林芝2024屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

林芝2024屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為（）

A.7萬(wàn)B.6?C.571D.4萬(wàn)

2.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且=貝”AE+的最小

值為（）

2325

A.—B.12C.—D.13

22

3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

4.已知橢圓C:'+V=i內(nèi)有一條以點(diǎn)尸11$］為中點(diǎn)的弦則直線的方程為（）

A.3x—3y—2—0B.3x-3y+2=0

C.3x+3y-4=0D.3x+3y+4=0

5.已知平面向量,滿足|=21〃+|=l,c=2。+〃人且X+2〃=l,若對(duì)每一個(gè)確定的向量Q,記|c|的最

小值為根，則當(dāng)〃變化時(shí)，加的最大值為（）

111

A.-B.-C.一D.1

432

6.若圓錐軸截面面積為26,母線與底面所成角為60。，則體積為（）

正兀2娓

A.顯兀B.逅萬(wàn)c.-----n

3333

22

7.已知橢圓5+==1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、F2,過(guò)點(diǎn)K的直線與橢圓交于P、。兩點(diǎn).若APgQ的

ab

內(nèi)切圓與線段PK在其中點(diǎn)處相切，與P。相切于點(diǎn)右，則橢圓的離心率為（）

A.正B.Bc

22-f

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在AABC中，角A,B,C所

12>2_2V

對(duì)的邊分別為“,仇C,則AABC的面積S=（而—十”.根據(jù)此公式，若

V4I2J

acosB+(/j+3c)cosA=0,J.a2-Z?2-c2=2)則AABC的面積為()

A.0B.242C.V6D.2不

9.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)e的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)人（1,0）作X軸的垂線與曲線

y="相交于點(diǎn)3,過(guò)3作y軸的垂線與y軸相交于點(diǎn)C（如圖），然后向矩形Q鉆C內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出

這些豆子在曲線丁="上方的有N粒（N<M）,則無(wú)理數(shù)e的估計(jì)值是（）

M-NM

C.----------D.

NN

10.在正方體AG中，E是棱CG的中點(diǎn)，尸是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且4歹與平面。AE的垂線垂直，如圖所示,

下列說(shuō)法不正確的是()

D._________4

A.點(diǎn)F的軌跡是一條線段B.A歹與3E是異面直線

C.A/與不可能平行D.三棱錐尸-A3。的體積為定值

11.在等腰直角三角形ABC中，AC=-,CA=141,。為A6的中點(diǎn)，將它沿CD翻折，使點(diǎn)4與點(diǎn)3間的距離

2

為2班,此時(shí)四面體ABC。的外接球的表面積為().

A.5%B.-------7tC.127rD.20%

3

12.已知等比數(shù)列｛q｝滿足牝=1，4=16,等差數(shù)列也｝中么=/，S"為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，則$9=()

A.36B.72C.-36D.±36

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/(x)=sin(20x+f-；在區(qū)間［0,句上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則正數(shù)。的取值范圍是.

14.記復(fù)數(shù)z=a+歷(i為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)為彳=?！?a,bwR),已知z=2+i,則］=.

15.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉麝，如圖，在鱉麝P(guān)-A3C中，平面ABC,

AB±BC,且AP=AC=4,過(guò)4點(diǎn)分別作AELQB于點(diǎn)E,于點(diǎn)/，連接叮，則三棱錐P—AE尸的

體積的最大值為.

16.角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,2),則si”(n-a)的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱錐中，R4_L平面A5CZ>,ZABC^ZBAD=90°,AZ>=AP=4,AB=BC^2,M為

PC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AP,3M所成角的余弦值；

4

(2)點(diǎn)N在線段AO上，且AN=2,若直線MN與平面尸5c所成角的正弦值為二，求久的值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=2|x—2|—加(加>0),若〃%+2)<0的解集為(―2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正實(shí)數(shù)。，b,c滿足a+2b+3c=加，求證：一+一十一》—.

a2b3c4

19.(12分)11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃

球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人

有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為上，

2

2

乙每次投球命中的概率為一，且各次投球互不影響.

3

(1)經(jīng)過(guò)1輪投球，記甲的得分為X,求X的分布列；

(2)若經(jīng)過(guò)〃輪投球，用P,表示經(jīng)過(guò)第i輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.

