河北省保定市唐縣高二年級下冊5月月考數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年河北省保定市唐縣高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.己知函數(shù)/(x)=sin(x+0).貝=/⑴”是“了⑺為偶函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合三角函數(shù)變換，即可判斷選項.

【詳解】B/(-l)=/(l),即sin(—l+o)=sin(l+0)

則sin夕cos1-cosesin1=sincpcos1+coscpsin1,

兀

化簡為cosesinl=0,即0=萬+航，keZ,

當9=]+2標，左eZ時，/(x)=cosx,為偶函數(shù),

當夕='+(2k+1)兀，左eZ時，/(%)=-cosx,為偶函數(shù),

所以/'(T)=/(l)，能推出函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

反過來，若函數(shù)是偶函數(shù)，則有〃-1)=/(1),

所以“/(-1)=/(I)”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.

故選：C

2.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用朋

朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車

上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到水面的距離,為15”，筒車的半

徑r為2.5根，筒車每秒轉(zhuǎn)動*rad,如圖1所示，盛水桶加在兄處距水面的距離為3.5m，9s后盛水

桶M到水面的距離近似為(取虎々1.4)()

圖1圖2

A.1.20mB.1.15mC.0.35mD.0.30m

【答案】B

53

【分析】設(shè)e為水平方向與。玲的夾角，可知水桶M到水面的距離為y=5sine+5，由1處的y值

可構(gòu)造方程求得Sin9=(,根據(jù)所求距離為］sin［，+9x*］+：,利用三角恒等變換公式計算可得結(jié)

果.

53

【詳解】由題意知：水桶M到水面的距離為：y=isine+5(e為水平方向與。州的夾角)

5343

由一sin6+—=3.5得：sin9=—,貝|cos6=—,

2255

則9s后水桶M距離水面的距離為：|sin^+9x^+|,

日口5.3%53%36-72

—sin"cos----F—cos6/sin-----F—=---------bL15.

242424

「?9s后水桶M距離水面的距離約為1.15根.

故選：B.

3.已知x>0,y>0,尤+2y=l,則(x+L+l)的最小值為()

孫

A.4+4岔B.12C.8+4百D.16

【答案】C

【分析】把待求式中“1”用》+2y替換，然后用基本不等式求得最小值.

【詳解】因為無>0,y>0,尤+2y=l,

所以

(%+l)(y+l)_(x+x+2y(y+%+2y)_(2x+2y)(x+3y)

孫孫孫

=2Y+6y2+8孫>+8盯=§+點,

xyxy

當且僅當2/=6/，即x=2百-3,y=2-括時，等號成立.

故選：C.

4.若曲線/(引=勺％<0)與g(x)=e'有三條公切線，則上的取值范圍為()

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，分別設(shè)出兩條曲線的切線方程，將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線交

點個數(shù)問題，即可求出k的取值范圍.

【詳解】設(shè)公切線為1,P(w，%)是/與〃尤)的切點，由〃尤)=：,得尸(x)=?,

設(shè)。(尤2，%)是/與g(x)的切點，由g(x)=e",得g，(x)=e",

所以/的方程為yf=Y(xf),

石

k-k2k

因為X=一,整理得、=丁尤+一，

xx玉x1

同理y—(x-w)，

因為%=/，整理得丁=儼1+廣。一%2)，

k%

一”=e*

依題意兩條直線重合，可得0，，

—=e^(l-x2)

、xi

消去看，得4(=_e"x2T

由題意此方程有三個不等實根，設(shè)/z(x)=-e%x-l)2,

即直線二罪與曲線力(x)有三個不同的交點，

因為〃(x)=e，(l-x2),令//(x)=0,貝i]x=±l,

當x<-l或x>l時，/?*(%)<0；當一1<X<1時，〃(x)>0,

所以用力有極小值為〃(-1)=Te-,/j(x)有極大值為“(1)=0,

因為/z(x)=-e*(x-l)2,e'>0,(x-1)2>0,所以〃(x)40,

當X趨近于9時，網(wǎng)力趨近于0;當X趨近于+8時，力⑴趨近于-8,

故網(wǎng)力的圖象簡單表示為下圖：

所以當-4e—<4左<0,即二<二<0時,直線L業(yè)與曲線〃(X)有三個交點.

e

故選：A.

5.已知函數(shù)〃x）=2sin（tox—協(xié)（0>0,0<。<兀）的一條對稱軸為》=1,一個對稱中心為Q。].

