2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：梯形問題綜合訓(xùn)練 刷題練習(xí)題匯編（含答案）

2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：梯形問題綜合訓(xùn)練刷題練習(xí)題匯編

1.已知，如圖，在直角梯形COAB中，CBIIOA,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、

B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A

點(diǎn)出發(fā)沿A玲B玲C玲。的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒.

(1)求過點(diǎn)0、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)求AB的長(zhǎng)；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)AAPD的面積為S,寫出S與t

的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此

時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

2.已知：如圖，在直角梯形COAB中，OCIIAB,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A,

B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t

秒.

(1)求直線BC的解析式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積

的N

7

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)AOPD的面積為S,請(qǐng)直

接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(4)試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q,使四邊形

CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.如圖，以RtAABO的直角頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.己知OA=4,OB=3,一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1

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個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿A0返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)

沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0).

(1)試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①.求

出此時(shí)AAPQ的面積.

(3)在點(diǎn)P從。向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰

梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(4)伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-B0

-0P于點(diǎn)F.當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)。時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值.

4.如圖，在RSABO中，OB=8,tanNOBA=2若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x

4

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC.若拋物線

y=ax?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P,求四邊形OAPB的面積；

(3)有兩動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAB

按。玲A玲B的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按O玲B玲A的路線運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，AOMN的面積

為S.

①請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

②判斷在①的過程中，t為何值時(shí)，AOMN的面積最大？

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5.如圖(1),以梯形OABC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)

系.梯形其它三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A(14,0),B(11,4),C(3,4),點(diǎn)E以每秒2

個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F以每秒3個(gè)單位的速度，從O

點(diǎn)出發(fā)沿折線OCB向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

(1)當(dāng)t=4秒時(shí)，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形COEF是直角梯形？

(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形COEF能否成為一個(gè)菱形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)

簡(jiǎn)要說明理由，并改變E、F兩點(diǎn)中任一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，使E、F運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)，四邊

形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值

6.如圖，己知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(12,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8,4),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位

的速度移動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D移動(dòng).當(dāng)

點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng).設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求當(dāng)t為何值時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上；

(2)設(shè)順次連接OCFE,設(shè)這個(gè)封閉圖形的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量

t的取值范圍；

(3)求當(dāng)t為何值時(shí)，以0、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

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7.如圖，已知A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(28,0)和(0,28),動(dòng)點(diǎn)P從A開始在線段AO

上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向上平行移動(dòng)(即EFIIx軸)，并且分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E,F,連接FP,設(shè)

動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=l秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；

(2)t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？

(3)當(dāng)梯形OPFE的面積等于AAPF的面積時(shí)，求線段PF的長(zhǎng).

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=-Vx+3分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)

4

A、點(diǎn)B.動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從0、A同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)點(diǎn)位長(zhǎng)度的速度沿OA

方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速度沿AO返向；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-0方向向O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)

停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖1,在某一時(shí)刻將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處，求此時(shí)

AAPQ的面積；

(3)若D為y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)P從。向A運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊

形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)如圖2,在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點(diǎn)E,交折線

QB-BO-OPF.問：是否存在某一時(shí)刻t,使EF恰好經(jīng)過原點(diǎn)0?若存在，請(qǐng)求出

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所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(30,0),B

(24,6),C(8,6).點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)

這兩點(diǎn)有一點(diǎn)達(dá)到自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(用t表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)；

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPQC為等腰梯形？

②是否存在實(shí)數(shù)t,使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說

明理由.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸

上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上.己知NC=NCDA=90。，AB=10,對(duì)角線BD平分NABC,

且tanZDBO=—

3

(1)求直線AB的解析式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)

點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著線段DA終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QHLAB,

垂足為點(diǎn)H,當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一的也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)線段朋的長(zhǎng)度為y,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為t,求y與t的函數(shù)關(guān)系式；(請(qǐng)直接寫出自變量t的取值范圍)

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(3)在(2)的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對(duì)應(yīng)線段為AT,當(dāng)t為何值時(shí),

ATIICD,并通過計(jì)算說明，此時(shí)以K為半徑的0P與直線QH的位置關(guān)系.

7

11.如圖1,在RSABC中，NA=90。，AB=AC,BC=4&,另有一等腰梯形DEFG

(GFIIDE)的底邊DE與BC重合，兩腰分另U落在AB,AC±,且G,F分別是AB,AC

(1)求等腰梯形DEFG的面積；

(2)操作：固定△ABC,將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng)，

直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEFG(如圖2).

