4.2.1一次函數(shù)的定義

一次函數(shù)的定義（2012?富順縣校級模擬）一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則k、b的值分別為（）A．，b=1 B．k=﹣2，b=1 C．，b=1 D．k=2，b=1【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；解二元一次方程組．【專題】計算題．【分析】根據(jù)圖象把點（0，1），（，0）代入一次函數(shù)的解析式得到方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：由圖象可知：過點（0，1），（，0），代入一次函數(shù)的解析式得：，解得：k=﹣2，b=1．故選B．【點評】本題主要考查對解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．（2012秋?玉環(huán)縣校級期中）若一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點（3，2），則一次函數(shù)的解析式為（）A．y=x+1 B．y=﹣x+5 C．y=﹣x﹣5 D．y=﹣x+1【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】把點的坐標代入解析式求出b，即可得出答案．【解答】解：∵一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點（3，2），∴當x=3時，y=2，∴2=﹣3+b，解得b=5，∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣x+5，故選B．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，把點的坐標代入計算求出b的值是解題的關(guān)鍵．（2011秋?蘇州期末）下表給出的是關(guān)于一次函數(shù)y=kx+b的自變量x及其對應的函數(shù)值y的若干信息：則根據(jù)表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)可以計算得到m的值是（）x…﹣101…y…01m…．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】設一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），將（﹣1，0）、（0，1）、（1，m）代入即可得出答案．【解答】解：設一次函數(shù)解析式為：y=kx+b（k≠0）．根據(jù)圖示知，該一次函數(shù)經(jīng)過點（﹣1，0）、（0，1），則，解得，；∴該一次函數(shù)的解析式為y=x+1：又∵該一次函數(shù)經(jīng)過點（1，m），∴m=1+1=2，即m=2；故選C．【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識，比較簡單，注意掌握待定系數(shù)法的運用．（2010?南充自主招生）已知一次函數(shù)y=kx+b，當﹣3≤x≤1時，對應y的值為1≤y≤9．則k?b的值（）A．14 B．﹣6 C．﹣6或21 D．﹣6或14【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】分類討論．【分析】根據(jù)圖象的增減性得出兩種情況：①過點（﹣3，1）和（1，9）②過點（﹣3，9）和（1，1）分別代入解析式，求出即可．【解答】解：分為兩種情況：①過點（﹣3，1）和（1，9）代入得：則有，解之得，∴k?b=14；②過點（﹣3，9）和（1，1）代入得：則有，解之得，∴k?b=﹣6，綜上：k?b=14或﹣6．故選D．【點評】此類題目需利用y隨x的變化規(guī)律，確定自變量與函數(shù)的對應關(guān)系，然后結(jié)合題意，利用方程組解決問題．（2010秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，已知直線y=kx﹣3經(jīng)過點M，則此直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為（）A．2 B．4 C． D．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】把點M的坐標代入直線y=kx﹣3，求出k的值．然后讓橫坐標為0，即可求出與y軸的交點．讓縱坐標為0，即可求出與x軸的交點．最后根據(jù)三角形的面積公式求得此直線與x軸、y軸圍成的三角形面積．【解答】解：根據(jù)圖示知，直線y=kx﹣3經(jīng)過點M（﹣2，1），∴1=﹣2k﹣3，解得k=﹣2；∴當x=0時，y=﹣3；當y=0時，x=﹣．∴此直線與x軸、y軸圍成的三角形面積=|x||y|=××3=．故選D．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．函數(shù)y=kx﹣3與y軸的交點的橫坐標為0．函數(shù)與x軸的交點的縱坐標為0．（2009?遼寧）如圖，直線m是一次函數(shù)y=kx+b的圖象，則k的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)畫圖確定一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點（1，0），（0，﹣2），然后代入解析式即可求得k的值．【解答】解：一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點（1，0），（0，﹣2），根據(jù)一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b的特點，可得出方程組，解得，則k的值是2．故選D．【點評】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，來列出方程組，求出未知數(shù)．（2009?鄂州校級模擬）如圖，已知點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（，﹣2），點P在直線y=﹣x上運動，當|PA﹣PB|最大時點P的坐標為（）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；軸對稱-最短路線問題．