①求。1，。2，。3；

②規(guī)定。0=0,經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得口=。2+1+前,+M一(671),請(qǐng)根據(jù)①中B，2,2的值分別寫出。，c關(guān)

于》的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

20.（12分）設(shè)尸（"，Q（n,m）=C：：+m,其中桃〃eN*.

左=0"I+攵

(1)當(dāng)帆=1時(shí)，求尸("/)?0("」)的值;

(2)對(duì)VmeN+,證明:P"，rri)-Q(n,m)恒為定值.

21.(12分)近年來(lái)，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來(lái)越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們

霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性70人，男性50人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖

如圖所示：

O.K

（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)2x2列聯(lián)表；

（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K)>k00.100.050.0100.005

402.7063.8416.6357.879

22.（10分）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZABD=30°,AB=2CD=2AD=2,OE_L平面ABC。，EF//BD,且

BD=2EF.

（I）求證：平面AOE_L平面BDEF；

（ID若二面角C-BF-D的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

1。

—x3x2乃+2乃乂1-=5/r.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

2^C

【解析】

分別以直線為x軸，直線AO為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(x,y),根據(jù)A￡AC=2,可求x+y=L而

UUUULMU

(AE+AC)2=(x+2)2+(y+2)2，化簡(jiǎn)求解.

【詳解】

解：建立以A為原點(diǎn)，以直線A5為x軸，直線A￡＞為V軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)E(x,y),xe(0,2),ye(0,2),則

AE=(x,y),AC=(2,2),由A￡Ad=2，即2x+2y=2,得x+y=l.所以

UUUULUU

(AE+AC)2=(x+2)2+(y+2)2=廠+工+4(%+y)+8

1.251LlUULlUU25

=2x2-2%+13=2(X--)-+y,所以當(dāng)x=5時(shí)，(AE+A。？的最小值為5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為;的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為由,計(jì)算4=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為由,

2

“i-GJ10丫

則131=37g，解得="從而可得%=192x-=96,%=192x—=24,故4=96-24=72.

1--

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

4、C

【解析】

2222

設(shè)A(外3(%,%)，則工+%2=1,二+%2=1,相減得到+左=0,解得答案.

3333

【詳解】

設(shè)4(%,%),8(%,%),設(shè)直線斜率為左，則:+X2=1,11+%2=1,

相減得到：包二斗士回+(%+%)(%一%)=0,的中點(diǎn)為“I1)

224

即彳+；左=0,故左=—1,直線A3的方程為：y=-x+-.

333

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

5、B

【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令。7>=。,。3=人0。=°.￡為08中點(diǎn).由a+b=1即可求得P點(diǎn)的軌跡方程.將

c=變形，結(jié)合彳+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知|°|的最小值加即

為。到直線PE的距離最小值，且當(dāng)PE與圓M相切時(shí),m有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得

直線方程，進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為加的最大值.

【詳解】

根據(jù)題意,g|=2,設(shè)OP=a=(x,y),OB=Z?=(2,0),OC=c,E(LO)

則OE=—

2

由卜+4=1代入可得J（x+2『+y2=1

即P點(diǎn)的軌跡方程為（％+2『+/=1

又因?yàn)椤?4。+〃3,變形可得。=4。+2〃-，即。。=幾。2+2〃。后,且2+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知RCE三點(diǎn)共線,如下圖所示:

所以IcI的最小值m即為。到直線PE的距離最小值

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，當(dāng)PE與圓"相切時(shí)，加有最大值

設(shè)切線PE的方程為丁=左（兀—1）,化簡(jiǎn)可得履―y—左=0

|-2左一七|

由切線性質(zhì)及點(diǎn)M到直線距離公式可得=1,化簡(jiǎn)可得8左2=1

血2+1

即一手

即加的最大值為工

3

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用，圓的軌跡方程問(wèn)題，圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的

應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

6、D

【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，由軸截面面積為273可得半徑L再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為廠，由已知，；義2r義出r=2也，解得r=五,

所以圓錐的體積丫:工"/乂百「二巫兀.

33

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的體積的計(jì)算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.

