教師公開招聘考試中學數(shù)學（計算題）模擬試卷3

教師公開招聘考試中學數(shù)學（計算題）模擬試卷3一、計算題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)已知橢圓E：=1(a＞b＞0)過點(0，)，且離心率為．1、求橢圓E的方程；標準答案：由已知得所以橢圓E的方程為=1．知識點解析：暫無解析2、設直線x=my一1，(m∈R)交橢圓E于A，B兩點，判斷點G(，0)與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．標準答案：設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則得(m2＋2)y2一2my一3=0，所以又不共線，所以(DA，GB)為銳角，故點G(，0)在以AB為直徑的圓外．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)的圖像是由函數(shù)g(x)=cosx的圖像經(jīng)如下變換得到：先將g(x)圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，再將所得到的圖像向右平移個單位長度．3、求函數(shù)f(x)的解析式．并求其圖像的對稱軸方程；標準答案：將g(x)=cosx的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖像，再將y=2cosx的圖像向右平移個單位長度后得到y(tǒng)=2cos(x一)的圖像，故f(x)=2sinx，從而函數(shù)f(x)=2sinx圖像的對稱軸方程為x=kπ+(k∈Z)．知識點解析：暫無解析4、已知關于x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)內(nèi)有兩個不同的解a，b．(i)求實數(shù)m的取值范圍；(ii)證明：cos(a一b)=一1．標準答案：(i)f(x)＋g(x)=2sinx＋cosx=，依題意，sin(x+j)=在區(qū)間［0，2π)內(nèi)有兩個不同的解a，b，當且僅當＜1，故m的取值范圍是．(ii)因為a，b是方程sin(x+j)=m在區(qū)間[0，2π)內(nèi)有兩個小同的解，所以sm(a＋j)=，sin(b＋j)=，即a一b=π一2(b+j)；當，即a一b=3π一2(b+j)；所以cos(a－b)=一cos2(b＋j)=2sin2(b＋j)一1=．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=．5、求f(x)的最小正周期和最大值；標準答案：因此f(x)的最小正周期為π，最大值為．知識點解析：暫無解析6、討論f(x)在上的單調(diào)性．標準答案：知識點解析：暫無解析在數(shù)列｛an｝中，a1=3，an＋1an+λan＋1+μan2=0(n∈N＋)．7、若λ=0，μ=－2，求數(shù)列｛an｝的通項公式；標準答案：由λ=0，μ=－2，有an＋1an=2an2(n∈N*)．若存在某個n0∈N*，使得an0=0，則由上述遞推公式易得an0＋1=0．重復上述過程可得a1=0，此與a1=3矛盾，所以對任意的n∈N*，an≠0．從而an＋1=2an(n∈N*)，即｛an｝是一個公比q=2的等比數(shù)列．故an=a1qn－1=3．2n－1．知識點解析：暫無解析8、若λ=，(k0∈N＋，k0≥2)，μ=一1證明：2+＜an＋1＜2+．標準答案：由λ=，μ=一1，數(shù)列｛an｝的遞推關系式變?yōu)閍n＋1an+an＋1－an2=0，變形為an＋1(an+)=an2(n∈N*)．由上式及a1=3＞0，歸納可得3=a1＞a2＞…＞an＞an＋1＞…＞0．因為an＋1=，所以對n=1，2，…k0求和得ak0＋1=a1+(a2一a1)+…+(ak0＋1－ak0)=a1－k0．．另一方面，由上已證的不等式知a1＞a2＞…＞ak0＞ak0＋1＞2，知識點解析：暫無解析設數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2an一a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．9、求數(shù)列｛an｝的通項公式；標準答案：當n≥2時有，an=Sn一Sn－1=2an－a1－(2an－1－a1)．則an=2an－1(n≥2)，=2(n≥2)，則數(shù)列｛an｝是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列．又由題意得2a2+2=a1+a3a1=2．則an=2n(n∈N*)．知識點解析：暫無解析10、記數(shù)列｛｝的前n項和Tn，求得使｜Tn一1｜＜成立的n的最小值．標準答案：由題意得(n∈N*)．由等比數(shù)列求和公式得Tn=，則｜Tn一1｜=．又∵當n=10時，成立時，n的最小值為n=10．知識點解析：暫無解析橢圓E：=1的離心率是，過點P(0，1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為．11、求橢圓E的方程；標準答案：由題知橢圓過點，所以橢圓方程為：=1．知識點解析：暫無解析12、在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．標準答案：假設存在滿足題意的定點Q．當直線l平行于x軸時，=1，A，B兩點關于y軸對稱．得Q在y軸上．不妨設Q(0，a)，當直線l為y軸時，，a≠1．解得a=2．下證對一般的直線l：y=kx+1，Q(0，2)也滿足題意．由，得y軸為∠AQB的角平分線．所以kQA=一kQB．不妨設A(x1，y1)，B(x1，y2)，y1=kx1+1，y2=kx2+1，，化簡得2kx1x2=x1+x2①，又由橢圓方程與直線方程聯(lián)立得：，(1+2k2)x2+4kx一2=0，x1+x2=，x1x2=．帶入①得成立．故假設成立．綜上存在點滿足題意．知識點解析：暫無解析如圖，三棱錐P—ABC，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD=DE=，CE=2EB=2．13、證明：DE⊥平面PCD；標準答案：由PC⊥平面ABC，DE平面ABC，故PC⊥DE，由CE=2，CD=DE=得△ACDE為等腰直角三角形，故CD⊥DE，由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線，故DE⊥平面PCD．知識點解析：暫無解析14、求二面角A—PD—C的余弦值．