陜西省延安市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

陜西省延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知R為實(shí)數(shù)集，A={x|x2-l<0},B=則A&B)=()

A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x<l}C.{x|-l<x<0}D.{%|一1<0或x=1}

2.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，9=2,則a=()

I

A.2B.73C.夜D.1

3.已知正項(xiàng)數(shù)列{4},也}滿足：7設(shè),〃=片，當(dāng)G+，4最小時(shí)，的值為()

L，+i=冊+bn2

-14「

A.2B.C.3D.4

4.若復(fù)數(shù)z滿足(l+z?=l+2i,則|z|=()

A.巫B.3C.四1

D.

2222

5.函數(shù)/(x)=sin>0)的圖象向右平移三個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間上

1263

單調(diào)遞增，在區(qū)間［工，工］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的值為()

32

735

A.-B.-C.2D.-

424

6.已知點(diǎn)居為雙曲線C:1-匕=1(?！?)的右焦點(diǎn)，直線>=區(qū)與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，若=—,則

a43

的面積為()

AF2B

A.2夜B.26C.4夜D.473

7.設(shè)月，工是雙曲線C：?-3=1（。>0）〉o）的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與作。的一條漸近線的垂

線，垂足為尸.若則C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.3

8.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若。_L/7,mua,nu/3,則m_L〃

B.若口〃/?,mc.a,nuB,則加〃〃

C.若機(jī)_L〃，mua,nu（3,則。，分

D.若加J_a,mlIn,nil/3,則。_L/7

9.設(shè)集合Af={x[l<x<2},N={x|x<a},若McN=M,則。的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-co,l]C.（2,+co）D.[2,+oo）

x>l

10.已知實(shí)數(shù)x,丁滿足x—yWO,則z=x2+>2的最大值等于（）

x+2y-6<0

A.2B.2&C.4D.8

jr

11.函數(shù)f（x）=2sin（2x—可）的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是（）

o

①圖象C關(guān)于直線x=9萬對稱；

12

②圖象C關(guān)于點(diǎn)（-§,0）對稱；

③由j=2sin2x的圖象向右平移三個(gè)單位長度可以得到圖象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

12.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示

為兩個(gè)素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于20的概率是（）

D.以上都不對

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線C：二一［=1(?！?,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,過點(diǎn)耳的直線與雙曲線的左，右兩

a2b2

7

支分別交于A,B兩點(diǎn),若|A3|=|A閶，COSZBAF=-,則雙曲線C的離心率為.

28

14.已知函數(shù)/(%)=—丁+sin%,若于(G=M,貝［］/(-〃)=.

15.若將函數(shù)〃x)=sin［2x+g］的圖象沿x軸向右平移姒。>0)個(gè)單位后所得的圖象與/(力的圖象關(guān)于x軸對

稱，則。的最小值為.

16.如圖，某市一學(xué)校H位于該市火車站。北偏東45。方向，且0H=46km，已知OM,0V是經(jīng)過火車站。的兩

條互相垂直的筆直公路，CE,OF及圓弧。都是學(xué)校道路，其中CE//OM,DF//ON,以學(xué)校"為圓心，半徑為

2Am的四分之一圓弧分別與CE,。尸相切于點(diǎn)C當(dāng)?shù)卣顿Y開發(fā)AO3區(qū)域發(fā)展經(jīng)濟(jì)，其中A,3分別在公

路。ON上，且A3與圓弧CD相切，設(shè)/Q4B=6,AO3的面積為SQ/.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)。為何值時(shí)，...AOB面積S為最小，政府投資最低？

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=+以2力eR

(1)若b=l,且函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的范圍;

(2)若函數(shù)Ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)芭,2，%<2且存在與滿足內(nèi)+2%=3々，令函數(shù)g(x)=/(x)—/(%),試

判斷g?)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.

18.(12分)如圖，在直角AAO3中，OA=OB=2,AAOC通過AAO3以直線CM為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到

(ZBOC=120°).點(diǎn)。為斜邊AB上一點(diǎn).點(diǎn)〃為線段6C上一點(diǎn)，且幡=拽.

3

(1)證明：平面AOB；

(2)當(dāng)直線加。與平面所成的角取最大值時(shí)，求二面角5-CD-O的正弦值.