則當。取最小整數(shù)時，函數(shù)在（0,5）內(nèi)極值點的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件先求出的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出極值點即可.

【詳解】因為/（x）=2sin3x—0）（G>O,O<°<7i）的一條對稱軸為x=]兀，

所以T'G一0=+K兀，《eZ①，

又“X）的一個對稱中心為《，0），

7T

所以,口一夕二左2兀，左2￡Z②，

①-②得不公=（匕一左2）兀十萬，

所以①=6（1cl一&）+3,

因為①>0,所以①取最小整數(shù)值為3.

3冗

當刃=3時，由②得夕=萬一左2兀，％2￡Z,

JT

因為。<夕<兀，所以夕=],

所以/（x）=2sin（3x-|^.

由3元-]=配+^得f（x）的極值點為x=；（4+1）兀,％eZ,

當左=0,1,2,3時,x.爭若極值點在（0,5）內(nèi).

故選：B.

]n尤]>0

{尤2；g+2）x+2a》<0若方程/（x）=HH+l恰有2個實數(shù)解，則實數(shù)。的取值范

圍是（）

-1rB.1武

A.(-oo,0]u[1,+co)

7?2_

;2[1,+⑹

C.(-8期5D.(-8,0]

【答案】D

lnx-1

,x>0

【分析】化簡/(x)=a|x|+l,進行參變分離，求出,畫出圖像根據(jù)圖像

x<0,1。一1

、—2元-2

得出結(jié)論.

lnx-ax-l,x>0

【詳解】化簡/(%)=。同+1得〃尤)=

x2+(26z+2)x+2?-l,x<0

lnx-1八

--------,x>0

x

a=<

%?+2x—1

-------------,x<0,x^-1

I-2x-2

當％>0時，設(shè)h{x}=_\(x>o)

x

.?.〃(元)=左磐，磯/)=2-ln^2

=0

e1

當0<x</時，h'(x)>0,版尤)在(042)上單調(diào)遞增;

當時，hr(x)<0,/z(x)在卜2,+8)上單調(diào)遞減;

2lng1ln

/i(x)max=h(e)=2=\,且當e2cx時，/?(%)=^>0；

當x<0,xhT時，設(shè)心)=*+21一葉1+J_QV0,xw-1)

一2尤-22x+1

易知函數(shù)i(尤)在(-甩-1),(-1,。］分別單調(diào)遞減，i(0)=g

畫出函數(shù)圖像

根據(jù)圖像可得(-②⑼口/卜1,+℃j.

故選：D.

【點睛】本題采取的是數(shù)形結(jié)合的思想，在進行分離變量的時候要探討參數(shù)的取值范圍.

7.已知a—2=In—,6—3=In—,c—3=In—,其中cw(0,1),貝！J()

232'"

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃x)=x-lnx(x>0),得到其單調(diào)性，根據(jù)題目條件得到"。)="2),

〃b)=f(3),/(c)>/(3),結(jié)合a,瓦ce(O,I)且「⑺在(0,1)上單調(diào)遞減,從而得到c<6<a.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x—lnx(x>。)，

貝|/'(尤)=1_工1=」x—1，

XX

當%>1時,制㈤>0,當OVJTVI時，/r(x)<0,

故外”在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

由a-2=ln0,可得a-2=lna-ln2,即a-lnQ=2-ln2，

2

即

b

由。-3=ln§,可得人一3=111人一ln3,即b—ln)=3—ln3,

即f(6)=〃3),

因為3>2,〃x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以1(3)>1(2),故/))>/(。),

因為〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減，丘(0,1),故6<a,

H^c-3=ln-^=lnc-ln2>lnc-ln3,

故c—lnc>3-ln3,即〃c)>〃3),

因為J(6)=/(3),所以〃c)>〃b),

因為〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減，及c?0,l),故c<6,

從而cva.

故選：A

【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)

研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中由對數(shù)運算后，根據(jù)式子特征選擇

/(^)=x-lnx(x>0),從而達到構(gòu)造出適當函數(shù)的目的.

8.函數(shù)/(x)=Wj+2sin兀x(-5<%<2且xwT)的所有零點之和等于()

A.-10B.-8C.-6D.-4

【答案】B

【分析】把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點問題，再通過函數(shù)圖像，利用對稱性進行求解.

