安徽省霍邱縣二中2023-2024學(xué)年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

安徽省霍邱縣二中2023-2024學(xué)年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，正三棱柱ABC-4與￡各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為A4的中點(diǎn)，分別是線段8片和線段CG的動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)），且滿足6M=GN,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不正確的是

A.在ADMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DAW平面5CC4

C.三棱錐A-的體積為定值

D.ADACV可能為直角三角形

2.設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和,若2(q++%)+3a+%2)=66,則S]4=

A.56B.66

C.77D.78

3.若等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,且S13=O,。3+。4=21,則$7的值為()

A.21B.63C.13D.84

4?甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面，已知這三人都不會(huì)違約且無兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概

率是（）

1111

A.-B.—C.—D.一

3456

5.將函數(shù)y=sin（3x+0的圖象沿x軸向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)/（九）的圖象，則“°=白是"/（%）是

96

偶函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知正方體A3CD—AgGR的棱長(zhǎng)為2,E,F,G分別是棱AQ,CQ,的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題:

②直線FG與直線4。所成角為60。；

③過E,F,G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形；

④三棱錐3-跳’G的體積為g.

其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其V-f曲線如圖所示，則該物體在工S~6s間的運(yùn)動(dòng)路程為（）m.

8.復(fù)數(shù)z滿足=貝！JZ=()

A.1-iB.1+zC.---zD.—+—z

2222

9.已知全集。=R,函數(shù)y=ln(l—X)的定義域?yàn)?，集合N={Rx2—%<()),則下列結(jié)論正確的是

A.MN=NB.M[(沏N)=0

C.MN=UD.

10.在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,4c,已知46cos3sinC=，則3=()

/ABAC、

11.。是平面上的一定點(diǎn)，A民C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足OP=OA+X（小----+

AB-cosBAC?cosC

＞16（0,00）,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過AABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

12.已知函數(shù)/'（%）=叱，8（"=%-,.若存在%?0,+8）,%2eR使得/（石）=8（/）=左（左＜°）成立，則

X

/、2

三屋的最大值為（）

2

A.eB.e

41

C.—rD.

ee

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知sina-cosa=0,則cos（2a+g=.

14.（5分）國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開展2019年

全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高

二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差

是.

15.已知函數(shù)/（%）=（——依）（力—Inx）,若在定義域內(nèi)恒有，a）＜o(jì),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

Inx-at

16.某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，

那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了80個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)

所測(cè)量的零件尺寸（單位：mm）,得到如下的頻率分布直方圖：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這80個(gè)零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；

（2）若從這80個(gè)零件中尺寸位于［62.5,64.5）之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)X表示尺寸在［64.5,65］上的零件個(gè)數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX；

（3）已知尺寸在［63.0,64.5）上的零件為一等品，否則為二等品，將這80個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)

線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售，每箱100個(gè).企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，已

知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為99元.若檢驗(yàn)，則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品；若不檢驗(yàn)，如果有二等品進(jìn)入買家手中，

企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付500元的賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了H個(gè)，結(jié)果有1個(gè)二等品，以整箱檢驗(yàn)

費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由.

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=靖-ox+g/,其中a>-l.

（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（II）設(shè)/z（x）=/（X）+辦一；》2一［nx,求證：h（x）>2；

（ID）若匕對(duì)于工6區(qū)恒成立，求人―q的最大值.

19.（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)

行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）

平均每天鍛煉

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的時(shí)間/分鐘

總?cè)藬?shù)203644504010

將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在［40,60）的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表:

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男

女20110

合計(jì)

并通過計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?

(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流.

(i)求這10人中，男生、女生各有多少人?

(ii)從參加體會(huì)交流的10人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

殳小八402n(ad-bc)2

參考公式：K=-------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

網(wǎng)片2k0)0.100.050.0250.010

0k。2.7063.8415.0246.635

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線丁=區(qū)+1優(yōu)/0)與拋物線C：9=407(。＞0)交于a,B兩點(diǎn),且

當(dāng)左=1時(shí)，|AB|=8.

