3.1 向量與向量的線性組合

3.1向量與向量組的線性組合3.1.1n維向量及其運(yùn)算3.1.2向量組的線性組合返回三維向量：一、n維向量空間的概念向量的分量向量的線性運(yùn)算

+=(a1+b1,a2+b2,a3+

b3),

k?

=(ka1,ka2,ka3).

n維向量空間(Rn):n維向量:(有序數(shù)組)

n

維行向量

的分量n維列向量:實(shí)（復(fù)）向量:分量為實(shí)（復(fù)）數(shù)

確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的仰角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量

維向量的實(shí)際意義向量相等：

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)=ai=bi零向量：

=(0,0,…,0)負(fù)向量：-=(-a1,-a2,…,-an)n維向量的線性運(yùn)算:

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)，

+

=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn),

k?

=(ka1,ka2,…,kan),kR.

在Rn中定義的加法與數(shù)乘滿足：(1)+=+;(2)(+)+

=

+(+);(3)+0

=

;(4)

+(-

)=0;(5)1

=

;(6)k(l

)=(kl)

;(7)k(+)=k+k

;(8)(k+l)

=k+l

.Rn

:n維實(shí)向量的全體，構(gòu)成n維向量空間.向量組：同維數(shù)的向量所組成的集合.向量組與矩陣：例如3.1.2向量組的線性組合向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.向量組的線性組合定義3.5若存在數(shù)

k1,k2,…,km

使得則稱向量

為向量組

1，

2，…，

m的線性組合，或稱

可由

1，

2，…，

m線性表示.

L(

1,

2,…,

m):

1,

2,…,

m線性組合的全體.例1零向量是任一向量組的線性組合.例2向量組

1,

2,…,

m中任一向量都可由這個(gè)向量組線性表示.則，任一n維向量均可由線性表示.稱n維基本單位向量組例3：若例4將

=(1,0,-4)T用

1=(0,1,1)T,

2=(1,0,1)T,

3

=(1,1,0)T

線性表示.方法1：例4將

=(1,0,-4)T用

1=(0,1,1)T,

2=(1,0,1)T,

3

=(1,1,0)T

線性表示.方法2

線性方程組與n維向量的線性運(yùn)算：定理3.1線性方程組線性方程組AX=b有解;其中A=(

1,

2,…,

n)定義3.6(Ⅰ):

1,2,…,r

,

(Ⅱ):

1,2,…,s

,

若組(Ⅰ)中每一個(gè)向量都可由(Ⅱ)中的向量線性表示，則稱組(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示.若組(Ⅰ)與組(Ⅱ)可以互相線性表示，則稱組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價(jià).等價(jià)關(guān)系有性質(zhì)：(1)反身性：每一向量組都與自身等價(jià)；

(2)對(duì)稱性：(Ⅰ)與(Ⅱ)等價(jià)，則