探究1：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形BDGG能否是菱形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不能，

請(qǐng)說明理由；

探究2：設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)

系式.

12.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABIIDC,NDAB=45。，AB=10cm,CD=4cm.等腰直

角三角形PMN的斜邊MN=10cm,A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯

形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以Icm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N

與點(diǎn)B重合為止.

(1)等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由—

形變化為形；

(2)設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)x(s)時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD

重疊部分的面積為y(cm2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)①x=4(s),②x=8(s)時(shí)，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分

的面積.

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13.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABHCD,ZA=60°,AD=DC=CB=2,點(diǎn)P是AD上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)且AP=AQ,在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形

PQMN,點(diǎn)N在CD上.設(shè)AQ=x,矩形PQMN的面積為y.

(1)求等腰梯形ABCD的面積；

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形PQMN是正方形；

(4)矩形PQMN面積最大時(shí)，將APQN沿NQ翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,請(qǐng)判斷此時(shí)

ABMP的形狀.

14.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD,ADIIBCIIx軸，AB=CD,AD=2,

BC=8,AB=5,B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,5).

(1)直接寫出下列各點(diǎn)坐標(biāo).A(,)C(,)D(,)；

(2)等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積(保留兀)；

(3)直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)關(guān)系式；

(4)若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A,B,C,D四點(diǎn)都在拋物線上？若

能，請(qǐng)說理由；若不能，將"拋物線y=x2"改為"拋物線丫=穌2",試確定m的值，使得拋物

線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時(shí)經(jīng)過A,B,C,D四點(diǎn).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是(1,2加)、(4,0)、(3,

2證)，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AOCD是等腰梯形；

(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC和MC上運(yùn)動(dòng)，且保持NMPQ=60。不變.設(shè)PC=x,MQ=y,

求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)中：試探究當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O首次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E(3,0)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

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16.如圖1,在等腰梯形ABCD中，ABHCO,E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFIIOC交BC

于F,AO=4,OC=6,ZAOC=60°.現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)。與

原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMLEF交0C于點(diǎn)M,過M作MNIIAO

交折線ABC于點(diǎn)N,連接PN.設(shè)PE=x.APMN的面積為S.

①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.若存在，求出面積的最大

值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在0C上，NEDG=90。，且DG=3,

HGIIBC）.現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO,將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的

速度沿0C方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)

動(dòng)后的直角梯形為E，DGH；探究：在運(yùn)動(dòng)過程中，等腰梯ABCO與直角梯形EDGH，重

合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

17.如圖，R3AOB中，ZOAB=90°,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0A所在的直線為x軸建立平面

直角坐標(biāo)系，將AOAB沿0B折疊后，點(diǎn)A落在第一象限的點(diǎn)C處，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是

（入行，2）；一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過0、C、A三個(gè)點(diǎn).

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）直線0C上是否存在點(diǎn)Q,使得AAQB的周長(zhǎng)最小？若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不

存在請(qǐng)說明理由；

（3）若拋物線的對(duì)稱軸交0B于點(diǎn)D,設(shè)P為線段DB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PMIIy軸交拋物

線于點(diǎn)M,問：是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)

坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.

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18.如圖1,等腰梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=g｝，AD=5,BC=3.以AD所在的

直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.拋物線y=ax2+bx+c

經(jīng)過0、C、D三點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線與BC交于點(diǎn)E,P是該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖2）：

①若直線PC把四邊形A0EB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達(dá)式；

②連接PB、PA,是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐

標(biāo)，并直接寫出相應(yīng)的APAB的外接圓的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.在等腰梯形ABCD中，已知AB=6,BC=2y，NA=45。，以AB所在直線為x軸，A

為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到等腰梯

形OEFG（0、E、F,G分別是A、B、C、D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（圖1）

（1）寫出C、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的OA=x（圖2）,等腰梯形ABCD

與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y,當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x

之間的關(guān)系式；

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20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,0),ZOBA=90°,BCIIOA,OB=8,點(diǎn)E從

點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)

度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)求梯形OABC的高BG的長(zhǎng)；

(2)連接E、F并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)D,當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到幾秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形；

(3)動(dòng)點(diǎn)E、F是否會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？如果會(huì)，請(qǐng)直接寫出這時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、

F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由.

