2.2.2二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)的性質(zhì)（2015?新疆）拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】直接利用頂點式的特點可寫出頂點坐標．【解答】解：∵頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），∴拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（1，2）．故選D．【點評】主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸的方法．熟記二次函數(shù)的頂點式的形式是解題的關(guān)鍵．（2008?甘南州）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點坐標是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式一般形式的特點，可直接寫出頂點坐標．【解答】解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3為頂點式，其頂點坐標為（1，3）．故選B．【點評】主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法．（2015?益陽）若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式表示出其頂點坐標，根據(jù)頂點在第一象限，所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根據(jù)題意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式組的解集為m＞0．故選B．【點評】本題考查頂點坐標的公式和點所在象限的取值范圍，同時考查了不等式組的解法，難度較大．（2015?南昌）已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過（﹣2，0），（2，3）兩點，那么拋物線的對稱軸（）A．只能是x=﹣1B．可能是y軸C．可能在y軸右側(cè)且在直線x=2的左側(cè)D．可能在y軸左側(cè)且在直線x=﹣2的右側(cè)【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意判定點（﹣2，0）關(guān)于對稱軸的對稱點橫坐標x2滿足：﹣2＜x2＜2，從而得出﹣2＜＜0，即可判定拋物線對稱軸的位置．【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）過（﹣2，0），（2，3）兩點，∴點（﹣2，0）關(guān)于對稱軸的對稱點橫坐標x2滿足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)且在直線x=﹣2的右側(cè)．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)點坐標判斷出另一個點的位置是解題的關(guān)鍵．（2015?梅州）對于二次函數(shù)y=﹣x2+2x．有下列四個結(jié)論：①它的對稱軸是直線x=1；②設y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當x2＞x1時，有y2＞y1；③它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0）；④當0＜x＜2時，y＞0．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】利用配方法求出二次函數(shù)對稱軸，再求出圖象與x軸交點坐標，進而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出答案．【解答】解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的對稱軸是直線x=1，正確；②∵直線x=1兩旁部分增減性不一樣，∴設y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當x2＞x1時，有y2＞y1或y2＜y1，錯誤；③當y=0，則x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0），正確；④∵a=﹣1＜0，∴拋物線開口向下，∵它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0），∴當0＜x＜2時，y＞0，正確．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法，得出拋物線的對稱軸和其交點坐標是解題關(guān)鍵．（2015?福州）已知一個函數(shù)圖象經(jīng)過（1，﹣4），（2，﹣2）兩點，在自變量x的某個取值范圍內(nèi)，都有函數(shù)值y隨x的增大而減小，則符合上述條件的函數(shù)可能是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．二次函數(shù)【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)其性質(zhì)進行判斷．【解答】解：設一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，由題意得，，解得，，∵k＞0，∴y隨x的增大而增大，∴A、B錯誤，設反比例函數(shù)解析式為：y=，由題意得，k=﹣4，k＜0，∴在每個象限，y隨x的增大而增大，∴C錯誤，當拋物線開口向上，x＞1時，y隨x的增大而減小．故選：D．【點評】本題考查的是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握各個函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．（2015?濰坊模擬）若函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，則c的取值范圍是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；分式有意義的條件；函數(shù)自變量的取值范圍．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)分式的意義，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象性質(zhì)，可知當二次項系數(shù)a＞0，△＜0時，有y＞0，此時自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．【解答】解：由題意，得△=（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故選C．【點評】本題考查了函數(shù)自變量取值范圍的求法．要使得本題函數(shù)式子有意義，必須滿足分母不等于0．難點在于分母是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)，要使自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，必須滿足△＜0．（2014?泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應值如下表：X﹣1013y﹣1353下列結(jié)論：（1）ac＜0；（2）當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根；（4）當﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正確的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組）．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1.5，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【解答】解：（1）由圖表中數(shù)據(jù)可得出：x=1時，y=5，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，a＜0；又x=0時，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正確；（2）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==1.5，∴當x≥1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯誤；（3）∵x=3時，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一個根，故（3）正確；（4）∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1時，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3時，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函數(shù)有最大值，∴當﹣1＜x＜3時，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正確．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2014?汕頭）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)有最小值 B．對稱軸是直線x=C．當x＜，y隨x的增大而減小 D．