2024年中考數(shù)學考試易錯題-尺規(guī)作圖

中考特色題型專練之尺規(guī)作圖

幾何篇

題型一、與三角形結合

I.在學習等邊三角形的過程中，小睿同學發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律：在等邊中，點。是

邊上任意一點，連接S,過點/的射線/E交3c于點E,交CD于點、F,當

7砌￡=7/CD時，則必有8D=C￡.為驗證此規(guī)律的正確性，小睿的思路是：先利用

圖，作7BAE=7ACD,再通過證全等得出結論.請根據(jù)小睿的思路完成以下作圖與填

空：

(1)用直尺和圓規(guī)在圖的基礎上作7氏4￡=7NC￡>,AE交BC于點E,交CD于點?(不

寫作法，不下結論，只保留作圖痕跡)

(2)證明：???A/5C為等邊三角形，

:AC=AB=BC,①

試卷第1頁，共16頁

在A/CD和&BAE中，

“②)I

—)=N￡M￡

??.△ACD臥BAE(ASA),

:-------③，

又?:AB=BC

:.AB-AD=④，

:.BD=CE.

2.如圖，itRtA43C中，上C=90。，_bl=30。,.

（1）用尺規(guī)作圖作43邊上的中垂線DE,交4c于點D,交4B于點E,再連接AD（保

留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

⑵在（1）題的基礎上，求證：CD=DE

3.如圖，在A/3C中，,點。在的延長線上，連接40.

（1）在線段4。上確定點P,使得上。尸。=上5；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫

作法）

⑵在（1）的條件下，如果48=5,40=8,求24的長.

4.（1）如圖，已知RtZUBC中，1ACB=90o,O是Z8上一點.求作。。，使得。。過

點A,且與3c相切.

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.

試卷第2頁，共16頁

（備用圖1）（備用圖2）

（2）如圖，在RtAiBC中，±ACB=90o，上CBN=30。，/C=1,。是邊N5上一點（點。

與點A不重合）.若在的直角邊上存在不同的點分別和點A、。構成直角三角

形，直接寫出不同的點的個數(shù)及對應的月。的長的取值范圍.

題型二、與四邊形結合

（1）若點￡為邊4D上一點，且上8EC=_tOEC,請在圖1中用尺規(guī)作圖確定點E的位置,

并將圖形補充完整；（不寫作法，保留作圖痕跡，并將痕跡描粗加黑）

（2）在（1）的條件下，已知線段DE=2,線段/5=6,求2C的長.（請用圖2進行探

究）

6.如圖，在AN5C中，±ACB=90o.

（1）按下列要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）.

①作線段N8的垂直平分線，交線段3C于點。，連接40.

②以點8為圓心，8。長為半徑畫弧，交線段48的垂直平分線于另一點E.

③連接/E,BE.請作出四邊形4D8E.

（2）在（1）的條件下，若月E=5,sin上=[,求CB的長.

7.如圖，已知“3C.

A

BC

試卷第3頁，共16頁

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊2C'CA'48上分別確定點D,E,尸，使四邊形3DE廠是

菱形，并畫出菱形(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)若48=10,2C=15,求(1)中所作菱形3。￡下的邊長.

8.如圖1,在矩形Z8CD中，AB=3,3c=5,點尸是邊8C上的一個動點，連接/P,

點。是CD邊上的一點，且滿足△PC0sAABP.

(1)在圖1中作出點Q；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并用黑筆描黑加粗，不寫作法)

(2)當AP=1時,則C0=_；

(3)隨著點P的運動，C0是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明

理由.

題型三、與圓結合

9.在。。中，AB=AC,連接3。.

A

/?\

\o\\

(i)尺規(guī)作圖：過點/作40nBe1,交BO的延長線于點。(不寫作法，保留作圖痕

跡)；

(2)求證：AD為00的切線；

(3)若=2,1JDBC=2上48。，則。。的半徑為.

10.如圖，8c是。。的直徑，點A在。。上.

