．有兩組樣本數(shù)據(jù)：x,x,,x122024

據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同C．樣本方差相同

B．樣本中位數(shù)相同D．樣本極差相同10．已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，（

）A．若asin

2

π3πB．若(sinBsinC)2sin2AsinBsinC，則A6π3AC22111111111A．截面多邊形的周長為2210

）B．截面多邊形的面積為

76

11C．截面多邊形存在外接圓D．截面所在平面與平面ABCD所成角的正弦值為

1111三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量

2,1，2，

r

.13．點Pa于直線xya0的對稱點在圓(x2)2y4)213內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是

.n1n

4

2nN*.若0，nn2C．在區(qū)間,上單調(diào)遞減；y1,y2,,y2024.其中yixi2024i1,2,,2024C．在區(qū)間,上單調(diào)遞減；y1,y2,,y2024.其中yixi2024i1,2,,2024，則這兩組樣本數(shù)ACbsinA，則BC．若a,b,c成等比數(shù)列，則BD．若a,b,c成等差數(shù)列，則tan3tan211．已知正方體ABCDABCD的棱長為2，過棱CC，AD，AB的中點作正方體的截面，則（abt,4若ab，則實數(shù)t3,關(guān)(14．用示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列足：a，aa滿x表31aa1，2，則an

；若

20241i1ai

.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)fsin3cosx.π6(2)求函數(shù)yfsin的單調(diào)遞增區(qū)間.16．小強和小基兩位同學(xué)組成“聯(lián)盟隊”參加兩輪猜燈謎活動.每輪活動由小強、小基各猜一個燈謎，他們猜對與否互不影響.若兩人都猜對，則得3分；若僅一人猜對，則得1分；若兩人都沒猜對，則得0分.已知小強每輪猜對的概率是

34

2，小基每輪猜對的概率是，各輪結(jié)果互不影響.3(1)求“聯(lián)盟隊”猜對4個燈謎的概率；(2)求“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．如圖，在四棱錐QABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，CD//AB，BCAB，平面QAD平面ABCD，QAQD，點M是AD的中點.(1)證明：QMBD.(2)點N是CQ的中點，ADAB2CD2，當直線MN與平面QBC所成角的正弦值為錐QABCD的體積.

427

時，求四棱18．已知橢圓G:

x29

y21的左、右頂點分別為A，A，點P為直線l:x2上的動點.12(1)求橢圓G的離心率.1212若不是，請說明理由.31，則(1)求f的值，x1，則(1)求f的值，xxxx(2)若PAPA，求點P的坐標.(3)若直線PA和直線PA分別交橢圓G于B，C兩點，請問：直線BC是否過定點？若是，求出定點坐標；exaxx.2ex123x2(3)當a2時，令gexf，g圖象在xm，xn(mn)處切線的斜率相同，記gg最小值為h求h最小值.（注：e2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）.1．C【分析】由一元二次不等式的解法和交集的運算得出即可.，所以S?T={x|-2<x￡1}=(-2,1]，故選：C2．B【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算法則即可得出結(jié)論.

ii12

.故選：B.3．D【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動，有A326種方法.故選：D4．D【分析】A、B、C選項可用賦值法判斷正誤，D選項根據(jù)指數(shù)與對數(shù)計算法則判斷.【詳解】設(shè)x1,y2則419．已知函數(shù)f(1)當a時，記函數(shù)f導(dǎo)數(shù)為fx求f0值.19．已知函數(shù)f(1)當a時，記函數(shù)f導(dǎo)數(shù)為fx求f0值.，的x的(2)當a1，x1時，證明：fcosx.【詳解】Tx∣x23x404x1∣a1xxx的mn的a，a的【詳解】1ii11i1ii7ln1ln27ln217ln2，A錯誤；7ln2ln3ln1ln2，B錯誤；7ln1ln27ln1ln2，C錯誤；7lnlnxlnylnxlny，D正確.故選：D.5．C【分析】x2而分析判斷.【詳解】設(shè)fsinxxcosx，fcosxcosxxsinxxsinx，πx在0222故選：C.6．A【分析】先將原式化為2xx2再用二項式通項計算即可.4x2的通項為T