當﹣1＜x＜2時，y＞0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A；根據(jù)圖形直接判斷B；根據(jù)對稱軸結(jié)合開口方向得出函數(shù)的增減性，進而判斷C；根據(jù)圖象，當﹣1＜x＜2時，拋物線落在x軸的下方，則y＜0，從而判斷D．【解答】解：A、由拋物線的開口向上，可知a＞0，函數(shù)有最小值，正確，故A選項不符合題意；B、由圖象可知，對稱軸為x=，正確，故B選項不符合題意；C、因為a＞0，所以，當x＜時，y隨x的增大而減小，正確，故C選項不符合題意；D、由圖象可知，當﹣1＜x＜2時，y＜0，錯誤，故D選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解題．（2015?南開區(qū)二模）二次函數(shù)y=x2﹣x+m（m為常數(shù)）的圖象如圖所示，當x=a時，y＜0；那么當x=a﹣1時，函數(shù)值（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)對稱軸及函數(shù)值判斷a的取值范圍，從而得出a﹣1＜0，因為當x是y隨x的增大而減小，所以當x=a﹣1＜0時，函數(shù)值y一定大于m．【解答】解：∵對稱軸是x=，0＜x1＜故由對稱性＜x2＜1當x=a時，y＜0，則a的范圍是x1＜a＜x2，所以a﹣1＜0，當x是y隨x的增大而減小，當x=0是函數(shù)值是m．因而當x=a﹣1＜0時，函數(shù)值y一定大于m．故選C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的對稱軸，以及增減性．（2013?徐州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性確定出二次函數(shù)的對稱軸，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1時的函數(shù)值都是﹣3相等，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=﹣2，∴頂點坐標為（﹣2，﹣2）．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，仔細觀察表格數(shù)據(jù)確定出對稱軸是解題的關(guān)鍵．（2013?河南）在二次函數(shù)y=﹣x2+2x+1的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】拋物線y=﹣x2+2x+1中的對稱軸是直線x=1，開口向下，x＜1時，y隨x的增大而增大．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函數(shù)圖象開口向下，又對稱軸是直線x=1，∴當x＜1時，函數(shù)圖象在對稱軸的左邊，y隨x的增大增大．故選A．【點評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)：當a＜0，拋物線開口向下，對稱軸為直線x=﹣，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大．（2013?日照）如圖，已知拋物線y1=﹣x2+4x和直線y2=2x．我們約定：當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．下列判斷：①當x＞2時，M=y2；②當x＜0時，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，則x=1．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】若y1=y2，記M=y1=y2．首先求得拋物線與直線的交點坐標，利用圖象可得當x＞2時，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1；當0＜x＜2時，y1＞y2；當x＜0時，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1；然后根據(jù)當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；即可求得答案．【解答】解：∵當y1=y2時，即﹣x2+4x=2x時，解得：x=0或x=2，∴當x＞2時，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1；當0＜x＜2時，y1＞y2；當x＜0時，利用函數(shù)圖象可以得出y2＞y1；∴①錯誤；∵拋物線y1=﹣x2+4x，直線y2=2x，當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；∴當x＜0時，根據(jù)函數(shù)圖象可以得出x值越大，M值越大；∴②正確；∵拋物線y1=﹣x2+4x的最大值為4，故M大于4的x值不存在，∴③正確；∵如圖：當0＜x＜2時，y1＞y2；當M=2，2x=2，x=1；x＞2時，y2＞y1；當M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2+，∴④錯誤；∴正確的有②③兩個．故選：B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用．注意掌握函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．（2013?興化市三模）拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表所示．給出下列說法：①拋物線與y軸的交點為（0，6）；②拋物線的對稱軸是在y軸的右側(cè)；③拋物線一定經(jīng)過點（3，0）；④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減?。畯谋砜芍?，下列說法正確的個數(shù)有（）x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由表格中數(shù)據(jù)x=0時，y=6，x=1時，y=6；可判斷拋物線的對稱軸是x=0.5，根據(jù)函數(shù)值的變化，判斷拋物線開口向下，再由拋物線的性質(zhì)，逐一判斷．【解答】解：由表格中數(shù)據(jù)可知，x=0時，y=6，x=1時，y=6，①拋物線與y軸的交點為（0，6），正確；②拋物線的對稱軸是x=0.5，對稱軸在y軸的右側(cè)，正確；③根據(jù)對稱性可知，拋物線的對稱軸是x=0.5，點（﹣2，0）的對稱點為（3，0），即拋物線一定經(jīng)過點（3，0），正確；④由表中數(shù)據(jù)可知在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，錯誤．正確的有①②③．故選C．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．要熟練掌握函數(shù)的特殊值對應的特殊點．解題關(guān)鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)找到對稱性以及數(shù)據(jù)的特點求出對稱軸，圖象與x，y軸的交點坐標等．（2013?遵義模擬）二次函數(shù)y=（2x﹣1）2+2的頂點的坐標是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（，2） D．（﹣，﹣2）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】將二次函數(shù)解析式寫成頂點式，可求頂點坐標．【解答】解：由y=（2x﹣1）2+2=4（x﹣）2+2，可知拋物線頂點坐標為（，2）．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．熟悉拋物線頂點式與頂點坐標的關(guān)系：拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k）．（2013?北侖區(qū)二模）已知點（x0，y0）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的一個點，且x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項正確的是（）A．對于任意實數(shù)x都有y≥y0 B．對于任意實數(shù)x都有y≤y0C．對于任意實數(shù)x都有y＞y0 D．對于任意實數(shù)x都有y＜y0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0可知，點（x0，y0）在二次函數(shù)的對稱軸上，即頂點；又a＞0，則點（x0，y0）為最小值點．【解答】解：由于點（x0，y0）是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的一個點，且x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則點（x0，y0）為二次函數(shù)的頂點；又由于a＞0，開口向上，則點（x0，y0）為最小值點；即對于任意實數(shù)x都有y≥y0．故選A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是正確判斷點（x0，y0）為最小值點．（2013?重慶模擬）福娃們在一起探討研究下面的題目：函數(shù)y=x2﹣x+m（m為常數(shù)）的圖象如圖，如果x=a時，y＜0；那么x=a﹣1時，函數(shù)值是多少？貝貝：我注意到當x=0時，y=m＞0．晶晶：我發(fā)現(xiàn)圖象的對稱軸為．歡歡：我判斷出x1＜a＜x2．迎迎：我認為關(guān)鍵要判斷a﹣1的符號．妮妮：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}可以取一個特殊的值．參考上面福娃們的討論，請你解該題，你選擇的答案是（）A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題．