2024屆江蘇省南通市高三第二次適應性調(diào)研數(shù)學試題含答案

2024屆江蘇省南通市高三第二次適應性調(diào)研數(shù)學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

.2冗

sin——

1.12=

2-V3口2+V331

Ac.一D.-

4444

2.已知復數(shù)Z滿足z2=-3+4i，則|z|=（)

3

A-B.5c.卡D.2

2

o210

3.若(l+x)2+(i+%)3+_|_^+xy=aQ+aix+a2x++6i10x,則〃2等于()

A.49B.55C.120D.165

y)=/("-/(y)，且L

4.已知/（%）對于任意,都有/（x+=2,則〃4)=

A.4B.8C.64D.256

f—,兀2兀

5.已知函數(shù)y=J^sin^x+cos。％（G>0）在區(qū)間一1，一］上單調(diào)遞增，則①的最大值為（）

1128

A.-BC.—D.-

4-I113

6.某同學在一次數(shù)學測試中的成績是班級第三名，成績處于第90百分位數(shù)，則該班級的人數(shù)可能為

()

A.15B.25C.30D.35

7.已知曲線4x+2y=0與曲線G"（尤）=*在第一象限交于點A,在A處兩條曲線的切

線傾斜角分別為。，萬，則（）

c71

A.6Z+/?——B.\a-p\=-

C兀

C.a+/3=一D.\a-/3\=^

3

8.在棱長為2的正方體ABC?！?耳弓。中，P，Q，R分別為棱5C,CD,CG的中點，平面

PQR截正方體ABCD-外接球所得的截面面積為（）

58352715

A一兀B.-nC.—nD.

3333

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分，請把答案填涂在答

題卡相應位置上.

9.已知向量a在向量》方向上投影向量為向量人=（1,、月），且a與》夾角則向量a可

以為（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（1,V3）D.（A1）

22

10.已知橢圓C：三+==1（a>6>0）的左，右焦點分別為《，F(xiàn)2,上，下兩個頂點分別為四，

B2,4月的延長線交C于A,且|4制=；忸閔，則（）

A.橢圓C的離心率為正

3

B.直線AB】的斜率為百

C.△4用月為等腰三角形

D.1^1:1^1=711:373

11.某農(nóng)科所針對耕種深度X（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關系進行研究，所得部分數(shù)據(jù)

如下表:

耕種深度X

81012141618

/cm

每公頃產(chǎn)量

68mn1112

y/t

6

已知相<〃，用最小二乘法求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程：§=隊+%，￡城=510,

1=1

5；（X—刃2=24,數(shù)據(jù)在樣本。2,陰），（14,7。的殘差分別為句，4?

Z=1

，之間的相關系數(shù)，為匡參考公式:*一加一可

(參考數(shù)據(jù)：兩個變量X,

21￡(%—可2

i=l

力(%-元)(y-9)

-。i—1

a=y-b-x<r=I?---I?==>貝°()

a一1"寸

A.m+n=17B.b=l

10

C.ci——D.I+邑=-]

7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知/(%)=爐一*,當/1fo時，+/⑴f.

h

13.已知二面角。一/一，為直二面角，Aea,B&/3,A^l,B走I,則A3與夕，夕所成的角分別為

jrir

11"與’所成的角為-----------

14.已知拋物線C:/=4x,過點(4,0)的直線與拋物線交于A,3兩點，則線段A3中點M的軌跡方程

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程.

15.設數(shù)列｛叫的前〃項和為％若S〃—ga“="+i,?eN*.

(1)求生,a2,并證明：數(shù)列｛4+an+1］是等差數(shù)列；

(2)求S20.

2

16.已知函數(shù)/(x)=lnx-ar,g(x)=一，awO.

ax

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0且〃x)Wg(x)恒成立,求a的最小值.

17.某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學入選，該班體育老師擔任教練.

(1)從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？

(2)某次傳球基本功訓練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練，老師傳給每位學生概率都相

等，每位學生傳球給同學的概率也相等，學生傳給老師的概率為工.傳球從老師開始，記為第一次傳球，前

7

三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？

18.已知三棱柱ABC-中，底面A5C是邊長為2的正三角形，G為'ABC的重心,

ZA^AB=Z^AC=60°.

B

(1)求證：45ABC-

(2)已知4A=2,Pw平面ABC,且平面/BC.