(1)求。的值；

(2)設(shè)線段A5的中點(diǎn)為拋物線C在點(diǎn)A處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N,證明：MN//y螭.

21.(12分)如圖，在四棱錐尸-A3CD中，側(cè)面R4D為等邊三角形，且垂直于底面ABC。，

AB=3C=1,NBAD=ZABC=90,ZADC=45，分別是AD,PD的中點(diǎn).

(1)證明：平面CAW//平面R43；

2

(2)已知點(diǎn)E在棱PC上且CE=§CP,求直線NE與平面R43所成角的余弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=x/nx—獷―x,ae&”2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若q=-e,討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(九)有兩個(gè)極值點(diǎn)占,3，求。的取值范圍，并證明:看々>/+%.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A的體積與三棱錐N-4。/體積相等，三棱錐N-ADM的底面積是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確；

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面DMN±平面BCC&],故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AiDM的面積不變,N到平面AjDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若△DMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BCi,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

2、C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2(4+%+%)+3(a+4:)=6%+6。|0=66,即生+=11,

所以'=I,?；%)=八%+/)=77,故選C.

3、B

【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求d,%,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)镾]3=0,。3+。4=21,

13a+13x6d=0

所以C一力，解可得，d=—3,q=18,

2al+5d=21

貝!IS=7xl8+1x7x6x(-3)=63.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事

件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是。=5.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

求出函數(shù)y=/(x)的解析式，由函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)得出9的表達(dá)式，然后利用充分條件和必要條件的定義判斷

即可.

【詳解】

將函數(shù)y=sin(3x+。)的圖象沿x軸向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為

/(x)=sin+°=sin(3x+g+0),

若函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，則￡+夕=左乃+￡(左eZ),解得夕=而+￡/eZ),

326

7T

當(dāng)上=0時(shí)，(p=一?

6

因此，“°=巴”是“y=f(x)是偶函數(shù)”的充分不必要條件.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，

考查運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中等題.

6、C

【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.

【詳解】

如圖；

連接相關(guān)點(diǎn)的線段，。為的中點(diǎn)，連接ER9,因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，可知耳C，O尸，E。，耳C，可知5。，平面ER9,

即可證明耳C_L砂，所以①正確;

直線FG與直線4。所成角就是直線與直線A.D所成角為60°；正確;

過E,尸，G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖:

是五邊形EHFGI.所以③不正確;

如圖:

AB

三棱錐3-跳’G的體積為:

由條件易知尸是GM中點(diǎn),

所以吃-EFG=VB-EFM

-cc_2+3Xc1XcliX勺i_5

而SBEM~S梯^AABE^2--2X1-—3X1--,

|x《.所以三棱錐5*G的體積為I，④正瑜

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中

檔題.

7、C

【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示v?),該物體在一s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分S=J1丫?)由表示，計(jì)算即得解

22

【詳解】

由題中圖像可得，

2?,0<7<1

v(0=<2,l<t<3

—1+1…,3<?6,

由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得

廣6i?1:3

=J1v(/)df=J12tdt+J]2df+

-r+z

149

所以物體在一s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程是一m.

24

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

8、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】

1一二(J)71n反

'l+i1+i(l+z)(l-z)222

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后，再判斷.

【詳解】

由題意M={x|x<l},?/={x|O<x<l},：.MN=N.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域,

還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定.

【解析】

根據(jù)正弦定理得到4sinBcos3sinC=bsinC，化簡(jiǎn)得到答案.

【詳解】

由4Z?cosBsinC=得4sin3cos3sinC=^3sinC，

.?.sin23=#,.，鼻三或三，.Mq或

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11、B

【解析】

解出AP，計(jì)算APBC并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.