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及待定系數(shù)法可求得答案．【解答】解：作A關(guān)于直線y=﹣x對稱點C，易得C的坐標為（﹣1，0）；連接BC，可得直線BC的方程為y=﹣x﹣；求BC與直線y=﹣x的交點，可得交點坐標為（4，﹣4）；此時|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，其他BCP不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得|PC﹣PB|＜BC；故答案為B．【點評】本題考查軸對稱的運用，有很強的綜合性，難度較大．（2009秋?費縣校級期末）一次函數(shù)y=2mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，則m的值為（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】待定系數(shù)法．【分析】根據(jù)題意知一次函數(shù)y=2mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過點（0，0），所以將其代入一次函數(shù)解析式，然后解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y=2mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點，∴0=0+m2﹣4，即m2=4，解得，m=±2．故選D．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．解答該題時，利用了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．（2009秋?懷化校級期中）已知一次函數(shù)y=2x+b，當x=2時，y=3，那么，當x=3時，y的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】計算題．【分析】把x=2，y=3代入y=2x+b求出b，得出y=2x﹣1，把x=3代入即可求出答案．【解答】解：把x=2，y=3代入y=2x+b得：3=4+b，解得：b=﹣1，∴y=2x﹣1，當x=3時，y=2×3﹣1=5，故選B．【點評】本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．（2008?宣武區(qū)一模）已知一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0），x與y的部分對應值如表所示，那么m的值等于（）x﹣101y1m﹣1A． B．0 C．﹣ D．2【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】計算題．【分析】把（﹣1，1），（1，﹣1）代入y=kx+b得到方程組，求出方程組的解，得出y=﹣x，把（0，m）代入求出即可．【解答】解：把（﹣1，1），（1，﹣1）代入y=kx+b得：，∴，∴y=﹣x，當x=0時y=0，∴m=0．故選B．【點評】本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．（2006秋?西城區(qū)期末）若一個函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線，并且這條直線過點（﹣3，2a）與點（a，），則這個函數(shù)的解析式為（）A． B．y=x或y=﹣xC． D．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象過原點得出一次函數(shù)式正比例函數(shù)，設一次函數(shù)的解析式是y=kx，把點（﹣3，2a）與點（a，）代入得出方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：∵一個函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點的直線，∴設一次函數(shù)的解析式是y=kx，把點（﹣3，2a）與點（a，）代入得：，由①得：a=﹣k③，把③代入②得：=﹣×（﹣k）k，k2=，k=±，∴y=x或y=﹣x，故選D．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，主要考查學生運用性質(zhì)進行計算的能力．（2007秋?安慶月考）直線y=kx+3過點（2，1），則k的值是（）A．k=﹣2 B．k=2 C．k=﹣1 D．k=1【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；解一元一次方程．【專題】計算題．【分析】把（2，1）代入y=kx+3得到方程，求出方程的解即可．【解答】解：把（2，1）代入y=kx+3得：1=2k+3，解得：k=﹣1，故選C．【點評】本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據(jù)題意得到方程1=2k+3是解此題的關(guān)鍵．（2003?深圳）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有兩個實數(shù)根x1、x2，直線l經(jīng)過點A（x1+x2，0）、B（0，x1?x2），則直線l的解析式為（）A．y=2x﹣3 B．y=2x+3 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x+3【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求出A，B的坐標，代入直線的解析式，求出k，b的值，從而確定直線的解析式．【解答】解：由題意知，x1+x2=，x1?x2=﹣3，∴A（，0），B（0，﹣3），設直線l的解析式為：y=kx+b，把點A，點B的坐標代入，解得，k=2，b=﹣3，∴直線l的解析式為：y=2x﹣3．故選A．【點評】本題主要考查了兩個內(nèi)容：1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c都是常數(shù)），有兩個實數(shù)根x1和x2，則x1+x2=，x1?x2=；②利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．