k1

Ck2k，4前面括號內(nèi)出1時，令2k6k，此時C3；4前面括號內(nèi)出2x時，k無解，前面括號內(nèi)出x2時，令2k4k2，此時C26，4所以x6的系數(shù)為462，故選：A.7．Dππππ22225構(gòu)建函數(shù)fsinxxcosx，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得1sinxxcosxxcos2x,x0,構(gòu)建函數(shù)fsinxxcosx，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得1sinxxcosxxcos2x,x0,，進π當0x時fx0，可知f0,內(nèi)單調(diào)遞增，且f0，2所以當0x時，1sinxxcosxxcos2x恒成立，故若0x，則“xcos2x1”是“xcosx1”的充分必要條件【詳解】(1x)6(1x)4xx22xx2777117xy777xx1x24，1141kx【分析】利用賦值法，分別令x0，yt，xt，y，x，yt，得到313412π【詳解】解：令x0，yt，得ff2cost，ππ22ππ22由以上3式，得fsincost，x4則f周期為T2π，故A錯誤；f最大值為2，故B錯誤；πππ3πππx的x，x，4所以f不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.8．A【分析】4,并222444則

kBC

yy12y2y21244

4yy12

,同理kACyy

02

4

,kAB

01

4故直線BC方程為：yy1

2

4y2yy由ABAC得y0

4

y2

4yy01

1,整理得yyyy2160,②120120，6fsinxcosx2sinx逐項判斷.x4令xt，y，得fπtft0，令x，yt，得fπtft2sinfsinxcosx2sinx逐項判斷.x4令xt，y，得fπtft0，令x，yt，得fπtft2sint，即fsinxcosx2sinx.π，故f在區(qū)間,上不單調(diào)遞減，故C錯誤；令x,，則x0,444444因為fx2sinx，所以fxf且fxfπ說明直線BC過定點Ex0,y0求出A關(guān)于點E的對稱點代入拋物線即可求解.【詳解】設(shè)A0,y0，B1,y1，C2,y2，ttttx的x的x既yyyyy，x1y，y41整理得1y24xy1y2,①yy由①②兩式得1y2yy044x0即直線BC過點Ex0,y0yx4,A關(guān)于點E的對稱點即為點D8x,3y在拋物線上，008故選:A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查拋物線中的定點問題，關(guān)鍵是利用垂直得斜率的關(guān)系進而求出定點坐標.9．CD【分析】根據(jù)題意，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差，依次分析選項即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，對于數(shù)據(jù)x1，x2，L，x2024，假設(shè)x1x2x2024，設(shè)其平均數(shù)為x、中位數(shù)為m、方差為S2、極差為n，12024122024nxx，20241

121012

x1013

)，1S22024

[(xx)2(xx)2(xx)2(x1232024

x)2]，又由yixi2024(i1，2，L，2024)，設(shè)其平均數(shù)為y、中位數(shù)為m、方差為S、極差為n則

數(shù)

據(jù)

y1

，

y2

，

L

，

y2024

的

平

均

數(shù)

為1y(x2024x2024x2024122024

12024)(xxx2024122024

)x2024，11中位數(shù)m2(x10122024x10132024)2(x1012x1013)2024m2024，ny2024

y(x12024

2024)(x2024)n，12

12024

[(x2024x2024)2(x2024x2024)2(x122024

2024x2024)2]S2，故這兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同、極差也相同，平均數(shù)和中位數(shù)不同．故選：CD．10．ACD【分析】利用正弦定理、余弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換逐一判斷即可.7代入得4x09y0236x0，解得x01.則x代入得4x09y0236x0，解得x01.則x(xxx)，m(x，2方差S【詳解】選項A：由正弦定理可得

sinAsin

AC2

sinBsinA，因為ABC中A,BπABπ，所以sin

AC2

sinB，所以

πBsin2

BBB2223選項B：若sin2B2sinBsinCsin2Csin2AsinBsinC，則由正弦定理整理可得a2b2c2bc，b2c2a22bc

1，2π3選項C：若a,b,c成等比數(shù)列，則b2ac，a2c2b22ac

2acac2ac

12π3選項D：若a,b,c成等差數(shù)列，則2bac，根據(jù)正弦定理可得

A

2

cos

AC2

AC2sin2

cos

AC2

，因

為

A,Cπ

，

所

以

2cos

AC2

cos

AC2

，

展

開

得A2coscos2

C2

ACA2sinsincoscos222

C2

AC22即

ACAC2222A2

C2

ACAC2222

13AC所以tan3tan22

AC23tantan22

AC22故選：ACD11．AB【分析】根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長關(guān)系即可求出邊長和面積；判斷截面多邊形各邊長垂直平分線是否交于一點即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平面與平面ABCD所成角.【詳解】連QR，延長交直線C1D1，C1B1的延長線于點F，E，連PF交DD1于N，連PE交BB1于M，80,，Ccos2sincos，解得Bπ，A說法正確；又由余弦定理可得cosA因為Aπ所以A，B說法錯誤；0,，根據(jù)余弦定理可得cosB，當且僅當ac時等號成立，所以B，C說法正確；2sinBsinAsinC，所以2sinC4sinA0,，Ccos2sincos，解得Bπ，A說法正確；又由余弦定理可得cosA因為Aπ所以A，B說法錯誤；0,，根據(jù)余弦定理可得cosB，當且僅當ac時等號成立，所以B，C說法正確；2sinBsinAsinC，所以2sinC4sinAC0,sinsin，coscos3sinsin0，兩邊同除coscos得13tantan0，即tantan，2，當且僅當tan3tan時等號成立，D說法正確；連QN，RM得到截面五邊形PNQRM

