2024年高考二輪復(fù)習(xí)測數(shù)學(xué)試卷（全國卷理科專用）（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)測試卷（全國卷理科專用）

第I卷（選擇題）

一、選擇題

1.已知全集。={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,4},B=[2,5},貝iJ@A）u3=（）

A.{1,2,4,5}B.{2}C.{0,3}D.{0,2,3,5}

K答案XD

K解析H由題意全集。={。全2,3,4,5},集合A={1,2,4},B={2,5},則gA={0,3,5},

國48={0,2,3,5}.

故選：D.

2.復(fù)數(shù)（2+i）（-l+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

K答案XB

K解析》由題意知（2+i）（-l+i）=-3+i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為該點(diǎn)

在第二象限.故B正確.

故選：B.

3.己知。=（1,0）,|6|=1,|a-b|=JL則。與q—b的夾角為（）

71712兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

k答案XA

K解析X由得7_2〃心+/=3，而|。|=1,|匕|=1,貝！

十日一二人-2-3,-a-（a-b）V3，八,,、

于是〃?（〃―/7）=〃-a-b7=—,貝nt!lJcos〈a,。一力=--------=——,而0＜〈〃,〃一?！怠敦＃?/p>

2\a\\a-b\2

TT

所以。與a-b的夾角為〈心。-力=:.

故選：A

x-y+5>0

4.若實(shí)數(shù)x,y滿足,貝V=x+y的最大值為（）

0<x<2

A.5B.7C.9D.6

［答案工C

K解析工作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.

設(shè)2=工+>得,=—X+Z,

平移直線y=r+z,

由圖象可知當(dāng)直線y=f+Z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-x+z的截距最大,

此時(shí)Z最大.

fx-y+5=0,fx=2

由;，解得,，即42,7),

[元=2[y=7

代入目標(biāo)函數(shù)2=工+、得z=2+7=9.

即目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為9

故選：C.

5.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差x（單位：。C）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（單位：人）的關(guān)系,

該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：

X568912

y1620252836

由上表中數(shù)據(jù)求得溫差尤與新增感冒人數(shù)丫滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=/u+2.6,則下列結(jié)論不正

做的是（）

A.*與y有正相關(guān)關(guān)系B.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）

c.b=2AD.x=9時(shí)，殘差為0.2

（答案UC

K解析》由表格可知，x越大，v越大，所以x與y有正相關(guān)關(guān)系，故A正確;

_5+6+8+9+12?_16+20+25+28+36”

x=--------------------=8,y=----------------------------=25,

55

樣本點(diǎn)中心為（8,25）,經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（8,25）,故B正確；

將樣本點(diǎn)中心代入直線方程，得25=茄+2.6,所以2=2.8,故C錯誤；

y=2.8x+2.6,當(dāng)x=9時(shí),y=27.8,y-y=28-27.8=0.2,故D正確.

故選：C

6.1+的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.1B.5C.10D.20

K答案1c

k解析U二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為￡+]=C*5-[1|=C*53,

令5-2左=1,即左=2,有7；=C*5N=10%,

故x的系數(shù)為10.

故選：C.

7.若a>0,b>0,則"23是。+6>3的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（答案XA

K解析1當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤?gt;0,b>0,所以。+622疝22君>3,

即可以推出a+b>3,充分性成立；

35355

當(dāng)a+Z?>3時(shí)，比如取〃=—,6=一,止匕時(shí)有a+b>3,但QZ?=—x—=—<3,

23232

所以當(dāng)a+b>3時(shí)，不能推出次?23,必要性不成立；

故"之3是a+Z?>3的充分不必要條件.