①求證：AG//CXP；

②求&P與平面\BC所成角的正弦值.

19.已知雙曲線￡的漸近線為y=士*x，左頂點為A(—6,0).

(1)求雙曲線E的方程；

(2)直線/：X=『交x軸于點。，過。點的直線交雙曲線E于8,C,直線AB,AC分別交/于G,

H,若。，A,G,〃均在圓P上，

①求。的橫坐標；

②求圓尸面積的最小值.

2024屆江蘇省南通市高三第二次適應性調(diào)研數(shù)學試題

2024年高考適應性考試(二)

數(shù)學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.

A2-上R2+V3r34

4444

【答案】A

【解析】

【分析】利用降次公式求得所求表達式的值.

1￡,A/3

【詳解】依題意.2乃°S622-日

sin—=---------=------=--------

12224

故選：A

【點睛】本小題主要考查降次公式，屬于基礎題.

2.已知復數(shù)z滿足z2=—3+4i，則目=()

A.—B.5C.A/5D.2

2

【答案】c

【解析】

徒_/=_3

【分析】設2=。+歷(a力eR),得到22=儲—62+2疝，利用復數(shù)相等，得到，即可求

'/2ab=4

出再利用復數(shù)模的定義，即可求出結(jié)果.

【詳解】設2=。+歷(。力eR),則z2=1—〃+2〃歷，又z2=—3+4i，

〃2_人2=_3_____

所以《，解得a=l1=2,得到z=l+2i,所以同=疝4=6，

lab=4

故選：C.

3.右(1+x)+(l+x)+...+(!,+x)=CIQ+ciyx++4o%i",則出等于()

A.49B.55C.120D.165

【答案】D

【解析】

r分析】依題意可得出=C+c；+G+c；+或+c；+c；+瑪+C*,再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為二項式(l+x)"展開式的通項為4+J=C：x‘且reN),

又(1+九)~+(1+x)'++(l+x)=a。+qx+a2尤~++，

所以4=C；+C；+Cj+C；+C；+C；+C；+C；+C；o

=C；+C；+C；+C；+C；+C；+C；+C：+C；o

=C；+C：+C；+C；+C+C；+C；+C；o

_03+02_03_11x10x9

=165.

-1010-11-3x2x1

故選：D

4.已知/(%)對于任意％,yeR,都有/(x+y)=/(x)―/(y),且/\]=2,貝ij/(4)=()

A.4B.8C.64D.256

【答案】D

【解析】

【分析】由題意有/（2x）=r（“，得/（4）=r[],求值即可.

【詳解】由〃x+y）=/（x）―/（y），當丁=%時，有〃2丹=產(chǎn)（同，

由嗎）=2,則有/（4）=r⑵=/4⑴=/8W=256.

故選：D

5.已知函數(shù)y=^sin4t+cosiy%（<y>0）在區(qū)間一1，一]上單調(diào)遞增，則。的最大值為（）

11128

A.-B.-C.—D.一

42113

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用輔助角公式得到y(tǒng)=2sin（ox+f）,再利用y=sinx的圖象與性質(zhì)，得到

6

兀

y=2sin（ox+工）的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)條件，可得到Q'°,即可求出結(jié)果.

62兀

IX<_2E

、34

【詳解】因為y=Gsin@%+cos@%=2sin(Gx+/)，又力>0,

I.兀C7/兀/兀C77F/FlhtI----H2kli--F2左兀

由---F2kliVcoxH—?—F24兀,keZ,何至！J3,,3

262--------------------

~~+2kn-+2kn

33

所以函數(shù)y=y/3sincox+coscox的單調(diào)增區(qū)間為/eZ),

a>a>

--+2kTi四+2E

33(kwZ),則<

coa>

3<_IE

co4

故選：B.

6.某同學在一次數(shù)學測試中的成績是班級第三名，成績處于第90百分位數(shù)，則該班級的人數(shù)可能為

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可知該同學的排名應該在班級人數(shù)的前10%,根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可求解.

【詳解】因為同學的成績處于第90百分位數(shù)，所以他比班級中90%的同學成績都要好，

而他的成績位于班級第3名，則他的排名應該在班級人數(shù)的前10%,

3

由百分位數(shù)的定義知，班級人數(shù)的估計值為工=30.

