2024屆河北省衡水市部分高中高三一模數(shù)學(xué)（解析版）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)試卷（一）

（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘

貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答

題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)全集U={0423,4,5},集合M={1,3,4},N={0,3,5},則M&N）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3,4,5}D.U

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合并補(bǔ)運(yùn)算即可求得.

【詳解】U={012,3,4,5},N={0,3,5},所以gV={1,2,4},

所以M&N）={1,2,3,4},

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（4+3i）z=—i,貝”的虛部為（）

4.

D.—1

25

【答案】A

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則直接計(jì)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.

-i-i(4-3i)34

【詳解】因?yàn)?4+3i)z=-i,所以z=-----=-——~J=--------i,

一用牛/?八，尸心4+3i(4+3i)(4—3i)2525

4

所以Z的虛部為----.

25

故選：A.

3.將函數(shù)/(x)=Sin2x的圖象向左平移9個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)y=/(%)+g(x)的最大

值為〃，則。的值不可能為()

A.1B.72-1

C.2D.&+1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的平移變換得到g(x)=sin(2x+20,然后根據(jù)和差公式和輔助角公式整理得到

V=/(x)+g(x)=，2+2cos2osin(2x+a),最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求。的范圍即可.

【詳解】由題意得g(x)=sin(2x+20,

貝(Iy=〃x)+g(x)=sin2x+sin(2x+20)

=sin2x+cos2(psin2x+sin2(pcos2x

=(1+cos20sin2x+sin20cos2x

=J(l+cos29y+sin220sin(2x+a)

i-----------/、sin2(p

=,2+2cos20sin(2x+a),tanar=—---—,

因?yàn)閏os2。e[—1,1],所以j2+2cos2ee[0,2｝所以ae[0,2].

故選：D.

4.在等比數(shù)列｛a.｝中，若為一確定的常數(shù)，記數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)積為北.則下列各數(shù)為常數(shù)的

是()

A.T7B.I8C.幾D.Tu

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件判斷出《為確定常數(shù)，再由此確定正確答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹樾?/p>

依題意，一“5=4?囚4"，“悶”=（。刈5）3為確定常數(shù)，即6為確定常數(shù)?

I-aya1a6a7=4不符合題意；

￡=a7a8=（。4。5『不符合題意；

幾=%%a9ai0=（”5。6）5不符合題意；

看1=4%%0。11=a：］為確定常數(shù)，符合題意.

故選：D

4x—1

5.關(guān)于函數(shù)y=——,xeN，N為自然數(shù)集，下列說法正確的是（）

2%-5

A.函數(shù)只有最大值沒有最小值

B.函數(shù)只有最小值沒有最大值

C.函數(shù)沒有最大值也沒有最小值

D.函數(shù)有最小值也有最大值

【答案】D

【解析】

【分析】先對(duì)函數(shù)整理化簡，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”，即可求出函數(shù)

的最小值與最大值.

4x-l2（2x-5）+995

【詳解】y=——Z,n------f人

2x—52x-52x-52

由反比例函數(shù)的性質(zhì)得：

y在［■|，+00）上單調(diào)遞減，此時(shí)y>2,

y在1—8,g］上單調(diào)遞減，止匕時(shí)y<2,

又因?yàn)閤eN,N為自然數(shù)集，

所以Vmin在S，!"）上取到，X=2時(shí)，Vmin=-7,

同理Jmax在[g，+°°]上取至IJ,%=3時(shí)，Vmax=11，

所以當(dāng)xeN,N為自然數(shù)集時(shí)，函數(shù)有最小值也有最大值.

故選：D

6.已知函數(shù)/(x)=cos[x—Aj,g(x)=sinl4x+-^-I,則“曲線y=/(%)關(guān)于直線x=〃?對(duì)稱”是“曲

線y=g（x）關(guān)于直線彳二相對(duì)稱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【解析】

【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸的集合，利用兩個(gè)集合的關(guān)系即可判斷.

JTJT

【詳解】令加一口=《兀（勺GZ）,得加二五+左1兀（尤￡Z）,

所以曲線y=/（x）關(guān)于直線-4+匕?；痚Z）對(duì)稱.

jrjr71

令4機(jī)+=,+42Mz2金Z),得m=-----1-

12

所以曲線y=g（x）關(guān)于直線x=5+42兀

~T（左2eZ）對(duì)稱.