已知變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖，它的解析式是（）A． B．C． D．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】從函數(shù)圖象上可以看出，這條線段經(jīng)過點（3，0）和（0，2），用待定系數(shù)法可求出函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．【解答】解：從函數(shù)圖象上可以看出，這條線段經(jīng)過點（3，0）和（0，2），所以可以設其函數(shù)關(guān)系式為y=kx+2．再把點（3，0）代入求得k=，所以其函數(shù)關(guān)系式為y=x+2，且自變量的取值范圍為0≤x≤3．故選A．【點評】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程，求出未知數(shù)k的值，即可求得函數(shù)關(guān)系式．一次函數(shù)y=kx+b滿足x=0時，y=﹣1；x=1時，y=1，則這個一次函數(shù)是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=2x﹣1 D．y=﹣2x﹣1【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【分析】把x=0，y=﹣1和x=1，y=1代入y=kx+b得出方程組，求出方程組的解，即可得出答案．【解答】解：∵把x=0，y=﹣1和x=1，y=1代入y=kx+b得：，解得：k=2，b=﹣1，∴一次函數(shù)的解析式是y=2x﹣1，故選C．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，主要考查學生的計算能力．（2014秋?源城區(qū)校級期末）如圖，該直線是某個一次函數(shù)的圖象，則此函數(shù)的解析式為y=2x+2．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】待定系數(shù)法．【分析】根據(jù)圖象寫出該直線所經(jīng)過的點的坐標，然后將其代入函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，列出關(guān)于k、b的一元二次方程，然后解方程求得k、b的值；最后將它們代入函數(shù)解析式即為所求．【解答】解：設該直線方程是：y=kx+b（k＞0）．根據(jù)圖象知，該直線經(jīng)過點（﹣1，0）、（0，2），則，解得，，∴此函數(shù)的解析式為y=2x+2．故答案是：y=2x+2．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．一次函數(shù)圖象上的點的坐標都滿足該函數(shù)的解析式．（2014春?臺山市校級期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，4）、B（4，2），則這個一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；解二元一次方程組．【專題】計算題．【分析】設一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把A（1，4）、B（4，2）代入解析式得到方程組，求出方程組的解即可．【解答】解：設一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把A（1，4）、B（4，2）代入得：，解方程組得：，∴一次函數(shù)的解析式是：y=﹣x+，故答案為：y=﹣x+．【點評】本題主要考查對解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．（2013?鎮(zhèn)賚縣校級一模）若直線y=2x+b經(jīng)過點A（2，﹣3），則b的值為﹣7．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】函數(shù)思想．【分析】將點A（2，﹣3）代入直線方程，列出關(guān)于b的方程，通過解方程求得b值即可．【解答】解：∵直線y=2x+b經(jīng)過點A（2，﹣3），∴點A（2，﹣3）滿足該直線方程y=2x+b，∴﹣3=2×2+b，解得b=﹣7．故答案是：﹣7．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．解答該題時，借用了“一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征”這一知識點求得b值．（2013?鎮(zhèn)江二模）已知y是x的一次函數(shù)，下表列出了部分對應值，則m=3．x012y1m5【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】如圖所示當x=0時，y=1；x=2時，y=5．用待定系數(shù)法可求出函數(shù)關(guān)系式，然后把x=1代入，得到m的值．【解答】解：設該一次函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0）．如圖所示當x=0時，y=1；x=2時，y=5．據(jù)此列出方程組，求得，一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=2x+1，然后把x=1代入，得到y(tǒng)=2+1=3，即m=3故填3．【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識，難度不大，要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程組，求出未知數(shù)．（2011?咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（6，4）．若直線l經(jīng)過點（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)解析式是（）A．y=x+1 B． C．y=3x﹣3 D．y=x﹣1【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；中心對稱．