河北省2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中

有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫(xiě)有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直

到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1

到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)

數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：

141432341342234142243331112322

342241244431233214344142134412

由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）

1123

A.—B.—C.一D.-

4555

2.《九章算術(shù)》“少?gòu)V”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡(jiǎn)，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及〃=3時(shí)，如圖：

H=3

記乂為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則$6為（）

A.147B.294C.882D.1764

3

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的3==,則①處應(yīng)填寫(xiě)（）

A.k<3?B.k?3?C.k?5?D.k<5?

4.已知集合A={x|心<1},B={x|lnx<l},則

A.AB={x|O<x<e}B.AB={x\x<e}

C.AB={x|O<x<e}D.4B={x|-l<x<e}

5.定義在衣上的函數(shù)/（x）=x+g（x）,g（x）=-2x—2+g（-2—x）,若/（尤）在區(qū)間［―1,+8）上為增函數(shù)，且存在

-2<t<0,使得/（。）?/⑺<0.則下列不等式不一定成立的是（）

A./(r+/+1)>/IB./(-2)>0>/(0

C./(Z+2)>/(/+1)D./(/+1)>/(/)

6.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）（其中萬(wàn)，e為無(wú)理數(shù)）

?Ve>—；②In乃<2；?In3<—.

23e

A.0B.1C.2D.3

7.如圖，在四邊形ABC。中，AB=1,BC=3,ZABC=120°,NACD=90。，ZCDA=60°,則瓦)的長(zhǎng)度

為()

B.2^/3

c.3石D.內(nèi)I

3

8.在AABC中，OA+OB+OC=0，AE^2EB>|AB|=2|AC|,若AC=9AO-EC，則實(shí)數(shù)4=（）

A.正B.正C.立D.如

3232

9.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立

即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

10.正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中的4、。4039是函數(shù)/（力=：%3一4爐+6>3的極值點(diǎn)，貝！Jlogn4020=（）

A.-1B.1C.yf2D.2

11.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）

正視圖斜視圖

12.已知橢圓二+4=1（。〉6〉0）的焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)?,其中焦點(diǎn)乃與拋物線y=2px的焦點(diǎn)重合，且橢圓與

ab

拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過(guò)點(diǎn)尸2,則橢圓的離心率為（）

A.母B.72-1C.3—2后D.73-1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不熊

連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是.

14.兩光滑的曲線相切，那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示，一列圓G：無(wú)2+(y-%)2=今2(詼>0,30,

2

n=lf2…)逐個(gè)外切,且均與曲線尸x相切,若ri=l,則三

15.在△ABC中，NR4C=60，A。為N5AC的角平分線，KAD=1AC+1AB,若43=2,貝!JBC=.

16.已知a是第二象限角，且sina=半，tan(?+/?)=-2,則tan￡=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)在/A5C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2ccos3=2a—亂

(I)求/C的大?。?/p>

(II)若C4-gcB=2,求AABC面積的最大值.

18.(12分)如圖所示，四棱錐P-A5CZ)中，PCL^ABCD,PC=CD=2,E為A5的中點(diǎn)，底面四邊形A8CZ>

滿足NAOC=NDC3=90。，AD=1,3c=1.

(I)求證：平面尸。七_(dá)1_平面PAC；

(II)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;

(III)求二面角D-PE-B的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/'(x)=；|x-a|(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式x—；+/(x)21；

(2)設(shè)不等式x-g+/(x)<x的解集為"，若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

一昌

X—1H---1

20.(12分)已知直線/的參數(shù)方程為2a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

卜宣1

系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cose.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(1,0),直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求IAPI+IPBI的值.

21.(12分)(江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于x軸的動(dòng)直線/交

拋物線C：=4%于點(diǎn)P，點(diǎn)尸為。的焦點(diǎn).圓心不在y軸上的圓〃與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)〃的軌

跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若直線乙與曲線E相切于點(diǎn)。(s/),過(guò)。且垂直于《的直線為4,直線4，4分別與丁軸相交于點(diǎn)A，瓦當(dāng)

線段A5的長(zhǎng)度最小時(shí)，求$的值.

22.(10分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓。交于4，N兩點(diǎn).

4

(I)若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為求直線/的方程；

(II)若直線/過(guò)點(diǎn)(4,0),點(diǎn)P(5,0)滿足原"+即％=。(kpM，勺N分別為直線PM，PN的斜率)，求升的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.

【詳解】

由題意可知當(dāng)L2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142,112,241,142,412.

則恰好第三次就停止摸球的概率為P=5=；.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得臬的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

￡

31530

2

1

21020

3

j_215

15

42~2

16

612

55

1

1510

6

所以06=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.

【詳解】

左=1,S=0;k=2,S=OH—y--=—；

2-+26

13

=3,S=—+—7--=—；k=^,S=—+—----=—.

