2024屆福建省龍巖市一中高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題及答案

龍巖一中2024屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合

Ax2x20

，

Bxylnx，則

AB（

）A.

0,1

B.

0,2

C.

0,1

D.

0,22.已知復(fù)數(shù)z

12i

，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限3.已知

cos2

π4

24，則sin2（

）A.

1516

B.

1516

C.

34

D.

344.已知等差數(shù)列anA.10

的前n項(xiàng)和為SB.11

n

，若aa0，aa0，則S取最大值時(shí)n的值為（10111012nC.12D.13

）5.已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC表面積等于

2，則球OA.4

B.3

C.2

D.

6.已知n為平面

的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)n”是“l(fā)//”的（

）A.充分不必要條件C.充要條件

B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件7.已知拋物線C：y24x（y0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線上一點(diǎn)，AF5，若2FBBA，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是（

）A.

43

B.

83

C.

163

D.

3238.如圖，已知雙曲線C:

x2a2

y2b2

1(a,b0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C分別在第一?二象限交于A,B兩點(diǎn)，△ABF2內(nèi)切圓半徑為r，若BF1ra，則C的離心率為（第1頁(yè)/共4頁(yè)

）xsinxsinA.

102

B.

253

C.

304

D.

855二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知a0,b0，直線l:x(a2)y10,l:bxy20，且ll，則（1212

）A.0ab1

B.

ab2

C.a2b22

D.

ba

2b

310.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P1111為線段D1F上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A.兩條異面直線DC和BC所成的角為4511B.存在點(diǎn)P，使得CG//平面BEP1C.對(duì)任意點(diǎn)P，平面FCC平面BEP1D.點(diǎn)B到直線DF的距離為41111.電子通訊和互聯(lián)網(wǎng)中，信號(hào)的傳輸?處理和傅里葉變換有關(guān).傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和或余弦函數(shù)）的線性組合.例如函數(shù)fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13的圖象就可以近似地模擬某種信號(hào)的波形，則（

）A.fx為周期函數(shù)，且最小正周期為第2頁(yè)/共4頁(yè)B.fx為奇函數(shù)C.yfx的圖象關(guān)于直線x

2

對(duì)稱(chēng)D.fx的導(dǎo)函數(shù)fx的最大值為712.已知函數(shù)fx1xex1，數(shù)列an

滿足函數(shù)fx的圖像在點(diǎn)a,fa處的切線與x軸交于nnA.aean1ean1n

B.0a1nC.a2022

a2023

D.aaaa1123n

12n三、填空題：本題共4小題．13.已知a4,2，b1,1，則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________．14.已知函數(shù)fxx3x有2個(gè)極值點(diǎn)x，x，則xxfxfx12121

2

______．15.已知定義在R上的函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞增，且函數(shù)fx1為奇函數(shù)，則f3x4f1x2的解集為_(kāi)__________.16.黃金比又稱(chēng)黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比．其中，較大部分與整體之比的比值稱(chēng)為黃金分割數(shù)，黃金分割數(shù)被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字．若數(shù)列an是以黃金分割數(shù)為公比的等比數(shù)列，且a2024a20252023，則a2023

_________．四、解答題：本大題共6小題，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．17.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且ccosA3csinAab.（1）求角C；（2）若ABC的中線CD長(zhǎng)為23，求ABC面積的最大值.18.已知S為等比數(shù)列ann

的前n項(xiàng)和，若4a

2

，2a，a成等差數(shù)列，且S8a2.3442（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bn

an

an

n1

2

，且數(shù)列b的前n項(xiàng)和為T(mén)nn

1，證明：12

Tn

14

.19.如圖，平面ABCD平面ABE，點(diǎn)E為半圓弧AB上異于A，B的點(diǎn)，在矩形ABCD中，第3頁(yè)/共4頁(yè)點(diǎn)ean1an1,0,且點(diǎn)ean1an1,0,且a11,an0，則下列結(jié)論正確的是（）2aAB4BC，設(shè)平面ABE與平面CDE的交線為l.（1）證明：l//平面ABCD；（2）當(dāng)l與半圓弧AB相切時(shí)，求平面ADE與平面CDE的夾角的余弦值.20.已知函數(shù)fxaxlnx．（1）求函數(shù)fx的極值；（2）證明：當(dāng)0a1時(shí)，x0,，使得fx3aa2ln2．21.已知橢圓E:

