1.7置換在對稱變換群中的應用

例3

例4§1.7

置換在對稱變換群中的應用

一、對稱變換群的定義

定義1.7.1

---對稱變換

例1

例2

二、實例一、對稱變換群的定義

定義1.7.1

使圖形不變形地變到與自身重合的

變換稱為這個圖形的對稱變換(symmetrictransfor-一個圖形的一切對稱變換關于變換的乘法

構成群,這個群稱為這個圖形的對稱變換群.

一個圖形的對稱變換群?？梢杂靡粋€置換群來

表示,它能很好地反映圖形的對稱性質(zhì),是研究圖

形的對稱性質(zhì)的有力工具.

mation).二、對稱變換群的實例

例1

求正方形的對稱變換群.

由圖1.7.1不難看出,正方形的對稱變換只有兩種:

(1)分別繞中心點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)、、、的旋轉(zhuǎn);

(2)關于直線、

、

、的鏡面反射.為了用置換來表示正方形的對稱變換,我們用數(shù)字1、2、3、4來代表正方形的四個頂點(如圖1.7.1).

顯然,正方形的每一個對稱變換都導致了這四個頂

點的一個置換.如果對稱變換將頂點變?yōu)轫旤c,

那么我們用置換

來表示這個對稱變換.易知,由正方形的每一個對稱變換,都可惟一地確定一個4階置換,且不同的對稱

變換對應了不同的置換.所以,正方形的每一個對

稱變換,都可用惟一的一個四階置換來表示.

表1.7.1列出了正方形的對稱變換及其相應的置

由表1.7.1可知,兩個對稱變換的乘積對應于相應的置換的乘積.所以正方形的對稱變換群是的一個子群,記作.由表1.7.1可知.

換表示

點擊看表對稱變換

置換表示表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)

表示繞中心旋轉(zhuǎn)（恒等變換）

表示關于的反射

表示關于的反射

表示關于的反射

表示關于的反射

表1.7.1

一般地,正邊形的對稱變換群是的一

個子群,記作,稱為二面體群.易知,正邊形有

個旋轉(zhuǎn)(包括恒等變換)和個反射,所以,二面體

群的階數(shù)是.

例2

求正四面體的對稱變換群.

一個正四面體可以內(nèi)接于一個正方體(見圖1.7

.2).把正四面體的四個頂點標上1、2、3、4四個數(shù)字,則正四面體的每一個對稱變換都可用一個4階置

換來表示.的對稱變換.如鏡面反射就不是正四面體的對稱

因此,正四面體的對稱變換群是的一個子群.共有24個4階置換,但并非每一個置換都表示正四面體

變換.容易看出,繞任一條過正四面體的一個頂點及其對

面中心的軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn),的旋轉(zhuǎn)是正

四面體的對稱變換,這樣的變換有個.另一方面,

繞任一條過正方體的對面中心的軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)也是正四面體的對稱變換,這樣的變換有3個.

再加上恒等變換,共12個對稱變換.所以,正四面

體至少有12個對稱變換,且這些變換都是旋轉(zhuǎn).又

因為鏡面反射不是正四面體的對稱變換,所以

鏡面反射與上述12個旋轉(zhuǎn)的乘積也都不是正四

面體的對稱變換.由此可知,上述12個旋轉(zhuǎn)恰是正

四面體的全部對稱變換.這12個對稱變換用輪換的形

因此,正四面體的對稱變換群就是4次交代群.

設是數(shù)域上的一個元多項式.

如果集合的一個置換保持多項式

不變,則稱這個置換為多項式

的一個對稱變換.易知,多項式

的全體對稱變換關于變換的合成構成

的一個子群,這個群稱為多項式的

對稱變換群.

例3

設是數(shù)域上的一個元多

項式.則多項式的對稱變換群等于

的充分必要條件是是元對稱多項式.

例4

試求多項式的對稱變換群.

解

我們用置換

表示將變到的變換.易知,多項式

的任一置換最多只能將與或與

互換.所以,多項式的對稱變換群

是由與生成的群,即.