【分析】把x=a代入函數(shù)y=x2﹣x+m中求出函數(shù)a、a﹣1與0的關(guān)系，進而確定x=a﹣1時，函數(shù)y=x2﹣x+m的值．【解答】解：x=a代入函數(shù)y=x2﹣x+m中得：y=a2﹣a+m=a（a﹣1）+m，∵x=a時，y＜0，∴a（a﹣1）+m＜0，由圖象可知：m＞0，∴a（a﹣1）＜0，又∵x=a時，y＜0，∴a＞0則a﹣1＜0，由圖象可知：x=0時，y=m，又∵x＜時y隨x的增大而減小，∴x=a﹣1時，y＞m．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法、假設法都是解決數(shù)學習題常用的方法，巧妙運用解題方法可以節(jié)省解題時間．（2013?江蘇模擬）拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…﹣3﹣201…y…﹣6066…從上表可知，下列說法正確的有（）個①拋物線與x軸的交點為（﹣2，0）（2，0）；②拋物線與y軸的交點為（0，6）；③拋物線的對稱軸是：直線；④在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而減少．A．1 B．2 C．3 D．4【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】根據(jù)表格的數(shù)據(jù)首先確定拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性可以確定拋物線與x軸的另一個交點坐標，也可以確定拋物線的最大值的取值范圍，也可以確定開口方向．【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)知道：拋物線的開口方向向下，當x=0時，y=6，故②正確；∵x=0，x=1的函數(shù)值相等，∴對稱軸為x==，∴③正確，④正確；∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為：（3，0），∴①錯誤；故選C．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的圖象和性質(zhì)，會根據(jù)圖象得到信息．（2013?碑林區(qū)校級二模）對于二次函數(shù)y=x2﹣2mx﹣3，有下列說法：①它的圖象與x軸有兩個公共點；②若當x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；③若將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=﹣1；④若當x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等，則當x=6時的函數(shù)值為﹣3．其中正確的說法是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，根據(jù)△的意義對①進行判斷；由a=1＞0得拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=﹣=m，由于當x≤1時y隨x的增大而減小，則直線x=1在直線x=m的左側(cè)，于是可對②進行判斷；配方得到y(tǒng)=（x﹣m）2﹣m2﹣3，則拋物線向左平移3個單位的解析式為y=（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把原點坐標代入計算出m的值，則可對③進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性由當x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等得到拋物線的對稱軸為直線x=3，則m=3，所以拋物線解析式為y=x2﹣6x﹣3，然后計算x=6時的函數(shù)值，則可對④進行判斷．【解答】解：∵△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，∴拋物線與x軸有兩個公共點，所以①正確；∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x=﹣=m，當在對稱軸左側(cè)時，y隨x的增大而減小，而當x≤1時y隨x的增大而減小，∴m≥1，所以②錯誤；∵y=（x﹣m）2﹣m2﹣3，∴拋物線向左平移3個單位的解析式為y=（x﹣m+3）2﹣m2﹣3，把（0，O）代入得（m﹣3）2﹣m2﹣3=0，解得m=1，所以③錯誤；∵當x=4時的函數(shù)值與x=2時的函數(shù)值相等，∴拋物線的對稱軸為直線x=3，則x=m=3，∴拋物線解析式為y=x2﹣6x﹣3，當x=6時的函數(shù)值為﹣3，所以④正確．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣，拋物線頂點坐標為（﹣，）；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．（2012?河北）如圖，拋物線y1=a（x+2）2﹣3與y2=（x﹣3）2+1交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．則以下結(jié)論：①無論x取何值，y2的值總是正數(shù)；②a=1；③當x=0時，y2﹣y1=4；④2AB=3AC；其中正確結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；探究型．【分析】根據(jù)與y2=（x﹣3）2+1的圖象在x軸上方即可得出y2的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點求出，y2﹣y1的值；根據(jù)兩函數(shù)的解析式直接得出AB與AC的關(guān)系即可．【解答】解：①∵拋物線y2=（x﹣3）2+1開口向上，頂點坐標在x軸的上方，∴無論x取何值，y2的值總是正數(shù)，故本小題正確；②把A（1，3）代入，拋物線y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小題錯誤；③由兩函數(shù)圖象可知，拋物線y1=a（x+2）2﹣3解析式為y1=（x+2）2﹣3，當x=0時，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本小題錯誤；④∵物線y1=a（x+2）2﹣3與y2=（x﹣3）2+1交于點A（1，3），∴y1的對稱軸為x=﹣2，y2的對稱軸為x=3，∴B（﹣5，3），C（5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC，故本小題正確．故選D．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合進行解答是解答此題的關(guān)鍵．（2012?龍巖）下列函數(shù)中，當x＜0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大的有（）①y=x②y=﹣2x+1③y=﹣④y=3x2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量的取值范圍，逐一判斷．【解答】解：①y=x，正比例函數(shù)，k=1＞0，y隨著x增大而增大，正確；②y=﹣2x+1，一次函數(shù)，k=﹣2＜0，y隨x的增大而減小，錯誤；③y=﹣，反比例函數(shù)，k=﹣1＜0，當x＜0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，正確；④y=3x2，二次函數(shù)，a=3＞0，開口向上，對稱軸為x=0，故當x＜0時，圖象在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減小，錯誤．故選B．【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性（單調(diào)性），是一道難度中等的題目．掌握函數(shù)的性質(zhì)解答此題是關(guān)鍵．（2012?宜賓）給出定義：設一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線．有下列命題：①直線y=0是拋物線y=x2的切線；②直線x=﹣2與拋物線y=x2相切于點（﹣2，1）；③若直線y=x+b與拋物線y=x2相切，則相切于點（2，1）；④若直線y=kx﹣2與拋物線y=x2相切，則實數(shù)k=．其中正確命題的是（）A．①②④ B．①③ C．②③ D．①③④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式．【專題】壓軸題；新定義；探究型．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與根的判別式對各小題進行逐一分析即可．【解答】解：①∵直線y=0是x軸，拋物線y=x2的頂點在x軸上，∴直線y=0是拋物線y=x2的切線，故本小題正確；②∵拋物線y=x2的頂點在x軸上，開口向上，直線x=﹣2與y軸平行，∴直線x=﹣2與拋物線y=x2相交，故本小題錯誤；③∵直線y=x+b與拋物線y=x2相切，∴x2﹣x﹣b=0，∴△=（﹣1）2﹣4×b=1+b=0，解得b=﹣1．把b=﹣1代入x2﹣x﹣b=0得x=2，把x=2代入拋物線解析式可知y=1，∴直線y=x+b與拋物線y=x2相切，則相切于點（2，1），故本小題正確；④∵直線y=kx﹣2與拋物線y=x2相切，∴x2=kx﹣2，即x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=±，故本小題錯誤．故選B．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．（2012?南寧）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1，一次函數(shù)y=k（x﹣1）﹣，若它們的圖象對于任意的非零實數(shù)k都只有一個公共點，則a，b的值分別為（）A．