21.如圖，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,ZB=90°,AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5

厘米，AB為。。的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，

動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)求。O的直徑；

(2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD

為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCD的面積；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使直線PQ與。O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

22.如圖1,在等腰梯形ABCD中，BCIIAD,BC=8,AD=20,AB=DC=10,點(diǎn)P從A點(diǎn)

出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A玲B玲C的路線移動(dòng)，且PQIIDC,若

AP=x,梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S.

(1)分別求出點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范

圍；

(2)當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？

(3)在(2)的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF

的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線1

經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？(只要求說出條件，不

需證明)

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cBB

圖1圖2

23.現(xiàn)有邊長(zhǎng)為180厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能

通過的水的流量最大.

某校九年級(jí)（2）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截

面面積越大，則通過水槽的水的流量越大.為此，他們對(duì)水槽的橫截面，進(jìn)行了如下探

索：

（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖.

若NABC=90。，設(shè)BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2,請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖.

若NABC=120。，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比

較大小.

（2）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供一種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面

積更大.畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）.

24.某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一種高為60cm的簡(jiǎn)易廢紙箱.如圖1,廢紙箱的一

面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙板圍

成.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的

容積越大.

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///；/////////!//////////////////

L\60-6(ry

橫截面圖形xcm

-i匚xcm\________/

J與X的函

2

v=--X4-30Xy=小x，+30>/5X

數(shù)關(guān)系式▼2

J取最大值

時(shí)x(cm)3020

的值

武力)取

450300后

得的最大值

y取最大值////////1///////

時(shí)的設(shè)計(jì)示

意圖

(1)該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡(jiǎn)便且易操作的三種橫截面圖形，如圖2,

是根據(jù)這三種橫截面圖形的面積y(cm2)與x(cm)(見表中橫截面圖形所示)的函數(shù)關(guān)系

式而繪制出的圖象.請(qǐng)你根據(jù)有信息，在表中空白處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，并完成y取最大

值時(shí)的設(shè)計(jì)示意圖；

xcm

(2)在研究性學(xué)習(xí)小組展示研究成果時(shí)，小華同學(xué)指出：圖2中"底角為60。的等腰梯形"

的圖象與其他兩個(gè)圖象比較，還缺少一部分，應(yīng)該補(bǔ)畫.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要

說明理由.

底角為&r的等腰梯毯

X矩形

a直角三角形

0|101520~30~40~50~60~

圖2

25.如圖(1),四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,使得SAAPD+SABPC=SAPAB+SAPCD,那么這

樣的點(diǎn)P叫做四邊形ABCD的等積點(diǎn).

(1)如果四邊形ABCD內(nèi)部所有的點(diǎn)都是等積點(diǎn)，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形.

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①請(qǐng)寫出你知道的等積四邊形：，,,_

___________,(四例)

②如圖(2),若四邊形ABCD是平行四邊形且SAABP=8,SAAPD=7,SABPC=15,貝|

SAPCD=.

(2)如圖(3),等腰梯形ABCD,AD=4,BC=10,AB=5,直線1為等腰梯形的對(duì)稱軸,

分別交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

①請(qǐng)?jiān)谥本€1上找到等腰梯形的等積點(diǎn)，并求出PE的長(zhǎng)度.

②請(qǐng)找出等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點(diǎn)，并畫圖表示.

26.如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，ADIIBC,

ABLBC于點(diǎn)B,AD=4,AB=6,BC=8,直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相

等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng).設(shè)梯形與正

方形重疊部分的面積為S.

(1)求正方形的邊長(zhǎng)；

(2)設(shè)直角梯形ABCD的頂點(diǎn)C向右移動(dòng)的距離為x,求S與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)直角梯形ABCD向右移動(dòng)時(shí)，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯

形ABCD面積的一半？若能，請(qǐng)求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離x的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

27.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(2,0),直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、

B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上(如圖示)

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(A、B兩端點(diǎn)除外)，過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交

于點(diǎn)Q,設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為1,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求出1與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自

變量x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PQMA為梯形？若存在，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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28.如圖1所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，ABHOC,NABC為直角，

過點(diǎn)A、0作直線1,將直線1向右平移，設(shè)平移距離為t(侖0),直角梯形OABC被直線

1掃過的面積(圖中陰影部分)為s,s關(guān)t的函數(shù)圖象如圖2所示，0M為線段，MN為拋

物線的一部分，NQ為射線.

(1)求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積；

(2)如圖3,矩形ODEF的兩邊OD、OF分別落在坐標(biāo)軸上，且0D=4,0F=3,將矩形

ODEF沿x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè)矩形ODEF的頂點(diǎn)0向右平移的距離為x(0<x<7),

求矩形ODEF與梯形OABC重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)平移距離x=____________時(shí)，重疊部分面積S取最大值______________.