圖1圖2

⑴請在圖1中的。。上作一點D(異于點8),使和=W，連接AD并延長交NC的延

長線于點〃，過A作3c的垂線交9于點G；(作圖使用沒有刻度的真尺和圓規(guī)，不

寫作法，保留作圖痕跡，并在圖中標注必要的字母)

試卷第4頁，共16頁

(2)在(1)中所作的圖形中，求證：ABAGsABDA.(如需畫草圖，請使用圖2)

(3)在(1)中所作的圖形中，若/3=12,AC=9,求/G的長.(如需畫草圖，請使用

圖2)

11.尺規(guī)作圖：

如圖，已知，在AN8C中，上C=90。，

(1)已知點。在邊2C上，請用圓規(guī)和直尺作出。。，使。。經(jīng)過點C,且與48相切(保

留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)若。。與48切于點D,與C8的另一個交點為E,若上5=30。，。。的半徑為2,求

劣弧DE與線段3。、所圍成的圖形的面積.(結果保留萬)

12.已知，正方形/2CO,邊長為4,點尸是邊48、3c上一動點，以。尸為直徑作

00,

(1)點尸在邊48上時(如圖1)

1*11

①求證：點。在邊月。的垂直平分線上；

②如圖2,若。。與邊3C相切，請用尺規(guī)作圖，確定圓心的位置，(不寫作法，保留作

圖痕跡)，并求出■長；

試卷第5頁，共16頁

@如圖3,點尸從A運動到點5的過程中，若7/始終是F77D的中點，寫出〃點運動的

軌跡并求出路徑長:

圖3

(2)當點廠在邊2C上時(如圖4),若H始終是RD的中點，連接四，—,連接

題型四、與相似結合

13.如圖，RtA48C中，上/CB=90。.

為二

(1)作M3C的外接圓。。(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，點。在。。上且與點。位于異側，連接3D并延長交的垂

直平分線于點E,過點E作昉±CB交CB延長線于點色上BEF=2上BEO.

①求證：ED=EF;

試卷第6頁，共16頁

@喑《求?的值.

14.“關聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式.角平分線的有關聯(lián)想就有很多…

小明思路：關聯(lián)“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”.

小紅思路：關聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等“，利用“等面積法”.

請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明.

【作圖應用】(2)如圖@,48是0。的弦，在優(yōu)弧48上作出點P,使得1=3.

PR

要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；

@保留作圖的痕跡.

【結論應用】(3)在A48C中，最大角＜4是最小角＜C的2倍，且N3=3,NC=4,

求.

15.如圖，A4BC中，AB=BC,D、E分別為邊48、NC的點，DEIIBC,

AD=2BD.

(1)用圓規(guī)和沒有刻度的直尺在線段DE上求作一點尸，使工?=邑尊/(兩種工具分別

只限使用一次，并保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，過點尸作尸G2IZC交48于G,AC=9,求尸G的值.

16.如圖，在菱形/BCD中，DP_LAB于P.

試卷第7頁，共16頁

D

B

(1)尺規(guī)作圖：求作。。，使得43、cz＞分別切eo于點尸、D；要求：保留作圖痕跡,

不寫作法)

(2)在(1)的條件下，設分別交BD于點E、F,連接E7L求證：

DE.DA=DF.DB.

題型五、與三角函數(shù)結合

17.如圖，海中有一個小島/,該島四周lOnmile內有暗礁.今有貨輪由西向東航行，

開始在/島南偏西58。的2處，往東行20mnile后到達該島的南偏西30。的C處之后，貨

輪繼續(xù)向東航行.(tan58oa160,.a1.73)

R(

(1)請用尺規(guī)作圖，找到貨輪距離小島4最近時的位置點P(不寫過程，需保留作圖痕

跡)；

(2)當貨輪航行到尸點位置時，距離小島N有多遠，貨輪有觸礁危險嗎？

18.小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形

成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部.

如圖1是俯視圖，OA,。2分別表示門框和門所在位置，M,N分別是04,03上的定

點，3/=27cm,ON=36cm,MF,NF的長度固定，上WFN的大小可變.

試卷第8頁，共16頁

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，04_LOB,±MFN=1800,求上必?的度

數(shù).

(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點9的位置如圖3所示，請在圖3中作出此

時門的位置03.

(用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(3)在門開合的過程中，sin上的最大值為.(參考數(shù)據(jù)：

sin37o~0.60,cos37o~0.80,tan37o~0.75)

19.為了加強樹木的穩(wěn)定性，園林部門常常在樹的周圍打上木撐子(如圖1),若木撐在

地面上的三個落腳點構成等邊三角形，即圖中的樹的根部正好在等邊三角形的

中心O處.

圖1圖2

(1)若。/的長為50cm,求*ABC的邊長.