a(chǎn)=1，b=2 B．a(chǎn)=1，b=﹣2 C．a(chǎn)=﹣1，b=2 D．a(chǎn)=﹣1，b=﹣2【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意由y=ax2+bx+1①，y=k（x﹣1）﹣②，組成的方程組只有一組解，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，則△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，整理得到（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，由于對于任意的實數(shù)k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，b2﹣4a=0，求出a，b即可．【解答】解：根據(jù)題意得，y=ax2+bx+1①，y=k（x﹣1）﹣②，解由①②組成的方程組，消去y，整理得，ax2+（b﹣k）x+1+k+=0，∵它們的圖象對于任意的實數(shù)k都只有一個公共點，則方程組只有一組解，∴x有兩個相等的值，即△=（b﹣k）2﹣4a（1+k+）=0，∴（1﹣a）k2﹣2（2a+b）k+b2﹣4a=0，由于對于非零實數(shù)k都成立，所以有1﹣a=0，2a+b=0，∴b2﹣4a=0，∴a=1，b=﹣2，故選：B．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程組的解的情況確定函數(shù)圖象交點的問題，而方程組的解的情況轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況．（2012?金東區(qū)一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列判斷中錯誤的是（）A．圖象的對稱軸是直線x=1B．當x＞1時，y隨x的增大而減小C．一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是﹣1，3D．當﹣1＜x＜3時，y＜0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；探究型．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0）可求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行逐一判斷即可．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0），∴拋物線的對稱軸直線為：x==1，故A正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x=1，∴當x＞1時，y隨x的增大而減小，故B正確；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是﹣1，3，故C正確；∵當﹣1＜x＜3時，拋物線在x軸的上方，∴當﹣1＜x＜3時，y＞0，故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，能利用數(shù)形結(jié)合求出拋物線的對稱軸及當﹣1＜x＜3時y的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．（2012?福州模擬）已知二次函數(shù)y=x2﹣x+，當自變量x取m時，對應的函數(shù)值小于0，當自變量x取m﹣1、m+1時，對應的函數(shù)值為y1、y2，則y1、y2滿足（）A．y1＞0，y2＞0 B．y1＜0，y2＞0 C．y1＜0，y2＜0 D．y1＞0，y2＜0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)與x軸的交點坐標，利用自變量x取m時對應的值小于0，確定m﹣1、m+1的位置，進而確定函數(shù)值為y1、y2．【解答】解：令y=x2﹣x+=0，解得：x=，∵當自變量x取m時對應的值小于0，∴＜m＜，∴m﹣1＜，m+1＞，∴y1＞0、y2＞0．故選：A．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點和二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是求得拋物線與橫軸的交點坐標．（2012?重慶校級模擬）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，給出下列說法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根為x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④當x＜1時，y隨x值的增大而增大；⑤當y＞0時，x＜﹣1或x＞3．其中，正確的說法有（）A．①②④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②④⑤【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．【解答】解：根據(jù)圖象可知：①對稱軸﹣＞0，故ab＜0，正確；②方程ax2+bx+c=0的根為x1=﹣1，x2=3，正確；③x=1時，y=a+b+c＜0，錯誤；④當x＜1時，y隨x值的增大而減小，錯誤；⑤當y＞0時，x＜﹣1或x＞3，正確．正確的有①②⑤．故選B．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，會根據(jù)圖象獲取所需要的信息．掌握函數(shù)性質(zhì)靈活運用．（2012?黃岡模擬）已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個，則k的值為（）A．2 B．3 C．8 D．9【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】分別求出當x=2時的函數(shù)值，然后根據(jù)兩函數(shù)圖象都開口向上確定k值即可．【解答】解：當x=2時，y=（2+1）2﹣1=8，y=（2﹣5）2﹣1=8，所以使y=k成立的x值恰好有三個時，k=8．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把界點值代入函數(shù)解析式計算即可，難點在于點（2，8）只在第一個函數(shù)圖象上，不在第二個函數(shù)圖象上．（2011?鄂州自主招生）已知函數(shù)f（x）=x2+λx，p、q、r為△ABC的三邊，且p＜q＜r，若對所有的正整數(shù)p、q、r都滿足f（p）＜f（q）＜f（r），則λ的取值范圍是（）A．λ＞﹣2 B．λ＞﹣3 C．λ＞﹣4 D．λ＞﹣5【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】利用f（r）﹣f（q）＞0，得出r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），利用p＜q＜r得出qmin=2，rmin=3，可求λ的范圍．【解答】解：∵f（r）﹣f（q）＞0，r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），=（r﹣q）（r+q+λ）＞0①又∵q＜r，∴（r+q+λ）＞0，λ＞﹣（r+q），同理，（q﹣p）（q+p+λ）＞0②，又∵p＜q，∴（q+p+λ）＞0，λ＞﹣（p+q），（r﹣p）（r+p+λ）＞0③又∵p＜r，∴（r+p+λ）＞0，λ＞﹣（r+q）又∵p＜q＜r，∴λ最大為﹣（p+q），p、q、r三者均為正整數(shù)，p＜q＜r，且p、q、r為△ABC的三邊，即需滿足p+q＞r，∴p的最小值應為2（如P為1，q可為2，r可為3，1+2=3，不滿足p+q＞r的條件），則q的最小值應為3，∴λ＞﹣5故選：D．【點評】此題考查了二次函數(shù)的增減性（單調(diào)性），是一道難度中等的題目．（2011?岳麓區(qū)校級二模）關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+2，下列說法正確的是（）A．圖象的開口向上 B．當x＞1時，y隨x的增大而減小C．圖象的頂點坐標是（﹣1，2） D．圖象與y軸的交點坐標為（0，2）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵a=﹣1，∴圖象的開口向下，故本選項錯誤；B、當x＞1時，y隨x的增大而減小，故本選項正確；C、圖象的頂點坐標是（1，2），故本選項錯誤；D、當x=0時，y=﹣（0﹣1）2+2=﹣1+2=1，所以圖象與y軸的交點坐標為（0，1），故本選項錯誤．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2011?南海區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①a＞0．②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱．③方程ax2+bx+c=0的兩根是﹣1和3．④x＜1時，y隨x的增大而增大．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，∴a＜0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸是x=1，∴該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故②正確；∵拋物線與x軸的交點分別為（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的兩根是﹣1和3，故③正確；∵當x＜1時，函數(shù)圖象在對稱軸的左側(cè)，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，故④正確．