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)條件l經(jīng)過點D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，求出E點坐標，然后設出函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法把D，E兩點坐標代入函數(shù)解析式，可得到答案．【解答】解：設D（1，0），∵線l經(jīng)過點D（1，0），且將?OABC分割成面積相等的兩部分，∴OD=BE=1，∵頂點B的坐標為（6，4）．∴E（5，4）設直線l的函數(shù)解析式是y=kx+b，∵圖象過D（1，0），E（5，4），∴，解得：，∴直線l的函數(shù)解析式是y=x﹣1．故選D．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出E點坐標．（2011?濱江區(qū)模擬）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為（）A．y=﹣2x﹣3 B．y=﹣x﹣3 C．y=﹣3x﹣3 D．y=x﹣3【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；切線的性質(zhì)．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D點，所以本題可設它的解析式為y=kx﹣3．根據(jù)圖象可求出拋物線的解析式，因為相切，所以它們的交點只有一個，進而可根據(jù)一元二次方程的有關(guān)知識解決問題．【解答】解：因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D（0，﹣3）點，所以設它的解析式為y=kx﹣3，∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵拋物線過點A、B，∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），又∵拋物線過點D（0，﹣3），∴﹣3=a?1?（﹣3），即a=1，∴y=x2﹣2x﹣3．又∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與直線y=kx﹣3相切，∴x2﹣2x﹣3=kx﹣3，即x2﹣（2+k）x=0只有一個解，∴△=（2+k）2﹣4×0=0，∴k=﹣2即經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為y=﹣2x﹣3．故選A．【點評】此類題目需靈活運用待定系數(shù)法建立函數(shù)解析式，并利用切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程來解決問題．（2010?樂山）已知一次函數(shù)y=kx+b，當0≤x≤2時，對應的函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y≤4，則kb的值為（）A．12 B．﹣6 C．﹣6或﹣12 D．6或12【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】壓軸題；分類討論．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分k＞0和k＜0時兩種情況討論求解．【解答】解：（1）當k＞0時，y隨x的增大而增大，即一次函數(shù)為增函數(shù)，∴當x=0時，y=﹣2，當x=2時，y=4，代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b得：，解得，∴kb=3×（﹣2）=﹣6；（2）當k＜0時，y隨x的增大而減小，即一次函數(shù)為減函數(shù)，∴當x=0時，y=4，當x=2時，y=﹣2，代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b得：，解得，∴kb=﹣3×4=﹣12．所以kb的值為﹣6或﹣12．故選C．【點評】本題要注意根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)要分情況討論，有一定難度．（2009?鄂州校級模擬）如圖，已知點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（，﹣2），點P在直線y=﹣x上運動，當|PA﹣PB|最大時點P的坐標為（）A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；軸對稱-最短路線問題．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及待定系數(shù)法可求得答案．【解答】解：作A關(guān)于直線y=﹣x對稱點C，易得C的坐標為（﹣1，0）；連接BC，可得直線BC的方程為y=﹣x﹣；求BC與直線y=﹣x的交點，可得交點坐標為（4，﹣4）；此時|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，其他BCP不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得|PC﹣PB|＜BC；故答案為B．【點評】本題考查軸對稱的運用，有很強的綜合性，難度較大．（2009?牡丹江二模）直線y=kx﹣4與y軸相交所成銳角的正切值為，則k的值為（）A． B．2 C．±2 D．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題．【分析】首先確定直線y=kx﹣4與y軸和x軸的交點，然后利用直線y=kx﹣4與y軸相交所成銳角的正切值為這一條件求出k的值．【解答】解：由直線的解析式可知直線與y軸的交點為（0，﹣4），即直線y=kx﹣4與y軸相交所成銳角的鄰邊為|﹣4|=4，與x軸的交點為y=0時，x=，∵直線y=kx﹣4與y軸相交所成銳角的正切值為，即||=4×，k=±2．故選C．【點評】此題比較復雜，涉及到銳角三角函數(shù)，在解題時要注意k的正負．（2006?萊蕪）已知點A（，1），B（0，0），C（，0），AE平分∠BAC，交BC于點E，則直線AE對應的函數(shù)表達式是（）A．y=x﹣ B．y=x﹣2 C．y=x﹣1 D．y=x﹣2【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】要求直線AE對應的函數(shù)表達式，可以求出E點的坐標即可．