19.(12分)如圖1,在等腰MAABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,A3的中點(diǎn)，尸為CD的中點(diǎn)，G在線

段上，且BG=3CG。將AADE沿OE折起，使點(diǎn)A到A的位置(如圖2所示)，且4尸，?！?。

(1)證明：3E//平面&PG；

(2)求平面ABG與平面ABE所成銳二面角的余弦值

V2V21

20.(12分)已知橢圓。：—+==1(。〉6〉0)的左頂點(diǎn)為4,左、右焦點(diǎn)分別為耳,心，離心率為一，尸是橢圓上

?"b~2

的一個(gè)動點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合)，且△尸片月的周長為6,點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q,直線ARQg交于點(diǎn)

(1)求橢圓方程；

(2)若直線尸工與橢圓交于另一點(diǎn)N,且S-BM=45-苞可，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.(12分)〃x)=ln.x—at有最大值，且最大值大于0.

(1)求。的取值范圍;

xx

⑵當(dāng)a=；時(shí)，/（九）有兩個(gè)零點(diǎn)七,兀2（%1<x2），證明：i2<30.

（參考數(shù)據(jù)：In0.92-0.1）

22.（10分）已知函數(shù)/（*）=Inx—ax2+（0-〃—i）x+b+i（a,8￡尺）.

（1）若a=0,試討論/（x）的單調(diào)性；

⑵若。<"2,』，實(shí)數(shù)2為方程/⑺””的兩不等實(shí)根,求證：{+1>4-2?,

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

求出集合A,B,\B,由此能求出A?B）.

【詳解】

H為實(shí)數(shù)集，4={x|d-啜0}={x|T戎1},B={x\-^}={x\O<x1},

X

:.\B={）|茗,0或x>或,

/.A@5）={%]-1融0}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集、補(bǔ)集的求法，考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

|"+'|=2/.y/a2+1=2:.a=±^3a>Q,.\a=y/3,選B.

i

3、B

【解析】

a9

a.=a+10Z?-^=1+-----]9.9

由＜，得d+i4口，即c“+i=l+—7,所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

%=4+dr1J—s+i

un

小值，得到。3=2,再由遞推公式求出

【詳解】

r—+10

a

。"+1=n+1°儲癡4+1an+l0bnbn9

.%+1=4+22+i4+2冬+

5L+II

bnb,

9

即Cn+1=1+

g+1

9

%+。4=。3+1+26,當(dāng)且僅當(dāng)％=2時(shí)取得最小值,

。3+1

9914

此時(shí)51+巾=4,％=1+不y

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

4、C

【解析】

1313

化簡得到彳=—-+—，，z=----i,再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.

2222

【詳解】

1+2，_(1+2/)(1+，)_-!+3,_13,

(1+z)z=1+2i,1+z-(l+z)(l-z)2--221

13.

故z=—

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共軌復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

5、C

【解析】

由函數(shù)/(x)=sin5：3>。)的圖象向右平移展個(gè)單位得到g(x)=s利。(工一、■)]=sin(①x一^,函數(shù)g(x)在

jrjrITIT

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

_63J|_32_

上單調(diào)遞減，可得％時(shí)，g(x)取得最大值，即(。義三―魯)=春+2版，kwZ,6y>0,當(dāng)左=0時(shí)，解得69=2,

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

'TT'JITJ,T>rr

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間y,-上單調(diào)遞減可得x=§時(shí)，g(x)取

得最大值，求解可得實(shí)數(shù)0的值.

6、D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接A耳,8耳，由對稱性可知四邊形公耳3鳥是平行四邊形，

2

設(shè)|M=、|傷|=2，4c=+^-2t[r2cosy,求出也的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳，連接A耳,8月，

由對稱性可知四邊形A耳5工是平行四邊形，

7T

所以S,AFiF2=SAF2B,ZF1AF2=—.

設(shè)1"口,座$2,則4c,上+zfc嗚-勺

又|?-目=2。.故,馬=4/72=16,

所以s4F心=3八弓sing=46.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

7、B

【解析】

j272Z-?'

設(shè)過點(diǎn)凡(c,o)作y=」x的垂線，其方程為y=—@(x—c),聯(lián)立方程，求得x=e，y=色,即P—,由

abcc\ccJ

|P^|=V6|OP|,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點(diǎn)與(G。)作y的垂線，其方程為丁=-藍(lán)(x-c),

b

>27(2r\

iciAJJcictu口口J-)aaD

由<解得%=—,y=一，即p—,——,

a(、cc\cc

y=_g(%一。、7

由|P凰=，6|。尸J,所以有「一+—+C=6=+「一，

C\C)\CC)

化簡得3/=C2,所以離心率e=￡=也.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

8、D

【解析】

試題分析：mXa>mil:一二。故選D.