【詳解】令〃x)=」一+2sinG=0,則一一=-2sin?x,如圖，畫出函數(shù)y=」一、y=-2sin%x的

x+1x+1x+1

圖像，

函數(shù)，(尤)=U+2sin萬x(-54無42且xr-1)的所有零點之和等于函數(shù)y=工的圖像與函數(shù)

7X+1X+1

y=-2sinTIX的圖像交點橫坐標之和，

如圖，兩函數(shù)圖像都關(guān)于(-1,0)對稱，由圖知兩函數(shù)圖像共有八個交點，橫坐標之和為4x(-2)=-8,

所以函數(shù)〃x)=￡+2sinG(-5<xV2且中-1)的所有零點之和等于-8.故A,C,D錯誤.

故選:B.

【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點與函數(shù)圖像交點的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.函數(shù)圖像是函

數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.歸

納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：L確定方程根的個數(shù)；2.求參數(shù)的取值范圍；3.求

不等式的解集；4.研究函數(shù)性質(zhì).

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x)=cos/x-在［0,兀］上恰有三個零點，則()

A.。的最大值為?19

B.在［0,可上只有一個極小值點

C.在［0,可上恰有兩個極大值點

D.〃力在上單調(diào)遞增

【答案】BD

【分析】根據(jù)函數(shù)〃x）=cos"T［0＞O）在［0,兀］上恰有三個零點，可推得襄。＜?,即可判

冗

斷A；求出芾37r＜。兀-2年7r〈手5，結(jié)合余弦函數(shù)的最值情況可判斷B,C；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判

斷D.

【詳解】A項，當尤^［。，兀］時，..-＜COX.....—＜CDTI.....-,

由函數(shù)/（X）=cos/X-＞。）恰有三個零點，

可得37c兀-?2＜兀三571，解1得3所19以。無最大值，因此A錯誤；

23266

37r127r5TT27r5ir

B選項：由A選項知，—,則當s-」=兀，即無=三時，函數(shù)/（x）取得極小值，

23233a）

即了⑺在［0,可上只有一個極小值點，因此B正確;

冗冗冗

C選項：當s-92=0,即尤=§時，止匕時％=?27r￡（蕓4,萼4］,函數(shù)〃尤）取得極大值,

33a）3@1913

當。無-==2兀，即無=萼^（粵，等］時，函數(shù)/⑺取得極大值，

33a）1913

但是個不一定在［。,司內(nèi)，因此c錯誤；

3。

一、以17-、〃八兀rt2兀2兀CD712兀

D選項：當0vx<一時，---<cox-------<------------

—53353

巾忙①n2兀71192兀71

因為。＜—19,所以-------<—x----------

65356330

即。X-亨€（-冷，一點），而y=COSX在（一-［）上單調(diào)遞增,

因此/（X）在（0,T1T）上單調(diào)遞增，因此D正確,

故選：BD.

|x|

10.已知函數(shù)/（%）=},則（）

A.〃x）為偶函數(shù)

2

B.〃尤）的最小值為?

C.函數(shù)g（x）=/（x）-有兩個零點

D.直線ex+y-2e=。是曲線y=/（x）的切線

【答案】ABD

【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷選項A；根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)在

（0,+8）的最值即可判斷選項B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象即可判斷選項C；利

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷選項D.

eT

【詳解】A項：函數(shù)/⑺的定義域為（y,o）u（o,y）,且〃f）=

(-X)2

故函數(shù)〃尤）為偶函數(shù)，A正確;

B項：由A項可得元）為偶函數(shù)，

則在區(qū)間0）與（0,+動的最值相等，

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故對稱軸任意一側(cè)最值即為函數(shù)的最值.

故只需求在區(qū)間（0,+8）的最值即可.

當x>0時，/（x）==，-（x）=e'（xj2）,

所以當0<x<2時，r（x）<0,/（X）單調(diào)遞減；

當x>2時，f\x）>0,/（x）單調(diào)遞增.

2

故在x=2時取得最小值，所以〃尤）的最小值為“2）=?,B正確；

C項：由A,B項可得，"X）為偶函數(shù)，當x>0時，“X）在區(qū)間（0,2）單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,+8）單

調(diào)遞增，且最小值為

4

又無.0+時，/（%）->-H?,Xf+8時，〃x）—+oo,

所以〃x）的大致圖象如圖所示，

e0(x()-2)

D項：當x>0時，設(shè)切點為（七,%）由廣（x）=可得切線斜率卜=,若直線

X；

ex+y-2e=。與曲線y=/(x)相切，則e(無；?)=_e,解得%=1,

則切點坐標為(l,e),

故切線方程為e^+y-2e=0,D正確.

