2024年中考數(shù)學(xué)真題提優(yōu)訓(xùn)練 整式（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)真題專題提優(yōu)訓(xùn)練.整式【含答案】

一、解答題

1.如圖，邊長為。的大正方形有一個邊長為6的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如

圖2所示）.

圖1圖2

（1）上述操作能驗證的等式是：—（請選擇正確的選項）：

A.a2—ab=a（a—b）B.a2-2ab+b2=（a—b）2

C.a2+ab=a（a+b~）D.a2—=（a+b）（a—b）

（2）請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：

①根據(jù)以上等式簡便計算：1022-982.

②已知克久2一y2=36,lx+y=16,計算工一4y的值；

③計算：（1—圭）X（1—今）X（1一表）義…X（1-20222）-

2.在求1+2+22+23+24+2§+26的值時，小明發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加

數(shù)的2倍，于是他設(shè):S=1+2+22+23+24+25+26①;然后在①式的兩邊都乘以2,得：2S=2+

22+23+24+25+26+27②;②一①得2S—S=27-1,S=27-1.BP1+2+224-234-24+254-

26=27-1.

（1）1+3+32+33+34+35+36的值；

（2）求1+a+a?+&3+…+a2015（a。0且a。1）的值.

22

3.我們約定：若關(guān)于x的整式A-arx+brx+q與B=a2x+b2x+c2同時滿足：-5+（h2+

2

bi）+|c2-㈤=0,（歷—均）2°23豐0,則稱整式/與整式B互為“美美與共”整式.根據(jù)該約定，解

答下列問題：

（1）若關(guān)于％的整式4=2/+k久+3與B=zn/+尤+幾互為“美美與共”整式，求左，加，"的

值.

（2）若關(guān)于x的整式M=（尤+a）2,N=x2—2x+b（a,b為常數(shù)）,A/與N互為"美美與共”整

式，且x+a是%3-3%+c的一個因式，求a-6+c的值;

(3)若(久+1)0+2)0+3)(尤+4)+1=(%2+rx+s)2,且關(guān)于y的方程閆=昌一3的解

為正整數(shù)，求P=廠%2+[%+s的“美美與共”整式Q,并求出Q的最小值.

4.已知2n1-4與3m-l是一個正數(shù)的平方根，且一號22*%8與3a7b5+丫是同類項，求m+x+y的算術(shù)平方

根.

222

5.我們知道完全平方公式是(a+b)2=a?+2ab+b,(a—b*a-2ab+b,由此公式我們可以

得出以下結(jié)論：①(a-b)2=(a+b)2—4ab；(2)ab=[(a+￡>)2—(a2+b2)]；利用公式①和②解

決下列問題：

(1)若m+n=10,mn=-3>求(m—九產(chǎn)的值.

(2)若m滿足(2023-2m)2+(2加-2024>=7,求(2023-2鬼)(2小一2024)的值.

6.如圖，將三個邊長a,b,c(a>b>c)的正方形分別放入長方形2BC0和長方形EFGH中，記陰

影部分①、②、③、④的周長分別為C1，c2,c3,c4,面積分別為Si，S2,S3,S4.

4b..T)

C②

①

(1)若a=3,b=2,c=1,求長方形4BCD的面積；

(2)若長方形力BCD的周長為18,長方形EFGH的周長為15,能求出g,C2,C3,C4中的哪些

值？

(3)若(71+。2=徵，C2-C3=n,C3-C4=P,求Si+S2-$3-SM結(jié)果用含n,p的代數(shù)

式表示).

7.若x,y,z是整數(shù),且滿足熄尸.(的y.(||)z=2,求x,y,z的值.

8.小紅房間窗戶的裝飾物是由兩個半徑相同的四分之一圓組成的(如圖1所示)，小蘭房間窗戶的裝飾

物是由半徑相同的兩個四分之一圓和一個半圓組成的(如圖2所示)，小明房間窗戶的裝飾物是由半徑

相同的兩個四分之一圓和兩個半圓組成的(如圖3所示).

a

bbb

圖1圖2圖3

（1）根據(jù)裝飾圖案變化的規(guī)律，設(shè)計下一個裝飾物圖案.

（2）分別求出圖1、圖2、圖3中裝飾物所占的面積（結(jié)果要求化簡）.

（3）你能發(fā)現(xiàn)裝飾物面積變化的規(guī)律嗎？請用代數(shù)式表示出第n個裝飾物的面積.

9.附加題：（有興趣的同學(xué)自愿完成）

a=t

已知2019+2019,b=20l9+2020,c=+2021,請計算代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值

10.已知整式A=3x2-m（x2+6）+4.

（1）若A的值與x的取值無關(guān)，則m=

（2）當(dāng)m=l時，B=-x2-10.

