2024年“極光杯”線上考試（一）試題及答案

2024年“極光杯”線上測(cè)試（一）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.cos（-60°）=

A-R括C“6

2B-T2D-

2.設(shè)集合N={2,3,4,5,6},8={l,a+2,2a+l},若NU8={xeN*|x<7},則/（1臺(tái)=

A.{2,3}B.{3,4}C.{4,5}D.{5,6}

3.若5個(gè)正數(shù)之和為2,且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是

4.設(shè)平面向量a,方滿足|a|=2,|們=3,|a+川=4,則cos〈a,?=

A.-B.-C.--D.--

3434

5.對(duì)于各數(shù)位均不為0的三位數(shù)次，若兩位數(shù)月和泥均為完全平方數(shù)，則稱詼具

有“S性質(zhì)”，則具有“S性質(zhì)”的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.2B.3C.4D.5

6.設(shè)a=log20.7,b=log30.6,c=log030.2,則

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

7.在二面角a—/—/中，點(diǎn)Zea,Be/3,C,Del,AB11,且48與半平面a,

尸所成的角相等，貝U=是=的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

8.已知凸四邊形4SCZ）內(nèi)接于圓O,ZABD=2ZCBD,也=^~，則處的最大

CD3AC

值為

AV6c26「4V2n3A/3

2355

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.設(shè)雙曲線Ox2—3/=1,貝U

A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.。的焦距為4

C.。的離心率為2D.。的漸近線方程為x土島=0

,,2

10.設(shè)函數(shù)/(x)=x----31nx,記/(x)的極小值點(diǎn)為可，極大值點(diǎn)為看，則

X

A.xr+x2=3B.Xj<x2

C./(x1)+/(x2)=-31n2D.fgvfg)

11.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃Q2),P(2<X<3)<P(3<X<4).記X的密度

函數(shù)為/(x),h>Q,則

1,1

A.P(X<3)>-B.P(X2<9)<-

P(3<X<3+“)nP(3-//<X<3)

J7</7：/

hn

12.已知實(shí)數(shù)x,y滿足|x+y|+|x|+|y|=2,則

A.-IWx+yWlB.—2Wx—yW2C.1x2+j22D.-

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)z=(2+i)2—(1+2講，則|z+8i|=.

14.若某圓錐的側(cè)面積為底面積的百倍，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值

為.

22

15.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓二+==10>6〉0)的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，點(diǎn)尸為

橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為:，。。的斜率為2,則均2的斜率為-

16.在(l+ax)8的展開式中，若一的系數(shù)為—56,則。=；若展開式中有且僅

有X4項(xiàng)的系數(shù)最大，則。的取值范圍是.

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）

已知直線工=巴和x=N是函數(shù)f（x）=sin（<ux+（p）[m>0,0<^?<7i）圖像兩條相鄰的

63

對(duì)稱軸.

（1）求/（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間；

（2）保持/（x）圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的工（a>0）倍，得到函

a

數(shù)〉=g（x）的圖像?若g（x）在區(qū)間（0,兀）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍?

18.（12分）

為考查一種新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，現(xiàn)從一批患者中隨機(jī)抽取100名

患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療，記其中采用新治療方案

與標(biāo)準(zhǔn)治療方案治療受益的患者數(shù)分別為X和y.在治療過(guò)程中，用指標(biāo)/衡量患者是

否受益：若〃-crW/W〃+cr,則認(rèn)為指標(biāo)/正常；若/>〃+cr,則認(rèn)為指標(biāo)/偏高；

若/<〃-。，則認(rèn)為指標(biāo)/偏低.若治療后患者的指標(biāo)/正常，則認(rèn)為患者受益于治療

方案，否則認(rèn)為患者未受益于治療方案.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，受益于標(biāo)準(zhǔn)治療方案的患者比

例為0.6.

（1）求￡（y）和。（7）；

（2）統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于樣本的函數(shù)，選取合適的統(tǒng)計(jì)量可以有效地反映樣本信息、.設(shè)

采用新治療方案治療第，?位的患者治療后指標(biāo)/的值為毛，i=2,50,定義函數(shù):

1,毛〉〃+b

[a）=<o,〃—bw/w〃+b?