故選：ABD.

11.已知奇函數(shù)〃尤)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/(%),且/(1-力-/(1+力+2%=0恒成立，若f(x)

在［05單調(diào)遞增，則下列說法正確的是()

A.〃x)在［L2］單調(diào)遞減B."2)=2

C.7(2024)=2024D./(2023)=1

【答案】BCD

【分析】根據(jù)函數(shù)的的對稱性和周期性，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，逐個選項進行驗證即可.

【詳解】方法一：

對于A,若〃x)=x,符合題意，故A錯誤，

對于B,因已知奇函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，所以"0)=0,

因為/(l-x)-『(l+x)+2x=0,所以『(0)-『(2)+2=0,

所以“2)=2,故B正確，

對于C和D,設(shè)g(x)=f(尤)-x,

則g(x)為R上可導(dǎo)的奇函數(shù)，g(0)=0,

由題意〃l_x)+x_l=〃l+x)_l_x,得g(l-x)=g(l+x),

所以g(x)關(guān)于直線X=1對稱，

所以g(x+2)=g(l+x+l)=g(-x)=-g(x)

g(x+4)=g(x+2+2)=_g(x+2)=g(x),

所以奇函數(shù)g(x)的一個周期為4,g(2024)=g(0)=。，

所以“2024)-2024=0,gp/(2024)=2024,故C正確,

由對稱性可知，g(l—x)=g(l+x),即_g(l_x)=_g(l+x),所以g(-l+x)=g(—l-x),

等式兩邊對X求導(dǎo)得，g,(-l+x)=-g,(-l-x),

令尤=0,得g'(-l)=-g'(-l),所以g'(—l)=0.

由g(x+4)=g(無)等式兩邊對尤求導(dǎo)得，g<x+4)=g1x),

所以g'(x)的一個周期為4,所以g'(2023)=g'(—1)=。，

所以廣(2023)-1=0,故以(2023)=1,故D正確.

方法二：

對于A,若〃x)=x,符合題意，故錯誤，

對于B,因已知奇函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，所以〃0)=0,

因為/(l-x)-/■(l+x)+2x=0,所以/■(0)-/(2)+2=0,

所以“2)=2,故B正確，

對于C,將/。一力一/(l+x)+2x=。中的x代換為x+1,

得了(-x)-,(2+x)+2%+2=0,所以f(x+2)+/(x)=2x+2,

可得/(x+4)+/(x+2)=2x+6,兩式相減得，/(x+4)-/(x)=4,

則“4)-〃。)=4,〃8)_〃4)=4,/(2024)-〃2。2。)=4,

疊加得“2024)-"0)=2024,故C正確，

對于D,將/(l_x)_/(l+x)+2x=0的兩邊對x求導(dǎo)，^-/,(l-x)-/,(l+x)+2=0,

令x=0得，7'(1)=1，

將-/(-x)=/(x)的兩邊對尤求導(dǎo)，得尸(r)=_f(x),所以尸(—1)=1,

將〃x+4)-〃x)=4的兩邊對x求導(dǎo)，得_f(x+4)=r(x),

所以廣(2023)=r(2019)=—=/(-I)=1，故D正確.

故選：BCD

【點睛】知識點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性，對稱性和周期性的判斷及其性質(zhì)的運用，

同時考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，綜合程度較高，充分利用函數(shù)的周期性，奇偶性，對稱性的定義是解決

問題的關(guān)鍵.

TT

12.已知函數(shù)〃x)=2尤-cos］》,貝(!()

A.在［-U］上最大值為2

B.〃尤)有兩個零點

C.〃尤)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱

D.存在實數(shù)。，使〃)的圖像關(guān)于原點對稱

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)即可判斷A,將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題即可判斷B,根據(jù)對稱

中心的定義即可判斷C,將問題轉(zhuǎn)化為判斷/'(2x-a)是否為奇函數(shù)即可判斷D.

【詳解】對于A,y'(x)=2+—sin—x,-1<X<1,.\x<—-l<sin—x<l,

v7222222

.■.2-^<2+^sin^x<2+^,.-./(無)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

??"(初四=/(1)=2,故A正確；

對于B,f(x)的零點個數(shù)即方程2x-cos'x=0的實根個數(shù)，

即方程2x=cos-x的實根個數(shù)，即y=2x與y=cos'x圖像的交點個數(shù).