【詳解】

AP=OP-OA=^(

AB\-cosBAC\'cosC

AB.BCAC.BC

:.AP.BC=22(-|BC|+|BC|)=

AB\'cosBAC\'CosC

*e?APLBC^即點(diǎn)P在5C邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△A5C的垂心.

故選5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算AP,是關(guān)鍵.

12、C

【解析】

由題意可知，g(x)=/(e*),由/(%)=g(x2)=左(左<0)可得出0<%<1,%2<0,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出西=*,由此可得出

衛(wèi)=^=g(%)=3可得出上ek=k2ek,構(gòu)造函數(shù)萬優(yōu))=421，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=〃(。在左?口,0)

/e‘

上的最大值即可得解.

【詳解】

小)=竽ga)=>￥"㈤，

由于/(石)==左貝!JlnXi<0=>0<%<1,同理可知，x2<0,

X1

函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+8)，_f(x)=E^>0對(duì)Vxe(O,l)恒成立，所以，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,1)上

X

單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(-<應(yīng)0)上單調(diào)遞增，

(%)=g(x2)=/(e*),則%=涉，.,.三=W=g(%)=左，則上ek=k-ek,

西e(X"

構(gòu)造函數(shù)/曲)=/1,其中k<0,則〃(左)=(左2+2左)/=左(左+2)/.

當(dāng)左<—2時(shí)，〃(左)>0,此時(shí)函數(shù)y=〃(Z)單調(diào)遞增；當(dāng)—2〈左<0時(shí)，〃(左)<0,此時(shí)函數(shù)y=〃(Z)單調(diào)遞減.

4

所以，/?L=M-2)=/.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

首先利用sina-cosa=0,將其兩邊同時(shí)平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到1-sin2a=0,從而求

7T

得sin2<z=l,利用誘導(dǎo)公式求得cos(2a+])=—sin2a=—1,得到結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閟ina-cosa=0,所以l-sin2a=0,即sin2c=l,

所以cos(2tz+—)=-sin2tz=-l,

故答案是-1.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單

題目.

14、2

【解析】

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)篷*+20+g+18+19=]8,貝！)方差

52=-x[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

15、-

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ev與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx圖象可將原題轉(zhuǎn)化為-ax)(inx-ax)<0恒成立問題，湊而可知V=改

的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點(diǎn)的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零

的條件可最終確定。的取值范圍.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)y=/與對(duì)數(shù)函數(shù)y=Inx圖象可知：/>inx,

.../(x)<0恒成立可轉(zhuǎn)化為…<0恒成立,即—ia)(lnx—ax)<0恒成立，二d>公>In無，即丁=辦是

Inx-ax

夾在函數(shù)y=e'與y=Inx的圖象之間，

■-y=ax的圖象在過原點(diǎn)且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.

設(shè)過原點(diǎn)且與y=InX相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)(777,Inm),

[m=e

IIn相

則切線斜率左=—=——，解得：,1;

mmk[=一

設(shè)過原點(diǎn)且與y=e'相切的直線與函數(shù)相切于點(diǎn)(n,e"),

,fn=1

則切線斜率左2=e〃=解得：7；

TIk?=e

當(dāng)］二—時(shí)，In九—%《0,又Inx—依wO,...〃=—滿足題意；

eee

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查恒成立問題的求解，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點(diǎn)的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)

函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略分母不為零的限制，忽略對(duì)于臨界值能否取得

的討論.

16、20

【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有600人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為”,仇c,則2〃=a+c且a+b+c=1800,

解得：6=600,

用分層抽樣的方法抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為60x黑=20人.

1800

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】

本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)63.47；(2)分布列見詳解，期望為3；(3)余下所有零件不用檢驗(yàn)，理由見詳解.

7

【解析】

⑴計(jì)算［62Q63.0),［63.0,63.5)的頻率，并且與0.5進(jìn)行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率的計(jì)算方法,

可得結(jié)果.