，連接P與FE的中點O.2103

，QR2，MRNQ

103

，因此周長為2210，故A正確.FE32，PF10，PO22，S2PFE

12

222

31122

，SFNQ

SMRE

1sinPFEFNFQ2

116

，7截面多邊形的面積為SPFEFNQMRE6

11，故B正確.VPNQ與PMN是公用一個頂點的全等三角形，兩個三角形的外心不重合，所以這個五邊形沒有外接圓，故C錯誤.根據(jù)二面角定義可知A1OP為截面與底面所成角，A1O

22

，AP3，根據(jù)余弦定理可得1cosAOP1

AO2OP2AP2112AOOP1

31111

，故sinAOP1

2211

，故D錯誤.故選AB.12．1【分析】依題意可得a，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.r【詳解】因為a2,1，2且所以a2t，解得t.故答案為：113．4a10【分析】首先求對稱點，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，列式求解.【詳解】設(shè)點Pa于直線xya0的對稱點為y9由Q，R為中點，MPNP3SSbt,4ab，b0b214013,關(guān),x，由Q，R為中點，MPNP3SSbt,4ab，b0b214013,關(guān),x，則22

1

a0

x0，得

，22故答案為：4a1014．

2n2，3

2【分析】23當

1時，由題目中的遞推關(guān)系式可得an1

n

1an

11a1ann

1

，a20252，即可求解.【詳解】，，2322n3n3，，∴an1

n

1an

11a1ann

1

.4因為a13，所以

20241aaaaii122024111111223202411a1a1202513a2025

1

11a2025

41339

133，a381

6916，a46561

12.因為an1an，所以a20252，0a

12025

1

1，10yax33xayya3又題意可知，13，解得：4a10.當0，2時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列n2等比數(shù)列，求出an22n1yax33xayya3又題意可知，13，解得：4a10.當0，2時，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列n2等比數(shù)列，求出an22n1，進而得出an；a是a，1當0，2時，an12n1即an122n2aa則數(shù)列n2以a12為首項，2為公比的等比數(shù)列.a是所以na22n1，即a2.當1時，an1an2n1即an11ann1且an1ann10，aaa2a，11111aa1a1a1a111由a1，an1an2an1可得：a220241i1i2n故答案為：2；2.3【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前n項和.利用構(gòu)造法即可求解第【分析】

ππ2ππ6

3

111nnaaannn

1

，a20252是解答第二空的關(guān)鍵.（2）化簡

x

1ππ2令

ππ3πkπ2xkπ,Z，即可得出答案.262πππ1

662

32

1.（2）

x

1122

32

1π

1ππ2令

ππ3πkπ2xkπ,Z，262解得：

π2πkπxkπ,Z，63.3123X46【分析】（1）題意可知小強和小基兩位同學(xué)兩輪猜謎都猜對，根據(jù)獨立重復(fù)事件計算方式計算即可；（2）“聯(lián)盟隊兩輪得分之和X0,1,2,3,4,6根據(jù)獨立重復(fù)事件計算方式計算這6種情況概率即可.PPABB121

2

22

11則a2.一空；借助遞推關(guān)系式得出aa，15．(1)f1(2)kπ,kπZk（1）將x代入化簡即可得出答案；111yfsinx，求ysin2x的單調(diào)遞增區(qū)間即求ysin2x的單調(diào)遞減區(qū)間，6622k【詳解】（1則a2.一空；借助遞推關(guān)系式得出aa，15．(1)f1(2)kπ,kπZk（1）將x代入化簡即可得出答案；111yfsinx，求ysin2x的單調(diào)遞增區(qū)間即求ysin2x的單調(diào)遞減區(qū)間，6622k【詳解】（1）fsin3cos36yfsinxsin2x3sinxcosxcos2xsin2xsin2x,62求ysin2x的單調(diào)遞增區(qū)間即求ysin2x的單調(diào)遞減區(qū)間，6622kkk所以所求的單調(diào)增區(qū)間為kπ,kπZπ2π616．(1)(2)分布列見解析，E【詳解】（1）解：記事Ai：兩輪猜謎中，小強猜中第i個；事件Bi：兩輪猜謎中，小基猜中第i個.i1,2”，231344A（2）“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X0,1,2,3,4,612121X43144PC12