x2a2

y2b2

1ab0離心率為

22

，焦距為22.（1）求E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)T1,0分別作斜率和為1的兩條直線l1與l2，設(shè)l1交E于A、B兩點(diǎn)，l2交E于C、D兩點(diǎn)，AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N.求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).22.設(shè)拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線外一點(diǎn)，直線PA，PB與拋物線C切于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，直線AB與DE交于點(diǎn)Q.（1）若AB過(guò)焦點(diǎn)F，且FAFB4，求直線AB的傾斜角；（2）求

PQPD

PQPE

的值.第4頁(yè)/共4頁(yè)龍巖一中2024屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合

Ax2x20

，

Bxylnx，則

AB（

）A.

0,1

B.

0,2

C.

0,1

D.

0,2【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合A，求函數(shù)的定義域求得集合B，由此求得AB.由ylnx得x0，所以B0,，所以AB0,2.故選：D2.已知復(fù)數(shù)z

12i

，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先用復(fù)數(shù)的除法公式對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再求出共軛復(fù)數(shù)，得到共軛復(fù)數(shù)所在象限.【詳解】因?yàn)閦

12i

2i2i2i

2i5

25

1555則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象.限故選：D.3.已知

cos2

π4

24，則sin2（

）A.

1516

B.

1516

C.

34

D.

34【答案】A【解析】第1頁(yè)/共20頁(yè)x【詳解】由x2x2x2x10，解得1x【詳解】由x2x2x2x10，解得1x2，所以A1,2.i，所以z21isin【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知等式，從而求得sin2.【詳解】因?yàn)?/p>

cos2

π

cos2sin22sincos2

2cossin

24，即cossin15解得sin216

.

14

，兩邊平方可得cos22sincossin21sin2

116

，故選：A4.已知等差數(shù)列anA.10

的前n項(xiàng)和為SB.11

n

，若aa0，aa0，則S取最大值時(shí)n的值為（10111012nC.12D.13

）【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出a100,a110即可求解.【詳解】等差數(shù)列an，a10a122a110，a110，aa0，a0，則S取最大值時(shí)，n10.101110n故選：A.5.已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC表面積等于

2，則球OA.4

B.3

C.2

D.

【答案】A【解析】【詳解】球心O為ＳＣ的中點(diǎn)，所以球Ｏ的半徑為

12

SC1，所以S4,故選A.球6.已知n為平面

的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)n”是“l(fā)//”的（

）A.充分不必要條件C.充要條件

B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】第2頁(yè)/共20頁(yè)sin4sin4將“l(fā)n”與“l(fā)//”相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷充分、必要條件.【詳解】當(dāng)“l(fā)n”時(shí)，由于l可能在平面內(nèi)，所以無(wú)法推出“l(fā)//”.當(dāng)“l(fā)//”時(shí)，“l(fā)n”.綜上所述，“l(fā)n”是“l(fā)//”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查線面平行和法向量，屬于基礎(chǔ)題.

7.已知拋物線C：y24x（y0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為拋物線上一點(diǎn)，

AF5，若2FBBA，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是（

）A.

43

B.

83

C.

163

D.

323【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由拋物線的焦半徑公式可得

A的坐標(biāo)，再由2FBBA，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】p因?yàn)锳F5，由拋物線的焦半徑公式可得AFx，即x4，且y0AA所以A4,4，設(shè)Bx0,y0，則FBx01,y0,FA4x0,4y0，故選：A

00

0

x20

43

.8.如圖，已知雙曲線C:

x2a2

y2b2

1(a,b0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C分別在第一?二象限交于A,B兩點(diǎn)，△ABF2內(nèi)切圓半徑為r，若BF1ra，則C的離心率為（第3頁(yè)/共20頁(yè)

）22x14x又2FBBA，則0，解得22x14x又2FBBA，則0，解得4，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2y4yy03A.

102

B.

253

C.

304

D.