29.如圖,在△ABC中，ZC=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HFIIDE,

NHDE=90。)的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4,ZDEF=ZCBA,AH：

AC=2：3

(1)延長(zhǎng)HF交AB于G,求AAHG的面積.

(2)操作：固定△ABC,將直角梯形DEFH以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向向右移動(dòng)，

直到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為DEFH，(如圖).

探究1：在運(yùn)動(dòng)中，四邊形CDHH能否為正方形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)

說明理由.

探究2：在運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC與直角梯形DEFH，重疊部分的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)

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第15頁(yè)共69頁(yè)

參考答案

1.已知，如圖，在直角梯形COAB中，CBII0A,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、

B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A

點(diǎn)出發(fā)沿A玲B玲C玲O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒.

(1)求過點(diǎn)0、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)求AB的長(zhǎng)；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)AAPD的面積為S,寫出S與t

的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此

時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

解解：(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax?+bx+c(a*0)

答：fc=0

依題意，得h00a+10b=0，

16a+4b=8

2

故所求拋物線的解析式為y=-1X+M；

33

(2)作BE_LOA與E,OE=BC=4,

???在RtAABE中，AE=OA-OE=6,BE=OC=8,

AB=VAE2+BE2=1°-

解法一：作OF_LAB于F,DH_LAB于H,

OA?BE=AB?OF,

第16頁(yè)共69頁(yè)

,

.OF=0ABE=8>DH=1OF=4,

AB2

S=lAP?DH=ltx4=2t(0<t<10)；

22

解法二：?;遼池二絲,SAABD=1AD?BE=1X5X8=20.

^AABD皿22

._S-t

"20To'

S=2t(0<t<10)；

(3)點(diǎn)P只能在AB或OC上才能滿足題意，

S梯形COAB=2(BC+OA).OC=1X(4+10)x8=56,

22

(i)當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

由SAAPD=—S梯形COAB,

4

得。OD?y=」x56,解得y=_Z§,

245

由SAAPD=lAP?DH=ltx4=14,得t=7.

22

此時(shí)，作BG_LOA于G,由勾股定理得(AO-x)2+y2=AP2,即(10-x)2+(^)

5

2=72,

解得X=4,即在7秒時(shí)有點(diǎn)Pl(空，28)滿足題意；

555

(ii)當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,y).

由SAAPD=1S梯形COAB,得工AD?y=2x56,解得y=/，

4245

此時(shí)t=10+4+(8-圓)=16.?.即在t=162秒時(shí)，有點(diǎn)P2(0,滿足題意；

5555

綜上，在7秒時(shí)有點(diǎn)P1(2128),在162秒時(shí)有點(diǎn)P2(0,當(dāng))使PD將梯形COAB

5555

第17頁(yè)共69頁(yè)

2.已知：如圖，在直角梯形COAB中，OCIIAB,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A,

B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(8,0),B(8,10),C(0,4),點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t

秒.

(1)求直線BC的解析式；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)AOPD的面積為S,請(qǐng)直

接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

(4)試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q,使四邊形

CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解解：(1)設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b,

答：因?yàn)橹本€BC過B(8,10),C(0,4)兩點(diǎn)，可得:

(8k+b=10,

lb=4

解得k=2,b=4,

4

因此BC所在直線的解析式是y=^x+4；

4

(2)過D作DE_LOA,

則DE為梯形OABC的中位線，OC=4,AB=10,

則DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,

則四邊形OPDC的面積為16,SACOD=8,

「?SAPOD=8,

即Ltx7=8,

2

得t=16.

7

第18頁(yè)共69頁(yè)

(3)分三種情況

?0<t<8,(P在0A上)

7

S三角形OPD='t

2

②8ct418,(P在AB上)

S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S三角形PBD

=56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t

(此時(shí)AP=t-8,BP=18-t)

③過D點(diǎn)作DM垂直y軸與M點(diǎn)

/.CM=3,DM=4,CD=5,

ZBCH的正弦值為W

5

CP長(zhǎng)為28-t

PH=22.4-0.8t

S三角形OPD二S三角形OPC-S三角形ODC

=1x4(22.4-0,8t)-8

2

55

(4)不能.理由如下：作CM_LAB交AB于M,

則CM=0A=8,AM=0C=4,

MB=6.