故選A．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象及拋物線與x軸的交點，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．（2010?杭州）定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當m=﹣3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（，）；②當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當m＜0時，函數(shù)在x＞時，y隨x的增大而減??；④當m≠0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點．其中正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；新定義．【分析】①當m=﹣3時，根據(jù)函數(shù)式的對應值，可直接求頂點坐標；②當m＞0時，直接求出圖象與x軸兩交點坐標，再求函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度，進行判斷；③當m＜0時，根據(jù)對稱軸公式，進行判斷；④當m≠0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點．【解答】解：根據(jù)定義可得函數(shù)y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①當m=﹣3時，函數(shù)解析式為y=﹣6x2+4x+2，∴=﹣=，==，∴頂點坐標是（，），正確；②函數(shù)y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）與x軸兩交點坐標為（1，0），（﹣，0），當m＞0時，1﹣（﹣）=+＞，正確；③當m＜0時，函數(shù)y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）開口向下，對稱軸x=﹣＞，∴x可能在對稱軸左側(cè)也可能在對稱軸右側(cè)，錯誤；④y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函數(shù)圖象恒經(jīng)過一點，m≠0時，應使2x2﹣x﹣1=0，可得x1=1，x2=﹣，當x=1時，y=0，當x=﹣時，y=﹣，則函數(shù)一定經(jīng)過點（1，0）和（﹣，﹣），正確．故選B．【點評】公式法：y=ax2+bx+c的頂點坐標為（，），對稱軸是x=．（2008?成都）有下列函數(shù)：①y=﹣3x；②y=x﹣1；③y=﹣（x＜0）；④y=x2+2x+1．其中當x在各自的自變量取值范圍內(nèi)取值時，y隨著x的增大而增大的函數(shù)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的增減性，逐一判斷．【解答】解：①y=﹣3x，正比例函數(shù)，k＜0，故y隨著x的增大而減??；②y=x﹣1，一次函數(shù)，k＞0，故y隨著x增大而增大；③y=﹣（x＜0），反比例函數(shù)，k＜0，故在第二象限內(nèi)y隨x的增大而增大；④y=x2+2x+1=（x+1）2，二次函數(shù)，故當圖象在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減?。挥孝冖鄯项}意．故選C．【點評】本題綜合考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性（單調(diào)性），是一道難度中等的題目．（2007?泰州）已知：二次函數(shù)y=x2﹣4x﹣a，下列說法錯誤的是（）A．當x＜1時，y隨x的增大而減小B．若圖象與x軸有交點，則a≤4C．當a=3時，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3D．若將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后過點（1，﹣2），則a=3【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組）．【專題】壓軸題．【分析】A、當x＜1時，在對稱軸右側(cè)，由此可以確定函數(shù)的單調(diào)性；B、若圖象與x軸有交點，即△=16+4a≥0，利用此即可判斷是否正確；C、當a=3時，不等式x2﹣4x+a＜0的解集可以求出，然后就可以判斷是否正確；D、根據(jù)平移規(guī)律可以求出a的值，然后判斷是否正確．【解答】解：二次函數(shù)為y=x2﹣4x﹣a，對稱軸為x=2，圖象開口向上．則：A、當x＜1時，y隨x的增大而減小，故選項正確；B、若圖象與x軸有交點，即△=16+4a≥0則a≥﹣4，故選項錯誤；C、當a=3時，不等式x2﹣4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故選項正確；D、原式可化為y=（x﹣2）2﹣4﹣a，將圖象向上平移1個單位，再向左平移3個單位后所得函數(shù)解析式是y=（x+1）2﹣3﹣a．函數(shù)過點（1，﹣2），代入解析式得到：a=3．故選項正確．故選B．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次方程之間的關(guān)系，以及圖象的平移規(guī)律．這些性質(zhì)和規(guī)律要求掌握．（2007?資陽）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，并經(jīng)過點（﹣1，2），（1，0）．下列結(jié)論正確的是（）A．當x＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大B．當x＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小C．存在一個負數(shù)x0，使得當x＜x0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當x＞x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大D．存在一個正數(shù)x0，使得當x＜x0時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當x＞x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，并經(jīng)過點（﹣1，2），（1，0）．將（﹣1，2）代入函數(shù)解析式得：a﹣b+c=2①，將（1，0）代入函數(shù)解析式得：a+b+c=0②，②﹣①得：2b=﹣2，解得：b=﹣1＜0，又∵拋物線開口向上，可得a＞0，∴﹣＞0，則函數(shù)的對稱軸x＞0．所以A、B、C不正確；D正確．故選D．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及對稱軸的判定．要先確定對稱軸才能判斷圖象的單調(diào)性．（2007?綿陽）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象過點（﹣2，1），則關(guān)于拋物線y=ax2﹣bx+3的三條敘述：①過定點（2，1）；②對稱軸可以是x=1；③當a＜0時，其頂點的縱坐標的最小值為3．其中所有正確敘述的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由y=ax+b過（﹣2，1）可得a、b的關(guān)系﹣2a+b=1，即2a﹣b=﹣1，根據(jù)這個關(guān)系可以對各個選項進行判斷．【解答】解：由y=ax+b過（﹣2，1），可得﹣2a+b=1，即2a﹣b=﹣1．①當x=2時，代入拋物線的右邊得到4a﹣2b+3=2（2a﹣b）+3=﹣2+3=1，故①正確；②由題意得b=2a+1，由對稱軸x=﹣，對稱軸為x=﹣≠1，故②錯誤．③由2a﹣b=﹣1得到：b=2a+1．拋物線的頂點坐標公式可知縱坐標===3﹣，因此當a＜0時，即頂點的縱坐標的最小值是3，故③正確．故選C．【點評】本題運用了整體代入思想，利用了拋物線對稱軸和頂點坐標公式．（2007?包頭）已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，且ac=4，則二次函數(shù)的頂點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，即拋物線的開口向下，因而a＜0．求拋物線的頂點坐標利用公式法：y=ax2+bx+c的頂點坐標為（，），對稱軸是x=；代入就可以求出頂點坐標，從而確定頂點所在象限．【解答】解：頂點橫坐標x==，縱坐標y==；∵二次函數(shù)有最大值，即拋物線的開口向下，a＜0，∴，，即：橫坐標x＞0，縱坐標y＜0，頂點在第四象限．故選D．【點評】考查求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法：（2006?漢川市）老師出示了小黑板上的題后（如圖），小華說：過點（3，0）；小彬說：過點（4，3）；小明說：a=1；小穎說：拋物線被x軸截得的線段長為2．你認為四人的說法中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】根據(jù)圖上給出的條件是與x軸交于（1，0），叫我們加個條件使對稱軸是x=2，意思就是拋物線的對稱軸是x=2是題目的已知條件，這樣可以求出a、b的值，然后即可判斷題目給出四個人的判斷是否正確．【解答】解：∵拋物線過（1，0），對稱軸是x=2，∴，解得a=1，b=﹣4，∴y=x2﹣4x+3，當x=3時，y=0，所以小華正確；當x=4時，y=3，小彬也正確，小明也正確；拋物線被x軸截得的線段長為2，已知過點（1，0），則可得另一點為（﹣1，0）或（3，0），所以對稱軸為y軸或x=2，此時答案不唯一，所以小穎也錯誤．