855【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長(zhǎng)定理與余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)ABx，內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓在BF2,AF2,AB上的切點(diǎn)分別為U,V,W，則BUBW,AVAW,F2UF2V，由BF1a及雙曲線的定義可知，BF3a,AFxa,FUFV2222故四邊形IUF2V是正方形，

12

BFAFABar，22得AF2BF2，于是BF2

2

AF2

2

|AB|2，故x29a2(xa)2，所以x5a，于是

3

12212由余弦定理可得FF2BF2BF22BFBFcosFBF12121212

685

a2，從而4c2

685

a2，所以e

ca

855

.第4頁(yè)/共20頁(yè)cosFBFcosπABF，在FBF中，5cosFBFcosπABF，在FBF中，5故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知a0,b0，直線l:x(a2)y10,l:bxy20，且ll，則（1212

）A.0ab1

B.

ab2

C.a2b22

D.

ba

2b

3【答案】ABD【解析】【分析】利用l1l2，找到ab2，結(jié)合基本不等式及不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】l1l2,1b(a2)10,ab2，且a0,b0，所以

ab22(ab)2ab2ab2(ab)4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，ab2，故B正確；a2b2a2(2a)22a24a42(a1)222，故C錯(cuò)誤；ba

2b

ba

abb

ba

ab

12

baab

13，當(dāng)且僅當(dāng)

ba

ab

，即ab1時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：ABD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)，G分別為棱AD，AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P1111為線段D1F上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A.兩條異面直線DC和BC所成的角為4511B.存在點(diǎn)P，使得CG//平面BEP1C.對(duì)任意點(diǎn)P，平面FCC平面BEP1第5頁(yè)/共20頁(yè)0ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故A正確；0ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，故A正確；D.點(diǎn)B到直線DF的距離為411【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的判定定理可得BE平面FCC1，然后根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷C，利用余弦定理結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知BC1//AD1，兩條異面直線D1C和BC1所成的角即為ADC60，所以A錯(cuò)誤；1對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D1重合時(shí)，由題可知EG//DC,EGDC,D1C1//DC,D1C1DC，所以EG//D1C1,EGD1C1，四邊形EGC1D1為平行四邊形，故C1G//D1E，又C1G平面BEP，D1E平面BEP，則C1G//平面BEP，所以B正確；對(duì)于C，連結(jié)CF，由于CC1平面ABCD，BE平面ABCD，故CC1EB，第6頁(yè)/共20頁(yè)又AEBF,ABCB,ACBF，故△BAE△CBF，故AEBCFB，即EBACFB90，故CFBE，又CF,CC1相交，CF,CC1平面FCC1，故BE平面FCC1，又BE平面BEP，故對(duì)任意點(diǎn)P，平面FCC1平面BEP，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得BD42,FD

2242426，BF224225，1

1

1

111

BD2FD2BF211111

62422252642

22

，所以B1D1F45，所以點(diǎn)B1到直線D1F的距離dB1D1sinB1D1F42

22

4，所以D正確．故選：BCD．11.電子通訊和互聯(lián)網(wǎng)中，信號(hào)的傳輸?處理和傅里葉變換有關(guān).傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和或余弦函數(shù)）的線性組合.例如函數(shù)fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13的圖象就可以近似地模擬某種信號(hào)的波形，則（A.fx為周期函數(shù)，且最小正周期為B.fx為奇函數(shù)

）C.yfx的圖象關(guān)于直線x

2

對(duì)稱(chēng)D.fx的導(dǎo)函數(shù)fx的最大值為7【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.第7頁(yè)/共20頁(yè)所以cosBDF112BDFD所以cosBDF112BDFD【詳解】fx

sinx1

sin3x3

sin5x5

sin13x13

.對(duì)于A，fx

sin

x1

sin3xsin5x35

sin13x13

fx，不是fx的周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f

x的定義域?yàn)镽,fxsinxsin3xsin5xsin13xfx，13513\f(x)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，fxfx，且fx為奇函數(shù)，fxfx,fx的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱(chēng)，故C正確；2對(duì)于D，fxcosxcos3xcos5xcos13x，當(dāng)x2kkZ時(shí)，cosnx1(n1,3，5,,13),fx取最大值7，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)fx1xex1，數(shù)列an