.,.在RtABCM中，BC=10,

CD=5,

若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5,

且PQIICD,

RtAPAQsRtABDP,

設(shè)BP=x,則PA=10-x,

?.?.x-----5--,

510-x

化簡(jiǎn)得x?-10x+25=0,x=5,即PB=5,

PB=BD,這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形.

第19頁(yè)共69頁(yè)

3.如圖，以R3ABO的直角頂點(diǎn)0為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.己知OA=4,OB=3,一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)

沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng),設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0).

(1)試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①.求

出此時(shí)△APQ的面積.

(3)在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰

梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(4)伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-BO

-OP于點(diǎn)F.當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值.

第20頁(yè)共69頁(yè)

B

解解：（1）在RSAOB中，OA=4,OB=3

答.J----------------

①P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP=AQ=t,AP=4-t

過Q作QHLAP于H點(diǎn).

由QHIIBO,得

QH二OB得QH=1t

AQ^AB'5

1-I3

s△虻Q《AP?QH=5（4-t）--t

即S△"-右23

②當(dāng)4＜長(zhǎng)5時(shí)，即P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=t-4AQ=t

sinZBA0=?g

t-5

QH="|t，

5

13

sAAPQ=-^（t-4）1t

zb

第21頁(yè)共69頁(yè)

綜上所述，SAPQ=

ATj^rt2（4<t<5）

105

（2）由題意知，此時(shí)△APQV△DPQ,ZAQP=90°,

cosA=-^=—=—,

APAB5

當(dāng)0<t<4:.t2即于1

4-t-5J9

當(dāng)4<t<5時(shí)，—L_=W,t=-16（舍去）

t-45

?w-一當(dāng)2￡2.

"SAAPQ-TO1行>27’

（3）存在，有以下兩種情況

①若PEIIBQ,則等腰梯形PQBE中PQ=BE

過E、P分分別作EM_LAB于M,PN_LAB于N.

則有BM=QN,由PEIIBQ,

得述0,

OB-OA

BM=1（3等）；

54

又「AP=4-1,

AN=—（4-t），

5

QN=^|（4-t）-t，

由BM=QN,得2（3-^t）（4-t）-t

545

.28

?,t=--9

27

?■?E（0,-J）；

9

②若PQIIBE,則等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ_LOA于P點(diǎn)

由題意知AP^AQ=4t

55

OP+AP=OA,

t+-1t=4

.t_20

9

第22頁(yè)共69頁(yè)

OE=i,

3

二點(diǎn)E（0,-g）

3

由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0,工）或（0,-i）.

一一93

（4）①當(dāng)P由。向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t.

可得NQOA=ZQAO/.ZQOB=ZQBO

OQ=BQ=t/.BQ=AQ=1AE

2

..;5.

2

②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8-t

BQ=5-1,（5-t）,0G=3-（5-t）

55

在RtAOGQ中，OQ2=QG2+OG2

即（8-t）2=R（5-t）]2+[3-^（5-t）]2

55

圖②

4.如圖，在RtAABO中，OB=8,tanNOBA=2若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x

4

軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC.若拋物線

y=ax?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P,求四邊形OAPB的面積；

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（3）有兩動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)0出發(fā)，其中點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線OAB

按。玲AfB的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線按O玲B玲A的路線運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，AOMN的面積

為S.

①請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

②判斷在①的過程中，t為何值時(shí)，40MN的面積最大？

解：(1).；tanNOBA=P^=g,

OB4

二OA=OB?tanNOBA=8x±=6,則A的坐標(biāo)是(6,0)

OB=4OC,

OC=1OB=2,貝ijC的坐標(biāo)是(-2,0).

.??拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,

36a+6b+c=0

則<c=-8

4a_2b+c=0

解得：|c=-8,

?=-3

則拋物線的解析式是：y=-?x2-Jx-8；

33

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_8

(2)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=——5=2,

2Xi

縱坐標(biāo)是：y=2x22-Jx2-8m一絲

333

則P的坐標(biāo)是：(2,-邃).

3

S四邊形OAPB=S梯形ODPB+SAAPD=(8+—)xoxJ：+J：x(6-2)x迎

3223

=40；

(3)當(dāng)0<tv2時(shí)，SAOMN=—x4tx2t=4t2；

2

當(dāng)t=2時(shí)，S最大，最大值為16；

當(dāng)2<t<3時(shí)，BN=4t-8,AN=10-(4t-8)=18-4t.

作NQLx軸于Q點(diǎn)，則蜒

ANAB105

第2