可以轉(zhuǎn)化為求線段BE的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解決．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：AB=2，∵AE平分∠BAC，∴．設BE=x，則EC=﹣x，AC=1．∴，解得：x=，則E點的坐標是（，0）．設直線AE的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：．則直線AE對應的函數(shù)表達式是：y=x﹣2．故選D．【點評】本題綜合考查利用勾股定理求出點的坐標，求出未知數(shù)，寫出解析式，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)解決．（2012?洪山區(qū)校級模擬）已知點A（2a﹣1，3a+1），直線l經(jīng)過點A，則直線l的解析式是y=x+．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)點A的坐標表示出橫坐標與縱坐標，然后分別用x、y表示出a，再整理即可得解．【解答】解：∵點A的坐標為A（2a﹣1，3a+1），∴，由①得，a=，由②得，a=，所以=，整理得，y=x+．故答案為：y=x+．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)點A的坐標用x、y表示出a是解題的關(guān)鍵，本題滲透并利用了消參數(shù)法的思想．（2010?淄博）如圖，在直角坐標系中，以坐標原點為圓心、半徑為1的⊙O與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點．E為⊙O上在第一象限的某一點，直線BF交⊙O于點F，且∠ABF=∠AEC，則直線BF對應的函數(shù)表達式為y=x﹣1，y=﹣x+1．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；直線與圓的位置關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】由題意可知，∠AEC=∠AOC=45°；當∠ABF=∠AEC=45°時，只有點F與點C或D重合，根據(jù)待定系數(shù)法可求出直線BF對應的函數(shù)表達式．【解答】解：根據(jù)圓周角定理得，∠AEC=∠AOC=45°，∵∠ABF=∠AEC=45°，∴點F與點C或D重合；當點F與點C重合時，設直線BF解析式y(tǒng)=kx+b，則，解得∴直線BF的解析式為y=﹣x+1，當點F與點D重合時，同理可得y=x﹣1．【點評】本題考查了圓周角定理的運用及待定系數(shù)法求解析式的方法．（2008?昌平區(qū)二模）當光線射到x軸的點C后進行反射，如果反射的路徑經(jīng)過點A（0，1）和點B（3，4），如圖，則入射線所在直線的解析式為y=﹣x﹣1．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；軸對稱的性質(zhì)．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合；待定系數(shù)法．【分析】首先設反射光線的直線解析式為y=kx+b，把A、B兩點代入，求出k和b，然后根據(jù)軸對稱的知識點求出入射光線的解析式．【解答】解：設反射光線的直線解析式為y=kx+b，∵反射的路徑經(jīng)過點A（0，1）和點B（3，4），∴，解得k=1，b=1，∴反射光線的直線解析式為y=x+1，根據(jù)入射光線和反射光線軸對稱，故知入射光線的解析式為y=﹣x﹣1，故答案為y=﹣x﹣1．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和軸對稱的知識點，解答本題的關(guān)鍵是運用好軸對稱的知識，此題難度一般．（2006?宿遷）經(jīng)過點（2，0）且與坐標軸圍成的三角形面積為2的直線解析式是y=x﹣2或y=﹣x+2．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】壓軸題．【分析】首先設直線的解析式是y=kx+b，得到函數(shù)與y軸的交點坐標是（0，b），再根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點（2，0），與坐標軸圍成的三角形面積為2，得到一個關(guān)于b的方程，解方程求出b的值，從而求出函數(shù)的解析式．【解答】解：設直線的解析式是y=kx+b，則函數(shù)與y軸的交點是（0，b），又函數(shù)經(jīng)過點（2，0），與坐標軸圍成的三角形面積為2，則×2|b|=2，解得b=±2．因而函數(shù)的解析式是y=x﹣2或y=﹣x+2．【點評】本題要注意利用一次函數(shù)的特點，列出方程，求出未知數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)圖象的特點解答，需同學們熟練掌握．（2003?濟南）一次函數(shù)y=kx+b的自變量的取值范圍是﹣3≤x≤6，相應函數(shù)值的取值范圍是﹣5≤y≤﹣2，則這個函數(shù)的解析式為或者．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性，可知本題分兩種情況：①當k＞0時，y隨x的增大而增大，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，運用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式；②當k＜0時，y隨x的增大而減小，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，運用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式．【解答】解：分兩種情況：①當k＞0時，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，得，解得，則這個函數(shù)的解析式是；②當k＜0時，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，得，解得，則這個函數(shù)的解析式是．故這個函數(shù)的解析式是或者．