(2)如圖2,已知樹根部。及木撐的落腳點A確定，試只用圓規(guī)確定另兩個落腳點3、

C.(不寫作法，保留作圖的痕跡)

20.(1)如圖①，射線與直線/N垂直相交，交點為。，且＜W=3,ON=4,請

你在直線/N和射線ON上找出一點尸，使得APMN為等腰三角形，請用尺規(guī)作圖，在

試卷第9頁，共16頁

圖中作出所有滿足條件的點尸（用乙，尸2，…表示）；（保留作圖痕跡，不必寫作法）

（2）如圖②，平地上一幢建筑物48與鐵塔CD相距50m,在建筑物的頂部A處測得

鐵塔頂部C的仰角為280,鐵塔底部。的俯角為400,求鐵塔CD的高度.（參考數(shù)據(jù)：

sin28o工0.47,cos28o?0.88,tan28o?0.53,sin40o?0.64,cos40o?0.77,

tan40o=0.84）

函數(shù)篇

題型一、與一次函數(shù)結合

21.已知一次函數(shù)v=+b（左、b為常數(shù)，k卞03的圖像如圖所示.

（1）若圖像經(jīng)過點（一1,0）和（0,2）.

①求了與x的函數(shù)表達式；

②當TVxV1時，y的取值范圍是.

（2）尺規(guī)作圖：在同一坐標系中作產(chǎn)一6一2b的函數(shù)圖像.（保留作圖的痕跡，寫出必要

的文字說明.）

22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)）=!尤的圖像為直線/,已知兩點

/（0,1）、5（0,3）.

試卷第10頁，共16頁

(1)在直線/找一點C,使得7G4B=7CBH.(尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡)；

(2)直接寫出點C的坐標為；

(3)若點尸在直線/上，點尸關于x軸的對稱點為0,且PQ=3,則點尸的坐標是

23.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(6,0),B是y軸上一點.

(1)3上求作點m，使得人/“。-\4。5(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)的條件下，AB=AAM,0c是A/02的中線，過點V的直線交。C于點D,

交x軸于點尸，當兒/。=〃尸時，求點。的坐標.

24.如圖，直線y='jx+m(m>0)與x軸交于/,與y軸交于3,/C平分NA40.

(1)尺規(guī)作圖：過點。作交48于。(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(*求證：AD=\BD+AO；

(3)若沉=41，點E、/分別為/C、/。上的動點，求OE+E尸的最小值.

題型二、與反比例函數(shù)結合

試卷第11頁，共16頁

25.如圖，一次函數(shù)y=左ix+6的圖象與反比例函數(shù)1=2的圖象交于4（4,-1）,

Y

兩點.

（2）點尸（〃,0）為x軸上一動點，請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過圖中所標的尸點作x軸的

垂線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于C,。兩點（要求：不寫作法，保留作圖

痕跡，使用2B鉛筆作圖）.

（3）在（2）的條件下，當點C位于點D上方時，請直接寫出〃的取值范圍.

26.如圖，反比例函數(shù)?J［一的圖象與正比例函數(shù)1=L的圖象交于點/（2,加），

過點A作/C_Lx軸，垂足為C,3為y軸上一點，點3的坐標為（0,4）,連接48.

（1）求反比例函數(shù)的解析式.

（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中找出的中點。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（3）在（2）的條件下，連接C。，求"CD的面積.

27.如圖，已知反比例函數(shù)、?：（，）的圖象經(jīng)過點（1,、i3）,點P為該圖象上一動點,

連接。尸.

試卷第12頁，共16頁

(1)求該反比例函數(shù)解析式；

(2)在圖中請你利用無刻度的直尺和圓規(guī)作線段OP的垂直平分線交x軸于點

A.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用22鉛筆作圖).

(3)當上尸=30。時，求點4的坐標.

28.如圖,已知，/(0,4),5(—3,0),C(2,0).

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點3關于直線NC的對稱點D.(要求：不寫作法，保

留作圖痕跡)

(2)若反比例函數(shù),?='的圖象過點。，求此反比例函數(shù)的解析式；

T

(3)求sin±DAC的值.

題型三、與二次函數(shù)結合

29.如圖，在平面直角坐標系xQy中，拋物線＞=!犬+樂+。經(jīng)過點/(一4,0),點8在^

軸上，直線N3與拋物線在第一象限交于點C(2,6).

(1)求拋物線的解析式;

試卷第13頁，共16頁

(2)點P在拋物線上，若使得SA^C=。的點尸恰好只有三個，求。的值;

(3)請使用圓規(guī)和無刻度直尺，在x軸下方的拋物線上確定一點。，使得。/=2D。，并

說明理由(保留作圖痕跡，不寫作法).