7、D

【解析】

可設(shè)NPFQ的內(nèi)切圓的圓心為/，設(shè)|期|=加，|P閭=〃，可得和+〃=2。，由切線的性質(zhì):切線長(zhǎng)相等推得m=^n,

解得加、〃，并設(shè)|。耳|=乙求得f的值，推得APKQ為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設(shè)心心。的內(nèi)切圓的圓心為/,M為切點(diǎn),且為「心中點(diǎn)，??.|。娟=上叫=|4隼

設(shè)|尸國(guó)=心，歸閶=〃，貝!!加=；〃，且有〃z+〃=2a,解得

設(shè)|Q周=乙|。r=2a—r,設(shè)圓/切Q區(qū)于點(diǎn)N'^\NF2\=\MF2\=y,\QN\=\QF\=t,

由2a—=|%|=|QN|+|N4|=/+?,解得/=彳，.?.歸+=/?+/=?,

\PF2\=\QF2\=y,所以AP^Q為等邊三角形，

所以，2c=叵見(jiàn),解得￡=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為走.

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

8、A

【解析】

根據(jù)acosB+僅+3c)cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理為

sinC(l+3cosA)=0,根據(jù)sinC^O,得cosA=—g,再由余弦定理得加=3,又mW=2,代入公式

【詳解】

由acosB+(b+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因?yàn)閟inCw0,所以cosA=—,

3

2

由余弦定理。之一〃一/=-2Z?ccosA=—be=2,所以歷=3,

3

由AABC的面積公式得S=-(A/-=夜

V

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

9、D

【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形OABC中位于曲線y=夕上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于e的等式，

解出e的表達(dá)式即可.

【詳解】

在函數(shù)y=e3的解析式中，令x=l,可得y=e,則點(diǎn)8(1,e),直線的方程為丁=6,

1

矩形Q鉆C中位于曲線y=e'上方區(qū)域的面積為S=J(e-/)公=(ex—產(chǎn))|；)=1,

0

矩形Q4BC的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得一=一，所以，e=一.

MeN

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域

的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10、C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)平面A2E與直線交于點(diǎn)G,連接AG、EG,則G為8C的中點(diǎn)

分別取用8、B1G的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,

QAM//RK,4加仁平面A&E，"Eu平面

.?.21///平面。14￡.同理可得MN//平面QAE,

A/、MN是平面AMN內(nèi)的相交直線

，平面AjMN//平面RAE,由此結(jié)合4尸//平面。AE,可得直線4尸u平面4MN,

即點(diǎn)口是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn).二A正確.

對(duì)于3,平面A"N//平面QAE,BE和平面QAE相交，

二A尸與BE是異面直線，.?.3正確.

對(duì)于C,由A知，平面AMN//平面，AE,

二4尸與QE不可能平行，；.C錯(cuò)誤.

對(duì)于。，因?yàn)镸N//EG,則歹到平面AD】E的距離是定值，三棱錐尸一叫E的體積為定值，所以。正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11、D

【解析】

如圖，將四面體ABC。放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

AABC中，易知AB=4,CD—AD-BD—2

翻折后A3=2收

22+22-(2石『1

cosZADB=-----------——L=——1

2x2x22

ZADB=120，

設(shè)MDB外接圓的半徑為r,

26=2r=4,:.r=2,

sin120

如圖：易得CD,平面4犯，將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

=r2+l2=22+12=5，

???四面體ABC。的外接球的表面積為5=4萬(wàn)火2=20萬(wàn).

故選:D

c

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

12、A

【解析】

根據(jù)%是%與%的等比中項(xiàng)，可求得應(yīng)，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到S9.

【詳解】

等比數(shù)列｛4｝滿足%=1，?=16,所以4=土瘋Z=±4,又％=。2?/〉0,所以。4=4,由等差數(shù)列的性質(zhì)

可得與=9%=9%=36.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

求出函數(shù)/(%)的零點(diǎn)，讓正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，第三個(gè)正數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間［0,何上，第四個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間［0,句外即

可.

【詳解】

由/(x)=sin[20xd—I—=0,2a)x+——kn+(—1)A,—,kwZ,

V6J266

x——\k,7i+(-1)^---------]>keZ,

2。66

」一(3"----)<

.??<2°66，解得乜。<2.

1萬(wàn)乃、3

——(4乃+-----)>n

〔2°66

4

故答案為：1,2).

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點(diǎn)，然后題意，把正數(shù)零點(diǎn)從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個(gè)零

點(diǎn)，因此只有前3個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間[0,句上.由此可得。的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題.