①化簡2A-B=

②當(dāng)整式A取得最小值時，此時2A-B的值為

11.已知式子M=（。+4）爐+6/-2工+5是關(guān)于久的二次多項式，且二次項系數(shù)為b,數(shù)軸上4

B兩點所對應(yīng)的數(shù)分別是a和b.

A0B

（1）貝1Ja=,b=；A,B兩點之間的距離為；

（2）有一動點P從點A出發(fā)第一次向左運動1個單位長度，然后在新的位置第二次向右運動2個

單位長度，再在此位置第三次向左運動3個單位長度…，按照如此規(guī)律不斷地左右運動，當(dāng)運動到第

2023次時，求點P所對應(yīng)的有理數(shù)；

（3）若點4以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點B以每秒5個單位長度的速度向右運動，

動點。從原點開始以每秒巾（巾>0）個單位長度在4B之間運動（到達2或B即停止運動），運動

時間為t秒，在運動過程中，BD-24。的值始終保持不變，求。點運動的方向及m的值.

12.數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點表示的數(shù)進行減法運算得到，例如：如圖①所示，若點A,B

在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a,b（a<b）,則4B的長度可以表示為4B=b-a.

請你用以上知識解決問題：

如圖②所示，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2個單位長度到達2點，再向右移動3個

單位長度到達B點，然后再向右移動5個單位長度到達C點.

A，.1?，1，：，，，1?1：，i-

ab-6-5-4-3-2-1012345678

①f；②

（1）請你在圖②的數(shù)軸上表示出4B,C三點的位置.

（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左移動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和

3個單位長度的速度向右移動，設(shè)移動時間為秒.

①當(dāng)t=2時，求48和4C的長度；

②試探究：在移動過程中，34C-4AB的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；

若不變，請求其值.

13.為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段達到節(jié)水的目的，該市自來

水收費標(biāo)準(zhǔn)（按月結(jié)算）如表所示：

每月用水量單價

不超出6m3的部分2元/加3

超出6刃3不超出10加3的部分4元/加3

超出10加3的部分8元/加3

例如：若某戶居民1月份用水8加3,則應(yīng)收水費：2*6+4*（8-6）=20（元）.

（1）若該戶居民2月份用水12.5加3,則應(yīng)收水費元.

（2）若該戶居民3月份用水（其中6加3＜。＜10加3）,則應(yīng)收水費元.（用含a

的整式表示，并化簡）

（3）若該戶居民4月份用水；?3,4、5兩個月共用水15加3,且5月份用水超過4月份，請用含x

的整式表示4、5兩個月共交的水費并化簡.

14.如圖，一扇窗戶，窗框為鋁合金材料，上面是由三個大小相等的扇形組成的半圓窗框構(gòu)成，下面

是由兩個大小相等的長刈寬y的長方形窗框構(gòu)成，窗戶全部安裝玻璃.（本題中兀取3,長度單位為

米）

（1）一扇這樣窗戶一共需要鋁合金多少米？（用含久，y的式子表示）

(2)一扇這樣窗戶一共需要玻璃多少平方米？鋁合金窗框?qū)挾群雎圆挥?用含久，y的式子表示)

(3)某公司需要購進10扇這樣的窗戶，在同等質(zhì)量的前提下，甲、乙兩個廠商分別給出如表報

價:

鋁合金(元/米)玻璃(元/平方米)

不超過100平方米的部分，90元/平方米，超過100平方米的部分,

甲廠商180

70元/平方米

乙廠商20080元/平方米，每購一平方米玻璃送0.1米鋁合金

當(dāng)x=4,y=2時，該公司在哪家廠商購買窗戶合算？

15.數(shù)軸上有三個點A,B,C,分別代表的整數(shù)是a,b,c,點C在數(shù)軸上的位置如圖，a,b滿足

|a+8|+(b-2)2=0.

C

I11II11I」I1IIj1?

-7-6-5-4-3-2-101234567

(1)a=,c=,點A與點B之間的距離是

(2)點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，點B以每秒4個單位長度的速度向左運動，點C

以每秒a個單位長度的速度向右運動，點A,B,C同時運動，設(shè)運動時間為t秒，回答下列問題：

①t秒時，點A對應(yīng)的數(shù)為▲(用含t的式子表示)；

②當(dāng)t>5時，點A與點B之間的距離是▲(用含t的式子表示)；

③若點A與點C之間的距離記為dl,點B與點C之間的距離記為d2,是否存在有理數(shù)a,使得

代數(shù)式3dl-2d2的值為定值？若存在，求出a的值及該定值，若不存在，請說明理由.

16.已知x,y滿足x2+y2=^,xy=-i,求下列各式的值.