兀7C

m=

因[m\m=—+k1n(<kleZ)}{m\

所以“曲線y=f（x）關(guān)于直線x=m對(duì)稱”是“曲線y=g（x）關(guān)于直線x=m對(duì)稱”的充分不必要條件.

故選：A.

7.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C:V=8x的焦點(diǎn)，〃為C上一點(diǎn)，若IMF|=6,則AMOF的面積為（）

A.4A/3B.2A/2C.472D.8

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)焦半徑公式求點(diǎn)/的坐標(biāo)，再代入面積公式，即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)〃（％兀），-2,0）,所以|MF|=x0+2=6,得毛=4,為=±40,

所以AWO尸的面積S=510同義岡=萬X2X4、歷=4近.

故選：C

8.仇。為三個(gè)互異的正數(shù)，滿足c—。=2111（>0,（質(zhì)）"=30+1,則下列說法正確的是（）

A.c-a>2—bB.c—2VZ?—a

C.c+2<a+bD.c-\-2<a+b

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)于C-a=21n：>0可構(gòu)造函數(shù)/（x）=x—2hu,利用導(dǎo)函數(shù)可求出其單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合

可得0<a<2<c,對(duì)于（國『=30+1,可在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=（&6廠及y=3'+l的圖象,

可得0<〃<力<2,再由不等式性質(zhì)可知A正確.

【詳解】由。一。=21口￡>。得c-21nc=a-21na且c>”，

a

2

構(gòu)造函數(shù)〃x）=x-21nx,所以八￡）=1一一,

易得〃龍）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如下圖所示：

易知函數(shù)y=（V10）'及y=3*+1交于點(diǎn)（2,10），作出函數(shù)y=（Ji6廣及y=3"+1的圖象如下圖所

所以0<a<Z?<2<c,即a<b,2<c,由此可得a+2<》+c,即c-a>2-6.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式比較大小問題時(shí)，經(jīng)常利用同構(gòu)函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造后通過函數(shù)單調(diào)單調(diào)性

比較出大小，畫出函數(shù)圖象直接由圖象觀察得出結(jié)論.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有兩

個(gè)或兩個(gè)以上選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0

分）

9.已知10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31,則下列說法正確的是（）

A.這10個(gè)數(shù)據(jù)中至少有8個(gè)數(shù)小于或等于31

B.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第8個(gè)數(shù)據(jù)是31

C.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第7個(gè)與第8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31

D.把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，第6個(gè)與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是31

【答案】AB

【解析】

【分析】由百分位數(shù)的概念可判斷.

【詳解】因?yàn)檫@10個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是31,由10x0.75=7.5,可知把這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列

后，第8個(gè)數(shù)為31,

可知，選項(xiàng)A,B正確，C,D錯(cuò)誤.

故選：AB.

（、f2,xeQ

10.函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（）

A.D（^-）＞0（3.14）B.。（％）的值域?yàn)閇2,3]

C.。（。（尤））是偶函數(shù)D.VaeR,D（x+a）=D（a-x）

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】。（1）=3,0（3.14）=2,￡）（%）＞0（3.14）,A正確；

12,%eQ/、（、

￡＞（z%x）=則。（x）的值域?yàn)閧2,3},B錯(cuò)誤;

xeQ時(shí)，-xeQ,Z＞（D（x））=D（2）=2,￡＞（￡＞（-%））=￡＞（2）=2,所以

D（D（x））=D（D（-x））,xcQ時(shí)，—xcQ,D（D（x））=D（3）=2,D（D（-x））=D（3）=2,

D（D（x））=D（D（-x））,所以。（。（司）為偶函數(shù)，C正確；

尤=0時(shí)，取0=1-0，此時(shí)o(x+a)=o⑴=2,￡>(a—%)=￡>(1-20)=3,則

D(x+a)^D(a-x),D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)。。2,軸截面A8C。為等腰梯形，且滿

足CD=2A5=2A￡>=26C=4cm.下列說法正確的是()

A.該圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為3，5cm之

B.該圓臺(tái)的表面積為Ihrcm?

C,該圓臺(tái)的體積為zJ^Ttcn?