14、3-4i

【解析】

計(jì)算得到/=(2+0』3+4i,再計(jì)算7得到答案.

【詳解】

222

z=2+i,.*.z=(2+i)=3+4i,J/l!|z=3_4/.

故答案為：3-4i.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共朝復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

15、逑

3

【解析】

由已知可得AAE尸、APE尸均為直角三角形，且4萬(wàn)=2后，由基本不等式可得當(dāng)AE=EB=2時(shí)，△AE尸的面積最

大，然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.

【詳解】

由融_L平面ABC,得PA_LBC,

又A3_L5C,且Rid,...BCJ"平面98,貝!IBC_LAE,

XPBYAE,貝！JAE_L平面尸3C,

于是AEJ_E尸，KAELPC,結(jié)合條件AFLPC,得PC,平面AE尸，

...△AEF、APE尸均為直角三角形，由已知得A尸=2血，

而SAAEF=LXAEXEE<L(AE2+EF2)=-AF2=2,

244

當(dāng)且僅當(dāng)AE=E^=2時(shí)，取“="，此時(shí)AAEF的面積最大，

三棱錐P-AEF的體積的最大值為：

”l^PFxSIp-4A/2

Vp.4EF=--------------=AE一Fx2\J2x2=.

333

故答案為生2

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面垂直的判定，基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力，屬

于中檔題.

16、拽

5

【解析】

計(jì)算sina=)=冬5,再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.

r5

【詳解】

由題意可得x=l,y=2,r—J59:?sina=)=?非,/.sin-a)=sina=.

r55

故答案為：正.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)逅.(2)1

3

【解析】

(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量8M和向量AP的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

(2,由AN=7,設(shè)N(0,九0)(0<^<4),則MN=(-1，4—1,-2),再求得平面PBC的一個(gè)法向量，利用直線MN

4IMN-mII—2—214

與平面PBC所成角的正弦值為二，由|cos(MN，m>\=g=丁求解?

5-\M-N-\-\m-\=Jk5+-(X—K1廠?J55

【詳解】

(1)因?yàn)镋4_L平面A3C。，且48,ADu平面43a>,所以B4_LAB,PALAD.

又因?yàn)?R4I>=90。，所以AB,AO兩兩互相垂直.

分別以AB,AD,AP為無(wú)，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由AZ>=2AB=25C=4,JR4=4可得

4(0,0,0),B[2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4).

又因?yàn)椤盀镻C的中點(diǎn)，所以M(l,1,2).

所以8河=(一1，1，2),AP=(0>0，4),

、APBM

所以cos〈Ap,BM)=-----------

\AP\\BM\

0x(-l)+0xl+4x2加

4x763

所以異面直線AP,8M所成角的余弦值為逅.

(2)因?yàn)锳N=7,所以N(0,九0)(0<2<4),

則MN=(—L7—1，-2),BC=(0,2,0),PB=(2,0,-4).

設(shè)平面PBC的法向量為加=(x,y,z),

m-BC—02y=。

則即<

m-PB-02x-4z=0

令x=2,解得y=0,z=l9

所以加=(2,0,1)是平面P3C的一個(gè)法向量.

4

因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為y,

|MN-m\_I-2-21_4

所以|cosaMN，m

|MN||m|,5+(2-1)2.非5

解得4=ld[0,4],

所以4的值為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

18、(1)m=4；(2)證明見(jiàn)詳解.

【解析】

(1)將不等式/(九+2)<0的解集用〃z表示出來(lái)，結(jié)合題中的解集，求出機(jī)的值;

(2)利用柯西不等式證明.

【詳解】

rri

解：(1)/(x+2)=2|x|-m<0,\x\<—9

mm

----<x<一

22

因?yàn)椤▁+2)<0的解集為(―2,2),所以言=2,

/.m=4；

(2)由⑴。+2〃+3。=4

111

由柯西不等式(―+—+—)(a+2b+3c)2(l+l+l)29=9,

a2b3c

?—1?--1--11>9——

"a2b3c_4

424

當(dāng)且僅當(dāng)。=—,b=-,c=-,等號(hào)成立.

339

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問(wèn)題，屬于中檔題.