-1,巧<〃一（7

（i）簡(jiǎn)述以下統(tǒng)計(jì)量所反映的樣本信息，并說(shuō)明理由.

①/="（七）|+"。2）|+-一+"（七0）|；

②Eja）+1]+小2"a?）+1]+…+/（%。"a。）+i]

—2’

（ii）為確定新的治療方案是否優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案，請(qǐng)?jiān)冢╥）中的統(tǒng)計(jì)量中選擇一

個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的取值作出統(tǒng)計(jì)決策.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共4頁(yè)）

19.（12分）

如圖，五面體48-C￡>￡產(chǎn)的底面CDE產(chǎn)是矩形，48〃底面C￡>￡9，45到底面

CDEF的距離為1,AC=CF=FA=AB=BD=DE=EB=2.

(1)證明：平面48C。，平面9;

(2)設(shè)平面NC9口平面=/.

(i)證明：/〃底面

(ii)求/到底面COE9的距離.

20.(12分)

已知等比數(shù)列｛6｝的公比q〉l,%,%，%-1成公差為d的等差數(shù)列?

(1)求q+d的最小值；

(2)當(dāng)a”取最小值時(shí)，求集合N=｛*1*eN*｝中所有元素之和.

21.(12分)

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為拋物線/=4x上異于。的一點(diǎn)，5(-1,4),C(-4,0).

(1)求|481的最小值；

(2)求tanN4cB的取值范圍；

(3)證明：ZACBZACO.

22.(12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=上，g(x)=esin"+ecos\

ex

(1)求曲線y=/(x)平行于直線y=x+2的切線;

(2)討論g(x)的單調(diào)性.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年“極光杯”線上測(cè)試(一)

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1.A2.C3.D4.B

5.C6.A7.A8.D

二、選擇題

9.AD10.ACD11.BD12.ABD

三、填空題

13.1014.2

-孚U(切

15.--16.-1；,Vw

2

四、解答題

17.解：

(1)由題設(shè)條件知/(x)的最小正周期7="=2(生-巴)=兀，所以0=2.

336

又因?yàn)?(')=5皿二+9)=±1,0<"<九，所以*=三，f(x)=sin(2x+—).

6366

42^--<2X+-<2^+-,得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為阿-二E+巴KkeZ),

26236

^2k7i+-<2x+-<2kTi+—,得/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［E+~,kn+型］(keZ).

26263

(2)由題可知g(x)=sin(2ax+—)，所以當(dāng)xw(0,兀)時(shí)，lax+—G(―,2tzK+-).

6666

若g(x)在區(qū)間(0,兀)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則ksinx在區(qū)間C,2〃兀+2)恰有兩個(gè)極值

66

點(diǎn)，因此

2024年測(cè)試(一)參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))

18.解:

(1)由題設(shè)知y服從二項(xiàng)分布8(50,0.6),所以

￡(y)=50x0.6=30,￡>(7)=50x0.6x0.4=12.

(2)

(i)統(tǒng)計(jì)量/反映了未受益于新治療方案的患者數(shù)，理由如下：

若患者，.受益于新治療方案，則其指標(biāo)/的值看滿足/(xJ=0,否則=會(huì)

被統(tǒng)計(jì)量/計(jì)入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量/的數(shù)值加1.

統(tǒng)計(jì)量8反映了未受益于新治療方案且指標(biāo)/偏高的患者數(shù)量，理由如下：

若患者，.接受新治療方案后指標(biāo)/偏低或正常，則其指標(biāo)/的值看滿足

若指標(biāo)/偏高，貝U/(xJ"(xJ+l]=2,/a""十%,會(huì)被統(tǒng)計(jì)量8計(jì)入，且

每位未受益于新治療方案且指標(biāo)/偏高的患者恰使得統(tǒng)計(jì)量8的數(shù)值加1.

(ii)由題設(shè)知新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案等價(jià)于一次試驗(yàn)中X的觀測(cè)值大于丫

的觀測(cè)值.由(i)知y的觀測(cè)值y=50-N,因此，

當(dāng)50-/>30,即/<20時(shí)，認(rèn)為新治療方案優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)治療方案；

當(dāng)50-2=30,即4=20時(shí)，認(rèn)為新治療方案與標(biāo)準(zhǔn)治療方案相當(dāng)；

當(dāng)50-/<30,即/>20時(shí)，認(rèn)為新治療方案劣于標(biāo)準(zhǔn)治療方案.