(1)(x+y)2

(2)x4+y4

(3)x2-y2

17.為創(chuàng)建文明校園環(huán)境，高校長制作了“節(jié)約用水”“講文明，講衛(wèi)生”等宣傳標(biāo)語，標(biāo)語由如圖①所

示的板材裁剪而成，其為一個長為2血，寬為2n的長方形板材，將長方形板材沿圖中虛線剪成四個形

狀和大小完全相同的小長方形標(biāo)語，在粘貼過程中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)標(biāo)語可以拼成圖②所示的一個大正方

形.

(1)用兩種不同方法表示圖②中小正方形(陰影部分)面積:

方法一：S小正方形=------------;

方法二：S小正方形=；

(2)(m+n)2,(m-n)2,47rm這三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系為；

(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①已知：a—b=5,ab=—6,求：(a+8)2的值；

②已知：求：(a+：)2的值.

18.如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四

塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖2)

(1)觀察圖2請你寫出(a+b)2、(a—b)2、ab之間的等量關(guān)系是

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，若K+y=5,x-y=^,則久一y=；

(3)拓展應(yīng)用：若(2019—小)2+(小一2020)2=15,求(2019-m)(ni-2020)的值.

二、作圖題

19.如圖，六邊形ABCDEF是一個軸對稱圖形，請將該圖形沿對稱軸剪開，將得到的兩個全等圖形

拼成一個新的軸對稱圖形(兩個全等圖形不重疊).

(1)請畫出新的軸對稱圖形;

(2)設(shè)六邊形ABCDEF的面積為S1,新的軸對稱圖形面積為S2,

判斷SI,S2的大小關(guān)系，并直接用含a,b的式子表示出來；

(3)計算：(1一擊)(1一表)(1一壺)…(1一壺)(1一

20.請分別準(zhǔn)備幾張如圖所示的長方形或正方形卡片.用它們拼一些新的長方形(要求畫出新的長方

形)，并計算它們的面積.

三、綜合題

21.小紅準(zhǔn)備完成題目：計算(x2*x+2)(x2-x).她發(fā)現(xiàn)第一個因式的一次項系數(shù)被墨水遮擋住了.

(1)她把被遮住的一次項系數(shù)猜成3,請你完成計算：(x2+3x+2)(x2-x)；

(2)老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含三次項的.”請通過計算說明原題中被遮住

的一次項系數(shù)是多少？

22.若?—2nm+2n2—8n+16=0,求m,n的值.

解：".'m2—2mn+2n2—8n+16=0,

(m2—2mn+n2)+()=0,

即()+()=0.

根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，得m=n=▲.

(1)閱讀上述解答過程，并補充橫線處的內(nèi)容；

(2)設(shè)等腰三角形ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足+房—4a—6b+13=0,^AABC

的周長.

23.兩個邊長分別為a、b(a>b)的正方形如圖(1)放置，現(xiàn)在取BD的中點P,連接PA、PE,如

圖(2),把圖形分割成三部分，分別標(biāo)記①、②、③，對應(yīng)的圖形面積分別記為S①、S②、S③.

圖⑴圖⑵

(1)用字母a、b分別表示S①、S②.

(2)若a-b=2,ab=15,求S①+S②.

(3)若S①+S②=3,ab=1,求S③.

24.先化簡，再求值：

(1)3(2a2b-ab2)-(5a2b-4ab2),其中a=2,b=l；

(2)若a2+2b2=5,求多項式(3a2-2ab+b2)-(a2-2ab-3b2)的值.

25.已知A=—x—2y—LB=qX-y+1.

(1)求4—3B；

(2)當(dāng)5久—2y=6時，求4—3B的值：

(3)若4+mB的值與y的取值無關(guān)，求m的值.

26.數(shù)學(xué)課上，老師設(shè)計了一個數(shù)學(xué)游戲：若兩個多項式相減的結(jié)果等于第三個多項式，則稱這三個

多項式互為“友好多項式“，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各有一張多項式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四

位同學(xué)的對話：

請根據(jù)對話解答下列問題：

(1)判斷甲、乙、丙三位同學(xué)的多項式是否互為“友好多項式“，并說明理由.

(2)若丁的多項式與甲、乙、丙中的某兩個多項式互為“友好多項式"，則2=,b

27.已知A=mx-x,B=-mx-3x+5m.

(1)用含m,x的式子表示3A-2B；

(2)若3A-2B的值與字母m的取值無關(guān)，求x的值;

(3)利用(2)中的數(shù)學(xué)方法解決問題：

經(jīng)銷公司計劃購進甲、乙兩種型號的口罩共30箱，甲型口罩每箱進價為700元,銷售利潤率為40%；

乙型口罩每箱進價為500元，售價為每箱800元購進口罩后，該公司決定：每售出一箱乙型口罩，返

還顧客現(xiàn)金a元，甲型口罩售價不變?nèi)绻忂M甲型口罩x箱，那么購進乙型口罩箱，當(dāng)購進的30

箱口罩全部售出后，所獲利潤為元(用含a,x的式子表示)；若無論購進甲

型口罩是多少箱，最終獲利都相同，則a的值是.