D.該圓臺(tái)有內(nèi)切球，且半徑為Yicm

2

【答案】AB

【解析】

【分析】求出圓臺(tái)的高。1。2可判斷A；由圓臺(tái)的表面積和體積公式可判斷B,C；由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切

線長定理易知軸截面A8C。不存在內(nèi)切圓可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由CD=2AB=2AZ)=25C=4cm,可得高q。？=—=若，

則圓臺(tái)軸截面ABC。的面積為gx(2+4)xj^=3^cm2,故A正確;

對(duì)于B,圓臺(tái)的側(cè)面積為S側(cè)=7r(l+2)x2=6兀(cn?),

又S上:Tixl2=兀(cm?),S下=兀?22=47i(cm2),

所以S表=6兀+兀+4兀=11兀(cn?),故B正確；

對(duì)于C,圓臺(tái)的體積為丫=；兀.百*(1+4+2)=子兀(加3),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面A8C。存在內(nèi)切圓，

由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理易知軸截面ABCD不存在內(nèi)切圓，故D錯(cuò)誤,

故選：AB.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知〃x）=2a&—工在點(diǎn)（1,7（功處的切線為直線x—2y+/=0,則。=.

X

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.

【詳解】因?yàn)椤▁）=2a?—L所以/'（%）=一+二，

XX

因?yàn)?（元）在點(diǎn)處的切線為直線x—2y+/=。，

所以/'（l）=a+l=g,解得a=—g.

故答案為：—

2

13.己知力51禹黑，滿足惻=眄|=國=2,且FI+F2+F3=0,則國—F?|=N.

【答案】73

【解析】

【分析】將K+F?+F3=0變形后平方得到相應(yīng)結(jié)論，然后將國-Fz|平方即可計(jì)算對(duì)應(yīng)的值.

【詳解】由4+F?+F3=0,可得耳+F2=-F?,所以（-F3）2=（E+F2）2，化簡可得

F；=F：+F；+2F",

因?yàn)閲鴟=同=闖=1,所以24黑=-1,

所以「=7（^22F1E+F；=71-（-D+i=百?

|FF2|-F2）=JF；_

故答案為g

【點(diǎn)睛】本題考查向量中的力的計(jì)算，難度較易.本題除了可以用直接分析計(jì)算的方式完成求解，還可以

利用圖示法去求解.

22

14.已知雙曲線C：——齊=1（?！?］〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，過耳作無軸的垂線交C于點(diǎn)P

.月于點(diǎn)M（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且有P月=3"招，則C的離心率為.

V6+V2

Hn2sin—1

即-—6=J-

sinCsinC

BD2

在RtZXABD中，AD=------=-------,

sinAsinA

2121?4.「

------1-----————I------——sinA+sinC

ADCD21，

sinAsinC

ZABC=—,:.A+C=~,

33

21..".（兀一）?一?兀萬-.萬.（萬兀

------1=smA+sinC=smC+smC=sin—cosC-cos—smC+smC=smC+—

ADCD{3J33I3

16.已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S“，4>0,且42+24=4S〃—1.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式;

s

(2)設(shè)包=-」的前〃項(xiàng)和為7；,求

aa

n?+l

【答案】(1)4=2〃-1

2

(2)4=衛(wèi)士

4〃+2

【解析】

【分析】(1)先用(〃+1)替換原式中的〃，然后兩式作差，結(jié)合a”與S”的關(guān)系，即可得到｛%,｝為等差

數(shù)列，從而得到其通項(xiàng).

s

(2)由(1)的結(jié)論，求得S,及4用，代入年=——化簡，得到7；的式子，裂項(xiàng)相消即可.

anan+l

【小問1詳解】

Qan+2a“=4S?-1,

a

n+i+2。"+1=4SI1+1-1,

兩式作差得：(4+[+an)(an+1-an-2)=0,

Qa,>0：.an+1-an=2,

，｛4｝成等差數(shù)列，

又當(dāng)〃=1時(shí)，(0―1)2=0,

所以Q]=1

即%=1+(〃—1)x2=2〃—1

【小問2詳解】

由(1)知%=2n-l,

則s/(…)/(1+2"1)=后

"22

即6=2=_Y_』+______1_______

"44+1(2n-l)(2?+l)41(2/I-1)(2H+1)

^4-----T

48(2幾-12n+lJ

n1f11111)

故<=—+—1——+———+L+-—------

"4、3352n-l2n+l)

=-I-1---------=—I-----------=--------.

48V2n+lJ48〃+44n+2

17.己知橢圓C：W+：=l（a〉6〉0）過[1,：和3,半j兩點(diǎn).耳，鳥分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為

橢圓上的點(diǎn)（P不在x軸上），過橢圓右焦點(diǎn)居的直線/與橢圓交于兩點(diǎn).