考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.

9、C

【解析】

由"cN="得出利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

M={x|l<x<2},N={x|x<a}且AfcN=Af,口N,.，.a>2.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,48).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得Z的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中A，,0,C（2,2）,由于［0川=，2+［：=§,Qq=2夜,所以10cl>|Q4|,

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為2應(yīng).

所以z的最大值為（2后丫=8.

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結(jié)論.

【詳解】

77

因?yàn)?(%)=2sin(2x--),

3

又/(.)=2sin(2x—--)=2sin—=2,所以①正確.

121236

/(-1)=2sin(2x^-1)=2sin(—%)=0,所以②正確.

將y=2sin2x的圖象向右平移9個(gè)單位長度，得y=2sin[2(x-g)]=2sin(2x-4)，所以③錯(cuò)誤.

所以①②正確，③錯(cuò)誤.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

首先確定不超過20的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

不超過20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)，

從這8個(gè)素?cái)?shù)中任選2個(gè)，有點(diǎn)=28種可能；

其中選取的兩個(gè)數(shù)，其和等于20的有(3,17),(7,13),共2種情況，

21

故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率P=)=二.

2814

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、巫

3

【解析】

設(shè)忸閭=〃,|傷|=加，由雙曲線的定義得出：忸耳|=2a+旬*|=加一2。,由=閶得A5居為等腰三角

7—\BFI—n

形，設(shè)NABK=NAKB=e,根據(jù)cosNBAE,=—,可求出饃$6=工=二^=2_，得出機(jī)=2"，再結(jié)合焦點(diǎn)

84\AF,\m

三角形ABEg,利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】

解：^\BF2\=n,\AF2\=m,

由雙曲線的定義得出:

忸司―忸耳|=2a,則忸4|=2a+〃，

|4閶—|4制=2。,則卜周=7〃_2匹

由圖可知：|AB|=|BE|—|4周=4。+”一加,

又|AB|=|A閶，

即4a+n—m=mf

則2m=4a+〃，

AA與工為等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

設(shè)NA3月=/A鳥3=。，

20+ZBAF2=7i,則=〃—

7

/.cos20=cos(?-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

7i

BPCOS2<9=2COS2<9-1=——,解得：cos6=—,

84

1

.2\1>解得：m=2n,

m4

口口4

4〃=4Q+〃，即3〃=4〃，解得：n=—a,

3

8

/.m——a,

3

在△AF；月中，由余弦定理得：

網(wǎng)「+|即「一占用1

cosZFBF=cos3=

}22忸用忸月

-4c2

2(2〃+〃)?〃

解得：e2=：=電，即6=￡=亞

a36a3

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

14、-M

【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)/(力的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤h-J+sinx,其定義域?yàn)镽,

所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

X/(-x)=-(-x)3+sin(-%)=+sinxj=-/(%),

所以函數(shù)/(九)為奇函數(shù)，因?yàn)?(“)=”,

所以=

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中

檔題、?？碱}型.

n

15、—

2

【解析】

由題意利用函數(shù)丁=人5m(5+9)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對稱性，求得9的最小值.

【詳解】

解：將函數(shù)/(X)=Sinm的圖象沿X軸向右平移＞0)個(gè)單位長度,

可得

(、兀(7l\

y=sin=sin12%—20+1J的圖象.

根據(jù)圖象與/(X)的圖象關(guān)于X軸對稱，可得—sin12x+g，sin12x—2。+'

二一功=(2左+1)〃，kwZ,即左=—1時(shí)，9的最小值為g.

71

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(a)x+9)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

16.(1)S=2,2①n，+cos。)-)0.

sin0cos02J(24

【解析】

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則8(4,4),在RtAfiO中，設(shè)AB=/,又N0AB=9,

故Q4=/cos。，OB=lsin0,進(jìn)而表示直線AB的方程，由直線與圓H相切構(gòu)建關(guān)系化簡整理得

/=4(sm*os?-2,即可表示。4,0比最后由三角形面積公式表示AQS面積即可；

sin<9cos6^

產(chǎn)IOf_

(2)令/=2(sin6+cos。)—1,則sin，cos￡=,由輔助角公式和三角函數(shù)值域可求得，的取值范圍，進(jìn)

8

而對原面積的函數(shù)用含f的表達(dá)式換元，再令加=；進(jìn)行換元，并構(gòu)建新的函數(shù)g(根)=-3m2+2根+1,由二次函數(shù)

性質(zhì)即可求得最小值.