(2)計(jì)算位于［62.5,64.5)之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)的總數(shù)，寫出X所有可能取值，并計(jì)算相對(duì)應(yīng)的概率，列出分

布列，計(jì)算期望，可得結(jié)果.

(3)計(jì)算整箱的費(fèi)用，根據(jù)余下零件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，可得余下零件個(gè)數(shù)的期望值，然后計(jì)算整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償

費(fèi)用之和的期望值，進(jìn)行比較，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)尺寸在［62.0,63.0)的頻率:

0.5x(0.075+0.225)=0.15

尺寸在［63.0,63.5）的頻率：0.5x0.750=0.375

且0.15<0.5<0.15+0.375

所以可知尺寸的中位數(shù)落在［63.0,63.5）

假設(shè)尺寸中位數(shù)為x

所以0.15+（X-63.0）x0.750=0.5=>xu63.47

所以這80個(gè)零件尺寸的中位數(shù)63.47

（2）尺寸在［62.0,62.5）的個(gè)數(shù)為80x0.075x0.5=3

尺寸在［64.5,65.0］的個(gè)數(shù)為80x0.100x0.5=4

X的所有可能取值為1,2,3,4

則P（X=1）=等P（X=2）=詈=||

4

P（X=3）=當(dāng)上io，P（X=4）=VC」1

1/C；3517C435

所以X的分布列為

X1234

418121

P

35353535

“，4c18c12,116

EX=1x----i-2x----i-3x---i-4x——=——

353535357

（3）二等品的概率為0.5x（0.075+0.225+0.100）=0.2

如果對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn)則整箱的檢驗(yàn)費(fèi)用為

”100x99=9900（元）

余下二等品的個(gè)數(shù)期望值為89x0.2=17.8

如果不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn)，

整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值為

=11x99+500x17.8=9989(元)

所以《〉2,所以可以不對(duì)余下的零件進(jìn)行檢驗(yàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計(jì)算方法，中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊

的頻率各為0.5,考驗(yàn)分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬中檔題.

18、(I)函數(shù)/Xx)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0);(II)證明見解析；(III)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求導(dǎo)可得('(尤)="+1>0,所以/Xx)在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),

單調(diào)減區(qū)間為(-8,0)；(11)利用導(dǎo)數(shù)可得(p(x)=〃(尤)=L在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)h(x)在(O,xo)

X

遞減，在(%,+8)遞增，貝!]〃(0.方(％)=*-血龍0=1一/”無0,進(jìn)而可證；(HI)條件等價(jià)于依-X..A對(duì)于xeR恒

%0

成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)="-ox-x,利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)的單調(diào)性，即可得到g(x)的最小值為

g(ln(a+I))=a+l-(a+l)Zn(a+1),再次構(gòu)造函數(shù)9(a)=1-(a+W(a+1),a>-l,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而

求得最大值.

【詳解】

1

(I)當(dāng)a=l時(shí)，f(%)=—X+—9)

貝！If，(尤)=/-l+x,所以尸(0)=0,

又因?yàn)閺V(x)=e、+1>0,所以/'(X)在R上為增函數(shù)，

因?yàn)?'(。)=0,所以當(dāng)天>0時(shí)，/'。)>0,〃尤)為增函數(shù)，

當(dāng)為<0時(shí),m<o,力力為減函數(shù)，

即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0)；

1,1,

(II)h(x)=ex—ax+—x1尤—lnx=e*—lnx,

貝!|令9(x)=〃(無)=貝!|9(1)=e-l>0,<p(—)-2<0,

x2

所以9(x)在區(qū)間(0,+8)上存在唯一零點(diǎn)，

1.1

設(shè)零點(diǎn)為％,則/6(不1),且6。=一，

當(dāng)XW(O,Xo)時(shí)，h'(x)<0,當(dāng)xwQo，+oo),h'(x)>0,

所以函數(shù)%(X)在(0,%)遞減，在(%,+8)遞增，

h(x)..M%o)=e"—/叫-/叫,

，/

自11

由e、°=一，得lnXo=-Xo，所以〃(尤0)=%+—..2,

xox?

