第23講冪函數(shù)及其性質(zhì)5種題型（原卷版）

第23講冪函數(shù)及其性質(zhì)5種題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).考點(diǎn)二：常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)考點(diǎn)三：冪函數(shù)的單調(diào)性在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).題型一冪函數(shù)的概念解題思路：必須是形如(為有理數(shù))的函數(shù)才叫冪函數(shù)，系數(shù)要為【精選例題】【例1】在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【例2】（多選題）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【跟蹤訓(xùn)練】1.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則___.2.（多選題）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則m的值為（

）A． B． C．1 D．3題型二：冪函數(shù)的三要素【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．C．2D．3【例2】冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為A． B． C． D．【例3】已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1B．2C．4D．82.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．43.設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,34．已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為__________．題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)【精選例題】【例1】若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B． C． D．2【例2】“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例3】函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【例4】（多選題）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【例5】已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（

）A． B．C． D．【例6】寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)．①；②③且．【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．22．（多選題）下列說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過點(diǎn)和D．若冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則3.（多選題）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4.（多選題）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)5．寫出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①定義域?yàn)椋虎谠趩握{(diào)遞增；③．6．已知x，，滿足，，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2題型四：冪函數(shù)的圖象【精選例題】【例1】右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【例2】已知冪函數(shù)的圖象為曲線，有下列四個(gè)性質(zhì)：①為偶函數(shù)；②曲線不過原點(diǎn)；③曲線C在第一象限呈上升趨勢(shì)；④當(dāng)時(shí)，.寫出一個(gè)同時(shí)滿足上述四個(gè)性質(zhì)中三個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)___________.【跟蹤訓(xùn)練】1.冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2.冪函數(shù)，及直線將直角坐標(biāo)系第一象限分成八個(gè)“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（）A． B． C． D．題型五：冪函數(shù)的綜合運(yùn)用【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例2】已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求m的值；(2)求函數(shù)在的值域．【例3】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．【例4】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在，使得在上的值域也為，則稱為“A在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式.(2)函數(shù)是否為“A佳”函數(shù).若是，請(qǐng)指出所在區(qū)間；若不是，請(qǐng)說明理由.【例5】若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調(diào)，且函數(shù)值的取值范圍是（是常數(shù)），則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)否具有性質(zhì)?若具有，求出，；若不具有，說明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，(1)求的值.(2)若，求的取值范圍.3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．4.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增(1)求m的值；(2)若且當(dāng)分別取何值時(shí)，有最小值，并求出最小值.5.已知冪函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).(1)求的值；(2)若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.6.已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若均為正數(shù)且，求的最小值.7．已