632+34442+410

所以①處應(yīng)填寫(xiě)“鼠3?”

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

4.D

【解析】

因?yàn)锳={x[/<1}={X|-1<X<1},B={x|lnx<l}={x|0<x<e},

所以AB={x\Q<x<}],A3={尤|一1<尤<e},故選D.

5.D

【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

由條件可得f(~2-x)=—2—x+g(—2—x)=-2—x+g(x)+2x+2=g{x)+x=f(x)

函數(shù)AM關(guān)于直線x=—1對(duì)稱；

/(X)在[-1,+8)上單調(diào)遞增，且在—2<f<0時(shí)使得/(0)./(0<0；

又/(-2)=/(0)

.??/(0<0,/(-2)=/(0)>0,所以選項(xiàng)3成立;

3111

t2+t+2——=(t+—)2+—>0,；,t2+t+l比一離對(duì)稱軸跡，

2242

1

.?.可得/(9/+。+1)>/(5),二選項(xiàng)4成立；

Q+3)2-Q+2)2=2f+5>0,；.|f+3|>|f+2|,二可知/+2比t+1離對(duì)稱軸遠(yuǎn)

.?./a+2)>/(r+l),選項(xiàng)C成立；

?.?一2</<0,.,.4+2)2—?+l)2=2t+3符號(hào)不定，Br+21,|r+l|無(wú)法比較大小，

.?"Q+l)>/Q)不一定成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

6.C

【解析】

2

對(duì)于①中，根據(jù)指數(shù)易的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對(duì)于②中，構(gòu)造新函數(shù)/(x)=lnx-§,x〉0,

利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到/(?)>/,),即可判定是錯(cuò)誤的；對(duì)于③中，構(gòu)造新函數(shù)

f(x)=elnx-x,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為/(e)=0,進(jìn)而得到/(3)<0,即可判定是正確的.

【詳解】

由題意，對(duì)于①中，由(Gy=e,(|)=(=2.25,可得e>2.25,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正

確的；

21

對(duì)于②中，設(shè)函數(shù)/(x)=lnx——,x>0,則/(x)=—>0,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

DX

因?yàn)?〉e,貝!!/(?)>/(e)

9?12

又由〃e)=lne—耳=1—§=§>0,所以/(?)>0,即皿乃>§,所以②不正確；

￡>Z2—V

對(duì)于③中，設(shè)函數(shù)/(x)=elnx-x,x>0,貝!|/'(%)=-—1=----,

當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/,(%)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，//(%)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為〃e)=elne—e=0,

所以/(3)=eln3—3<0,即eln3<3,即ln3<一,所以是正確的.

e

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

7.D

【解析】

設(shè)NACB=。，在AABC中，由余弦定理得AC?=i?！?cosl20。=13，從而求得CD,再由由正弦定理得

AH

--=――,求得sin。，然后在ABCD中，用余弦定理求解.

smasin120°

【詳解】

設(shè)NACB=。，在AABC中，由余弦定理得AC?=i0—6cosl20。=13,

則AC=y/13f從而CD=,

加ABAC.y/3

由正弦定理得———=-------,即a=—；=，

cmzvcm1。八。sinCItO

從而cosZBCD=cos（90°+a）=

A/3_49

在ABCD中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3xJ—x

3V32^/13-3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

8.D

【解析】

將A。、EC用A3、AC表示，再代入48.4。=940?石。中計(jì)算即可.

【詳解】

由。4+。8+。。=0，知。為AABC的重心，

21-1

所以AO=§X2(AB+AC)=§(AB+AC),又Ak=2EB，

__________-2-__-2--

所以EC=AC-AE=AC--AB,9AO-EC=3(AB+AC)-(AC--AB)

2.2221IABI區(qū)A/6

=ABAC-2AB+3AC=A5AC，所以2AB=3AC，^=777q=J-=—-

I21X_zJY/乙

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.

9.B

【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)4排在第三位時(shí)，E

排在第四位，結(jié)合任務(wù)5和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案.

【詳解】

六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C,D、E、F,

如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好。、F,再在。、尸之間的3個(gè)空位中插入5、C,

此時(shí)共有排列方法：國(guó)耳=12；

如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則瓦C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有可費(fèi)=12,可能都在4、

E的右側(cè)，排列方法有其&=4；

如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B,C分別在A、E的兩側(cè)尺隹=16；

所以不同的執(zhí)行方案共有12+12+4+16=44種.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

10.B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4%039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意為、為039是函數(shù)/(x)=gxL4好+6%—3的極值點(diǎn)，也就是8x+6=O的兩個(gè)根

??〃1。4039—6

又｛q｝是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以4020=而々4039=底

.-.log^t72020=log^V6=l.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

11.B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積二&=＞二4=：6,四棱柱的底面是梯形，體積為

匚「21-62;支，因此總的體積宓=：1幄帶攀=*§.