故選：C

7.已知曲線G：—+y2—4x+2y=0與曲線G"（九）=/在第一象限交于點A,在A處兩條曲線的切

線傾斜角分別為夕，萬，則（）

c71

Aa+3=—

2

C.oc+/3=—

3

【答案】A

【解析】

【分析】聯(lián)立曲線曲線G與曲線。2方程求出切點4（1,1），再由圓的切線與圓心和切點連線垂直，結(jié)合兩垂

直直線斜率乘積等于-1可求出在A處圓G的切線斜率，從而得出tana=1；由導數(shù)知識里在某點處的切

2

線方程求法可得出tan，=2,進而根據(jù)兩角和與差的正切公式進行檢驗判斷即可.

【詳解】

因為曲線G：/+y2—4x+2y=0,即G：(左一2『+(y+l『=5,

所以曲線是以（2,—1）為圓心，石為半徑圓,

且=即曲線C1過原點0,

聯(lián)立,尤+；4x+2y0,得為4+3%2_4%=0=/=0,/=]=>4(1,1),

,_1_1-2_11

所以在A處圓C1的切線斜率為匕=——=--~1了=彳，所以tana=一

左AG1一（一1）22

由G：/(%)=%2=>/'(%)=2x,

所以曲線。2在A處的切線斜率為左2=/'（l）=2=tan?,

sin[>

11COSB=tan?一￡j〉O,

又tana=—=c°sg—￡

2tansin0

所以，所以從而a=]_￡,

JT

即。+〃=—,故A正確，C錯誤,

2

2--3

注意到，0<0<尸<1，且tan(|a—〃|)=tan(夕—0)=-----\=~,故B、D錯誤,

1+2x14

2

故選：A.

8.在棱長為2的正方體ABC?！?片0。1中，P,Q,R分別為棱BC,CD,CG的中點，平面

PQR截正方體ABCD-A4GR外接球所得的截面面積為（）

58352715

A.-7iB.-nC.——nD.

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑R,設球心為。，求解。到截面PQR的距離31,從而可

得截面圓的面積.

【詳解】取正方體的中心為。，連接

由于正方體的棱長為2,所以正方體的面對角線長為2底，體對角線長為2月，

正方體外接球球心為點。，半徑R=!義26=石，

2

又易得OP=OQ=OR=gx2拒=◎,且PQ=PR=QR=gx2O=6,

所以三棱錐PQR為正四面體，如圖所示，取底面正三角形PQR的中心為

即點。到平面PQR的距離為OM,又正三角形PQR的外接圓半徑為MQ,

、MC=PQ一＞「2九f-

由正弦定理可得上一sin60。一百—3，即所以

OM=ylOQ2-MQ2=（72）2J^\:咚,

VI3Ji

即正方體ABCD-a/G，外接球的球心。到截面PQR的距離為OM=2叵，

3

(26丫[5

所以截面PQR被球。所截圓的半徑r=y/R2-OM2=4陰2

則截面圓的面積為兀產(chǎn)=-71.

3

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請把答案填涂在答

題卡相應位置上.

9.已知向量口在向量6方向上的投影向量為向量人=0,6）,且a與b夾角E，則向量a可

以為（）

A.（0,2）B,（2,0）C.（1,百）D,（A/3,1）

【答案】AD

【解析】

【分析】向量a在向量》方向上的投影向量為學方，根據(jù)此公式可求小|=2,再逐項求出夾角后可得正確

b

的選項.

,,a-bA/3

【詳解】由題設可得故一=—,

b2

而慟=2,口與匕夾角器，故伸=H故卜|=2,

4

對于A,cos,力）=答=孝，因卜,??0,兀］,故,力）=s，故A正確.

對于B,cos（a?=『^=g,因故,?=］,故B錯誤.

對于C,cos（a,?=吳5=1,因卜6<0,兀］,故（a?=0,故C錯誤.

對于D,cos(a/)=|^|=￥，因故卜,弓=弓，故D錯誤.

故選：AD.