C

1

472P2C12

31122544333434144P3C12

31124433

1125X1222321X344所以“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列為XP

01144

1572

225144

3112

4512

61423X6

.32

334【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)可得QM平面ABCD，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）方法一：取BC中點F，作MGQF，由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得MG平面QBC，由線面角定義可知sinMNG

427

，根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造方程求得QM，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果；方法二：取BC中點F，以F為坐標原點可建立空間直角坐標系，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得QM，代入棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）M是AD中點，QAQD，QMAD，平面QAD平面ABCD，平面QAD平面ABCDAD，QM平面QAD，QM平面ABCD，又BD平面ABCD，QMBD.（2）方法一：取BC中點F，連接MF,QF，作MGQF，垂足為G，連接NG,MC，12P03112443125233X1P03112443125233X1X12322212XP4P6所求數(shù)學(xué)期望E17．(1)證明見解析(2)或M,F分別為AD,BC中點，AB//CD，MF//AB，又BCAB，MFBC；由（1）知：QM平面ABCD，BC平面ABCD，QMBC；QM,MF平面QMF，QMMFM，BC平面QMF，MG平面QMF，BCMG，又MGQF，QFBCF，QF,BC平面QBC，MG平面QBC，直線MN與平面QBC所成角為MNG，sinMNG設(shè)QMa0

427

，12

AB

3，BC2

2MCMF

2

1122

a23，又

QMQF

3294

3a94a2

，3aMGsinMNGMN

2

94a2a23

427

32V

QABCD

1132

ABBCQM

32

QM

，當QM3時，V

QABCD

3322

QABCD

334

.綜上所述：四棱錐QABCD的體積為

32

或

334

.方法二：取BC中點F，連接MF，M,F分別為AD,BC中點，AB//CD，MF//AB，又BCAB，MFBC；由（1）知：QM平面ABCD，13a，MFCD1AD2AB3，21BC23，MNQC2MGaa2MF1，解得：aa，MFCD1AD2AB3，21BC23，MNQC2MGaa2MF1，解得：a3或a，CD；當QM時，V設(shè)QMa012

AB

3，BC2

2

3

32

3

,

3a,3

3a33

x，BC3y則33CQx22

yaz0

2；MNcosMN,nMNn

4

3a4a2

427，解得：a3或

3a，2V

QABCD

1132

ABBCQM

32

QM

，當QM3時，V

QABCD

3322

QABCD

334

.18．(1)

22

333243

.【分析】（1）直接由定義求出即可；（2）設(shè)出坐標，結(jié)合已知條件由射影定理求出即可；14以F為坐標原點，F(xiàn)M,FB正方向為x,y軸正方向，過F作z軸//QM，可建立如圖所示空間直角坐標系，a，MFCD1AD2AB3，2M,0,0，Q,0,a，B0,2,0，C,0，N42，33MN,4以F為坐標原點，F(xiàn)M,FB正方向為x,y軸正方向，過F作z軸//QM，可建立如圖所示空間直角坐標系，a，MFCD1AD2AB3，2M,0,0，Q,0,a，B0,2,0，C,0，N42，33MN,4,，BC0,3,0，CQ,422,a；設(shè)平面QBC的法向量n,y,z，令x2a，解得：y0，z3，na,0,3n0n3a2n9CD；當QM時，V綜上所述：四棱錐QABCD的體積為或(2)2,5或2,5(3),092（3）兩次利用直曲聯(lián)立，表示出點B,C的坐標和直線BC的斜率，由點斜式寫出直線BC方程，即可求出直線過的頂點.c22【詳解】（1）橢圓G的離心率為ea3（2）2,，∴P2,5或P2,5（3）2,px代152

25x254p2x81p22250，2xx∴x，∴1

9225

159p225∴

B

225

,

30pAp2254p2x81p

2

90，

15設(shè)Pp直線x2交x軸于點Q，由PA1PA2，∴|PQ|2QA1QA25PpA設(shè)Pp直線x2交x軸于點Q，由PA1PA2，∴|PQ|2QA1QA25PpA3,0A，1，23,0，l:y3入x29y29得：∴AP9pp242252225設(shè)B1,y1C2,y2，9p225225p30pxy，19p22539p9p2259p22539p.l:y入x2y29得：9p1x2281p299p21

326p

x

2∴

C,

6p∴kBC

p6p

9p21

∴

4p9p25

x

6p9p29p29p2ypx9p25

6p

14px99恒過定點為132

2ln2222ex

x

1exx

，然后求導(dǎo)后求解；exxx，利用導(dǎo)數(shù)法證明；2ex，1(a1)2241mnt2【詳解】（1）解：當∴f2ex

x222ex，∴f1；

1exx

，（2）當x1時，

f

2ex