故選C．【點評】本題是開放性題目，要把題目的結(jié)論作為題目的條件，再推理出四個人說的結(jié)論的正誤．難度較大．（2006?岳陽）小明從如圖的二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象中，觀察得出了下面的五條信息：①a＜0；②c=0；③函數(shù)的最小值為﹣3；④當x＜0時，y＞0；⑤當0＜x1＜x2＜2時，y1＞y2．你認為其中正確的有多少個（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．【解答】解：根據(jù)圖象可知：①∵拋物線開口向上，∴a＞0，故①錯誤；②∵拋物線與原點相交，∴c=0，故②正確；③函數(shù)的最小值看頂點坐標的縱坐標為﹣3，故③正確；④由圖象可看出當x＜0時，y＞0，正確；⑤由圖象可看出當0＜x1＜x2＜2時，y1＞y2正確．正確的有4個．故選C．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，會根據(jù)圖象獲取所需要的信息．掌握函數(shù)性質(zhì)靈活運用．（2005?江西）若二次函數(shù)y=x2+與y=﹣x2+k的圖象的頂點重合，則下列結(jié)論不正確的是（）A．這兩個函數(shù)圖象有相同的對稱軸B．這兩個函數(shù)圖象的開口方向相反C．方程﹣x2+k=0沒有實數(shù)根D．二次函數(shù)y=﹣x2+k的最大值為【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及解方程的知識解題．【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2+與y=﹣x2+k的圖象的頂點重合，∴k=，∴A、B、D正確；C、錯誤，因為方程﹣x2+k=0有實數(shù)根．故選C．【點評】主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)．（2004?吉林）下列圖中陰影部分面積與算式|﹣|+（）2+2﹣1的結(jié)果相同的是（）A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先把算式的值求出，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出四個圖中的陰影部分面積，看是否與算式的值相同，如相同，則是要選的選項．【解答】解：原式=++==．A、作TE⊥X軸，TG⊥Y軸，易得，△GTF≌△ETD，故陰影部分面積為1×1=1；B、當x=1時，y=3，陰影部分面積1×3×=；C、當y=0時，x=±1，當x=0時，y=﹣1．陰影部分面積為[1﹣（﹣1）]×1×=1；D、陰影部分面積為xy=×2=1．故選B．【點評】解答A時運用了全等三角形的性質(zhì)，B、C、D都運用了函數(shù)圖象和坐標的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角形的面積公式來解答．（2000?江西）拋物線y=x2﹣3x+2不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】由函數(shù)解析式可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=，與y軸交于正半軸，畫出函數(shù)大致圖象，判斷不經(jīng)過的象限．【解答】解：∵a=1＞0，拋物線開口向上，對稱軸為x=，與y軸交于（0，2），∴拋物線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選C．【點評】根據(jù)拋物線的開口方向，與y軸的交點，對稱軸判斷拋物線經(jīng)過的象限．（1997?昆明）拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點坐標和對稱軸方程是（）A．（﹣1，﹣4），x=﹣1 B．（1，﹣4），x=1 C．（﹣1，4），x=﹣1 D．（1，4），x=1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后解答即可．【解答】解：y=x2﹣2x﹣3，=x2﹣2x+1﹣4，=（x﹣1）2﹣4，所以，頂點坐標為（1，﹣4），對稱軸方程為直線x=1．故選B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把解析式轉(zhuǎn)化為頂點式形式是解題的關(guān)鍵．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函數(shù)值始終是正的，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)＜0或a＞ C． D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】按照a＞0和a＜0兩種情況討論：當a＞0時，圖象開口向上，只要頂點縱坐標為正即可；當a＜0時，拋物線對稱軸為x=﹣1，根據(jù)對稱性，只要x=5時，y＞0即可．【解答】解：當a＞0時，圖象開口向上，頂點縱坐標為=6a﹣3，當6a﹣3＞0，即a＞時，y＞0；當a＜0時，拋物線對稱軸為x=﹣1，根據(jù)對稱性，只要x=5時，y＞0即可，此時y=25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，不符合題意，舍去．故選A．【點評】本題考查了二次函數(shù)開口方向，頂點坐標，對稱軸在實際問題中的運用，還考查了分類討論的數(shù)學思想．（2014?鞍山一模）已知，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的部分對應值如下表，則f（﹣3）=12．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣30512【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性結(jié)合圖表數(shù)據(jù)可知，x=﹣3時的函數(shù)值與x=5時的函數(shù)值相同．【解答】解：由圖可知，f（﹣3）=f（5）=12．故答案為：12．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，理解圖表并準確獲取信息是解題的關(guān)鍵．（2013?蘭州）如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是﹣2＜k＜．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，∠AOB=45°，∴直線OA的解析式為y=x，聯(lián)立消掉y得，x2﹣2x+2k=0，△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=時，拋物線與OA有一個交點，此交點的橫坐標為1，∵點B的坐標為（2，0），∴OA=2，∴點A的坐標為（，），∴交點在線段AO上；當拋物線經(jīng)過點B（2，0）時，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使拋物線y=x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數(shù)k的取值范圍是﹣2＜k＜．故答案為：﹣2＜k＜．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．（2013?南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x2+4x+6的值等于3．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先將x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等理解為x=2m+n+2和x=m+2n時，二次函數(shù)y=x2+4x+6的值相等，則拋物線的對稱軸為直線x=，又二次函數(shù)y=x2+4x+6的對稱軸為直線x=﹣2，得出=﹣2，化簡得m+n=﹣2，即可求出當x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3時，x2+4x+6的值．【解答】解：∵x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，∴二次函數(shù)y=x2+4x+6的對稱軸為直線x==，又∵二次函數(shù)y=x2+4x+6的對稱軸為直線x=﹣2，∴=﹣2，∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，∴當x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3時，x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．故答案為：3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及多項式求值，難度中等．將x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等理解為x=2m+n+2和x=m+2n時，二次函數(shù)y=x2+4x+6的值相等是解題的關(guān)鍵．（2013?錦江區(qū)校級模擬）有下列函數(shù)：①y=﹣3x；②y=x﹣1；③（x＜0）；④y=x2+2x+1．其中當x在各自的自變量取值范圍內(nèi)取值時，y隨著x的增大而增大的函數(shù)有②③．（填序號）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對①②進行判斷；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對③進行判斷；先求出y=x2+2x+1的對稱軸方程，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對④進行判斷．