■

考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.

12.B

【解析】

272+3

根據(jù)題意可得易知且＜

c=',4，解方程可得＜

2

p2b2+4p~a2=4a2b2

【詳解】

易知。="，且＜

2

p2b~+4p2a2=4a-b2

故有‘2二號(hào)="2&，則e=，3-2夜=也.-1

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.60

【解析】

分析：首先將選定第一個(gè)釘，總共有6種方法，假設(shè)選定1號(hào)，之后分析第二步，第三步等，按照分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,

可以求得共有10種方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，求得總共有6x10=60種方法.

詳解：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)釘里任意選一個(gè)，共有6種選擇方法，并且是機(jī)會(huì)相等的，若第一個(gè)選1號(hào)釘?shù)?/p>

時(shí)候，第二個(gè)可以選3,4,5號(hào)釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有10x6=60種方法，故答案是60.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，在解題的過(guò)程中，需要逐個(gè)的將對(duì)應(yīng)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)，

所以利用列舉法將對(duì)應(yīng)的結(jié)果列出，而對(duì)于第一個(gè)選哪個(gè)是機(jī)會(huì)均等的，從而用乘法運(yùn)算得到結(jié)果.

n

【解析】

第一空：將圓G：V+（y—q『=i與'=%2聯(lián)立，利用△=。計(jì)算即可；

第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系4=%-+*+*再將C”：無(wú)2+（y—4『=犬與'=必聯(lián)立，得到

,1

an=r,；+-,與%-+*+/；結(jié)合可得）為等差數(shù)列，進(jìn)而可得小

【詳解】

當(dāng)ri=l時(shí),圓G:尤之,

與>=必聯(lián)立消去y得y2_（2q_l）y+%2_]=0,

則A=（2aI_l）2_4（a]2_l）=0,解得q=|；

由圖可知當(dāng)“22時(shí)，??=??_1+rn_x+rn?,

將Q:尤2+（y—。『公與尸一聯(lián)立消去丁得

y2_（2%_l）y+%2_/2=0,

則A=（2a,,—1）2—4&2_目=0,

整理得％,=Y+；，代入①得Y+：=7：+：+1]+5,

整理得9―7i=l,

則/=（+（〃T）=〃.

故答案為：—；n.

4

【點(diǎn)睛】

本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合

性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.

15.2s

【解析】

由AQ=（AC+[AB,求出8。,CD長(zhǎng)度關(guān)系，利用角平分線以及面積關(guān)系，求出AC邊，再由余弦定理，即可求解.

【詳解】

AD=iAC+^AB,l（A￡>-AC）=1（AB-AD）,

CD=3DB,:.CD=3DB,

.SA?c_CD,4。?4。?sinNCAD4cAe

SADBBD-AB-ADsinZBADAB2

2

AC=6,BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSABAC=40-2x6=28,

BC=2幣.

故答案為：2療.

【點(diǎn)睛】

本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

3

16.——

4

【解析】

由々是第二象限角，且sina=半，可得tana,由tan(?+K)=—2及兩角和的正切公式可得tan尸的值.

【詳解】

解：由a是第二象限角，且sin(z=1后，可得cosa=-,tancr=--,

552

由tan(e+/?)=—2,可得］面1a+面］§:一2,代入tantz=一^,

''1-tanaxtanp2

3

可得tan/=-一,

4

3

故答案為：-：.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)C=y(2)2y/3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得角C；

⑵運(yùn)用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數(shù)量積的定義，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面積公式計(jì)算即可得到所求的值.

詳解：(1)V2ccosB=2a—b9

/.2smCbosB=2sinA-sinB,/.2sinCbosB=2sin(B+C)-siaB,

171

2siiiBcosC=sinB,cosC=——

23

(II)取中點(diǎn)。，則CA—gc5|=2=|ZM,在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC，

(注：也可將C4—gc3|=2=|ZM兩邊平方)即4-y,

>2J—,所以abW8,當(dāng)且僅當(dāng)a=43=2時(shí)取等號(hào).

V422

此時(shí)5AABC=ga'sinC=，其最大值為2A

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，誘導(dǎo)公式，和角公式，向量的平方即為向量模

的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過(guò)程中，需要正確使用相關(guān)的公式進(jìn)行運(yùn)算即可求得結(jié)果.

is.(I)證明見(jiàn)解析(II)(ni)-士叵.

317

【解析】

(I)由題知DELPC,如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算

DE-AC=0，證明DELAC,從而DE_L平面協(xié)C,即可得證；

(II)求解平面PDE的一個(gè)法向量〃，計(jì)算cos(2CP),即可得直線PC與平面POE所成角的正弦值；

(III)求解平面P3E的一個(gè)法向量加，計(jì)算cos(根,即可得二面角。-PE-3的余弦值.