【點評】根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)分兩種情況是解決本題的關(guān)鍵．如圖，在直角坐標系中，△AOB是Rt△，∠AOB=30°，∠A=90°，OB=12，點P在OA上，且OP=4，過P點作直線截△AOB的兩邊，使截得的三角形與△AOB相似，那么滿足這樣的條件的直線的解析式為x=6，y=，，y=﹣x+4．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】當過P點的直線平行于x軸，平行于y軸，平行于直線AB時，都能使截得的三角形與△AOB相似，根據(jù)OP=4，∠AOB=30°，求出P點坐標，再求出過P點且滿足條件的直線解析式．【解答】解：過P點作PC⊥x軸，垂足為C，作PD∥AB交x軸于點D，在Rt△OPC中，OP=4，∠AOB=30°，∴OC=6，PC=2，即P（6，2）同理，在Rt△OPD中，OD=8，即D（8，0）設直線PD解析式為y=kx+b，則解得∴y=﹣x+8，∴滿足條件的直線的解析式為：x=6或者y=2或者y=﹣x+8；當直線如圖c位置時，同理可求得：y=﹣x+4．故滿足條件的直線的解析式為：x=6或者y=2或者y=﹣x+8或y=﹣x+4．【點評】本題考查了相似三角形的判斷方法，直線解析式的求法，分類討論的思想．（2012?撫順）如圖，已知一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點A（2，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA．（1）求此一次函數(shù)的解析式；（2）設點P為直線y=﹣x+b上的一點，且在第一象限內(nèi)，經(jīng)過P作x軸的垂線，垂足為Q．若S△POQ=S△AOB，求點P的坐標．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】壓軸題；探究型．【分析】（1）直接把點A（2，3）代入一次函數(shù)y=﹣x+b即可求出b的值，進而得出一次函數(shù)的解析式；（2）設P（p，d），p＞0，再根據(jù)點P在一次函數(shù)的圖象上及S△POQ=S△AOB，即可得出關(guān)于p、d的方程組，求出p、d的值即可．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點A（2，3），∴3=（﹣）×2+b，解得b=4，故此一次函數(shù)的解析式為：y=﹣x+4；（2）設P（p，d），p＞0，∵點P在直線y=﹣x+4的圖象上，∴d=﹣p+4①，∵S△POQ=S△AOB=××2×3，∴pd=②，①②聯(lián)立得，，解得或，∴P點坐標為：（3，）或（5，）．【點評】本題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．（2011?遼陽）甲、乙兩名自行車愛好者準備在一段長為3500米的筆直公路上進行比賽，比賽開始時乙在起點，甲在乙的前面．他們同時出發(fā)，勻速前進，已知甲的速度為12米/秒，設甲、乙兩人之間的距離為s（米），比賽時間為t（秒），圖中的折線表示從兩人出發(fā)至其中一人先到達終點的過程中s（米）與t（秒）的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖中信息，回答下列問題：（1）乙的速度為14米/秒；（2）當乙追上甲時，求乙距起點多少米．（3）求線段BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；函數(shù)的圖象．【專題】應用題；壓軸題．【分析】（1）設乙的速度為x米/秒，根據(jù)圖象得到300+150×12=150x，解方程即可；（2）由圖象可知乙用了150秒追上甲，用時間乘以速度即可；（3）先計算出乙完成全程所需要的時間=250（秒），則乙追上甲后又用了250﹣150=100秒到達終點，所以這100秒他們相距100×（14﹣12）米，可得到C點坐標，而B點坐標為（150，0），然后利用待定系數(shù)法求線段BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）設乙的速度為x米/秒，則300+150×12=150x，解得x=14，故答案為：14；（2）由圖象可知乙用了150秒追上甲，14×150=2100（米）．∴當乙追上甲時，乙距起點2100米；（3）乙從出發(fā)到終點的時間為=250（秒），此時甲、乙的距離為：（250﹣150）（14﹣12）=200（米），∴C點（250，200），又B點坐標（150，0），設BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為s=kt+b（k≠0，k，b為常數(shù)），將B、C兩點代入，得，解得，∴BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為s=2t﹣300．【點評】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：先設一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0），然后把一次函數(shù)圖象上的兩點的坐標分別代入，得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組求出k、b的值，從而確定一次函數(shù)的解析式．也考查了從函數(shù)圖象獲取信息的能力．（2010?金華）如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中，A，B兩點坐標分別為（3，0）和（0，3）．動點P從A點開始沿折線AO﹣OB﹣BA運動，點P在AO，OB，BA上運動，速度分別為1，，2（長度單位/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以（長度單位/秒）的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā)，運動時間為t秒，當點P沿折線AO﹣OB﹣BA運動一周時，直線l和動點P同時停止運動．請解答下列問題：（1）過A，B兩點的直線解析式是y=﹣x+3；（2）當t﹦4時，點P的坐標為（0，），；當t﹦，點P與點E重合；（3）①作點P關(guān)于直線EF的對稱點P′．在運動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？