滿足函數(shù)fx的圖像在點(diǎn)a,fa處的切線與x軸交于nnA.aean1ean1n

B.0a1nC.a2022

a2023

D.aaaa1123n

12n【答案】ABD【解析】nn斷

B，C；1

12n

12

122

123

12n

，證明

aaaa1123n

12n

，證明an2

an2

n

an2

11

2x在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減，判斷D．【詳解】fx1xex1，fan1anean1，第8頁(yè)/共20頁(yè)點(diǎn)ean1an1,0,且a11,an0，則下列結(jié)論正確的是（）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)fx的點(diǎn)ean1an1,0,且a11,an0，則下列結(jié)論正確的是（）【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)fx的圖像在點(diǎn)an,fan處的切線方程，令y0，判斷A；推導(dǎo)出aean110，證明ean1ean，推導(dǎo)出fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，從而數(shù)列a單調(diào)遞減，判eeaa2lne，令xe，n2gxlnxx(1xe)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出gxn切線方程為yaneanxan1anean1，令y0，解得xa1n

ean1a

，∴

ean1

ean1a

，∴aean1ean1，故選項(xiàng)A正確；nn

n設(shè)xexx1，則xex1，x0時(shí)x0，x0時(shí)x0，x在,0上單調(diào)遞減，在0,上單調(diào)遞增，xmin所以xexx10，即exx1，

00，當(dāng)an0時(shí)，有ean110，即an

1

0，由a1,a0，∴a0，1nn下證數(shù)列a單調(diào)遞減，即證n

ean1

ean，即證

ean1a

ean，即證ean1aean，nn即證1anean10，即證fan0，∵fxxex，當(dāng)x0時(shí)fx0，∴fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，∵an0，∴fanf00，∴an1an，∴數(shù)列an單調(diào)遞減，∴0ana11，且a2022a2023，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵1

12n

12

122

123

12n

，要證

aaaa1123n

12n

，可證an

12n

，由a1，只需證a1

n1

1a，2naaaaannnn令xe

an2

，∵0a1，∴1xn

11

2x令gxlnx

12

1x則gx

x22x12x2

x122x2

∴gxg10，有l(wèi)nx

12

1x

第9頁(yè)/共20頁(yè)∵fxxex，∴函數(shù)fx的圖像在點(diǎn)an,fan處的切線斜率kaean，則有an∵fxxex，∴函數(shù)fx的圖像在點(diǎn)an,fan處的切線斜率kaean，則有anean1ean1an11an，即anean110，即證aean1ae2n，即證ean1ae2n，即證e2ne2na2lne2n，e，則即證lnxx(1xe)，x(1xe)，0，∴gx在區(qū)間1,e上單調(diào)遞減，x(1xe)，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.三、填空題：本題共4小題．13.已知a4,2，b1,1，則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】3,3【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解.【詳解】因?yàn)閍4,2，b1,1，所以a向量在b方向的投影向量為bb故答案為：3,3

b

4222

1,13,3.14.已知函數(shù)fxx3x有2個(gè)極值點(diǎn)x，x，則xxfxfx12121

2

______．【答案】0【解析】【分析】由fx3x210得x1x20，然后根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fxx3x有兩個(gè)極值點(diǎn)x與x1

2由fx3x210，則3x210的兩根為x與x，12所以x1x20，即x2x1，由fxx3x，可得fxx3xx3xfx，所以x1x2fx1fx2fx1fx10.故答案為：0.15.已知定義在R上的函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞增，且函數(shù)fx1為奇函數(shù)，則f3x4f1x2的解集為_(kāi)__________.第10頁(yè)/共20頁(yè)abab【答案】

52【解析】【分析】先判斷出fx在,單調(diào)遞增，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】函數(shù)fx1為奇函數(shù)，函數(shù)fx關(guān)于0,1中心對(duì)稱(chēng).則f1xf1x2又fx在0,上單調(diào)遞增，\f(x)在,單調(diào)遞增，從而f3x4f1x2可化為：f(3x4)2f1xfx1，53x4x1，2x5,x,原不等式的解集為2

525216.黃金比又稱(chēng)黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比．其中，較大部分與整體之比的比值稱(chēng)為黃金分割數(shù)，黃金分割數(shù)被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字．若數(shù)列an是以黃金分割數(shù)為公比的等比數(shù)列，且a2024a20252023，則a2023

