2024屆甘肅省定西市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3甘肅省定西市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題1若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故選：A.2.的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故選：B.4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又，所以．故選：A5.函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，因?yàn)?，令，得，或，則時(shí)，，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A符合題意,故選：A.6.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,，則（）A.4 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由圖象可知，則，因?yàn)?，所以，所以，由，得，即，因?yàn)?，所以，則，則，因?yàn)?，，所以，解得（?fù)根舍去），所以，故.故選：B.8.在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃校?，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)?，所以，解?負(fù)根舍去)，所以.故選：D.二?多選題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.的子集個(gè)數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于ABC，因?yàn)椋?，即，所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；對(duì)于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)C當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗令，得，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)．故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11.下列命題為真命題的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于AB，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，所以的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題12.在中，角的對(duì)邊分別為，且，則__________，〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則，所以由正弦定理可得.故〖答案〗為：.13.已知某廠甲?乙兩車(chē)間生產(chǎn)同一批衣架，且甲?乙兩車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，甲?乙車(chē)間的優(yōu)品率分別為．現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件，則取到優(yōu)品的概率為_(kāi)_________．（用百分?jǐn)?shù)表示）．〖答案〗〖解析〗設(shè)分別表示產(chǎn)品由甲、乙車(chē)間生產(chǎn)；表示產(chǎn)品為優(yōu)品，由題可得：，故.故〖答案〗為：.14.提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有______種.〖答案〗6120〖解析〗假定涂色順序?yàn)槿?、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故〖答案〗為：6120.四?解答題15.甲?乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒(méi)有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立，（1）求該比賽三局定勝負(fù)的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，則該比賽三局定勝負(fù)的概率為.（2）依題意，的可能取值為2，3，4，則，，，則的分布列為234故.16.如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，且.（1）證明：.（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以，又，所以，則，又平面，平面，所以，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，故，則，所以，則，即.（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，取，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，所以.所以.17.在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，（1）計(jì)算；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)排列滿足，求，解：（1）在排列中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)?，所以，所以，所?18.設(shè)函數(shù)，（1）證明：.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.證明：（1）因?yàn)椋涠x域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，證畢.（2）當(dāng)時(shí)，，而，要證，即證，即證，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，故只需證明，由（1）知，在上成立，故，即成立.19.雙曲線上一點(diǎn)到左?右焦點(diǎn)的距離之差為6，（1）求雙曲線的方程，（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，解：（1）依題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，，設(shè)，則，又，直線，直線，聯(lián)立，兩式相除，得，即，解得，所以點(diǎn)在定直線上，因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為.甘肅省定西市2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題1若向量，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，解?故選：A.2.的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故選：B.4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，又，所以．故選：A5.函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，因?yàn)椋?，得，或，則時(shí)，，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)A符合題意,故選：A.6.已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（）A.為定值 B.為定值C.為定值 D.為定值〖答案〗D〖解析〗依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,，則（）A.4 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋蓤D象可知，則，因?yàn)?，所以，所以，由，得，即，因?yàn)?，所以，則，則，因?yàn)椋?，所以，解得（?fù)根舍去），所以，故.故選：B.8.在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，因?yàn)樵诰匦沃?，，所以，因?yàn)榈酌?，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因?yàn)?，所以，解?負(fù)根舍去)，所以.故選：D.二?多選題9.設(shè)集合，則（）A.B.的元素個(gè)數(shù)為16C.D.的子集個(gè)數(shù)為64〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于ABC，因?yàn)?，所以，即，所以有個(gè)元素，故A錯(cuò)誤，BC正確；對(duì)于D，而有個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)C當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗令，得，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，或，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)或只有1個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；當(dāng)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)．故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.11.下列命題為真命題的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，易知點(diǎn)的軌跡是拋物線的上半部分，拋物線的準(zhǔn)線為直線到準(zhǔn)線的距離，為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于AB，，所以的最小值為，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD，，所以的最小值是，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題12.在中，角的對(duì)邊分別為，且，則__________，〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以由正弦定理可得.故〖答案〗為：.13.已知某廠甲?乙兩車(chē)間生產(chǎn)同一批衣架，且甲?乙兩車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，甲?乙車(chē)間的優(yōu)品率分別為．現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件，則取到優(yōu)品的概率為_(kāi)_________．（用百分?jǐn)?shù)表示）．〖答案〗〖解析〗設(shè)分別表示產(chǎn)品由甲、乙車(chē)間生產(chǎn)；表示產(chǎn)品為優(yōu)品，由題可得：，故.故〖答案〗為：.14.提供6種不同顏色的顏料給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不能涂相同顏色，則不同的涂色方法共有______種.〖答案〗6120〖解析〗假定涂色順序?yàn)槿簟⑼肯嗤伾?，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂相同顏色，則有種涂法；若、涂不同顏色，、涂不同顏色，則有種涂法；故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方法共有種.故〖答案〗為：6120.四?解答題15.甲?乙兩人進(jìn)行中國(guó)象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒(méi)有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立，（1）求該比賽三局定勝負(fù)的概率；（2）在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）該比賽三局定勝負(fù)意味著甲、乙兩人前面三局有一人連贏，則該比賽三局定勝負(fù)的概率為.（2）依題意，的可能取值為2，3，4，則，，，則的分布列為234故.16.如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，且.（1）證明：.（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以，又，所以，則，又平面，平面，所以，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，故，則，所以，則，即.（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，取，則，故，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，則，所以.所以.17.在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，（1）計(jì)算；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)排列滿足，求，解：（1）在排列中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)?，所以，所以，所?18.設(shè)函數(shù)，（1）證明：.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.證明：（1）因?yàn)?，其定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，證畢.（2）當(dāng)時(shí)，，而，要證，即證，即證，設(shè)，則