由于/eg」)，〃(％)>2,從而皿?>2；

(III)因?yàn)?(x)..gx?+x+6對(duì)于xeR恒成立，即/-依-元..6對(duì)于xeR恒成立，

不妨令g(x)=ex-ax-x,

因?yàn)間'(x)="-m+l)，a>-l,

所以g'(x)=0的解為x=ln{a+1),

則當(dāng)x>/”(a+l)時(shí),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),

當(dāng)無(山m+1)時(shí)，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，

所以g(x)的最小值為g(Ma+1))=。+1-(a+l)ln(a+1),

貝！)b-④1-(a+I)ln(a+1),

不妨令。(a)=l-(a+l)ln(a+1),a>—l,

貝!I0，(a)=-ln(a-\-l)-l=0,解得〃=—]+l,

e

所以當(dāng)。<-1+工時(shí)，(P'(a)>0,(P(a)為增函數(shù)，

e

當(dāng)。>一1+工時(shí)，(P'(a)<0,(P(a)為減函數(shù)，

e

所以9(a)的最大值為0(-1+2)=1+L

ee

則人—a的最大值為1+』.

e

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)

運(yùn)算能力，屬于較難題.

4

19、(1)能；(2)⑴男生有6人，女生有4人；(ii)E(X)=1，分布列見解析.

【解析】

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表.由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這

樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算K?可得結(jié)論;

(2)由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為3：2可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，X的可能值為0,1,2,分別

計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望.

【詳解】

(1)列出列聯(lián)表，

鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計(jì)

男603090

女9020110

合計(jì)15050200

個(gè)_200x(60x20-30x90)2

6.061〉5.024,

'-150x50x90x11033

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).

(2)(i)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生50中，男女生人數(shù)比為3:2,

用分層抽樣方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)從參加體會(huì)交流的10人中，隨機(jī)選出2人發(fā)言，2人中女生的人數(shù)為X,

則X的可能值為0,1,2,

「2101只「27

則P(X=0)=-1~=—,P(X=1)=^^=—,P(X=2)=m=—,

/3/15Gj15

可得X的分布列為:

X012

P182

31515

1o24

可得數(shù)學(xué)期望E(X)=0x—+lx—+2x—=—.

315155

【點(diǎn)睛】

本題考查列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣，隨機(jī)變量的概率分布列和期望.主要考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

20、(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)設(shè)4(%,弘)，B(x2,y2),聯(lián)立直線和拋物線方程，得/-4內(nèi)-4p=0,寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求

出P=l；

(2)由得根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義’求出拋物線在點(diǎn)入點(diǎn)處切線方程’進(jìn)而求出即可證

出腦V//y軸.

【詳解】

解：（1）設(shè)，（X,4）,B（x2,y2）,

將直線/代入。中整理得：x2-4px-4p=0,

：.占+%=4p,x,x2=-4p,

*'?|AB|=^2-J（X]+%）~-4八%=0',16P。+16p=8,

解得：P=L

（2）同⑴假設(shè)4（%,yj,B（x2,y2）,

由y=”x：得y'=!x，

42

從而拋物線在點(diǎn)A點(diǎn)處的切線方程為y-；X；=；苞（x-石），

Hn112

即y=~xix~~xi

.13%；—4

令y=-1,得％N=~；—，

2國(guó)

2

由（1）知—4=X]/，從而x=--=-——=x,

N2石2M

這表明MN//y軸.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想

和計(jì)算能力.

21、（1）證明見解析；（2）

2

【解析】

（1）由平面幾何知識(shí)可得出四邊形A3CM是平行四邊形，可得。///43n。0〃面243,再由面面平行的判定

可證得面面平行；

（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面”