_________．【答案】2023【解析】【分析】先根據(jù)題意列方程求出黃金分割數(shù)，則可得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和黃金分割數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，設(shè)整體為1，較大部分為x，則較小部分為1x，則

x1x

1x

，即x2x10，解得x

512

（x

512

舍去），故黃金分割數(shù)為

512

．令q

512

所以an2an1an0，故a2023a2024a20252023．故答案為：2023第11頁(yè)/共20頁(yè)x∣xx∣x.故答案為：xx∣xx∣x.故答案為：x∣x.，則q2q10，即anq2q10，四、解答題：本大題共6小題，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．17.在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且ccosA3csinAab.（1）求角C；（2）若ABC的中線CD長(zhǎng)為23，求ABC面積的最大值.【答案】（1）C

π3（2）43【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；（2）利用平面向量知CD

12

CACB，利用數(shù)量積與模關(guān)系及基本不等式可得

ab16，再根據(jù)面積公式求最值即可.【小問(wèn)1詳解】在ABC中，由正弦定理得：sinCcosA3sinCsinAsinAsinB，而B(niǎo)πACsinBsinAC，所以sinCcosA3sinCsinAsinAsinAC，化簡(jiǎn)得3sinCsinAsinAsinAcosC，因?yàn)锳0,π，所以sinA0，3sinC1cosC，即

π6

12

，又因?yàn)?/p>

ππ5π666

，所以C

π6

π6

，即C

π3

.【小問(wèn)2詳解】1CACB，2所以|CD|2CA|2CB|22CACB，4即

12

14

a2b2ab，所以48a2b2ab3ab，所以ab16，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，第12頁(yè)/共20頁(yè)3sinCcosC1，所以sinCC,由CD是ABC的中線，CD3sinCcosC1，所以sinCC,由CD是ABC的中線，CD1所以三角形面積S

12

absinC

34

ab43，即ABC的面積的最大值為43.18.已知S為等比數(shù)列ann

的前n項(xiàng)和，若4a

2

，2a，a成等差數(shù)列，且S8a2.3442（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若bn

an

an

n1

2

，且數(shù)列b的前n項(xiàng)和為T(mén)nn

1，證明：12

Tn

14

.【答案】1）a2n,nNn（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項(xiàng)；最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出bn，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列an的公比為q，由4a2，2a3，a4成等差數(shù)列可得4a2a44a3，故4q24q，解得q=2，由S48a22可得

a124112

16a2，1解得a12，故an2n，即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n2n,nN.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得bn

an

an

n1

2

2n1

12n12，故Tn

14

1111166101018

12n2

12n12

14

12n12

.當(dāng)n1時(shí)，

2

1n12

1取得最大值，當(dāng)6

n時(shí)，

2

1n12

00

12n12

1，6故

112

Tn

14

.第13頁(yè)/共20頁(yè)2a（（Tn.a2a2n22n122n22a（（Tn.a2a2n22n122n219.如圖，平面ABCD平面ABE，點(diǎn)E為半圓弧AB上異于A，B的點(diǎn)，在矩形ABCD中，AB4BC，設(shè)平面ABE與平面CDE的交線為l.（1）證明：l//平面ABCD；（2）當(dāng)l與半圓弧AB相切時(shí)，求平面ADE與平面CDE的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

1010【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理得l∥CD，再由線面平行的判定定理可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求兩個(gè)平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∵AB平面ABE，CD平面ABE，∴CD∥平面ABE又CD平面CDE，平面ABE平面CDEl，∴l(xiāng)∥CD，∵CD平面ABCD，l不在平面ABCD內(nèi)，∴l(xiāng)//平面ABCD.【小問(wèn)2詳解】取AB，CD的中點(diǎn)分別為O，F(xiàn)，連接OE，OF，則OFAB，∵平面ABCD平面ABE，且交線為AB，OF平面ABCD，∴OF平面ABE，又OE平面ABE，OFOE，當(dāng)l與半圓弧AB相切時(shí)，OEl，即OEAB，以O(shè)E，OB，OF所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC1，易得A0,2,0，C0,2,1，D0,2,1，E2,0,0，則DE2,2,1，AD0,0,1，DC0,4,0，設(shè)mx1,y1,z1為平面DAE的一個(gè)法向量，第14頁(yè)/共20頁(yè)z0z011DEm02x12y1z10x1y1設(shè)nx,y,z為平面DCE的一個(gè)法向量，則，222∴