②當t﹦2時，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；坐標與圖形性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】綜合題；壓軸題；分類討論．【分析】（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；（2）此題要掌握點P的運動路線，要掌握點P在不同階段的運動速度，即可求得；（3）①此題需要分三種情況分析：點P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點，可求的一個；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，根據(jù)對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．②當t﹦2時，可求的點P的坐標，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．【解答】解：（1）y=﹣x+3；（2）（0，），t=；（3）①當點P在線段AO上時，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒又∵OE=FG=t，∠A=60°，∴AG==t而AP=t，∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t由3﹣t=t，得t=；當點P在線段OB上時，形成的是三角形，不存在菱形；當點P在線段BA上時，過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）∵OE=t，∴BE=3﹣t，∴EF==3﹣∴MP=EH=EF=，又∵BP=2（t﹣6）在Rt△BMP中，BP?cos60°=MP即2（t﹣6）?=，解得t=．綜上所述，t為或時，四邊形PEP′F為菱形．②存在﹒理由如下：∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1將△BEP繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B′EC（如圖3）∵OB⊥EF，∴點B′在直線EF上，∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO﹣PO長度∴C點坐標為（﹣，﹣1）過F作FQ∥B′C，交EC于點Q，則△FEQ∽△B′EC由===，可得Q的坐標為（﹣，）根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點Q′（﹣，）也符合條件．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，還要注意答案的不唯一性．（2010?莆田）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=1，OC=2，點D在邊OC上且OD=．（1）求直線AC的解析式；（2）在y軸上是否存在點P，直線PD與矩形對角線AC交于點M，使得△DMC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線y=﹣x2經(jīng)過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點D和點E（點E在y軸的正半軸上），且△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換；等腰三角形的判定；翻折變換（折疊問題）．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】（1）設直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，將A、C兩點坐標代入即可求解；（2）由題意得：若△DMC為等腰三角形，則可分為三種情況討論，即DC為底；DM為底；CM為底三種情況；（3）可根據(jù)對稱性求得點O′的坐標，然后求得點E的坐標，由待定系數(shù)法求得新拋物線的解析式即可求得．【解答】解：（1）設直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，又∵OA=1，OC=2，∴A（0，1），C（2，0）代入函數(shù)解析式求得：k=，b=1直線AC的函數(shù)解析式：y=（2）若DC為底邊，∴M的橫坐標為，則點M的坐標為（，）∴直線DM解析式為：y=x﹣，∴P（0，﹣）；若DM為底，則CD=CM=，∴AM=AN=﹣，∴N（﹣，1），可求得直線DM的解析式為y=（+2）x﹣（+2），∴P（0，）若CM為底，則CD=DM=∴點M的坐標為（，）∴直線DM的解析式為y=﹣x+，∴點P的坐標為（0，）（3）根據(jù)對稱性可得點O′的坐標為（，1）或（2，1）∴點E的坐標為（0，）或（0，）∴設新拋物線的解析式為y=﹣（x﹣h）2+k∴h=，k=或h=，k=，∴拋物線y=﹣x2經(jīng)過向左平移個單位，再向上平移個單位；或向右平移個單位，向上平移個單位．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，要注意答案的不唯一性，解題時要注意別漏解．（2010?北京一模）如圖，在平面直角標系中，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．（1）求直線AB的解析式；（2）求t為何值時，△APQ與△AOB相似？并求出此時點P與點Q的坐標；（3）當t為何值時，△APQ的面積為個平方單位？【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】綜合題；壓軸題；分類討論．【分析】（1）用待定系數(shù)法可直接求出直線AB的解析式；（2）用含t的代數(shù)式表示AP、AQ，根據(jù)三角形相似的對應關(guān)系，利用相似比求出時間t；再利用相似比可求點P與點Q的坐標；（3）利用相似比求出△APQ的AP邊上的高，根據(jù)面積公式列方程求t．【解答】解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，則解得∴y=﹣x+6；（2）由題意可知AO=6，BO=8，則AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ與△AOB相似有兩種情況：①當∠APQ=∠AOB時，如圖（1），有=，即=，解得t=，則OP=6﹣=，則P的坐標是：（0，），∵∠APQ=∠AOB，∴PQ∥OB∴=，則，解得：PQ=，則Q的坐標是：（，）；②當∠AQP=∠AOB時，如圖（2），有=，即=，解得t=，則OP=OA﹣AP=6﹣=，則P的坐標是：（0，），作QM⊥y軸，于M點．