22

10.已知橢圓C：=+==1(a>6>0)左，右焦點分別為耳，B，上，下兩個頂點分別為用,

ab

B2,與耳的延長線交C于A,且仙娟=；忸閩，則()

A.橢圓。的離心率為二二

3

B.直線A31的斜率為若

C.為等腰三角形

D.|9|：|明|=亞：36

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用橢圓定義結(jié)合余弦定理求解角的三角函數(shù)值，在同一個三角形中將離心率表示為三角函數(shù)

值，求出離心率即可判斷A,先求出傾斜角的正切值，再利用斜率的幾何意義判斷B,利用橢圓的定義得

到邊相等，證明是等腰三角形判斷C,求解關鍵點的坐標，結(jié)合兩點間距離公式判斷D即可.

【詳解】對于A,連接解I，AF2,?F,(-c,0),Bj(0,Z?),B2(0,-Z?),:.\BF\=a=\BF^,

ii3

M周=5忸闿，周=5?！棺?=5匹

■\AF\+\AF^=2a,:.\AF2\=^a,

99

—a2+ci2—a2

在，4A居中，cosNAB]F2=4——-J

2x—QX4

2

故有;=2COS2/￡4O—1,解得cos/月用。=逅，則sinN￡3Q=立,

333

而在旦。B中，sin/FiBQ=3=.e=:二心~，

故A正確,

a3a3

對于B,而與A的傾斜角為/用片。，而sinN4EO=B，cosN4與O=g，

sin/B[FQ

=3,故B錯誤.

則左=tanABXFXO=

cosNg耳O

3

對于C,由已知得卜用|=3月|=5。，△Agg是等腰三角形，故C正確,

對于D,因為￡=且，則。=6°,故人在2_。2=缶,

a3

易知AB]的方程為y=y/2x+b=y/2x+V2c，設A（羽y）,

3

y=yjlx+V2cX-——c

x=02

聯(lián)立方程組《解得《或＜

工+￡=Iy=Nr?c后，

、3c22c2,=一3。

,3

故A_~^c,—亞—c、,又_B（0,—/?）,即可0,—

由兩點距離公式得|明|=

c

而的f3=3、￥Q…局IAB?|=后7=加^/n故D正確.

2C

故選：ACD.

11.某農(nóng)科所針對耕種深度x（單位：cm）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：t）的關系進行研究，所得部分數(shù)據(jù)

如下表:

耕種深度X

81012141618

/cm

每公頃產(chǎn)量68mn1112

y/t

6

已知根v〃，用最小二乘法求出y關于1的經(jīng)驗回歸方程：。二隊+機]＞；=510,

?=i

6

與%_力2=24,數(shù)據(jù)在樣本(12,3),(14,〃)的殘差分別為,

Z=1

￡(%-可(％-歹)

(參考數(shù)據(jù)：兩個變量x,y之間的相關系數(shù)r為J次，參考公式:

3=目------------------

V21￡(%一元)2

1=1

￡(%-元)(％-歹)

1—1

r=

a=y-b-x>回I?T----?I?回="=>貝°()

Vi=iVi=i

A.m+n=YlB.b=+

c10

Cci——D.與+￡,=—1

7

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題設條件、最小二乘法求回歸方程及殘差求法，對各個選項逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.

【詳解】對于選項A,因為?；=510,火卜廠92=￡片_6/=24,所以了=81，得到亍=9,

;=11=11=1

「LtI6+8+加+〃+11+12

所以-------------------二9,得到根+〃=17，所以選項A正確,

6

對于選項B,因為益8+10+12+14+16+1匕3

6

=(8—13)2+(10—13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2+(18-13)2=70,

^xV70xV24=40,所以〃=404

所以—y—=y-故選項B正

Z=1

i=\

確,

--411

對于選項C,因為ta=y—b%=9——xl3=—,所以選項C錯誤，

.4411411411

對于選項D,因為引=亍%+亍~,得到J=m―(]X12+，■),612—n—(―x14+,

所以弓+/=加+〃-18=—1,所以選項D正確，

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知=一,當/zfO時，1(1+")->⑴4.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可直接求解.

“l(fā)+/z)T⑴

【詳解】由導數(shù)的定義知,

h

由_f(x)=3*—2x,得八1)=1,

所以巫3U.

h

故答案為：1

13.己知二面角。一/一，為直二面角，Aea,Bw(3,A^l,則A3與a,/7所成的角分別為

TTTT

AB與/所成的角為.

64

TT

【答案】一##60。

3

【解析】

【分析】如圖，設AB=2〃Z,根據(jù)勾股定理求得8C=〃7,AC=T^W,AD=BO="W,DC=m,建立如圖空

間直角坐標系，利用空間向量法求解線線角即可.