【詳解】

解：(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則8(4,4),在RtABO中，設(shè)AB=/,又NQ4B=e,

故Q4=/cos。，QB=/sin。.

所以直線AB的方程為一-—十—--=1,即xsin8+ycos6—/sin<9cos0=0.

Icos6IsinO

因?yàn)橹本€A5與圓〃相切，

|4sin6+4cos。一/sinOcos。|

所以=2.(*)

A/SIII2^+COS20

因?yàn)辄c(diǎn)”在直線AB的上方,

所以4sin8+4cos，一/sinAcos8>0,

所以(*)式可化為4sin8+4cos8—/sinOcos8=2,解得/=4(sm'+cos，)-2

singcos夕

4(sin0+cos0)-2_4(sin0+cos<9)-2

所以。4二tCyO—

sin。cos。

所以AO5面積為5=4。4?。3=2?[2(sin0+cos6)是。片

2sin。cos。

y\

MF

073Mx

產(chǎn)上/_q

(2)^t=2(sin0+cos0)-1,貝！IsinScos。：---------，

8

且t=2(sin，+cos，)—1=2岳—le(l,2&—1],

S=2干16

所以—f2t-3~32,,ZG(1,272-1].

----+--------------7H----H]

8rt

、

人12V2+12y/2+1J口的、田、*甘

令"Z二一￡,1,g(m)=-3m2+2m+l=-3\w-j|+j,所以gO)在---------,1I上單調(diào)遞減.

t7

7

所以，當(dāng)m=2也Q,即。=工時(shí)，g(峭取得最大值，S取最小值.

74

TT

答：當(dāng)時(shí)，AOB面積S為最小，政府投資最低.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)優(yōu)先結(jié)合實(shí)際建立合適的數(shù)學(xué)模型，再按模型求最值，屬于難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)-1<?<V3(2)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)X1和看

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(2)先判斷升為一個(gè)零點(diǎn)，然后再求導(dǎo)，根據(jù)

西+2玉)=3X2,化簡求得另一個(gè)零點(diǎn)。

解析：(1)當(dāng)6=1時(shí)，f'(x)=3^+2ax+\,因?yàn)楹瘮?shù)〃力在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，/'(%)=3X2+2^+120恒成立.[來源憶&*&*&耳

函數(shù)外4=3*+231的對稱軸為x=g

①-[<-1,即a>3時(shí)，r(-l)>0,

3

即3-2〃+120,解之得解集為空集；

(2)-1<--<-,即時(shí)，/{--Ko

322k3J

即3,豆+2。+1N0,解之得<a<&9所以<百

③一，>:，即4<一!?時(shí)，

322\2)

1773

即3FQ+120,解之得aN—所以——

44942

綜上所述，當(dāng)-函數(shù)〃力在區(qū)間，上單調(diào)遞增.

(2)???/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%,％2，

???方馬是方程/'(4=3%2+23：+6=0的兩個(gè)根，且函數(shù)〃力在區(qū)間(7,石)和(馬,”)上單調(diào)遞增，在

(石,々)上單調(diào)遞減.

g，(x)=/，(x)

函數(shù)g(x)也是在區(qū)間(f,石)利龍2，”)上單調(diào)遞增，在(0々)上單調(diào)遞減

Ig&))=/(飛)-/(曲)=。，是函數(shù)g(%)的一個(gè)零點(diǎn).

由題意知：g(%)=/(/)—/(%)

V%；+2x0=3X2,/,2x0-2x2=x2-A,>0,x0>x2/(x2)</(x0),8(42)=/(%)-/(%0)<0又

=(口I-□#)(!□}+2叫+口+兀；+歸入+3口)

2

V玉,x2是方程/'(X)=3x+2ax+b^Q的兩個(gè)根,

3x；+2g+b=0,3xf+2〃%2+b=0,

：.g(xl)=f(xl)-f(xo)=0

?.?函數(shù)g(x)圖像連續(xù)，且在區(qū)間(Y,%)上單調(diào)遞增，在(%,乙)上單調(diào)遞減，在(馬，”)上單調(diào)遞增

.,.當(dāng)xe(f%)時(shí),g(x)<0,當(dāng)%?%,%)時(shí)g(x)<0,當(dāng)九時(shí)g(x)>0,

函數(shù)g(X)有兩個(gè)零點(diǎn)X1和%.