TT

在同一坐標系中畫出>=2尤與y=coS］X圖像如圖所示：

兩個函數(shù)圖像只有一個交點，故B錯誤；

對于C,若〃x)的圖像關(guān)于點(1,2)對稱，

則有/(l+x)+/(l—尤)=2+2=4對任意xeR恒成立.

/(1+%)+/(1-%)=2(1+x)-cosT(1+x)+2(1-x)-cos；(1-尤)

,(717T(7171\

=4_cos|］+3xJ-cos|5_5xJ=4恒成乂，

\/'(x)的圖像關(guān)于點。，2)對稱，故C正確；

對于D,若存在實數(shù)。使/(2x-a)的圖像關(guān)于原點對稱，則/■(2x-a)為奇函數(shù).

令g(X)=/(2x—a),g(%)+g(-X)=0對任意XGR恒成立,

即2(2x—Q)—cos—^2x—a)+2(—2x—Q)—cos—(—2x—a)—0恒成^立,

即2a+cos7Lx?cos工兀〃=0對任意xeR恒成立，

2

2a=0

則兀C，上述方程組無解，故D錯誤.

cos—<7=0

12

故選：AC.

三、填空題

13.已知，￡(0,兀)，則-2——cos?6的最小值為_____.

2sm0

【答案】V2-1

【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】6《(0,兀)，0<sin^<L

11

-cos20=+sin20-1>2——―xsin20—1=\/2—1,

2sin26>2sin*V2sin26(

當且僅當高麗=si/。，即5m0=2一％時取等號，

所以公高一8s3的最小值為0-1.

故答案為：A/2-I

14.已知實數(shù)x,1滿足lnj2y+l+y=2,e*+x=5,則x+2y=.

【答案】4

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點存在原理進行求解即可.

【詳解】由InJ2y+1+y=2,即In,2y+l=2—y,

即e""=2y+l,

令4-2y=f,貝!12y=4T,

即e'=5—3即e'+f—5=0.

由e*+x=5,得e*+x-5=0,

設(shè)函數(shù)/(x)=e，+x-5,顯然該函數(shù)增函數(shù),

又/⑴.〃2)=(e-4)x(e2-3)<0,

所以函數(shù)〃H=e*+x-5在(1,2)上有唯一的零點,

因止匕/=x,即4-2y=x,

所以尤+2y=4.

故答案為：4.

15.已知函數(shù)〃司=$皿卓+8$?（0>0）在區(qū)間住,3］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是

4乙\3*J

【答案】

l-cos2s由余弦函數(shù)的性質(zhì)，求得出4x4”業(yè)，左eZ,

【分析】化簡得到由“X）

2①2a）

左兀<兀

結(jié)合題意得到不等式組2

n，求得弘KgW1,進而求得①的取值范圍.

兀

>——35

2。4

【詳解】由/（X）=sin半'cos半

sineox

令2EW2GxW（2k+1）兀，左EZ,可得如W（2"+l）",1wZ,

CD2a）

左兀〈兀

所以只需之\，解得女40442%+1）,

（2Z+1）兀3兀3'，

、2a）"T

一一2

又因為keZ,所以％=0,gp0<<2?<—,

3

所以。的取值范圍是1o,|.

故答案為：（0彳.

16.關(guān)于x的不等式a%2*M-lm:+x+l+2Ina20在（。,+勿）上恒成立，貝壯的最小值是.

【答案】正

2e

【分析】不等式轉(zhuǎn)化為21n"+（2%+1+2111。）2111了+工=6瓜"+111%,構(gòu)造函數(shù)/（力=爐+“，判斷

函數(shù)單調(diào)遞增得至U2x+l+lna>lnx,轉(zhuǎn)化為2x+l-lnx+lna,構(gòu)造函數(shù)g(x)=2x+l-lnx+lna,

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最小值即得到答案.

【詳解】a2e3**1-lnx+x+l+21n?>0,BPe2i+1+21na+(2x+1+21na)>Inx+x=etor+In%,

設(shè)/（x）=ef,r（x）=e，+l>0恒成立，故〃x）單調(diào)遞增.

原不等式轉(zhuǎn)化為〃2x+l+21na)2f(lnx),即2x+l+21na?lnx,

即2x+1—Inx+21na20在(0,+8)上恒成立.