（D求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的范圍.

22

【答案】（1）L+2L=i

43

（2）[3,4]

【解析】

【分析】（I）將點(diǎn)（1,6,（夜，手）代入橢圓方程，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分類討論直線斜率是否為0,從而假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式得到

關(guān)于〃2的關(guān)系式，再分析即可得解;

【小問1詳解】

由題意可知，將點(diǎn)代入橢圓方程,

9

1,1-1

L店一1

得《，解得/=44=3,

6

2,4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

43

【小問2詳解】

由（1）知耳（—1,0）,耳（1,0）,

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，|A@=2a=4,

當(dāng)直線/的斜率不為。時(shí)，設(shè)直線/的方程為1=%+1,6（%，%），

（22

土+匕=1

聯(lián)立《43，消去x,得（3加2+4）/+672—9=0,

x=my+l

易得A=（6m）2+36（3m2+4）>0,則%+%=,%%=、:，

3m+43m+4

所以|=，（％-%『+（%-X）2=Vl+m2+4%%

-6mV_9）_12—+12_4_4

3m2+4J13m~+4J3m~+43m2+4

4,,

因?yàn)閙220,所以37川+424,所以0<一；一<1,所以3WA5<4,

3斤+411

綜上，3<|AB|<4,即|鉆|的范圍是[3,4].

18.《中國制造2025》提出“節(jié)能與新能源汽車”作為重點(diǎn)發(fā)展領(lǐng)域，明確了“繼續(xù)支持電動(dòng)汽車、燃料電

池汽車發(fā)展，掌握汽車低碳化、信息化、智能化核心技術(shù)，提升動(dòng)力電池、驅(qū)動(dòng)電機(jī)、高效內(nèi)燃機(jī)、先

進(jìn)變速器、輕量化材料、智能控制等核心技術(shù)的工程化和產(chǎn)業(yè)化能力，形成從關(guān)鍵零部件到整車的完成

工業(yè)體系和創(chuàng)新體系，推動(dòng)自主品牌節(jié)能與新能源汽車與國際先進(jìn)水平接軌的發(fā)展戰(zhàn)略，為我國節(jié)能與

新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展指明了方向.某新能源汽車制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質(zhì)量，對(duì)現(xiàn)有的一條新能源零部件

產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的新能源零

部件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)整理得到頻率直方圖（如

（1）從質(zhì)量指標(biāo)值在［55,75）的兩組檢測產(chǎn)品中，采用分層抽樣的方法再抽取5件.現(xiàn)從這5件中隨機(jī)抽

取2件作為樣品展示，求抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率.

（2）經(jīng)估計(jì)知這組樣本的平均數(shù)為8=61，方差為S?=241.檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)中為=5xj=一卜

2=5x-^―,“eN*，其中國表示不大于X的最大整數(shù)，｛尤｝表示不小于X的最小整數(shù)，S值四

舍五入精確到個(gè)位.根據(jù)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，技術(shù)升級(jí)改造后，若質(zhì)量指標(biāo)值有65%落在［a，4］內(nèi)，則可以判斷

技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但需要進(jìn)一步改造技術(shù)；若有95%落在［%，8］內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改

造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.請(qǐng)問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)

改造成功？

【答案】（1）y;

(2)詳見解析；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣確定抽取比例，然后運(yùn)用組合求解即可；

(2)根據(jù)題中公式，計(jì)算出區(qū)間并判段數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的概率，然后與題中條件比較即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

聚5.65)0.33

由題意可知1-----=-

打65,75)U.Z2

C2+C242

所以抽取的2件產(chǎn)品恰好都在同一組的概率為：P=32==；

C；105

【小問2詳解】

因?yàn)?2=241,知s-16,

,uf61-161,U「61+16］ru

貝［|a］=5xj--—>=45,偽=5x---=75,

該抽樣數(shù)據(jù)落在［45,75］內(nèi)的頻率約為0.16+0.3+0.2=66%>65%，

uf61—2x16］”,u「61+2x16］”

又%—5x<------->=30,Z?2=5x-------=90,

該抽樣數(shù)據(jù)落在［30,90］內(nèi)的頻率約為1—0.03—0.04=0.93=93%<95%,，

所以可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級(jí)穩(wěn)定，但不能判定生產(chǎn)線技術(shù)改造成功.

19.如圖，AD/ABC,且AD=23C,ADLCD,EG//AD且EG=AD,CDI/FG