28.

(1)化簡：2a—(5b—a)+b

(2)化簡并求值：2(或2—248)—3(出)2—次彷+(2曲2—2次力)，其中：a=2,b=1.

29.求代數(shù)式的值

(1)先化簡，再求值：(a—2b)(a+2b)—(a—26)2+8/,其中。=一2,b另.

(2)已知x2+mx-n可以分解為一次因式(%+7)和(%—3),求(5m—n)2021的值.

30.如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，點A、B、C分別表示(m-n),(2n-m),(8n-5m+90)

CBOA

------?-----------?--------??--------->

8/7-5m+902n~m-----------m-n

(1)若A、B表示一對相反數(shù)，求的值；

(2)求4C的長(用含m、n的代數(shù)式表示)；

(3)若4B=60,求BC的長.

31.我們知道圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)代數(shù)中一些重要的數(shù)量關(guān)系.認

真觀察下面兩個拼圖，列出等量關(guān)系式表示陰影部分的面積.

(1)圖1表示的等量關(guān)系式可以是;圖2表示的等量關(guān)系式可以

是

(2)已知a—b=2,a2+￡>2=34,求ab的值.

32.

(1)已知36=8,3n=2,求32m-3n+l的值;

(2)已知/+%一1=0,求/+超值.

33.閱讀理解:

已知a+b=-4,ab=3,求a2+b2的值。

解：Va+b=-4,

(a+b)2=(-4)2,

即a2+2ab+b2=16.

*.*ab=3,

a2+b2=10

參考上述過程解答問題.

(1)已知a-b=-3,ab=-2,求(a-b)(a2+b2)的值；

(2)若m-n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+1的值.

34.王老師設(shè)計了一個數(shù)學(xué)實驗，給甲、乙、丙三名同學(xué)各一張寫有代數(shù)式的卡片，規(guī)則是：兩位同

學(xué)的代數(shù)式相減等于第三位同學(xué)的代數(shù)式，則實驗成功.甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分

看不清楚了.

甲

(1)計算出甲減乙的結(jié)果，并判斷甲減乙能否使實驗成功；

(2)森森發(fā)現(xiàn)丙減甲可以使實驗成功，請求出丙的代數(shù)式.

35.已知A=a2+ab+2b—2,B=2a2+2ab+a—4.

(1)求24—B.

(2)當(dāng)a=1,b=2時，求24-B的值.

36.小馬虎做一道數(shù)學(xué)題，“已知兩個多項式A=x2-4x,B=2x2+3x-4,試求A+2B.”其中多項

式A的二次項系數(shù)印刷不清楚.

(1)小馬虎看答案以后知道A+2B=x2+2x-8,請你幫小馬虎求出系數(shù)"

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，小馬虎已經(jīng)將多項式A正確求出，老師又給出了一個多項式C,要求小

馬虎求出A-C的結(jié)果.小馬虎在求解時，誤把“A-C”看成“A+C”，結(jié)果求出的答案為x2-6x-2.請你幫小

馬虎求出“A-C”的正確答案.

37.完全平方公式：(a±=a2+2ab+/,適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題.例如:若a+b=3,

ab=1,求+的值.

解：因為a+b=3,

所以(a+6)2=0,即：a2+2ab+b2=9,又因為ab=1

所以a?+b2=7

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題:

(1)若％+y=8,%2+y2=40,求xy的值；

(2)若(4一式)(％—5)=—8,求(4—%)2+(%—5)2的值；

(3)如圖，點C是線段上的一點，以2C、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)2B=6,兩正方形的

面積和Si+$2=18,求圖中陰影部分面積.

38.下面是小斌同學(xué)進行分式化簡的過程，請認真閱讀并解答問題.

2x+lX2—4

2x+4X2+4X+4

2%+l(L—2)(%+2)

第一步

-2Q+2)(x+2)2

2x+l_x—2

第二步

—2(%+2)x+2

2久+1_2(%—2)

第三步

2(x+2)2(x+2)

_2%+l—2%—2

第四步

2(x+2)

-1

第五步

—2(x+2)

1第六步

2%+4

(1)填空:

a.以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是

b.第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是

①，

②____________________________________________________________,

(2)請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果.

(3)除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就分式化簡時還需要注意的事項給其他同學(xué)

提一條建議.

39.設(shè)4=2a2—a,B=—a2—a,求：

(1)71+B.