30.在初中函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結合圖象研究函數(shù)

性質并對其性質進行應用的過程.小麗同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)了=/-2卜|(自

變量x可以是任意實數(shù))圖象與性質進行了探究.請同學們閱讀探究過程并解答：

⑴作圖探究：

②在平面直角坐標系xQy中，描出表中各組對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，畫

出該函數(shù)的圖象：

(2)深入思考：

根據(jù)所作圖象，回答下列問題：

①方程9-2|x|=0的解是;

②如果y=x2-2M的圖象與直線y=上有4個交點，則k的取值范圍是；

⑶延伸思考：

將函數(shù)＞=/-2卜|的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到乃=(X+1)2-2|X+1|-2的圖象？請寫

出平移過程.

31.對函數(shù)y=/-443的圖象和性質進行了探究，過程如下，請補充完整.

試卷第14頁，共16頁

【作圖】①列表

②描點并連線：請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點并畫出該函數(shù)

的圖象.

①平行于X軸的一條直線＞=在與了=卜-443的圖象有兩個交點，則后的取值范圍為

②已知函數(shù)y=x-3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，寫出方程

p-4x|-3=x-3的解為.

32.在初中函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結合圖象研究函數(shù)

性質并對其性質進行應用的過程.小麗同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y=N-3|x|（自變

量x可以是任意實數(shù)）圖象與性質進行了探究.請同學們閱讀探究過程并解答：

⑴作圖探究：

①下表是y與x的幾組對應值：

X-201234

431

y40-2m0-2-2n4

m=,n-

②在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點，畫

出該函數(shù)的圖象：

試卷第15頁，共16頁

③根據(jù)所畫圖象，寫出該函數(shù)的一條性質：;

(2)深入思考：根據(jù)所作圖象，回答下列問題：

①方程N-3慟=0的解是；

②如果y=N-3博的圖象與直線y=左有4個交點，則k的取值范圍是；

(3)延伸思考：將函數(shù)y=N-3團的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到%=(x+1)2-3|x+l|-2

的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當-39/〈-2時，自變量x的取值范圍

試卷第16頁，共16頁

1.⑴見解析；

(2)等邊三角形的性質，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

【分析】本題考查了作圖一基本作圖，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，熟練

掌握全等三角形的性質是解題的關鍵.

(1)根據(jù)題意作出圖形即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所作的角；

(2)證明：△48c為等邊三角形，

:AC=AB=BC(等邊三角形的性質),

在MCD和4BAE中,

:AACD冬BAE(ASA),

-,AD=BE,

又?；AB=BC,

■.AB-AD=BC-BE,

:BD=CE,

故答案為：等邊三角形的性質，AC=AB,AD=BE,BC-BE.

2.(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質和角平分線的性質，正確掌握

線段垂直平分線的性質是解題關鍵.

答案第1頁，共47頁

(1)直接利用線段垂直平分線的作法得出答案;

(2)直接利用中垂線的性質結合角平分線的性質得出CD=DE.

【詳解】⑴解：如圖所示：

(2)證明：7C=90o,7A=300

:7CBA=900-30o=600

又???￡)￡垂直平分48

:AD=DB

:1DBA=7A=30o

:7CBD=1DBA=300

v7C=900,DELAB

■.CD-DE

3.(1)見解析

(2>.4/?=Y

【分析】本題考查了作圖一復雜作圖，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練

掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)在/C右側作7/CT=7。，CT必。于點P,點尸即為所求；

(2)利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點尸即為所求；

BCD

答案第2頁，共47頁

由作圖可得：7ACT=7D,

：7D+7CPD+7PCD=1800,7ACP+7ACB+7PCD=1800,

:7ACB=7CPD,

：AB=AC,

：7ACB=7B,

\7CPD=IB；

(2)解：：CAP=7CAD,7ACP=7D,

,MAPS八DAC,

.ACAP

AD-

：AB=AC=5,AD=S,

T

\AP=■.

8

4.(1)圖見解析(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，確定圓心。的位置，再以04為半徑畫圓即可；

(2)當以4。為直徑的圓與5C相切時，求出此時圓的半徑，分四種情況進行討論求解即

可.