【詳解】如圖，

a1/3,a（3=l,auua,a】l,b,貝|兩兩垂直.

作AD，/,3C_U,垂足分別為D,C,連接6D,AC,

則AD_L/?,BC_La,

所以/B4c為A3與1的所成角，/WD為A3與尸的所成角，

JTJT

即/R4C=—,NABD=—,

64

建立如圖空間直角坐標系。-孫z,設AB=2〃z,

貝UBC=m,AC=y/3m,AD=BD=屈m,得DC=^AC2-AD2=m，

A（A/2/77,O,O）,B（Q,m,tri）,所以A8=（-亞m,m,m）,取/=（0,1,0）,

.,ABIm1-兀

則3.n，/=可=;^=5'又曲,徐（。，5],

--jrir

所以A3,/=—,即AB與/所成的角為一.

33

jr

故答案為：-

3

14.已知拋物線C:/=4x,過點（4,0）的直線與拋物線交于A,3兩點，則線段A3中點M的軌跡方程

為.

【答案】/=2（x-4）

【解析】

【分析】設出直線A3的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關系，利用中點坐標公式可表示出線段AB

中點/的坐標，化簡，即可得答案.

【詳解】由題意知直線A3的斜率不為0,設AB的方程為x=my+4,

聯(lián)立拋物線方程9=4x,得y2_4my—16=0,A=16m2+64>0，

設4（%，%）,B（x2,y2）,則%+%=4m,%%=-16,

2

設線段AB中點M（xQ,yQ）,則為=汽衛(wèi)=2m,xQ=2m+4,

22

即％=券+4,故線段A3中點M的軌跡方程為》=5+4,即y2=2（x—4）,

故答案為：/=2（%-4）

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答過程寫出文字說明、證明過程或者演算過程.

15.設數(shù)列｛?！埃那熬彭椇蜑镾“，若川+1,“eN*.

（1）求生,a2,并證明：數(shù)列｛4+a〃+i｝是等差數(shù)列；

（2）求$20?

【答案】（1）4=4,%=2,證明見解析；

（2）420.

【解析】

【分析】（1）直接代入〃=1可得％=4,再代入〃=2,結(jié)合為的值求出的=2；再由50—]4=1+1仿

19

寫出S'T—Q4T一+1,作差后得到?！??！癬1=4〃_2,即可證明結(jié)果.

（2）由（1）知數(shù)列｛a〃+i+a“｝為等差數(shù)列，然后代入等差數(shù)列的前幾項和公式求解即可.

【小問1詳解】

當〃=1時，由條件得囚一；4=2,所以q=4.

當〃=2時，由條件得（q+。2）-3。2=5，所以電=2.

11

因為8八一5?！?"+i,所以5及_]一萬為一]=（九一1）9+1（〃22）,

兩式相減得：4―萬〃〃+/42T=2〃—1,即氏+=4〃—2,

所以（4+1+6）—（《+??_i）=[4（w+l）-2]-（4w-2）=4,

從而數(shù)列｛4+i+4｝為等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由（1）知?！?%=4〃-2,

所以a”+%+i=4（〃+1）—2=4n+2,

所以數(shù)列｛4+1+4｝為等差數(shù)列，首項為q+g=6,

所以S20=（a1+a2）+（a3+a4）++（須+?20）=~~'‘，""'

所以邑。=（4義2—2）+（4x4—2）++（4x20-2）=^^^=420.

16.已知函數(shù)〃x)=lnx-?,g(x)=一，awO.

CLJC

(1)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0且/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

【答案】(1)答案見解析

⑵-4.

e

【解析】

【分析】(1)求導后，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，對。>0與。<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【小問1詳解】

f'(x\———a—^~~~~(aw0),

xx

當〃<0時，由于兀>0,所以恒成立，從而/(X)在(0,+8)上遞增；

當〃>0時，0<x<—,f\x\>0；x>—,/(x)<0,

aa

從而/(%)在上遞增，在1,+，|遞減；

綜上，當。<0時，/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為R,沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當a>0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為15,+8)

【小問2詳解】

9

令7z(x)=f(x)-g(x)=hix-ax-----,要使/(x)Wg(x)恒成立，

CLJC

只要使人(%)40恒成立，也只要使網(wǎng)

7,/\12-(ax+l)(ax-2)

hf(x)=一一a+--=—-----------------L，

xaxax

由于〃>0,x>0,所以雙+1>0恒成立，

29

當0<%<—時，/ir(x)>0,當一<%<+00時，hf(x]<0,

aa

/、(2、22

所以M》)max="%jTnz—3W。,解得：?>-)

所以a的最小值為3.

e

17.某班組建了一支8人的籃球隊，其中甲、乙、丙、丁四位同學入選，該班體育老師擔任教練.

