廣西柳州2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

廣西柳州2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，

請將正確答案涂在答題卡上.)

1.已知A3,C是AABC的三個(gè)內(nèi)角，設(shè)/(3)=4sinRcos2q—m)+cos23,若/(⑻―加＜2恒成立，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是()

A.m<lB.m>-3

C.m<3D.m>l

2.數(shù)列｛(—1)"j；的前2021項(xiàng)的和S2021為()

A.-1009B.1010

C.-1011D.2020

3.若直線x+2y=0與直線mx-y+5=0垂直，貝！|m=()

A.1B.2

C.-1D.-2

4.若直線2x+my-3=0與+8y-6=0互相平行，貝！］()

A.4BT

C.±4D.±2

左wZ”是“sin6=L的()

5.66^=—+2k7i,

62

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.方程=5的解所在的區(qū)間是

A(0,1)

C.(2,3)D.(3,4)

7.直線，的傾斜角％=30。，直線L,則直線L的斜率為

A.一無B.走

33

C.-V3D.Q

8.已知。為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3DC=CB，則AZ>=（）

14

A.——AB+-ACB.-AB+-AC

3333

4.1-13-

C.-AB——ACD.-AB+-AC

3344

9.對于實(shí)數(shù)a,dc,“a>〃”是“的2>=2，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知且。為力0,則“。<匕”是“工〉!”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知函數(shù)/（x）=tan2x,則下列說法不正確的是

JTTT

A.y=〃x）的最小正周期是兀B.y=/（尤）在（-：,：）上單調(diào)遞增

44

cy=是奇函數(shù)D.Y=/（尤）的對稱中心是（”,0）（左eZ）

4

12.給定四個(gè)函數(shù)：①y=d+次；②（%>0）；③y=/+l；④丁=不里.其中是奇函數(shù)的有。

無X

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13.已知命題“VxeR,f+Zx+aNO”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

14.命題“VxeR,e'<x2"的否定是.

15.在直三棱柱A3C—4與￡中，若N癡C=90°,A3=AC=A41,則異面直線BA與AG所成的角等于.

16.經(jīng)過原點(diǎn)并且與直線x+y-2=0相切于點(diǎn)（2,0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）

17.已知aeR,函數(shù)/（X）=—

(1)當(dāng)a=0時(shí)，證明是奇函數(shù)；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，求函數(shù)八％)的單調(diào)區(qū)間；

⑶當(dāng)時(shí)，求函數(shù)"%)在-g,l上的最小值.

18.已知函數(shù)/(x)=loga(4—ox)(a>0,且awl).

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

-3一

(2)是否存在實(shí)數(shù)”，使函數(shù)f(x)在區(qū)間l，w上單調(diào)遞減，并且最大值為1?若存在，求出“的值；若不存在，請

說明理由.

19.已知集合A={x|log2(x+1)N1},B=-2x-/n<0j

(1)當(dāng)加=3時(shí)，求。B；

(2)若Ac3={XlVx<4},求B

4工1

20.證明：函數(shù)/(%)=不七―萬是奇函數(shù).

21.已知函數(shù)/(%)=罐t的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,；］其中a>O,a，1

(1)求。的值；

(2)若能一122,求工的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(x)=優(yōu)—工(。>1).

X

7

(1)若/(九)在［L2］上的最大值為5,求a的值；

⑵若升為“X)的零點(diǎn)，求證：loga(2—Xo)+%一2/a%<0.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.)

1、D

1+

【解析】先化簡/(3)=4sinRcos2(f—0)+cos23,dnD

42=4sm5-------------------+cosIB

2

=l+2sinB,因?yàn)?(B)—m<2恒成立，所以機(jī)>/(5)—2恒成立，即機(jī)>2sin6—1恒成立，所以相>1,故選

D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)二倍角公式、降次公式；

2、C

【解析】根據(jù)分組求和可得結(jié)果.

【詳解】

S2021=—1+2—3+4—5++2020-2021=-1+(2-3)+(4-5)++(2020-2021)=-1-1010=-1011,

故選：C

3、B

【解析】分析直線方程可知，這兩條直線垂直，斜率之積為-1.

【詳解】由題意可知〃zx]—g]=—1,即m=2

故選：B.

4、B

【解析】根據(jù)直線平行，即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€—3=0與如+8y—6=0互相平行，所以〃/二知，得加=±4

當(dāng)m=4時(shí)，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)相=T時(shí)，符合題意

故選：B.

5、A

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)，結(jié)合充分必要條件的概念即可判斷.

rr(jr\TC\

【詳解】。=—+22%,-EZ時(shí),sin<9=sin+—=sin—=—,

6<6J62

八57r.j.Z-)(仁757r?.57r1

0=—+2左"，時(shí)t，sm9=sni2左乃+——=sm—=-,

6I6J62

JT1

所以“8=—+2左"，keZ”是“sin，=—”的充分而不必要條件，

62

故選：A.