(2)A-B.

40.如圖，某市有一塊長（3a+b）m,寬（2a+b）m的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化,

在中間正方形空白處修建一個噴水池.

（1）求綠化的面積;

（2）當(dāng)a=2,b=1時，綠化的面積是多少血2?

（1）化間:（a?-4b）—（2b+4）—（—3a之+稱）

（2）若（1）中的a是最小的非負整數(shù)，|b|=l,且b<0,求（1）中代數(shù)式的值.

42.小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張.

（1）他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）.根據(jù)這個圖形的面

積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是;

（2）如果要拼成一個長為（a+2b）,寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片張，3號

卡片張；

（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長方形）的面積可以

把多項式a2+3ab+2b2分解因式，其結(jié)果是；

（4）動手操作，請你依照小剛的方法，畫出拼圖并利用拼圖分解因式a2+5ab+6b2=.

43.如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為2a+b,寬為a+b的長方形空地，計劃在中間留兩個長方

形噴泉池（圖中陰影部分），兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道.

（1）求該長方形空地的面積；（用代數(shù)式表示）

（2）求這兩個長方形噴泉池的總面積；（用代數(shù)式表示）

（3）當(dāng)a=200,6=100時，求這兩個長方形噴泉池的總面積.

44.將一張如圖①所示的長方形鐵皮四個角都剪去邊長為30cm的正方形，再四周折起，做成一個有

底無蓋的鐵盒，如圖②.鐵盒底面長方形的長是4acm,寬是3acm.

（1）請用含有a的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；

（2）若要在鐵盒的外表面涂上某種油漆，每1元錢可涂油漆的面積為擊cn?,則在這個鐵盒的外

表面涂上油漆需要多少錢（用含有a的代數(shù)式表示）？

45.已知二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象經(jīng)過點P（-2,5）

（1）求b的值并寫出當(dāng)1<XW3時y的取值范圍；

(2)設(shè)Pi(m,yD，P2(m+1,y2),P(m+2,y3)在這個二次函數(shù)的圖象上,

①當(dāng)m=4時，yi,丫2，g能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；

②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，月，丫2，y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明

理由.

46.小王購買了一套房子，他準(zhǔn)備將地面都鋪上地磚，地面結(jié)構(gòu)如圖所示，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)（單位:

米），解答下列問題：

（1）用含x,y的代數(shù)式表示地面總面積為平方米;

（2）若x=5,y=l,鋪地磚每平方米的平均費用為100元，則鋪地磚的總費用為多少元?

（3）已知房屋的高度為3米，現(xiàn)需要在客廳和臥室的四周墻壁上貼壁紙，若所貼壁紙的價格是100

元/平方米，那么用含x的代數(shù)式表示購買該壁紙至少需要元.（計算時不扣除門,

窗所占的面積)

47.對于四個整式：A.2/；B.mx+5；C.-2%；D.n.無論x取何值，B+C+D的值

都為0.

(Dm=,n=；

(2)計算Z+B?C+D+1,并把計算結(jié)果分解因式；

(3)若生T的值是正數(shù)，辜談寫出X的取值范圍.

48.已知a=2+舊力=2-8，求下列各式的值：

(1)a2+b2；

⑵.

ba

49.已知A=b2-a2+Sab,B=3ab+2b2—a2.

(1)化簡：2A-B；

(2)當(dāng)a=—Lb=2時，求24—8的值.

50.現(xiàn)用“☆”定義新運算：x☆y=x3-xy.

(1)計算(x2-1)；

(2)將x+16的結(jié)果因式解.

51.已知a-b=3,ab=4.求.

(1)a+b；

(2)a2+6ab+b2.

52.對于任意四個有理數(shù)a,b,c,d,都可以組成兩個有理數(shù)對(a,b)與(c,d),我們規(guī)定:

(a,by(c,d)=bc-ad.例如：(1,2)'(3,4)=2x3—1x4=2.

根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：

1

(1)(2,—3)'(3,-1)=;

(2)計算(2,—2)'(a,3-a);

(3)當(dāng)x+y=2,xy=-3時，求Q+y,2x+(2x-y,4x—y+5)的值.

53.

(1)已知a+：=l+b，求(a-.)2的值；

(2)已知久=2+魚，求代數(shù)式(久一1)2-2(久一1)+1的值.

54.芳芳計算一道整式乘法的題：(2x+機)(5x-4),由于芳芳抄錯了第一個多項式中加前面的符號,

把“+”寫成“-”，得到的結(jié)果為10/-33x+20.

(1)求加的值；

(2)計算這道整式乘法的正確結(jié)果.

55.已知A=2a2—3a+1,B=a2—5—3a.