【解答】解：y=﹣3x，k=﹣3＜0，y隨x的增大而減小；y=x﹣1，k=1＞0，y隨x的增大而增大；y=﹣（x＜0），y隨x的增大而增大；y=x2+2x+1=（x+1）2，拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大．故答案為②③．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上，對稱軸為直線x=﹣，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減?。部疾榱艘淮魏瘮?shù)的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)．（2012?咸寧）對于二次函數(shù)y=x2﹣2mx﹣3，有下列說法：①它的圖象與x軸有兩個公共點；②如果當x≤1時y隨x的增大而減小，則m=1；③如果將它的圖象向左平移3個單位后過原點，則m=﹣1；④如果當x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相等，則當x=2012時的函數(shù)值為﹣3．其中正確的說法是①④．（把你認為正確說法的序號都填上）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】①根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系解答；②找到二次函數(shù)的對稱軸，再判斷函數(shù)的增減性；③將m=﹣1代入解析式，求出和x軸的交點坐標，即可判斷；④根據(jù)坐標的對稱性，求出m的值，得到函數(shù)解析式，將m=2012代入解析式即可．【解答】解：①∵△=4m2﹣4×（﹣3）=4m2+12＞0，∴它的圖象與x軸有兩個公共點，故本選項正確；②∵當x≤1時y隨x的增大而減小，∴函數(shù)的對稱軸x=﹣≥1在直線x=1的右側(cè)（包括與直線x=1重合），則﹣≥1，即m≥1，故本選項錯誤；③將m=﹣1代入解析式，得y=x2+2x﹣3，當y=0時，得x2+2x﹣3=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=﹣3，將圖象向左平移3個單位后不過原點，故本選項錯誤；④∵當x=4時的函數(shù)值與x=2008時的函數(shù)值相等，∴對稱軸為x==1006，則﹣=1006，m=1006，原函數(shù)可化為y=x2﹣2012x﹣3，當x=2012時，y=20122﹣2012×2012﹣3=﹣3，故本選項正確．故答案為：①④．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與幾何變換、拋物線與x軸的交點，綜合性較強，體現(xiàn)了二次函數(shù)的特點．（2012?防城港）二次函數(shù)y=﹣（x﹣2）2+的圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有7個（提示：必要時可利用下面的備用圖畫出圖象來分析）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知函數(shù)的開口方向向下，頂點坐標為（2，），當y=0時，可解出與x軸的交點橫坐標．【解答】解：∵二次項系數(shù)為﹣1，∴函數(shù)圖象開口向下，頂點坐標為（2，），當y=0時，﹣（x﹣2）2+=0，解得x1=，得x2=．可畫出草圖為：（右圖）圖象與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有7個，為（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)、畫出函數(shù)草圖是解題的關(guān)鍵．（2012?廛河區(qū)校級一模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，點A0位于坐標原點，點A1，A2，A3，…，A2011在y軸的正半軸上，點B1，B2，B3，…，B2011在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都為等邊三角形，則△A2010B2011A2011的邊長=2011．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，則AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根據(jù)所求正三角形的邊長，分別表示B1，B2，B3的縱坐標，逐步代入拋物線y=x2中，求a、b、c的值得出規(guī)律．【解答】解：分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，則AB1=a，BB2=b，CB3=c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入y=x2中，得=?（a）2，解得a=1，即A0A1=1，在正△A1B2A2中，B2（b，1+），代入y=x2中，得1+=?（b）2，解得b=2，即A1A2=2，在正△A2B3A3中，B3（c，3+），代入y=x2中，得3+=?（c）2，解得c=3，即A2A3=3，由此可得△A2010B2011A2011的邊長=2011．故答案為：2011．【點評】此題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點的坐標，利用拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規(guī)律．（2012?安徽模擬）已知點A（1，﹣3）、B（﹣3，﹣3）關(guān)于直線l對稱，開口向上的拋物線y=ax2+bx+c以l為對稱軸，且經(jīng)過A、B兩點，下面給出關(guān)于拋物線y=ax2+bx+c的幾個結(jié)論：①拋物線y=ax2+bx+c一定不經(jīng)過原點；②當x=﹣1時，y最小=﹣3；③當x＜﹣1時，y隨著x的增大而減?。虎墚敥?＜x＜1時，y＜0．其中正確的結(jié)論的序號是①③④．（在橫線上填上你認為所有正確結(jié)論的序號）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先得到拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，由于開口向上，且經(jīng)過A、B兩點，拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點在x軸下方，則不過原點；最小值不能為﹣3；在對稱軸左側(cè)，即x＜﹣1，y隨著x的增大而減??；當﹣3＜x＜1時，圖象在x軸下方．【解答】解：∵點A（1，﹣3）與B（﹣3，﹣3）關(guān)于直線x=﹣1對稱，∴拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，∵開口向上，且經(jīng)過A、B兩點，∴拋物線y=ax2+bx+c一定不經(jīng)過原點，所以①正確；當x=﹣1時，函數(shù)值有最小值，比﹣3要小，所以②錯誤；在對稱軸左側(cè)，即x＜﹣1，y隨著x的增大而減小，所以③正確；當﹣3＜x＜1時，圖象在x軸下方，則y＜0，所以④正確．故答案為①③④．【點評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)：二次函數(shù)圖象為拋物線，當a＞0，開口向上，對稱軸為直線x=﹣，頂點坐標為（﹣，），在對稱左側(cè)，y隨x的增大而減小．（2012?咸寧模擬）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，并經(jīng)過點（﹣1，2），（1，0）．則下列結(jié)論：①．當x＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，②．當x＞0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，③．存在一個負數(shù)x0，使得當x＜x0時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；當x＞x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，④．存在一個正數(shù)x0，使得當x＜x0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當x＞x0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，其中正確的是④．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，可得a+c=1，b=﹣1．故拋物線的解析式為y=ax2﹣x+1﹣a，拋物線的對稱軸為x=﹣=，a＞0，因此拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)．因此x＜時，y隨x的增大而減小和當x＞時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．當0＜x＜時，y隨x的增大而減?。畵?jù)以上分析找到正確的答案即可．【解答】解：將點（﹣1，2），（1，0）代入y=ax2+bx+c（a≠0），得a+c=1，b=﹣1．故拋物線的解析式為y=ax2﹣x+1﹣a，拋物線的對稱軸為x=﹣=，a＞0，因此拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)．因此x＜時，y隨x的增大而減小和當x＞時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．當0＜x＜時，y隨x的增大而減?。啖苷_，而①②③錯誤．