6、C

【解析】設(shè)/(x)=2i+x-5,則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)＞=2"1與y=x的R上都是遞增函數(shù),

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，故函數(shù)/(x)=2x—+x—5最多有一個(gè)零點(diǎn)，W/(2)=22-1+2-5=-l＜0,

/(3)=23T+3—5=2〉0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，/(X)=2*T+X—5有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)處在區(qū)間(2,3)內(nèi)，

故選答案C.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程.

7、C

【解析】由題意可得心的傾斜角等于30°+90°=120°,從而得到心的斜率為tanl20。，運(yùn)算求得結(jié)果

【詳解】如圖：直線心的傾斜角ai=30°,直線則心的傾斜角等于30°+90°=120°,

，乙2的斜率為tanl20°=-tan60°=一6，

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題

8、A

【解析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)?。為一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3DC=CB，

1114

所以AD=AC+CD=AC+—BC=AC+—(AC—AB)=——AB+-AC.

3333

故選:A

9、B

【解析】由于不等式的基本性質(zhì)，，，＞1)”=，，(：-＞“；”必須有0；＞()這一條件.解：主要考查不等式的性質(zhì).當(dāng)c=0

時(shí)顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊.故選B

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)

點(diǎn)評：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件

10、D

【解析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).

【詳解】〈匕”時(shí)，若。則工<工，不能得到“工〉!”.

abab

時(shí)，^1>0>-,則不能得到

abab

所以“a<b”是“!”的既不充分也不必要條件.

ab

故選：D

11、A

【解析】對/(x)=tan2x進(jìn)行研究，求出其最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，從而得到答案.

【詳解】/(x)=tan2x,最小正周期為T=j

單調(diào)增區(qū)間為左乃——<2x<左"+工，即[.工7<工<二^+:],故左=0時(shí)，/(九)在(一:，:]上單調(diào)遞增

22[12424jv744J

/(%)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，/(-%)=tan(-2%)=-tan2x=-/(%),故/(九)為奇函數(shù);

k冗

/(x)對稱中心橫坐標(biāo)為2x=-y即x=7'所以對稱中心為(左eZ)

【點(diǎn)睛】本題考查了正切型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，屬于簡單題.

12、B

【解析】首先求出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的奇偶性定義即可求解.

【詳解】①函數(shù)的定義域?yàn)镽,且%)=丁+融，

/(-x)=—優(yōu)+近1-/(x),則函數(shù)“力是奇函數(shù)；

②函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，則函數(shù)>(%>0)為非奇非偶函數(shù)；

X

③函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(0)=0+l=1^0,則函數(shù)y=V+i不是奇函數(shù);

丫2[2_|_1

④函數(shù)的定義域?yàn)?f,O)u(O,y),/(—X)=土上=—土v士=-/(%),

—XX

2

則函數(shù)y=LY±+1A是奇函數(shù).

-X

故選:B

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13、［1,+co)

【解析】此題實(shí)質(zhì)上是二次不等式的恒成立問題，因?yàn)閤eR,函數(shù)>=必+2%+。的圖象拋物線開口向上，所以只

要判別式不大于0即可

【詳解】解：因?yàn)槊}“VxeH,d+2%+4之0”是真命題，

所以不等式f+2x+a20在xeR上恒成立

由函數(shù)y=—+2x+a的圖象是一條開口向上的拋物線可知，

判別式A,,0即22-4a”0解得a11

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1,+8)

故答案為：［1,+8)

【點(diǎn)睛】本題主要考查全稱命題或存在性命題的真假及應(yīng)用，解題要注意x的范圍，如果)展尺，一定要注意數(shù)形結(jié)合;

還應(yīng)注意條件改為假命題，有時(shí)考慮它的否定是真命題，求出。的范圍.本題是一道基礎(chǔ)題

x2x2

14、3xeR,e>x##3x0e/?,e°>x0

【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，

命題“VxeRe'vd"的否定為：

3%GR,ex>x2?

故答案為：mXeRe*>x2-

15、60°

【解析】如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,AB,A4為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】解：因?yàn)槿庵鵄BC-4與G為直三棱柱，且N54C=90。，

所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,AB,為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=AC=AT4J=1,貝！|

A(0,0,0),3(0,1,0),A(0,0,1),G(L0,1),

所以3=（o,—L1）,AG=（1,0,1）,

叫人。0x1—IxO+lxl

所以COS(網(wǎng),AC]

V2XV22

因?yàn)楫惷嬷本€所成的角在(0°,90°],

所以異面直線BA,與AG所成的角等于60°,

故答案為：60°

【點(diǎn)睛】此題考查異面直線所成角，利用了空間向量進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.