△OAB與△QAP的相似比是：=，△OAB的面積是：OA?OB=×6×8=24，則△QAP的面積是：24×（）2=，∵S△QAP=AP?MQ，即=×?MQ，解得：MQ=，∵MQ∥OB∴=，則=，解得：AM=，則OM=故Q的坐標是：（，）；（3）過Q作QH⊥OA于H，如圖，∴△AHQ∽△AOB，∴=，∴=，∴HQ=（10﹣2t），∴?t?（10﹣2t）=，解得t=2或t=3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，直角坐標系中的相似性質(zhì)的運用，面積等問題．（2007?連云港）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，OA=60cm，OC=80cm．動點P從點O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止．設點P運動的時間為ts．（1）過點P作對角線OB的垂線，垂足為點T．求PT的長y與時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（2）在點P運動過程中，當點O關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數(shù)解析式；（3）探索：以A，P，T三點為頂點的△APT的面積能否達到矩形OABC面積的？請說明理由．【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一元二次方程的應用；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知OB=AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知=100，即OB=AC=100．判定Rt△OPT∽Rt△OBC則可得出，即可得出函數(shù)解析式，根據(jù)P的運動情況求出t的取值范圍即可．（2）當O點關(guān)于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在一條直線上．判定Rt△AOP∽Rt△OCB，則可得出，點P的坐標為（45，0）．列出AP的函數(shù)解析式將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，解出即可．（3）由（2）知，當t=9時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構(gòu)成三角形．所以分兩種情況：1、當0＜t＜9時，列出方程求解看有無實數(shù)根即可．2、當9＜t≤16時，根據(jù)圖（3）列出方程求解看有無實數(shù)根即可．【解答】解：（1）在矩形OABC中，因為OA=60，OC=80，所以OB=AC==100．因為PT⊥OB，所以Rt△OPT∽Rt△OBC．因為，即，所以y=PT=3t．當點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為，所以，t的取值范圍是0≤t≤16．（2）（如圖2）當O點關(guān)于直線AP的對稱點O'恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在一條直線上．所以AP⊥OB，∠1=∠2．所以Rt△AOP∽Rt△OCB，所以．所以OP=45．所以點P的坐標為（45，0）．設直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b．將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，得，解這個方程組得．所以此時直線AP的函數(shù)解析式是．（3）由（2）知，當時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構(gòu)成三角形．所以分兩種情況：1、當0＜t＜9時，點T位于△AOP的內(nèi)部（如圖1），過A點作AE⊥OB，垂足為點E，由AO?AB=OB?AE可得AE=48．所以S△APT=S△AOP﹣S△ATO﹣S△OTP=×60×5t﹣×4t×48﹣×4t×3t=﹣6t2+54t．若S△APT=S矩形OABC，則﹣6t2+54t=1200，即t2﹣9t+200=0．此時，△=（﹣9）2﹣4×1×200＜0，所以該方程無實數(shù)根．所以當0＜t＜9時，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的．2、當9＜t≤16時，點T位于△AOP的外部．此時S△APT=S△ATO+S△OTP﹣S△AOP=6t2﹣54t．若S△APT=S矩OABC，則6t2﹣54t=1200，即t2﹣9t﹣200=0．解得，（舍去）．由于881＞625=252，所以．而此時9＜t≤16，所以也不符合題意，應舍去．所以當9＜t≤16時，以A，P，T為頂點的△APT的面積也不能達到矩形OABC面積的．綜上所述，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的．【點評】本題要注意利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法，列出方程，得出未知數(shù)．同學們需熟練掌握．（2006?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點A在第二象限內(nèi)，點B、點C在x軸的負半軸上，∠CAO=30°，OA=4．（1）求點C的坐標；（2）如圖，將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到△A′CB′的位置，其中A′C交直線OA于點E，A′B′分別交直線OA、CA于點F、G，則除△A′B′C≌△AOC外，還有哪幾對全等的三角形，請直接寫出答案；（不再另外添加輔助線）（3）在（2）的基礎(chǔ)上，將△A′CB′繞點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當△COE的面積為時，求直線CE的函數(shù)表達式．【考點】待定系數(shù)法求一次函