【點評】本題考查二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．（2012?姜堰市校級模擬）拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如表所示，給出下列說法：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣60466…①拋物線與y軸的交點為（0，6）；②拋物線的對稱軸是在y軸右側(cè)；③在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小；④拋物線一定過點（3，0）．上述說法正確的是①②④（填序號）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；圖表型．【分析】由表格中數(shù)據(jù)x=0時，y=6，x=1時，y=6；可判斷拋物線的對稱軸是x=0.5，根據(jù)函數(shù)值的變化，判斷拋物線開口向下，再由拋物線的性質(zhì)，逐一判斷．【解答】解：由表格中數(shù)據(jù)可知，x=0時，y=6，x=1時，y=6，①拋物線與y軸的交點為（0，6），正確；②拋物線的對稱軸是x=0.5，對稱軸在y軸的右側(cè)，正確；③由表中數(shù)據(jù)可知在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，錯誤．④根據(jù)對稱性可知，拋物線的對稱軸是x=0.5，點（﹣2，0）的對稱點為（3，0），即拋物線一定經(jīng)過點（3，0），正確；正確的有①②④．故答案為①②④．【點評】主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．要熟練掌握函數(shù)的特殊值對應的特殊點．解題關(guān)鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)找到對稱性以及數(shù)據(jù)的特點求出對稱軸，圖象與x，y軸的交點坐標等．（2010?株洲）已知二次函數(shù)y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a為常數(shù)），當a取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．如圖分別是當a=﹣1，a=0，a=1，a=2時二次函數(shù)的圖象．它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是y=．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】已知拋物線的頂點式，寫出頂點坐標，用x、y代表頂點的橫坐標、縱坐標，消去a得出x、y的關(guān)系式．【解答】解：由已知得拋物線頂點坐標為（2a，a﹣1），設x=2a①，y=a﹣1②，①﹣②×2，消去a得，x﹣2y=2，即y=x﹣1．【點評】本題考查了根據(jù)頂點式求頂點坐標的方法，消元的思想．（2010?扶溝縣一模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形狀相同的拋物線Cn（n=1，2，3，4，…）的頂點在直線AB上，其對稱軸與x軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，…，根據(jù)上述規(guī)律，拋物線C2的頂點坐標為（3，2）；拋物線C8的頂點坐標為（55，）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)A（﹣3，0），B（0，1）的坐標求直線AB的解析式為y=x+1，因為頂點C2的在直線AB上，C2坐標可求；根據(jù)橫坐標的變化規(guī)律可知，C8的橫坐標為55，代入直線AB的解析式y(tǒng)=x+1中，可求縱坐標．【解答】解：設直線AB的解析式為y=kx+b則解得k=，b=1∴直線AB的解析式為y=x+1∵拋物線C2的頂點坐標的橫坐標為3，且頂點在直線AB上∴拋物線C2的頂點坐標為（3，2）∵對稱軸與x軸的交點的橫坐標依次為2，3，5，8，13，…∴每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和∴拋物線C8的頂點坐標的橫坐標為55∴拋物線C8的頂點坐標為（55，）．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了點與函數(shù)關(guān)系式的關(guān)系，考查了學生的分析歸納能力．（2008?天津）已知關(guān)于x的函數(shù)同時滿足下列三個條件：①函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限；②當x＜2時，對應的函數(shù)值y＜0；③當x＜2時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．你認為符合要求的函數(shù)的解析式可以是：y=﹣x2+4x﹣4（寫出一個即可，答案不唯一）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；開放型．【分析】此函數(shù)可以是一次函數(shù)y=kx+b，（k＞0，b＜0）；也可為二次函數(shù)y=ax2+bx+c，（a＜0，b＞0，c＜0）．【解答】解：∵經(jīng)過點（2，0）頂點的橫坐標＞或等于2且開口向下的拋物線的解析式都是符合題意的，∴我們可以寫出一個函數(shù)是y=﹣（x﹣2）2=﹣x2+4x﹣4．（答案不唯一）．【點評】此題是開放性試題，考查函數(shù)圖形及性質(zhì)的綜合運用，對考查學生所學函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義，但此題若想答對需要滿足所有條件，如果學生沒有注意某一個條件就容易錯．本題的結(jié)論是不唯一的，其解答思路滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．（2008?義烏市）李老師給出了一個函數(shù)，甲、乙、丙三位學生分別指出這個函數(shù)的一個特征．甲：它的圖象經(jīng)過第一象限；乙：它的圖象也經(jīng)過第二象限；丙：在第一象限內(nèi)函數(shù)值y隨x增大而增大．在你學過的函數(shù)中，寫出一個滿足上述特征的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b（k＞0，b＞0）或y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）．（答案不唯一）【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題；開放型．【分析】根據(jù)題意，可以在一次函數(shù)，二次函數(shù)中進行合理選擇．【解答】解：根據(jù)題意得，此函數(shù)可以是一次函數(shù)y=kx+b，此時k＞0，b＞0；也可以是二次函數(shù)y=ax2+bx+c，此時a＞0，b＞0．如y=x+1，y=x2+x+1．【點評】此題是開放性試題，考查函數(shù)圖形及性質(zhì)的綜合運用，對考查學生所學函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義，但此題若想答對需要滿足所有條件，如果學生沒有注意某一個條件就容易錯．本題的結(jié)論是不唯一的，其解答思路滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．（2014?安徽）若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值．【專題】代數(shù)綜合題；壓軸題；新定義．【分析】（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達式即可．（2）由y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達式，然后將函數(shù)y2的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．【解答】解：（1）設頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，當a=2，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．當a=3，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．∵兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，∴兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函數(shù)y2的表達式為：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1．∵5＞0，∴函數(shù)y2的圖象開口向上．∴當x=3時，y2取最大值，最大值為5（3﹣1）2=20．綜上所述：當0≤x≤3時，y2的最大值為20．【點評】本題考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力．而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵．（2012?佛山）規(guī)律是數(shù)學研究的重要內(nèi)容之一．初中數(shù)學中研究的規(guī)律主要有一些特定的規(guī)則、符號（數(shù)）及其運算規(guī)律、圖形的數(shù)值特征和位置關(guān)系特征等方面．請你解決以下與數(shù)的表示和運算相關(guān)的問題：（1）寫出奇數(shù)a用整數(shù)n表示的式子；（2）寫出有理數(shù)b用整數(shù)m和整數(shù)n表示的式子；（3）函數(shù)的研究中，應關(guān)注y隨x變