(1)當(dāng)a=—2時，求代數(shù)式34—2(4—2B)的值；

(2)試判斷A、B的大小關(guān)系，并說明理由.

56.

(1)化簡5(3a2b—ah2)—4(—ab2+3a26)；

(2)先化簡,再求值：—^x+2(x—1-y2)—(—^x+^y2),其中％=2,y=1.

57.從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖①)，然后將剩余部分拼成一個長方形

(如圖②).

(1)上述操作能驗證的等式是

(2)應(yīng)用你從(1)得出的等式，完成下列各題：

①已知x2-4y2=l2,x+2y=4,求x-2y的值.

②計算：(1噎)(1嚏)(1住)(1^2)-

58.已知3a=4,3b=5,3c=8.

(1)求空+c的值；

(2)求32a-的值.

59.已知多項式M=(2x2+3xy+2y)—2(%2+%+yx+1).

(1)當(dāng)x=l,y=2,求M的值；

(2)若多項式M與字母x的取值無關(guān)，求y的值.

60.若在一個3X3的方格中填寫了9個不同的數(shù)字(正整數(shù))，且使得每行、每列及每條對角線上的

三個數(shù)字之和均相等，則稱這個3x3的方格為“三階幻方”;

(1)如圖1是一個三階幻方，則a=；b=

(3)已知小、n為正整數(shù)，且?。?n,在下面的方格中填寫適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使它能構(gòu)成一個三

階幻方

m+3n

m771+271

m-nm—3n

61.某冰箱銷售商今年四月份銷售冰箱(a-1)臺，五月份銷售冰箱比四月份的2倍少1臺，六月份銷

售冰箱比前兩個月的總和還多5臺.

(1)五月份和六月份分別銷售冰箱多少臺？

(2)六月份比五月份多銷售冰箱多少臺？

62.先化簡或先因式分解，再求值：

(1)y2(y+1)—2y(y2-2y+3),其中y=-1

(2)(%—2y)(x+2y)—2x(2%—y),其中x=1,y=--j-

63.一張如圖1的長方形鐵皮，四個角都剪去邊長為30厘米的正方形，再四周折起，做成一個有底

無蓋的鐵盒如圖2,鐵盒底面長方形的長是4a(cm),寬是3a(cm),這個無蓋鐵盒各個外表面的

面積之和稱為鐵盒的全面積.

4a

圖2

(1)請用a的代數(shù)式表示圖2中鐵盒的全面積；

(2)若鐵盒的底面積是全面積的1,求a的值；

(3)若鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍，求出這個正整數(shù)a的值.

64.已知天平坐標(biāo)托盤中的物體重量為A,右邊托盤中的物體重量為Bo其中A=30(1+tz2)-3(a-

a?),B=34—[Q—2(Q2—CL)—3lci2]o

(1)化簡A和B；

(2)請你想一想，天平會傾斜嗎？如果出現(xiàn)傾斜，將向那邊傾斜？為什么？

65.【閱讀材料】

我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而

運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題.

若%滿足。-3)(%—5)=16,求(％-3)2+(%-5)2的值.

解：設(shè)久一3=a,x—5=b,則ab=(x—3)(久-5)=16,a—b—(x—3)—(%—5)—2,

(x-3)2+(%—5)2=a2+fo2=(a—b)2+2ab=22+2x16=36.

(1)【應(yīng)用】請仿照上面的方法求解下面問題：

若%滿足。-2)(%—5)=10,求(久-2)2+(%-5)2的值；

(2)【拓展】

已知正方形4BCD的邊長為，E,F分別是4XDC上的點，且4E=1,CF=3,分別以MF、DF

為邊長作正方形MFRN和正方形DFGH.

①MF=▲,DF=▲；(用含無的式子表示)

②若陰影部分的面積為16,求長方形EMFD的面積.

66.定義一種幕的新運算：M十/=尢劭+產(chǎn)+。，請利用這種運算規(guī)則解決下列問題：

(1)22?23的值為；

(2)若2P=3,2勺=5,39=7,求2P十2勺的值；

67.閱讀材料：

若x滿足(9-%)(%-4)=4,求(9一支產(chǎn)+(%-4)2的值.

解：設(shè)9—x=a,久一4=b,則(9—久)(久-4)=ab=4,

??CLb—(9-%)+(x—4)=5,

/.(9—%)2+(%—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2x4=17.

類比應(yīng)用：

(1)若(3一久)(％-2)=-1,求(3—％)2+Q—2)2的值.

(2)若(n-2022)2+(2023-n)2=10,則(九-2022)(2023-幾)的值為.

(3)已知正方形力BCD的邊長為a,點P和點R分別是邊力8和。。上的點，且4P=4,CR=2,

分別以BP和。R為邊長作正方形PBEF和正方形OMNR.若圖中陰影部分長方形的面積是4,則正

方形PBEF和正方形DMNR的面積和為.