、?Y—1

設(shè)g(x)=2x+l-lnx+21na,g，(%)=-------,

x

當xe]g,+oo]時，g,(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當xejagj時，g'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

故g(x)mm=g(；]=2+ln2+21naN0,

21na>—2—ln2=—ln2e2,解得

2e

所以。的最小值是走.

2e

故答案為：走.

2e

【點睛】方法點睛：將不等式/e?向一lnx+x+l+21na20化為e"*21M+(2%+1+2山。)*山，+111%,

這種方法就是同構(gòu)法，同構(gòu)即結(jié)構(gòu)形式相同，對于一個不等式，對其移項后通過各種手段將其變形,

使其左右兩邊呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式完全一樣的狀態(tài)，接著就可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性等來對式子進

行處理了.

四、解答題

17.在一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinB=5/0(1-cosA).

(1)求角A的大??；

(2)若。是BC上一點，且Cr>=2DB,AD=l,求A5C面積的最大值.

【答案】(1)A=?；

(2)辿,

8

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合輔助角公式求解作答.

(2)在ADB與oACD中利用余弦定理求出6,c的關(guān)系等式，再借助均值不等式求解作答.

【詳解】(1)在ABC中，由asin5=V§/?(l-cosA)及正弦定理得sinAsin5=6sinB(l-cosA),

因為sin3w0,則有sinA=g-GcosA,即sin[A+q]=,

?.兀/兀471zpi71271

由0<Av71,一<A4—<,AAH—=—,

33333

所以A=g.

12

(2)依題意，BD=—a,DC=—a,AD=l,

33

122

2之21H—a—c

在，AOB與一ACD中，分別由余弦定理得cosZADB=-----,

2DA-UD一乙Q

3

422

D^+DC2-AC21+9fl~b▼

cosZ.ADC=---------------=-----------,又cosZADB=—cosZADC,

2DADC4

-Q

3

于是3+g/-b2-2c2=0,貝第62+202-3=_|。2=|伊+c2-26ccosA)=|,2+cjc),

3

^3^19=Z?2+4c2+2bc>4bc+2bc=6bc,即bcV],當且僅當b=2c=J^時取等號，

所以ABC面積的最大值為Smax=！x3xsin工=

18.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+0)+cos2x,其中|夕|<].再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為

已知，使Ax）存在，并完成下列兩個問題.

⑴求。的值；

⑵當時，若曲線y=〃x）與直線恰有一個公共點，求優(yōu)的取值范圍.

_o3_

條件①：d號=-1;

條件②：-己是/（X）的一個零點；

條件③：/（0）=佃.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)選擇的條件代入計算，結(jié)合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解夕=-$,

O

（2）由和差角公式以及輔助角公式化簡/（x）=sin（2x+￡）,由整體法即可代入求解.

【詳解】⑴選條件①：/19]=$布（1+0]+85￡=-1=>5由（1+°]=-1無意義，所以選條件①

時/（X）不存在，故不能選①,

選條件②.

由題設(shè)=sin(J+⑼+cos(§)=0,所以sin3-5=~-

12o662

因為所以所以展3=

22363o3

所以夕=-?.

O

選條件③，由題設(shè)sine+cosO=sin(g+0)+cosW.整理得sin(0-二)=-走.

3362

以下同選條件②.

(2)由(1)/(x)=sin(2x--)+cos2x=sin2x+—cos2x=sinf

622(6)

m、1兀,/兀ULt、i兀c7T57r

因為一彳，所以一242尤+2.

63666

于是，當且僅當2x+1=W，即尤時，取得最大值1；

o26

TTTTTTI

當且僅當2元+占=-占，即》=-m時，/⑴取得最小值

6662

又2x+2=V，即x=B時，/A=sin^=1.

663362

且當-1v2x+U時，〃無)單調(diào)遞增，所以曲線y=/(x)與直線尸7"恰有一個公共點，貝IJ

666

115

一-4〃2<一或m=1

22

m的取值范圍是1{1}?

19.某區(qū)在高中階段舉行的物理實驗技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進行，第一步基本操

作：每位參賽選手從A類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的(否則終止比

賽)，才能進行第二步技能操作：從8類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.A類題操作正

確得10分，3類題操作正確得20分.以兩步總分和決定優(yōu)勝者.總分80分或90分為二等獎，100分

為一等獎.某校選手李明A類7題中有5題會操作，B類5題中每題正確操作的概率均為：，且各題

操作互不影響.