標準答案：由已知，△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=，如圖，過D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2．由∠ACB=得DF／／AC，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，C(0，0，0)，P(0，0，3)，A(，0，0)，E(0，2，0)，D(1，1，0)，，設平面PAD的法向量為=(x1，y1，z1)，由=(2，1，1)．DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量的夾角的余弦值為，故所求二面角A—PD—C的余弦值為．知識點解析：暫無解析設函數(shù)f(x)=(a∈R)．15、若f(x)在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；標準答案：對f(x)求導得f’(x)=，因為f(x)在x=0處取得極值，所以f’(0)=0，即a=0．當a=0時，f(x)=．從而f(x)在點(1，f(1))處的切線方程y=(x一1)，化簡得3x—ey=0．知識點解析：暫無解析16、若f(x)在[3，+∞)上為減函數(shù)，求a的取值范圍．標準答案：f’(x)=，令g(x)=一3x2+(6一a)x+a，由g(x)=0，解得x1=．當x＜x1時，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)；當x1＜x＜x2時，g(x)＞0，即f’(x)＞0，故f(x)為增函數(shù)；當x＞x2時，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)為減函數(shù)；由f(x)在[3，+∞)上為減函數(shù)，即x2=，故a的取值范圍為[，＋∞)．知識點解析：暫無解析如圖，橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1．17、若｜PF1｜=2＋，｜PF2｜=2一，求橢圓的標準方程；標準答案：由橢圓的定義2a=｜PF1｜+｜PF2｜==4，故a=2．設橢圓的半焦距為c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=｜F1F2｜=，從而b==1．故所求橢圓的標準方程為－y2=1．知識點解析：暫無解析18、若｜PF1｜=｜PQ｜，求橢圓的離心率e．標準答案：如圖由橢圓的定義，｜PF1｜+｜PF2｜=2a，｜QF1｜+｜QF2｜=2a，從而由｜PF1｜=｜PQ｜=｜PF2｜+｜QF2｜，有｜QF1｜=4a一2｜PF1｜．又由PF1⊥PQ，｜PF1｜=｜PQ｜，知｜QF1｜=｜PF1｜，因此，4a－2｜PF1｜=｜PF1｜，得｜PF1｜=2(2一)a，從而｜PF2｜=2a一｜PF1｜=2a一．由PF2⊥PF1，知｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2=(2c)2，因此e=．知識點解析：暫無解析如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點．19、求證：GF／／平面ADE；標準答案：如圖，取AE的中點H，連接HG，HD，又因為G是BE的中點，所以GH／／AB且GH=AB，又F是CD中點，所以DF=CD，由四邊形ABCD是矩形得，AB／／CD，AB—CD，所以GH／／DF，且GH=DF．從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF／／DH，又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF／／平面ADE．知識點解析：暫無解析20、求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．標準答案：如圖在平面BEC內(nèi)，過點B作BQ／／EC，因為BE⊥CE，所以BQ⊥BE，又因為AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ．以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(xiàn)(2，2，1)因為AB⊥平面BEC，所以=(0，0，2)為平面BEC的法向量，設=(x，y，z)為平面AEF的法向量．又=(2，0，一2)，從而，所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．知識點解析：暫無解析已知橢圓C：9x2+y2=m2(m＞0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．21、證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；標準答案：設直線L：y=kx+b(k≠0，b≠0)，A(x1，y)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2一m2=0，故xM=．于是直線OM的斜率kOM=，即KOM．K=一9．所以直線OM的斜率與L的斜率的乘積為定值．知識點解析：暫無解析22、若l過點(，m)，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由．標準答案：四邊形OAPB能為平行四邊形．因為直線l過點(，m)，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k＞0，k≠3．OM的方程為y=．設點P的橫坐標為xP．由，得的坐標代入直線l的方程得b=，因此xM=．四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM．于是，因為ki＞0，ki≠3，i=1，2，所以當l的斜率為時，四邊形OAPB為平行四邊形．知識點解析：暫無解析某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試，若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定．23、求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；標準答案：設’’當天小王的該銀行卡被鎖定’’的事件為A，則P(A)=．知識點解析：暫無解析24、設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．標準答案：依題意得，X所有可能的取值是