68.如圖，有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置大致如下：

_____IIII.

ar0/i

(1)去絕對值符號：\a-c\=,|b~a\=；

(2)化簡：\c-b\—\b-a\—\a-\-c\.

69.如圖1,邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方

形(如圖2所示)

(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是(寫成平方差的形式)

(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，它的寬是,長是

面積是.(寫成多項式乘法形式)

(3)比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到公

式.

(4)請應(yīng)用這個公式完成下列各題：

①已知4m2—n2=12,2m+n=4,則2m—n=

②計算：20202_2018x2022=

③計算：(1—擊)Q-+)(1—今)…?！?)(1-萬條)-------------

70.先化簡，再求值：

(1)5(3a2b—ab2)—4(—ab2+3a2b)+ab2,其中a=~^9b=-1.

(2)5x2—[2xy—3(^xy+2)+5%2],其中|2x-1|+(3y+2)2=0

四、實踐探究題

71.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab-b2經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學(xué)問題.

例如：若a+b=4,ab=2,求a2+b2的值;

解：因為a+b=4,ab=2,

所以(a+b)2=16,2ab=4,

所以a2+b2+2ab=16,

所以a2+b2=12.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解答下列問題：

A

(1)若x+y=8,x2+y2=40,求xy的值；

(2)若(4-x)(5-x)=8,貝!J(4-x)2+(5-x)2=；

(3)如圖，點C是線段AB上的一點，以AC,BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=6,兩正方形的

面積和Sl+S2=16,求圖中陰影部分的面積.

72.我們來規(guī)定下面兩種數(shù)：

①平方和數(shù)：若一個三位或者三位以上的正整數(shù)分成左、中、右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=(左邊

數(shù))2+(右邊數(shù))2,我們就稱該整數(shù)是平方和數(shù)，例如：整數(shù)251,它的中間數(shù)是5,左邊數(shù)是2,

右邊數(shù)是1,：22+12=5,.?.251是平方和數(shù)；再例如：3254,：3?+4?=25,二3254是一個平

方和數(shù)；當(dāng)然152,4253這兩個數(shù)也肯定是平方和數(shù)；

②雙倍積數(shù)：若一個三位或者三位以上的正整數(shù)分成左、中、右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=2x左邊

數(shù)x右邊數(shù)，我們稱該整數(shù)是雙倍積數(shù)；例如：整數(shù)142,它的中間數(shù)是4,左邊數(shù)是1,右邊數(shù)是2,

：2xlx2=4,.*.142是一個雙倍積數(shù)；再例如：3305,X3X5=30,，3305是一個雙倍積

數(shù)；當(dāng)然，241,5303也是一個雙倍積數(shù)；

注意：在下列問題中，我們統(tǒng)一用字母a表示一個正整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個正整

數(shù)分出來的右邊數(shù)，請根據(jù)上述定義完成下面問題：

(1)如果一個三位正整數(shù)為平方和數(shù)，且十位數(shù)字是4,則該三位整數(shù)是；如果一個

三位正整數(shù)為雙倍積數(shù)，十位數(shù)字是8,則該三位整數(shù)是；

(2)若一個正整數(shù)既是平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，試探究a、b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)若正整數(shù)all25b為一個平方和數(shù)，a900b為一個雙倍積數(shù)，求a?-信+2b-1的值.

73.閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.

如：將士分母有理化,解：原式=(回就會9)=8+丘

運用以上方法解決問題：

11

已知：0=再萬'6=序？

(1)化簡a,b；

(2)求小—4ab+力2的值.

74.閱讀材料：若加2—2nm+2^2一4n+4=0,求zn,n?的值.

解：m2-2mn+2n2—4n+4=0,(m2—2mn+n2)+(n2—4n+4)=0,

(m—ri)2+(n-2)2=0,/.(m—n)2=0,(n—2)2=0,'.n=2,m=2.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：

(1)已矢口%2+2y2—2;cy+8y+16=0,貝!J%=,y=；

(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+反一4a-8b+18=0,求△ABC

的周長.

75.閱讀材料：

我們知道，2x+3x—尤=(2+3—l)x=4x,類似地，我們把(a+b)看成一個整體，則2(a+b)+

3(a+b)-(a+b)=(2+3-l)(a+b)=4(a+b).“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的思想

方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.

(1)嘗試應(yīng)用：

把。-y)2看成一個整體，求將2(久-y)2-4(%-y)2+(x-y)2合并的結(jié)果；

(2)已知2m—3九=3,求代數(shù)式47n-6n+5的值；

(3)拓廣探索：

已知a—2b=4,b—c=-2,3c+d=6,求(a+3c)—(2b+c)+(b+d)的值.