【詳解】解：(1)作＜氏4。的角平分線，交BC于點M,過點〃作(WT5C,交45于點

O,以。為圓心，以04為半徑畫圓，。。即為所求，如圖：

(2)當以4。為直徑的圓與5C相切時：如圖

答案第3頁，共47頁

R

-7ACB=900,7CBA=300,AC=1,

-.AB=2,

設。O的半徑為「，貝!hOA=OD=OM=rf

???OM\BC,7B=300,

:OB=OM=2r,

:2r+r=2,

當存在1個點時，此時5C與。。相離，或3、。兩點重合，40=2,

U(D\_____

當存在2個點時，止匕時3C與00相切'"3,

答案第4頁，共47頁

B

當存在3個點時，此時2C與OO相交，,<AD<2,

3

【點睛】本題考查復雜作圖一作圓，含30度角的直角三角形的性質，切線的判定和性質，

直線與圓的位置關系，掌握尺規(guī)作角平分線，作垂線的方法，利用數(shù)形結合和分類討論的思

想進行求解，是解題的關鍵.

5.（1）見解析

(2)5C=10

【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，矩形的性質，勾股定理:

（1）以點3為圓心，長為半徑畫弧交4D于點E即可；

（2）根據(jù)矩形的性質可得上J=900,CD=AB=6,BC=AD,由（1）可得BE=BC,根據(jù)

勾股定理可得結論.

【詳解】（1）解：如圖，以點2為圓心，3c長為半徑畫弧交ZD于點E,

B

答案第5頁，共47頁

；._tBCE=±_BEC,

???四邊形/BCD是矩形，

■■.ADIIBC,

.■.±BCE=±J)EC,

；.±BEC=±DEC；

.??點E即為所求；

(2)解：?.?四邊形NBC〃是矩形，

.■■±A=900,CD=AB=6,BC=AD,

■■DE-7.,

AEAD-DE=BC-2,

由(1)可知：BE=BC,

在中，根據(jù)勾股定理得：AE2+AB2=BE2

：.(3C-2)2+6?=BC2

:.BC=10.

6.(1)見解析

!2>T

【分析】(1)根據(jù)題意用尺規(guī)作圖即可；

(2)由作圖可知4￡=8￡1=/。=8。=5,則四邊形ND8E是菱形，設N8與DE的交點為

F,在RtA/EF中，求出所=)』￡=3,求出3月=4尸=4,DF=EF=3,即可得到

AB=AF+BF=8,在RtA^SC和Rtz\NCD中,由勾股定理得到

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,貝的?T，八?、?=5'—CD?,解得CD=:,即可得到答

案.

【詳解】(1)如圖所示即為所求，

答案第6頁，共47頁

n

(2)解：???。￡垂直平分45,

\AE=BE,AD=BD,

BD-BE,

-AE=BE=AD=BD=5,

:四邊形4O8E是菱形，

設與DE的交點為「

:AB±DE,DF=EF,AF=BF,

在RtME尸中，AE=5,sin上EN3=-,

Eh--cAE—3,

■BF=AF=.-'-=4,DF=EF=3,

:AB=AF+BF=S,

在和Rt^/CD中，由勾股定理得到，

AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,

:82-{CD+5『=52-CD2,

解得1/?=-s,

7

=CD+fiZ)=-s+5=—s1

即C5的長為1.

【點睛】此題考查了菱形的判定和性質、線段垂直平分線的作圖、勾股定理、解直角三角形

等知識，利用勾股定理列方程是解題的關鍵.

7.(1)見解析

⑵邊長為6

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，菱形的性質與判定，角平分線，線段的垂直平分線以及

答案第7頁，共47頁

相似三角形的判定與性質等知識.

(1)作V/2C的角平分線交NC于點E,作線段3E的垂直平分線交于點F，交BC于

點。，連接ERED,四邊形斯即為所求.

(2)根據(jù)菱形性質可得_b48C,進一步證明得?讓_LL，代入相

AHW

關數(shù)據(jù)可得結論.

【詳解】(1)解：如圖所示，菱形區(qū))跖為所求.

(2)解：???四邊形所是菱形，

:BF=EF,EFIIBD,

■./\AFE^ABC,

AFEF

*%(

AHRC

誼FE-x,則AF-10—x,

,--,解得x=6,

inK

：(1)中所作菱形瓦)跖的邊長為6.

8.(1)詳見解析

(3)Cg存在最大值為三

【分析】(1)過點P作尸。_L4P,交CD于點。，即點。為所求；

DB|D

(2)通過證明△兒?2s^pc。,可得為=—.即可求解；

bhj6

(3)由相似三角形的性質可得,由二次函數(shù)的性質可求解.