16、(x-l)2+(y+l)2=2

A

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)(。/)，則。2+步=/，(a—2)2+〃=/，=1,根據(jù)這三個(gè)方程組可以計(jì)算得:

a-2

a=l,b=-T,r=e，所以所求方程為：(x-l)2+(j+l)2=2

點(diǎn)睛：設(shè)出圓心與半徑，根據(jù)題意列出方程組，解出圓心和半徑即可

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17、(1)見解析(2)增區(qū)間為(—8,。)，減區(qū)間為(0,￡)(3)當(dāng)2<a<:時(shí)，/(x)niin

當(dāng)a2g時(shí)，/(x)min=l-?

【解析】(1)。=0時(shí)，f(x)=\x\x,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，而/(—x)=—/(%),故73是奇函數(shù).(2)a>0

x(x-a),x>0

時(shí)，/(%)=",、c，不同范圍上的函數(shù)解析式都是二次形式且有相同的對稱軸x=Ea，因0<a史<a,故函

<022

數(shù)了⑺的增區(qū)間為(—8,0),(!，+?)),減區(qū)間為(0,￡).(3)根據(jù)(2)的單調(diào)性可知

/at,比較/(-；),了⑴的大小即可得到〃尤)而「

解析：(1)若a=0,則/(%)=卜氏，其定義域是一切實(shí)數(shù).且有/(一X)=卜刀|(一%)=—國1=—/(%),所以了⑴是奇

函數(shù).

(2)函數(shù)/(x)=7、-八，因?yàn)閍>0,則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,q)遞減，在區(qū)間(幺，+8)遞增，函數(shù)/'⑺

-x(x-6Z),x<022

在區(qū)間(一8,0)遞增..?.綜上可知，函數(shù)"X)的增區(qū)間為(一8,0),(1,+<?),減區(qū)間為(0,?.

(3)由得又函數(shù)/⑴在［一；,0］遞增，在(0,1］遞減，且/?(—；)=—(—g/⑴=~.

若/?(—1)27?⑴，即。2m時(shí)，/(x)min=")=l—。；

若A-即2Wa<g時(shí)，=

二綜上,當(dāng)2<a<g時(shí)'/(x)*=-7一耳；當(dāng)?時(shí),f(x)min=1-a.

點(diǎn)睛：帶有絕對值符號的函數(shù)，往往可以通過討論代數(shù)式的正負(fù)去掉絕對值符號，從而把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，每

一段上的函數(shù)都是熟悉的函數(shù)，討論它們的單調(diào)性就可以得到原函數(shù)的單調(diào)性.

18、(1)1一

(2)［=2

【解析】(1)根據(jù)對數(shù)型函數(shù)定義的求法簡單計(jì)算即可.

(2)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可知a>1,然后依據(jù)題意可得/(X)1mx=/。)=1進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問1詳解】

由題意可得4一雙>0,即ar<4,

4

因?yàn)椤?gt;0,所以解得九<一.

a

故””的定義域?yàn)間,￡|.

【小問2詳解】

「3~

假設(shè)存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/(%)在區(qū)間L；上單調(diào)遞減，并且最大值為1.

設(shè)函數(shù)g(x)=4—ax,由a>0,得—a<0,

「3-

所以g(x)在區(qū)間1,-上減函數(shù)且g(x)>0恒成立，

「3-

因?yàn)?(%)在區(qū)間L,上單調(diào)遞減，

38

所以。>1且4——。>0,即1<。<一.

23

-3-

又因?yàn)椤翱稍趨^(qū)間1,5上的最大值為1,

所以⑴=log〃(4—。)=1，

整理得a=4—a,解得q=2.

因?yàn)?<2<|,所以a=2

「3-

所以存在實(shí)數(shù)a=2,使函數(shù)/(%)在區(qū)間L,上單調(diào)遞減，并且最大值為1

19、(1)bRB=1x|x><-1}

(2)AD5={X[X>-2}

【解析】(1)化簡求得集合3,根據(jù)補(bǔ)集的概念運(yùn)算可得結(jié)果；

(2)由6W0,根據(jù)Ac3={x|l<尤<4},求出力=8,再求出3,計(jì)算可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意得：當(dāng)機(jī)=3時(shí)，

B=1x|x2—2x—3<o|=1x|-1<x<3}

所以金B(yǎng)=1x|x>3§Jtr<-11

【小問2詳解】

由題意知：A={x|尤21}

又Ac3={x|l〈x<4}

所以方程x2-2x-m^0的一個(gè)根為4,

解得加=8,所以3={x|尤2_2%_8<0}={%|_2<%<4},符合題設(shè)條件，

故AuB={Xx>-2}

20、證明見解析

【解析】由奇偶性的定義證明即可得出結(jié)果.

【詳解】/（x）=——中，4工一1。0，即xwO,

4r-l2

/（元）的定義域?yàn)椋?”,O）U（O,+<6）,關(guān)于原點(diǎn)對稱,

/(X)+/(-X)=-------1-------------------=------------\~

4X-124-124X-11-41

/（—》）=—于（X）,函數(shù)/（X）是奇函數(shù).

21、(1)a=—