18、(1)見解析；(2)生匝

35

【解析】

(1)先算出的長度，利用勾股定理證明05,再由已知可得Q4LQ0,利用線面垂直的判定定理即可

證明；

(2)由(1)可得NMDO為直線與平面所成的角，要使其最大，則OD應(yīng)最小，可得。為AB中點(diǎn)，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

【詳解】

(1)在中，ZOBC=30，由余弦定理得

0M=yJOB2+BM2-2OB-BM-cos30=,

3

:.OM2+OB2=MB2,

:.OMLOB,

由題意可知：,OAA.OC,OBOC=O,

:.Q4_L平面COB,

OMu平面COB,/.OA±OM,

又。4OB=O,

二OM,平面AOB.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)M，OB>的方向?yàn)椋?，V，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

VOM±平面AOB,：.MD在平面上的射影是OD,

，MD與平面所成的角是NMDO,，NMDO最大時(shí)，即8,AB,點(diǎn)D為AB中點(diǎn).

B(0,2,0),C(A-l,0),A(0,0,2),D(0,l,l),CD=(—百,2,1),

DB=(0,l,-l)＞OD=(0,1,1)?設(shè)平面CD8的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=0一—^/3x+2y+z=0i—

由＜,得＜，令z=l,得＞=1,%=近

幾DB=0y-2=o

所以平面CDB的法向量〃=(6」/)，

m-CD-0—\/3x+2y+z=0

同理，設(shè)平面CDO的法向量加=(九,y,z),由＜,得

mOD-0y+z=0

令y=l,得z=—l,x=1g，所以平面C。。的法向量m=

3if

.?……叵……尸=巫

35\3535

故二面角5—CD—O的正弦值為境°.

35

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.

19、(1)證明見解析

⑵叵

5

【解析】

(1)要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點(diǎn)"，連接DM，根據(jù)條件證明。M//3E,QAf///G,即

BE//FG.

(2)以R為原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為X軸，過尸作平行于C3的直線為y軸，五4所在直線為二軸，建立空間直角坐標(biāo)

系尸一孫Z,求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取6C的中點(diǎn)連接DM.

???BG=3CG,J.G為CM的中點(diǎn).

又尸為CD的中點(diǎn)，,PG//ZW.

依題意可知。則四邊形為平行四邊形,

：.BE//DM,從而BE//FG.

又FGu平面A^G,BEs平面A^G,

/.3石7/平面4/6.

（2）DELAD^DE±DC,且A。DC=D,

二。石_1_平面ADC,AEu平面ADC,

DEL\F,

A.FLDC,且DEcDC=D,

A]F_L平面BCDE,

，以P為原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為x軸，過口作平行于C5的直線為，軸，BA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

F-xyz,不妨設(shè)CD=2,

則網(wǎng)0,0,0）,A（0,0,73）,5（1,4,0）,￡（-1,2,0）,G（l,l,0）,

%=（0,0,G）,FG=（1,1,0）,4石=卜1,2,-⑹，EB=（2,2,0）.

設(shè)平面APG的法向量為馬=（%，x，zj,

n-FA=Q=0

則l9即

n-FG=0、二0

令為=1,W/2=（1,-1,0）.

設(shè)平面ABE的法向量為7〃=（9,%，Z2），

—

加”=0,即<%2+2%-A/3Z2—0

則

m-EB-02X2+2y2=0

令工2=1，得加=（1,一1,一6）

從而cos<m,n>=21廠=—,

72x755

故平面A.FG與平面AtBE所成銳二面角的余弦值為孚

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計(jì)算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時(shí)，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形,這些都是證明線線平行的常方法.

22(1或-明

20、(1)土+乙=1;⑵5

43"4J

【解析】

(1)根據(jù)△尸片月的周長為2a+2c,結(jié)合離心率，求出即可求出方程;

(2)設(shè)P(肛〃)，則Q(-%-")，求出直線AM方程，若Q&斜率不存在，求出M,P,N坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題

意，若。工斜率存在，求出其方程，與直線AM方程聯(lián)立，求出點(diǎn)以坐標(biāo)，根據(jù)=4S△亞N和R月,N三點(diǎn)

共線，將點(diǎn)N坐標(biāo)用m〃表示，RN坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)闄E圓的離心率為:，△尸耳耳的周長為6,

2〃+2c=6,

c1

設(shè)橢圓的焦距為2c,貝！J—二不

a2

b2+c1=4,

解得若，

a=29c=l9b—

22

所以橢圓方程為L+匕=i.