【詳解】(1)如圖，點。為所求點；

答案第8頁，共47頁

D

0

BP\C

(2)???四邊形45CQ是矩形，

:=±C=900,

???/尸_L尸。，

：_b4P2=-t^=±C=900,

\±APB+上CPQ=900=±APB+1A4P,

:±LBAP=上CPQ,

:Z\ABPs△尸0。,

RPAB

?而一而‘

-AB=3,BC=5,BP=1,

:CP=4,

I3

41

??.CQ=]

i

故答案為:。.

(3)C。存在最大值；

.BP_IB

理由I*.一，

COCP

…臥(A")\(on5Y.25

v33{2)12

:當BP=:時，C。存在最大值為::.

【點睛】本題考查了復雜作圖——作垂線，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，二次函

數(shù)的性質等知識，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題關鍵.

9.(1)圖見解析

⑵證明見解析

(3)2

答案第9頁，共47頁

【分析】本題考查了圓的綜合，熟悉相關的知識點是解題的關鍵，（1）以“為圓心，8C長

為半徑畫弧，以C為圓心48長為半徑畫弧交于點P,連接NP,延長80交4尸于點。即可；

（2）連接/。并延長交8C于點證明是線段8C的垂直平分線即可；G）證明

Z.ADO=AAOD=450即可.

【詳解】（1）如圖所示：

（2）如圖連接/。并延長交8c于點”,

：AM是線段8C的垂直平分線;

■.AMJ_BC;

■■■ADIIBC；

:OA±AD；

■.AD為。。的切線.

⑶設±XSZ）=Q8c=（2x）0；

OA-OB；

:N0AB=ZABD=xO；

ADIIBC；

:/BAD+ABC=1800；

即2x+x+x+90=180；

解得:x=22.5；

:±ADB=±VBC=450；

:上4OD=_b4DO=45O；

答案第10頁，共47頁

-'-AO=AD=2；

故答案為：2.

10.(1)見解析

⑵見解析

⑶1。

【分析】本題考查了弧與弦的關系，垂線的作圖，圓周角定理，三角形相似的判定和性質,

三角函數(shù)的應用

(1)以點/為圓心，為半徑畫弧，得到=23即得力，/，再根據(jù)垂線的基本作

圖，利用圓規(guī)，規(guī)范畫出即可.

(2)根據(jù)上4BG=±JDBA,±ADB=上G43證明AA4Gs△2/)/即可.

一過點/作于點X,根據(jù)7=顯得至以。=AB,利用等腰三角形的三線合

一性質，得到DH,±ABD=±ADB=±GAB=±BCA,得到4G=BG,根據(jù)

4B=12,/C=9,得3C=,,.=15,根據(jù)

BH=ABCOSiiABD=42cos上BC4=ABx〔=',，得至llBD,繼而利用Z\BAGsABDA,

*r*c

求得NG的長.

【詳解】(1)以點/為圓心，N5為半徑畫弧，得至以。=ZB即得77>_Tf!再根據(jù)垂線的

基本作圖，利用圓規(guī)，直尺畫圖如下：

(2)設/G與8C得交點為點E,

???8C是。。的直徑，AG±BC,

.?.±&4C=±3E4=90O,

1BAG=±BCA=900—±ABC,

_tBDA=±BCA

答案第11頁，共47頁

■.1JSAG=±BDA,

±ABG=±JDBA,

:ABAGsABDA.

(3)過點A作4/_LBD于點H,

AD=AB

AD=AB,

：■BH=DH,1ABD=±ADB,

,.公BAGsABDA,

±ADB=上GAB,

1ABD=±ADB=±.GAB

：.AG=BG,

???3C是0O的直徑，AG±BC,

.■■±BAC=±^EA=90O,

.-■±BAG=±BCA=90O—±ABC,

..hABD=±ADB=±GAB=±BCA,

12,NC=9,

tiC'=JAB'+AC'?IS<

一.“93

cos.W,4=—=—=一?

