2023-2024學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={1,2,4}，A.{1,?3} B.{12.復(fù)數(shù)z=1i+1(A.?12 B.12 C.?3.O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2=8x的焦點，M為C上一點，若|MFA.43 B.32 C.4.已知f(x)=A.f(x)=f(x+π2) B.f(x)5.已知事件A發(fā)生的概率為0.4，事件B發(fā)生的概率為0.5，若在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為0.6，則在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為(

)A.0.85 B.0.8 C.0.75 D.0.76.已知α，β為銳角，cosα=45，tanA.91050 B.310107.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分別是AB，AA.48 B.49 C.50 D.518.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)A.(0,e) B.(0,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=A.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增 B.函數(shù)f(x)g(x)是奇函數(shù)10.已知橢圓C：x24+y22=1的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，M為C上異于A，B的一點，過點M且垂直于x軸的直線與CA.存在點M，使∠AMB=120° B.TA?TB11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=A.數(shù)列{a2n?2}是等比數(shù)列 B.a2n?1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.佛山被譽(yù)為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標(biāo)X～N(800,σ2)，且P(X<801)13.四棱錐P?ABCD各頂點都在球心為O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AD=2，14.過雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2=3，a11=3a4，設(shè)數(shù)列{an}前n項和為Sn，數(shù)列{cn}滿足cn=216.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD中，底面是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是腰長為5的等腰三角形，點M為△PCD的重心．

(1)求證：AC⊥PD；

(2)經(jīng)過點M及直線AB作截四棱錐的截面α17.(本小題15分)

現(xiàn)有標(biāo)號依次為1，2，…，n的n個盒子，標(biāo)號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球.現(xiàn)從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進(jìn)行到從n?1號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．

(1)當(dāng)n=2時，求2號盒子里有2個紅球的概率；

(2)當(dāng)n=3時，求3號盒子里的紅球的個數(shù)ξ的分布列；

(18.(本小題17分)

已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的其中一個端點為B1，長軸端點為A1，A2，且△B1F1F2是面積為3的等邊三角形．

(1)求橢圓C1的方程及離心率；

(2)若雙曲線C2以A1，A2為焦點，以F1，19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?blnxx?1．

(1)若b=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：集合A={1,2,4}，B={x|x2?4x+m=0}．

若A∩B={1}，則1∈2.【答案】A

【解析】解：z=1i+1=1?i(13.【答案】A

【解析】解：由y2=8x可得拋物線的焦點F(2,0)，準(zhǔn)線方程為x=?2，

由拋物線焦半徑公式得MF=xM+p2=xM+2=84.【答案】C

【解析】解：對于A，因為f{x)=cos(sinx),

所以f(x+π2)=cos[sin(x+π2)]=cos(cosx)≠f(x}，故A不正確；

對于B，f5.【答案】C

【解析】解：由已知可得P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.6，

由P(A|B)=P(6.【答案】A

【解析】解：∵α為銳角，cosα=45，

∴sinα=1?cos2α=35，

∴tanα=s7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用坐標(biāo)解決問題的方法、基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．

建立平面直角坐標(biāo)系，可得出A，B，C，D的坐標(biāo)，并設(shè)M，N點坐標(biāo)，根據(jù)2AM+AN【解答】

解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，

設(shè)M(m,0)，N(0,n)，∵2AM+A8.【答案】C

【解析】解：要使函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)有兩個零點，即f(x)=g(x)有兩個實根，

即ln(x+1)?x+1=aex?x+lna有兩個實根，

即ex+lna+x+lna=ln(x+1)+x+1，整理為ex+lna+x+lna=eln(x+1)+ln(x+1)，

設(shè)函數(shù)h(x)=9.【答案】AB【解析】解：因為y=ex與y=?e?x在R上都是遞增函數(shù)，故f(x)在R上單調(diào)遞增，A正確；

因為f(x)g(x)=e2x?e?2x2，

所以f10.【答案】BC【解析】解：對于A，設(shè)橢圓的上頂點為C，

則在Rt△BOC中，

tan∠OCB=ab=22=2<3，

所以∠ACB<2π3，故A錯誤；

對于B，設(shè)點M(m,n)，

則T(m,0)，N(m,?n)，m24+n22=1，

即4?m2=2n2，

TA?TB=?(2+m)(2?m)=m2?4=?2n2，

TM?TN=?n2，

所以TA?11.【答案】AB【解析】解：對A：a2n+2?2=12a2n+1+2n+1?2=12(a2n?4n)+2n?1=12a2n?1=12(a2n?2)，

且a2?2=12×1+1?2=?12≠012.【答案】1

【解析】解：由題意，X～N(800,σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=800對稱，

所以P(X<800)=0.5，因為P(X<801)=P(X<800)+P13.【答案】3π【解析】【分析】本題主要考查了棱錐的體積公式，考查了球的結(jié)構(gòu)特征，及空間幾何體的截面問題，屬于中檔題．

先求出球O的直徑，再利用等體積法求出點D到平面AM【解答】

解：由題設(shè)知球心O為PC中點，

所以球O的直徑2R=22+22+(22)2=4，

所以R=2，

所以球O的體積V=43πR3=323π，

設(shè)球心O到平面AMN的距離為d，截面圓的半徑為r，

由題意可知，球心O到平面AMN的距離等于點14.【答案】3

【解析】解：雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax，

設(shè)焦點F(c,0)，由y=ba(x?c)和雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)解得交點A(a2+c15.【答案】解：(1)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

由a2=3，a11=3a4，可得a1+d=3，a1+10d=3【解析】(1)由等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，可得所求；

(216.【答案】解：(1)證明：連接BD，交AC于點O，連接PO，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AC⊥BD，且O為AC中點，

又PA=PC，∴PO⊥AC，

∵PO?平面PBD，BD?平面PBD，且PO∩BD=O，

∴AC⊥平面PBD，而PD?平面PBD，

∴AC⊥PD；

(2)在平面PCD內(nèi)，過點M作CD的平行線，即為所求的直線l，且l/?/平面PAE．

證明如下：∵l//CD，CD/?/AB，∴//AB，

【解析】(1)根據(jù)已知得出AC⊥平面PBD，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得證；

(2)在平面PCD內(nèi)，過點M作CD的平行線，即為所求的直線l，且l/17.【答案】解：(1)由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為P=C2lC21C42=23；

(2)由題可知，ξ可取1，2，3ξ

1

23

P7

117(3)記an?1為第n(n≥2)號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則a1=16，

bn?1為第n(n≥2)號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則b1=23,b2=1118，

則第n(n≥2)號盒子有一個紅球和三個白球的概率為【解析】(1)由古典概率模型進(jìn)行求解；

(2)ξ可取1，2，3，求出對應(yīng)的概率，再列出分布列即可；

(3)記an?1?為第n(n≥218.【答案】解：(1)因為△B1F1F2是面積為3的等邊三角形，

所以a=2c34a2=3a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

則橢圓C1的方程為x24+y23=1，離心率e=ca=12；

(2)易知雙曲線C2的方程為x2?y23=1，

聯(lián)立x2?y23=1x24+y23=1，解得y=±355，【解析】(1)由題意，根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系列出等式求出a，b，c的值，進(jìn)而即可求解；

(2)先得到雙曲線C2的方程，將雙曲線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出y=±355，再代入三角形面積公式中即可求解；

(3)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式為0得到m2=19.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=ex?elnxx?1，定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=x2ex?e+elnxx2，

令h(x)=x2ex?e+elnx，則h′(x)=(x