【詳解】

(I)PC±底面ABCD,:.DE±PC,

如圖以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CD、CB、CP分別為X、y、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C（0,0,0）,D（2,0,0）,B（0,3,0）,P（0,0,2）,A（2,l,0）,E（1,2,0）,

DE=（-1,2,0）,AC=（-2-1,0），,DE.AC=0,

DELAC,又CP\C4=C,二￡>石_1平面如C,

OEu平面PDE,：.平面PZ>E_L平面PAC；

（II）設(shè)〃=（%］，X，zJ為平面POE的一個(gè)法向量，

又PE=(1,2,-2),DE=(-1,2,0),CP=(0,0,2),

n-DE-+2%=0

則取％=1,得”=(2,1,2)

n-PE=%+2%-2Z]=0

cos(n,CP]=-CP2

H-ICPI3

2

???直線PC與平面PDE所成角的正弦值一；

3

（III）設(shè)加=（%,%，22）為平面PBE的一個(gè)法向量,

又PB=(0,3,-2),EB=(-1,1,0),

m-PB-3y2—2z=0

則2取為=2,得根=（2,2,3）,

n-EB=—x2+%=0

n-m4jF7

/.cos(m,n

|n|-|m|17

二二面角D-PE-B的余弦值-

17

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計(jì)算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.

,「14'

19.(1){x|x<0或x，1}；(2)—

【解析】

(1)使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

(2)利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a區(qū)3%在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)

系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時(shí)，

原不等式可化為|3x—l|+|x—2|23.

①當(dāng)時(shí)，

3

則一3x+1+2—X23=>%<0,所以X<0；

②當(dāng)，<%<2時(shí)，

3

則3x—l—2+xN3=xNl,所以

⑧當(dāng)時(shí)，

3

則3x—1—2+x>3=>x—,所以x22.

2

綜上所述：

當(dāng)。=2時(shí)，不等式的解集為{犬|九<0或九21}.

(2)由|x—g|+/(%)?%,

貝！]—+1x-a\<3x,

由題可知：

13%—11+1〃區(qū)3%在—,一恒成立，

[32]

所以3%—1+1x-a區(qū)3%,Bp|x-a|<1,

即a—l<x<a+l,

一314

所以<n-一<a<-

,123

o+l>—

[2

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是-?

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對(duì)值不等式，熟練使用分類(lèi)討論的方法，以及知識(shí)的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,

屬中檔題.

20.(1)x—0y—1=0；(x-2)2+y2=4(2)厲

【解析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；

(2)將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得"+/2=G，〃2=-3,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知

?+?2，代入即可解決.

\PA\+\PB\=\tl-t2\^7(I2)-4^2

【詳解】

「出

X—1H---1

(D直線/的參數(shù)方程為2a為參數(shù)),

1

消去人得x-百y-1=0

曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，.

由％=/?cose,y=psin0,x2+y2=p2,

可得犬2+J=,即曲線。的直角坐標(biāo)方程為(%—2)2+J?=4；

「出

X—1H---1

(2)將直線/的參數(shù)方程2。為參數(shù))代入C的方程(X-21+V=4,

可得/_"一3=0，A>Q,

設(shè)乙,巧是點(diǎn)A,3對(duì)應(yīng)的參數(shù)值,

%+/2=G，q2=-3,貝!||PA|+|PB|=,T2|=7(r^)^4?A=A.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.

21.(1)y2=x-l(y/0).(2)見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：⑴設(shè)根據(jù)題意得到詞，化簡(jiǎn)得到軌跡方程;(2)設(shè)。(產(chǎn)+1J),

4(0,%),8(0,%)，A3=2r+3/-：+；=2/+|^+；?〉0),構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最

值.

解析：

(1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為y2=4x,所以尸的坐標(biāo)為(1,0),

設(shè)因?yàn)閳A以與x軸、直線/都相切，/平行于x軸，

所以圓M的半徑為|〃|,點(diǎn)P(能2力則直線0產(chǎn)的方程為(=三3即2〃(尤—1)—y(“2—1)=0,

|2n(m—1)—nfzz2—ill

所以I~~丁。TH，又加,“/0,所以|2〃L"2_I|="2+],即1―機(jī)+1=0,

所以E的方程為y2=x—1(yw。).

⑵設(shè)?！?+ij),4(0,%),8(0,%)，

由(1)知，點(diǎn)。處的切線4的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)r>0,

由六占'所以"。=M=了三'心。=片=一2431,

/12

所以％二萬(wàn)一五，%=21+3/，

所以A5=2t3+3t--+—^2t3+-t+—(t>0).

212,/t2

令/⑺=