HCK5

AH…II,3,

S

BH=dBcos￡ABH=-xl2=—1

?：/\BAGsABDA,

答案第12頁，共47頁

II.⑴見解析

⑵28:

【分析】本題是一道圓的知識的綜合題，考查了切線的判定和性質、尺規(guī)作圖、勾股定理等

知識：

（1）作的平分線與8C的交點即為圓心O,然后以點。為圓心，以OC的長為半徑

作圓。即可；

（2）連接0。，根據(jù)切線的性質可得可得上20。=600,從而得到2。=2」；，再

由劣弧DE與線段8。、所圍成的圖形的面積為SBOO—S扇形E8，即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，。。即為所求；

(2)解：如圖，連接OD,

???48是圓。的切線，

???OD1.AB,

：.±ACB=±ADO=900,

-.-±B=3CO,

.?.±BG?=60O,

答案第13頁，共47頁

■??00的半徑為2,

??.OD=2,

???OB-2OD=4,

???8D==2>/3

劣弧DE與線段3。、BE所圍成的圖形的面積為

12.(1)①證明見解析；②見解析，4F=3；③H點運動的軌跡為線段MC,線段MC=2?石

(2)%s=12；/2-16

【分析】此題考查了切線的性質，線段垂直平分線的作法、等腰三角形的判定與性質、相似

三角形的判定與性質、垂徑定理、圓周角定理等.此題的關鍵是注意掌握輔助線的作法，注

意數(shù)形結合思想的應用.

(1)①證明。/=0D即可證明點。在邊4。的垂直平分線上；②作ND的垂直平分線，作

切點與N所連線段的垂直平分線，即可找到圓心；③由由△曲是等腰直角三角形，證明

△DFBs/XDHC,進而即可求解；

(2)先證明△DEgsaoac,設CH=k,則CF=2k,BF=?、k,-k+2k=4,進而即

可求解.

【詳解】(1)解：①：。尸為直徑，上/l=90O；

:點A在圓上，

連接/O,

：AO=DO,

:點。在的垂直平分線上；

答案第14頁，共47頁

D

F

B

圖1

②設。。與邊8C相切于點E,則OA=OD=OE,如圖所示:

^OA=OD=OE=x,則08=4—x,

22

...（4-x）+2=?,解得：

...aw-4-1-2,

???OH是尸的中位線，

■.AF=2OH=3；

③連接,HD；

答案第15頁，共47頁

D

田始終是玲。的中點,

?AFHD是等腰直角三角形，

.■■±FDH=450,

連接8。、AC交于點M,則上BDC=450,

±BDF=上CDH=450—1BDH,

DFDB后

?：-----=—=V2■

DHDC

???4DFBsADHC,

:上DBF=±DCH=450；

當點尸與A點重合，H點與〃■點重合，當點尸與3點重合，石點與C點重合,

\H點運動的軌跡為線段MC,MC=2、小

(2)解：連接BD,DH、FH,過點〃作aGj_FC,

由(1)③可得：dDFRsADHC,

二空.空mQ±MZ)=45O,

1)((H

.,.上〃CG=45O,

設=k,貝!JCF=2后，BF=J、k,^-k+2k=4,

解得：左=4一25，//G?^(4-272)=2x2;，

二、\,“=—,2?(4—2>/2HlSVZ_2)=12^2—16.

答案第16頁，共47頁

D

13.(1)見詳解；

⑵①見詳解；②!的值為［.

【分析】(1)由上NCB=900知，8是。。的直徑，先作線段45的垂直平分線，垂直平分線

與4B的交點即為圓心。，再以O為圓心，04長為半徑作圓即可；

(2)①由￡。是48的垂直平分線，可證Rt^BEO之Rt54E。，得上BEO=±AEO,再結合

上BEF=2上3E。，可以得出上BEF=±AEB,再證明出ABEF沿AAED,進而證明出

ED-EF-,

②由ABEF名AAED和圓內接四邊形幺DBC得出±J)AE=±.CAD,再證明^MDA2^EDA得

出"D=DE,可設EF=\5x,則DE=15x,ME=30x,證明E尸〃WW,通過平行線分線

段成比例得二二人-士，再設2b=切，在RtzXB跖中，通過勾股定理可求出y=5x,

REW/S

則5F=20x,BE=25x,再通過線段加減關系求出BC=4xfBD=lOx,由ABEFmAAED

得4D=BF=20x,再利用勾股定理依次求出4g=10J*,AC=22x,進而得出

BC4x2

----■------■—

AC21s11

【詳解】(1)解：。。如圖所示：

答案第17頁，共47頁

(2)①連接ZE，AD,

是。。的直徑，

：±ADE=±ADB=900,

:EO是4B的垂直平分線，

:AE=BE,±BOE=±AOE=900，

：EO=EO,

：Rt△BEORt△AEO(HL),

：±BEO=±AEO,

：±AEB=±BEO+±AEO=2±5EO,

:上BEF=2上BE。，

：±BEF=±AEB,

：EF±CB,

：±F=±ADE=900,

：AE=BE,

:ABEF冬AED(AAS),

：ED=EF.