19、⑴分布列見(jiàn)解析；⑵①B=/2=：通=熬②Pi=2+；Pw1一:

【解析】

(1)經(jīng)過(guò)1輪投球，甲的得分X的取值為-1,0/，記一輪投球，甲投中為事件A,乙投中為事件3,A,8相互獨(dú)立,

計(jì)算概率后可得分布列；

(2)由(1)得Pi，由兩輪的得分可計(jì)算出必，計(jì)算P3時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過(guò)2輪后甲的得分y的分布列(F的取值為

-2,-1,0,1,2),然后結(jié)合X的分布列和Y的分布可計(jì)算，

由。0=。，代入P,=ap+i+m+cp『i(b71),得兩個(gè)方程，解得從而得到數(shù)列｛p“｝的遞推式，變形后得

｛p?-P-｝是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得Pn-,然后用累加法可求得Pn.

【詳解】

12

(D記一輪投球，甲命中為事件A,乙命中為事件3,A,3相互獨(dú)立，由題意P(A)=Q,尸(3)=§，甲的得分X

的取值為-1,0」，

--121

P(X=-1)=P(AB)=P(A)P(B)=(l--)x-=-,

——--12121

P(X=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x-+(l--)x(l--)=-,

--121

P(X=1)=P(AB)=P(A)P(B)=-x(l--)=-,

236

：?X的分布列為:

X-101

111

p————

326

(2)由(1)P]=—,

6

=p(x=0)-P(X=1)+P(X=1)(P(X=0)+P(X=1))=iX-+-X(-+-)=—,

2662636

同理，經(jīng)過(guò)2輪投球，甲的得分y取值—2,—1,0,1,2：

記P(X=—l)=x,尸(X=0)=y,P(X=l)=z,貝！j

P(Y=-2)=%2,P(Y=-V)=xy+yx,P(Y=0)=xz+zx+y2,P(Y=1)=yz+zy,P(Y=2)=z2

由此得甲的得分y的分布列為：

Y-2-1012

￡113]_1

P

9336636

33362636636636216

VPi=apM+bpj+cpr(6w1)，A,=0，

7116(1-Z?)

——a+—7b-—a------

P[=ap?+bp[36667

p2=ap3+bp2+cP1437717l-b

---〃+——b+—cc二---------

〔216366367

代入Pj=apM+bp,+epi3W1)得：Pj=*pM+1PT，

1z、

，數(shù)列｛2“一/Vj是等比數(shù)列，公比為＜?=；,首項(xiàng)為Pi—Po=!，

66

?*,Pn~Pn-1=(片)”?

???Pn=(Pn-A,-1)+(A,-l-Pn-2)++(P1-P0)=(1)”+(')"T++|=|(l-^7)-

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)變量的概率分布列，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題難點(diǎn)在于求概率分布列，特別是經(jīng)過(guò)2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫出

各種可能，然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率.

20、（1）1（2）1

【解析】

分析：（1）當(dāng)仇=1時(shí)可得尸（n,l）=-p2（%l）="+l,可得尸=（2）先得到關(guān)系式

P（n,m）=~￡^P（n—l,m）,累乘可得=‘詈］q（°川）=小，從而可得P（〃,機(jī)）?。（小加）=1,即為

定值.

詳解:（1）當(dāng)皿時(shí)，P（"）N（-吐占=?口-琰備=*

又Q("，l)=C+i=〃+1，

所以P(〃,I)-Q5，I)=I.

=七n—15。"峭）二+（T〃二

=Rn—\(Td匚+n4琰*荒

=尸（1間+￡（可圖得

=尸（1TG高

〃k=0〃1十K

772

=P（n—1,m）H——P（n,m\

n

77

即P（n,m）=-------P（M—l,m）,

由累乘可得尸5,間=（〃：”\p（o，m）=]—，

yn-\-my."+根

又Q（“n）=C：+1n,

所以P（n,ni）-Q（n,ni）=1.

即尸（％m）Q（n,⑹恒為定值1.

點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，解題時(shí)要注意所給出的。（九,7句和。（",7句的定義，并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由

于運(yùn)算量較大，解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

21、（1）圖形見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口

罩有關(guān)系

【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個(gè)深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；

（2）填寫2x2列聯(lián)表即可；

（3）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)在等高條形圖中，兩個(gè)深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個(gè)深色條的

高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認(rèn)為性別與霧霾天

外出帶口罩有關(guān)系.

(2)2*2列聯(lián)表如下:

戴口罩不戴口罩合計(jì)

女性422870

男性203050

合