（1）從甲、乙、丙、丁中任選兩人擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長，共有多少種選法？

（2）某次傳球基本功訓練，體育老師與甲、乙、丙、丁進行傳球訓練，老師傳給每位學生的概率都相

等，每位學生傳球給同學的概率也相等，學生傳給老師的概率為傳球從老師開始，記為第一次傳球，前

7

三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是多少？

3

【答案】⑴9種⑵—.

49

【解析】

【分析】（1）法一，利用分步乘法計數(shù)原理集合組合數(shù)的計算，即可求得答案；法二，利用間接法，即用不

考慮隊長人選對甲的限制的所有選法，減去甲擔任隊長的選法，即可得答案；

（2）考慮第一次傳球，老師傳給了甲還是傳給乙、丙、丁中的任一位，繼而確定第二次以及第三次傳球后

球回到老師手中的情況，結(jié)合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.

【小問1詳解】

法一，先選出隊長，由于甲不擔任隊長，方法數(shù)為C；；

再選出副隊長，方法數(shù)也是C；,故共有方法數(shù)為C；xC；=9（種）.

方法二先不考慮隊長人選對甲的限制，共有方法數(shù)為A；=4x3=12（種）；

若甲任隊長，方法數(shù)為C；,故甲不擔任隊長的選法種數(shù)為12-3=9（種）

答：從甲、乙、丙、丁中任選兩人分別擔任隊長和副隊長，甲不擔任隊長的選法共有9種.

【小問2詳解】

①若第一次傳球，老師傳給了甲，其概率為工；第二次傳球甲只能傳給乙、丙、丁中的任一位同學，其概

4

率為一；

7

第三次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給老師，其概率為工，

7

故這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為：-x-x-=—.

47798

3

②若第一次傳球，老師傳給乙、丙、丁中的任一位，其概率為二，

4

2

第二次傳球，乙、丙、丁中的一位傳球給甲，其概率為反，

第三次傳球，甲將球傳給老師，其概率為

7

3213

這種傳球方式，三次傳球后球回到老師手中的概率為一x—x—=一，

47798

333

所以，前三次傳球中滿足題意的概率為：—+—=—.

989849

3

答：前三次傳球中，甲同學恰好有一次接到球且第三次傳球后球回到老師手中的概率是大.

49

18.已知三棱柱ABC-A與C中，底面是邊長為2的正三角形，G為ABC的重心,

Z^AB=Z^AC=60°.

(1)求證：BC-

(2)已知AA=2,Pw平面ABC,且平面ABC.

①求證：AG//。/；

②求A.P與平面A.BC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)①證明見解析；②空.

3

【解析】

【分析】(1)連AG交于。，由重心可得。為的中點，由己知借助三角形全等證得人5=4C,再

由線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)①由給定條件，證得三棱錐A-A5C為正四面體，進而證得AGL平面ABC,再得用線面垂直的性

質(zhì)得結(jié)論；②以的重心。為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求出AG，再由向

量共線求出點尸，進而利用線面角的向量求法求解即得.

【小問1詳解】

在三棱柱ABC-A4G中，連AG交5c于￡>,連A。，由G為.的重心，得。為的中點,

由AB=AC,AA=4A,Z^AB=Z^AC,得△A]A3/△A/C,則人5=4。,

因此ADIBC,AD1BC,又AD4。=。,AD,4。u平面AAD,

于是3C1平面AAD,而AAu平面AAD,則BC，,又％AIRB,

①由4A=AB=2,ZA1AB=60°,得4445為正三角形；同理，△4AC也為正三角形，

則4B=AC=3C=2,從而三棱錐A-ABC的所有棱長均為2,該四面體為正四面體，

由G為.ABC的重心，得AG,平面ABC,又GP，平面ABC,顯然G不在直線AG上，

所以A