19.解：

(1)取CF中點(diǎn)M,DE中點(diǎn)、N,連結(jié)BN,MN.

因?yàn)榈酌媸蔷匦危?8〃底面CDE產(chǎn)，平面48CZ)n底面。?！晔?。。，所以

ABHCDHEF,而MN//CD,所以N,B,M,N共面.

由題設(shè)知都是正三角形，所以CFLN",DELBN.

因?yàn)榈酌鍯DE尸是矩形，所以CF〃DE,則CFL8N,"，平面48兒加.

記/在MN,CD,所上的射影分別為4，A2,A3,則CEL443,且

所以44]=1.而44=44="。=破=1，所以△/劣劣是以N為頂點(diǎn)的等腰直角三

角形，AA2±AA3.

又因?yàn)?為工斯，所以力為，。。，從而力為，平面N8C。.

而AA2<=平面ABEF,所以平面ABCD±平面ABEF.

2024年測(cè)試(一)參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))

(2)(i)因?yàn)镃F/IDE,所以CE〃平面8D￡.

由線面平行的性質(zhì)可知，CF//1,其中/=平面NCFn平面

而/(/底面所以/〃底面CDEF.

(ii)由(1)知N,B,M,N共面，所以NM和有交點(diǎn)，記為G.

所以Ge/,/到底面CDEF的距離等于G到底面CDEF的距離.

因?yàn)锳M=BN=6所以四邊形NB7W是等腰梯形，ZAMN=ZBNM,

因此屈_=必，其中d為G到底面C。斯的距離.

MNMAX

由幾何關(guān)系可知K4]==五，MN=AB+2MA1=2=272,

代入計(jì)算得d=l+巫.

2

20.解：

(1)由題設(shè)矢口由+。3—1=2。2，即。1(4一1)2=1；d—a?——a](q—1)—?

一g-]

因止匕當(dāng)g〉l時(shí)，q+d=q-l-\---I-1>3,當(dāng)q—1=--—,即q=2時(shí)等號(hào)成立.

q-\q-1

所以q+d的最小值為3.

105

XQ

(2)an=a{q---,令/([)=->q>1-

g-D夕-i

/'9)=0例:?)，令/'⑷=。得q°=]，/⑷在心)單調(diào)遞減，在。，+8)單調(diào)

-1)444

遞增，因此/(q)的最小值點(diǎn)是:，/i=/2(幻取最小值時(shí)，q=：.

此時(shí)由=16,a2=20,%=25.%不是偶數(shù)，所以為e/，即仁/(〃25).

所以當(dāng)取最小值時(shí)，/中所有元素之和為16+20+25=61.

21.解：

(1)設(shè)/(4〃,4。，t^O,貝『/8|2=(4/+1)2+(射—4)2=16r+24/—32/+17.

設(shè)f(t)=16?+24?-32/+17,f'(t)=16(4-+3?_2)=i6(27—1)(2〃+t+l).

因?yàn)??+/+2=2?+4)2+”>0,所以令/")=0得/0=工，/?)在(―oo,工)單調(diào)

4822

遞減，在(1,+oo)單調(diào)遞增，故/(/)的最小值為/(；)=8,|481的最小值為141.

2024年測(cè)試(一)參考答案第3頁(yè)(共4頁(yè))

(2)由題可知tanNOCB=±,tanZACO=4^-e(0,-].

3t2+l2

當(dāng)/〉0時(shí)，ZACB=ZOCB-ZACO,所以tanN/CB=4一3tan44co

3+4tanN/C。

該式是關(guān)于tanACO的減函數(shù)，所以工KtanN/CB<a；

23

當(dāng)，<0時(shí)，ZACB=ZOCB+ZACO,所以tanNACB="十ta、

3—4tan//CO

該式是關(guān)于tanN4co的增函數(shù)，所以&<tanN/CB<U；

32

14411

綜上，tan/ZCB的取值范圍是QpU(于萬(wàn)].

(3)由(2)知，tanZACO<-<tanZACB,S.0<ZACO<90°,

2

所以N/CO<N/CB.

22.解：

1—V