76.閱讀材料：我們知道，4%-2x+%=(4-2+l)x=3x,類似地，我們把(a+b)看成一個整

體，則4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+4)(a+b)=3(a+6).“整體思想”是中學(xué)教學(xué)解題

中的一種重要的思想方法，它在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛.

嘗試應(yīng)用：

(1)把(a—b)看成一個整體，合并3(a—b)2—6(a-b)2+2(a-b)2的結(jié)果

是.

(2)已知%2-2y=4,求3/-6y—21的值；

(3)已知a—2b=6,2b-c=-8,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.

77.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂

分家萬事休”.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.

閱讀理解：

①如圖1,陰影部分的面積是a2?2；

②若將圖2中的陰影部分剪下來，拼成如圖2的長方形，面積是(a+b)(a-b)；

③比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

(1)問題解決：

①如圖3所示，將一個長為2a,寬為2b的長方形沿圖中虛線裁剪成四個相同的小長方形；

②若按圖4的方式拼出一個大正方形，則這個大正方形的邊長是,大正方形的面積

是.

③若用四個相同的小長方形的面積和陰影部分的面積之和表示大正方形的面積

是.

④比較大正方形的面積，可以得到等式：.

(2)拓展探究：如圖5,整個圖形是邊長為a+b的正方形，請用圖5中所給圖形的邊長與面積,

根據(jù)其中面積的等量關(guān)系，可以得到一個等式：.

78.將兩數(shù)和(差)的完全平方公式(a土b)2=a2±2必+/通過適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學(xué)問

題.

GH

CN

P\E乂

AB

例：若Q-b=4,ab=求小+曠的值.

解：因為a—b=4,ab=1,

所以a?+b2=(a—b)2+2ab=42+2x1=18.

根據(jù)上面的解題思路和方法，解決下列問題：

(1)已知02+力2=56,(a+b)2=100貝【Jab=；

(2)若無滿足(2023-%)2+(%-2020)2=2021,求(2023-%)(%-2020)的值；

(3)如圖，在長方形力BCD中,4B=10,BC=6,J^、E,F分別是BC,CD上的點，且BE=DF=x,

分別以FC,CE為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN,若長方形CEPF的面積為35,求

圖中陰影部分的面積之和.

79.【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+

2V2=（1+V2）2.善于思考的小明進行了以下探索：若設(shè)a+6位=（m+冗日）2=巾2+2n2+

2mnV2（其中a、b、n均為整數(shù)），則有a=+2層，b=2mrt.這樣小明就找到了一種把類

似a+b/的式子化為平方式的方法.請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

【問題解決】

（1）若a+=（m+n"西/，當(dāng)a、b、m>n均為整數(shù)時，則a=,b=.（均

用含m、n的式子表示）

（2）若x+4舊=（m+n*Q）2,且％、n均為正整數(shù)，分別求出％、n的值.

（3）【拓展延伸】

化簡正+2逐=.

80.【閱讀理解】

若%滿足(45-x)(x-15)=200,求(45-%)2+(%-15>的值.

解：設(shè)45-x=a,x—15=b,則(45-x)(x-15)=ab=200,

a+b=(45—%)+(%—15)=30,

(45-%)2+(%-15)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=302-2x200=500,

我們把這種方法叫做換元法.利用換元法達到簡化方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

【解決問題】

(1)若無滿足(20-嗎(久-5)=50,則(20-%)2+(尤-5)2=；

(2)若久滿足(2022—%)2+(久-2000)2=244,求(2022一久)(％—2000)的值；

(3)如圖，在長方形中，AB=12cm,點E,F是BC,CD上的點，EC=8cm,且BE=OF=%,

分別以FC,CB為邊在長方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CBMN,若長方形CBQF的面積為60cm2,

求圖中陰影部分的面積和.

81.【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第49頁B組的第12題和第13題.

12.已知a+b=3,ab=2,求(^+房的值.

13.已知a—b-1,a2+b2—25,求ab的值.

【例題講解】老師講解了第12題的兩種方法:

方法一方法二

<a+b=3,(a+b)2=a2+b2+2ab

(a+b)2=9.a2+b2=(a+b)2—lab.

/.a2+岳+2ab

=9.ab=2,a+b=3,

ab=2,

.*.a2+62=9—4=5.

a2+b2=9—2ab=9—4=5.

（I）【方法運用】請你任選第12題的解法之一，解答教材第49頁B組的第13題.

（2）【拓展】如圖，在△4BC中，乙4cB=90。，分別以4C、BC為邊向其外部作正方形4cOE和

正方形BCFG.若2C+BC=6,正方形ACDE和正方形BCFG的面積和為18,求△