(1)求李明被終止比賽的概率；

(2)現(xiàn)已知李明A類題全部操作正確，求李明B類題操作完后得分的分布列及期望；

⑶求李明獲二等獎的概率.

【答案】⑴7

(2)分布列見解析，80

【分析】（1）設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，結(jié)合對立事件

的概率計算公式，即可求解；

（2）根據(jù)題意得到得分為X的取值，結(jié)合5類題正確操作題數(shù)wBp1）利用重復(fù)試驗的概率

計算公式，求得概率，列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)題意得到事件N即A類題全部操作正確，8類題正確操作2題或A類題操作正確3題，B

類題全部正確操作，結(jié)合概率的運算公式，即可求解.

【詳解】（1）解:設(shè)“李明被終止比賽”事件為M,而表示選的4題均會操作或3題會操作，

故李明被終止比賽的概率尸（"）=1-2何）=1-史譽

（2）解：設(shè)李明在競賽中，A類題全部操作正確后得分為X,

則X的取值為40,60,80,100,且B類題正確操作題數(shù)w

2

可得尸P（X=60）=C|xf|Lm=|;

2；()；

p(X=80)=C；xIPX=100=Cx

所求X的分布列

48

尸(x)

927

（3）解：設(shè)李明獲二等獎的事件為N,事件N即A類題全部操作正確，8類題正確操作2題

或A類題操作正確3題，B類題全部正確操作，

所以李明獲二等獎的概率為尸（N）書xC；x]"+詈心t；=黑

20.在ABC中，內(nèi)角ABC的對邊分別為a,6,c,已知邊c=6,且$1114+5苗3=2$111。.

⑴求_ABC面積的最大值；

（2）設(shè)當,ABC的面積取最大值時的內(nèi)角C為9,已知函數(shù)/（%）=sin（5-0）（0>0）在區(qū)間,雪上恰

有三個零點和兩個極值點，求。的取值范圍.

【答案】(1)973

1417

⑵一＜gV——

33

【分析】(1)法一：由正弦定理可得a+b=2c,推出頂點。的軌跡是以A3為焦點的橢圓，利用橢

圓的幾何性質(zhì)結(jié)合三角形面積可求得答案；法二：由正弦定理可得，+8=2c,利用余弦定理求得

c°sC=Ay，進而求出sinC,利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式可求得答案；

(2)由條件可確定/(x)=sin]ox-2),根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)以及極值點個數(shù)列出相應(yīng)不等式可求

得答案.

【詳解】(1)法一：由題意知c=|A8|=6,

由sinA+sin3=2sinC得：a+b=2c,BPICA\+1CB|=12>|AB\,

則頂點C的軌跡是以A,8為焦點的橢圓(除去長軸的兩個端點)，

當頂點C為橢圓的短軸的端點時一ABC的面積最大，

JT

此時a=6=c=6,ABC是等邊三角形，C=g,

2

所以(SABc)max=1-6-sin^=9V3.

法二：由sinA+sin5=2sinC得：a+b=2c=12,

(i+Z72-36(。+b)2-36-lab54-ab

cosC=---------------=------------------------------------

lablabab

sinC=Vl-cos2C=—{3ab-8l,

ab

2

所以SAABC；a+b

="sinC=3y3ab-81<,3|-81=9岔,

2

當且僅當。=6時取等號，

此時ABC是等邊三角形，C=|,ABC的面積的最大值為9A.

(2)由(1)有/(尤)=sin[o尤一

函數(shù)/(x)=sin(0x-e)(0>0)在區(qū)間(0,￡|上恰有三個零點和兩個極值點,

EIcon兀，5兀5,口14,17

貝U,解得?-<.

21.已知橢圓C：5+，=l（a>b>0）的離心率為g,且橢圓C經(jīng)過點（百』），過右焦點廠的直線

/與橢圓C交于A,B兩點.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)。為坐標原點，求，。R面積的最大值以及此時直線/的方程.

22

【答案】⑴上+上=1

62

⑵G，x-y-2=0或x+y-2=。

【分析】（1）根據(jù)給定條件列方程，求出。，》即可作答.

（2）先判斷直線/的斜率不為0,設(shè)出直線/的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達定理、三角形

面積列出函數(shù)式，利用基本不等式求解作答.

9A2

【詳解】（1）由/=4=1一勺，得1=3/，

3a2

22

所以橢圓C的方程為東+方=1,

把點（6,1）的坐標代入上式，