②延長E8,交NC的延長線于M,

：^BEF^4AED,

：±EBF=±DAE,AD=BF,

：±LEBF+上CBE=1800,±.CAD+±_CBE=1800,

：上EBF=±CAD,

：±DAE-±CAD,

答案第18頁，共47頁

：AD=AD,±ADE=±ADB=90o,

:也△瓦M（ASA）,

：MD=DE,

\ME=IDE,

設EF=15x,則DE=15x,ME=30x,

?產(chǎn)5

一?

CFX

:CF-24x,

：±F+±ACB=180o,

：EFIIAM,

BhCF24J4

/.—=-----=------=-1

AAl/Ain.?

設2尸=4y,貝UBE=5y,

在RtZXBE尸中，跖=-JBP—BF2=3y=15x,

'.y=5x,

：AD=BF=4y=20x,BE=5y=25x,

：BC=CF—BF=24x—20x=4x,BD=BE—DE=25x—l5x=lOx,

22

在RtZXABD中，AB=?I，；；—，，=J（10x）+（20x）=10v5x,

在RtZXABC中，/C=、IT-pi）=22%,

ffC4x2

,\4r"?7"7T'

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的性質和

判定等知識點，解題的關鍵是熟練掌握角平分線模型的常見輔助線的做法，平行線分線段成

比例，勾股定理求邊長；

14.（1）證明見解析；Q）見解析；（3）J21

【分析】（1）小明思路，BD//PC,利用平行線分線段成比例定理得到匚=立，再利

PI）M

用等角對等邊求得尸。=PB,即可證明結論；

小紅思路，作尸CE1.PA,CF±PB,利用面積法即可證明結論；

（2）作弦Z3的垂直平分線，再作線段3。的垂直平分線，利用垂徑定理即可求解；

（3）利用相似三角形利用相似三角形的性質，即可求出8C的長.

答案第19頁，共47頁

【詳解】⑴解：小明思路：過點B作尸。交4尸的延長線于點O,

,上1二-toJz2二Jz3,

pnHC

???PC是SAB的角平分線，

???上1=Jz2,

±P二上3,

:?PD=PB,

PAAC

??--=；

PHfK'

小紅思路：分別過點尸，。作CE_LPA,CF_LPB,垂足為D,E,F,

P

PC是APAB的角平分線，

:.CE=CF,

IIII

.-5...?-PACt?-A(PD,S?一PBd-Bi-PD,

PACEACPD

PRCF-.

PiiC

iRC'

(2)解：①作弦45的垂直平分線，交弦45于點。，交。。點E,

由垂徑定理得/5-BE'

②再作線段的垂直平分線，交弦45于點C,

③連接EC并延長交。。點P,

點尸即為所求；

答案第20頁，共47頁

,AE-HE,

:PC平分<APB,

....4/)=?/)=-(/)=?(=-?/).

M

Tv

由⑴的結論得言.■-3,

同理，點尸2也為所求;

(3)如圖所示，作V詡。的平分線交于點，

???45=3,AC=4,

BDAB3

,??——■——--,

CH4C4

7

±BAC=2±J3AD,±J3AC=2上C,

\±BAD=±.Cf

又；±ABD;上CBA,

:ABDAsABAC,

BD2U

--=?

fi4M

-.AB2=BD.BC

答案第21頁，共47頁

即3：.BC

-BC2=21,

:BC=（負值舍去）.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，線段垂直平分線的作法確定的圓的條件，平行線分線

段成比例定理，相似三角形的性質與判定等知識，解決問題的關鍵是掌握題意，正確的作出

圖形.

15.（1）見解析

（2）FG=2

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，解題的關鍵是掌握相似

三角形的判定與性質，平行線的性質.

（1）以點3為圓心，8。為半徑畫弧交3C于點連接交DE于一點，該點即為歹點；

（2）由（1）可證明ABDMSABAC,得到月C〃DA/,推出DM=-IL,再證明

1?

RDFMSZEFA,得至l」匕L=-=-,最后證明&AFGS4AMD,得到,進而得

〃54"l）\f

到震喑4即可求解.

【詳解】（1）如圖所示即為所求，

A

A

/?\

/：\

,/9.\\

P/-L______V

/諾\

/,\

//\

R1/€

（2）連接。拉，由（1）可得BD=BM,

:AB=BC,上B=上3,

：^BDMsABAC,

:AC//DM,

：DM-?=-AE,±AEF=上MDF,上EAF=上DMF,

x?

:△DFMs