4y022x22y2z20mnmn

y0，所以22x2z2110，所以兩平面的夾角的余弦值為2510

1010

.20.已知函數(shù)fxaxlnx．（1）求函數(shù)fx的極值；（2）證明：當(dāng)0a1時(shí)，x0,，使得fx3aa2ln2．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系證明不等式能成立問(wèn)題【小問(wèn)1詳解】易知x0，fxa

1x

ax1x

,當(dāng)a0時(shí)，fx0，函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞減；當(dāng)

1a

第15頁(yè)/共20頁(yè)ADm0，令x11，則m1,1,0ADm0，令x11，則m1,1,0則，即，∴DCn0DEn0即cosm,n，令x21，則n1,0,2.a0時(shí)，x0,時(shí)，fx0，fx單調(diào)遞減，1a綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx在0,上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時(shí)，

11aa【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)0a1時(shí)，fx在x

1a

處取得最小值1lna，若x0,，使得fx3aa2ln2，只需a23a1lnaln20，令g

aa23a1lnaln2，由ga2a312a1a1，aa

12當(dāng)

12故當(dāng)a

12

時(shí)，gamax

12

14

311lnln222

14

0，所以，x0,，使得fx3aa2ln2．21.已知橢圓E:

x2a2

y2b2

1ab0離心率為

22

，焦距為22.（1）求E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)T1,0分別作斜率和為1的兩條直線l1與l2，設(shè)l1交E于A、B兩點(diǎn)，l2交E于C、D兩點(diǎn)，AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N.求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）

x24

y22

1（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b、c的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓E的方程；（2）設(shè)直線AB的方程為yk1x1，直線CD的方程為yk2x1，則k1k21，將直線AB的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出直線MN的第16頁(yè)/共20頁(yè)x,時(shí)，f￠(x)>0，fx單調(diào)遞增，fx在0,x,時(shí)，f￠(x)>0，fx單調(diào)遞增，fx在0,上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增；可得，當(dāng)a0,時(shí)，ga0，ga單調(diào)遞增，a,1時(shí)，ga0，ga單調(diào)遞減，g方程，并化簡(jiǎn)直線MN的方程，即可得出直線MN所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】a2b2c2解：由已知條件可得2c22c2a2

a2，解得：bc2

.所以，橢圓E的方程為

x24

y22

1.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線AB的方程為yk1x1，直線CD的方程為yk2x1，則k1k21.ykx11聯(lián)立x2y2

2k21x24k2x2k240，111因?yàn)辄c(diǎn)T1,0在橢圓E內(nèi)，則直線l1、l2與橢圓E均相交，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，所以，xx12

4k212k211

，則121112112

2k11所以，線段

2k2k11

1,1同理可得，線段CD的中點(diǎn)為

2k2k22

2,2所以直線MN斜率為第17頁(yè)/共20頁(yè)e142yykx1kx1e142yykx1kx1kxx22k21，AB的中點(diǎn)為M.2k212k21N2k212k21k

kk212k212k21212k22k2212k212k2121

2kk2k2k2kk1211222k212k21124k2k22k24k2k22k21221212k212k2112

2kk1kk12212121

1kk.12所以直線MN方程為：1ykkx122

2k2k111

11

k2k21112k212k21122111

111222k211

1

1212由

x101xy0

可得

x1

12【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)

x,y，常利用直線的點(diǎn)斜式方程00

yykxx或截距式y(tǒng)kxb來(lái)證明.0022.設(shè)拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，P是拋物線外一點(diǎn)，直線PA，PB與拋物線C切于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，直線AB與DE交于點(diǎn)Q.（1）若AB過(guò)焦點(diǎn)F，且FAFB4，求直線AB的傾斜角；（2）求

PQPD

PQPE

的值.【答案】（1）

π6

或

5π6（2）2【解析】【分析】（1）設(shè)AB直線的方程，再和拋物線聯(lián)立，運(yùn)用拋物線的定義及韋達(dá)定理可求出直線AB的傾斜角；（2）設(shè)過(guò)A點(diǎn)且與拋物線C相切的直線方程為yy1kxx1，與拋物線聯(lián)立由Δ0求出直線PA的第