43

(2)設(shè)P(%“)，則?-+±=1,且。(一加,一〃)，

43

VI_

所以AP的方程為y=--(x+2)①.

m+2

若m=—l,則。工的方程為x=l②，由對稱性不妨令點(diǎn)P在x軸上方,

則p1—1,目，聯(lián)立①，②解得即

、2

3

P8的方程為y=-?(%-1),代入橢圓方程得

g

3f+5—1)2=12,整理得7/—613=0,

4

…1313

%=-1或x=—，N\—

7173

19……

q—x—x|AF2I

=22_______=7w4不符合條件.

SgN：x：x|Ag|

—

若加w—1,則。鳥的方程為丁=-----7（%-1），

—m—1

即丁=——(x-1)③.

m+1

x=3m+4,

聯(lián)立①，③可解得「所以”（3加+4,3〃）.

J=3〃，

因?yàn)镾4AF2M=4s△A^N9設(shè)N(%N，＞N)

所以gx|A鳥|x|yM=4xgx|AFJxE|，即|端=4|%|?

3n

又因?yàn)槲挥赬軸異側(cè)，所以J；N=-7.

因?yàn)槭?，鳥,N三點(diǎn)共線，即名尸應(yīng)與8N共線，

3〃

F2P=(m-1,n),F2N=(xN-1,-y)

7—

所以〃=--—(w-1)，BPXN=---,

7-3m

所以4

r-(7A2281由［、］3y/5

所C以hl一一加-m=一，解得加=不，所以〃=±八一，

13J924

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為[或?

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想和計(jì)算求解能力，屬于較難題.

(n

21、(1)0,一；(2)證明見解析.

Iej

【解析】

⑴求出函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+。)，/'(力=匕竺，分a4。和。>0兩種情況討論，分析函數(shù)y=/(x)

的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)y=在(0,3)上遞增，在(3,+8)上遞減，可得出0<%<3<々，由

/(x2)-/*=/(%；)-/*=31nX]-三+印—ln30,構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx_2+^_ln30,證明出

一1再)3%3x

(30、

g(%)>0,進(jìn)而得出/(%)>/—,再由函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(3,+8)上的單調(diào)性可證得結(jié)論.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)=lnx—依的定義域?yàn)?0,+。)，且/'(%)=匕竺.

X

當(dāng)時(shí)，對任意的x>0,

此時(shí)函數(shù)y=〃%)在(。,+8)上為增函數(shù)，函數(shù)y="%)為最大值；

當(dāng)〃>0時(shí)，令/'(x)=0,得％

a

當(dāng)0<x<：時(shí)，/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>：時(shí)，/,(%)<0,此時(shí)函數(shù)y=/(可單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)y=/(x)在x=：處取得極大值，亦即最大值，

即〃x)max=/1']=-lna—l〉0,解得0<a<L

\aJe

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<。<!；

(2)當(dāng)a=g時(shí)，y(x)=lnx-,定義域?yàn)?0,+“)，

11Q_

r(x)=--=^r,當(dāng)0<x<3時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)x>3時(shí)，r(x)<0.

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,+8).

由于函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)W、4且%</，，0<XI<3<X2,

L3010)YIQ

fM-f-=/(^i)-/-=仙罰一當(dāng)ln—一-r=31n玉一一^+―-ln30,

\X1JJvJ.IX]XJ3X]

Y10

構(gòu)造函數(shù)g(x)=31nx—9+卷—ln30,其中0<x<3,

JX

g，(2」_型V—9/+60

8[)X3X33?

令/z(x)=/一9/+60,A,(x)=3x2-18%=3x(x-6),當(dāng)0cx<3時(shí)，"(x)<0,

所以，函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減，則網(wǎng)力>.3)=6>0,則g'(x)<0.

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞減,

0<%<3,.-.1?(x1)>,g(3)=31n3-l+y-ln30=ln0.9+-1>0,

即/(%2)-//=于。)-于/=g(xJ>0,HP/(X2)>//

八303010“、/、

0<%<3,，乒>5=彳>o3且々〉3,而函數(shù)丁=/(%)在(3,+00)上為減函數(shù),

x

所以，2<~因此，xfx2<30.

xi

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解