故選：A

8.函數(shù)y=/（%-1）關(guān)于直線光=1對稱，且/（九）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，則（

33

A./(0.2^)>/(-0.5)>/(log30.5)B./(-0.5)>/(log30.5)>/(0.2^)

33

C./(log30.5)>/(-0.5)>/(0.2^)D./(0.2^)>/(log30.5)>/(-0.5)

K答案UD

k解析》函數(shù)y=/(x)的圖象可由函數(shù)y=的圖象向左平移1個單位而得，因此函

數(shù)>=/(?的圖象關(guān)于y軸對稱，

03

則/(0.243)=/(5),/(-0.5)=/(0.5),/(log30.5)=/(-log32)=/(log32),

03

顯然0.5=log3<log32<log33=l<5-,又廣⑺在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增,

于是/(0.5)</(logs2)</(503),所以/(0.2-°3)>“l(fā)ogs0.5)>/(-0.5).

故選：D

9.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且s?=當(dāng)二，則下列說法正確的是（）

4

A.??<a?+iB.Sn>Sn+lC.2a?+Sn=lD,0<a?<-

（答案UD

3-21

k解析U當(dāng)”=1時(shí)，6!1=,

3"-23"T-24

當(dāng)“22時(shí),an=Sn-Sn-l

所以〃=1不滿足"22的情況,

3

所以%=彳4，

—,n>2

[3"

對于A：當(dāng)“22時(shí)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：（4>言4，所以%>。用，故A錯誤;

對于B：因?yàn)?,用7.=卡甲+1-0-4〃￥一,=54>0,所以故B錯誤；

對于C：當(dāng)〃=1時(shí)，2〃1+51=3〃1=1,滿足;

當(dāng)月22時(shí)，2a“+S,=§+匕2=2土不滿足,

nn3〃3〃3〃

故2%+5“=1不恒成立，故C錯誤；

1（4~

對于D：當(dāng)〃=1時(shí)，0,§,滿足；

44

當(dāng)“22時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知%為遞減數(shù)列，此時(shí)見4出=§，

44

且2>0恒成立，所以0<?！?、，也滿足；

4.

所以0<%<3，故D正確；

故選：D.

10.已知圓。的方程為Y+y2=9,直線/過點(diǎn)尸（1,2）且與圓。交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)弦長

最短時(shí)，OM-MN=（）

A.-4B.-8C.4D.8

k答案』B

K解析H

當(dāng)MN最短時(shí)，直線/，。尸,

|OP|=Vl2+22=75,

孫=2收一國2=4,

一四”=一8.

OM-MN^\OM\-\MN\cos(n-ZOMN)=

故選：B.

2

11.已知雙曲線C：尤2-齊=1（。>0,6>0）的左，右頂點(diǎn)分別為A,3,點(diǎn)尸在雙曲線C上,

過點(diǎn)B作無軸的垂線BM,交B4于點(diǎn)若/RB=/PBM,則雙曲線C的離心率為（）

A.0B.73C.2D.3

（答案IA

K解析》設(shè)網(wǎng)也〃），可得病-，~=1,

過P作x軸的垂線，垂足為N,所以尸N,AN,

又因?yàn)開L4V,NB4B=NPBM,所以APANs^BPN,

PN

可得---二前即|PN「=|⑷V|.|3N|,所以"2=(根—1)(m+1),/=〃_i

BN

2_

結(jié)合I”?-3=1,可得6=1,又。=1,C=3

b~

所以雙曲線的離心率為《=￡=0.

故選：A.

12.已知e"+sinx2ax+l對任意%€[。,+°°)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(

A.(-8,2]B.[2,+co)C.(-<?,1]D.[l,+oo)

K答案XA

(解析U^-/(x)=ex+sinx-cix-l,x>0,則/>'(%)=e*+cosx-。，

由題意可知：〃力之0對任意》目0,包)恒成立，且/'(0)=0,

可得((0)=2-/0,解得aW2,

若aW2,令g(x)=—(x),x20,

則g,(%)=eA-sinx>l-sinx>0,

則g(x)在[0,+8)上遞增，可得g(x)2g(O)=2-°20,

即/'(力"對任意%?0,小)恒成立，

則/⑺在[0,+e)上遞增，可得/(x)>/(0)=0,

綜上所述：a<2符合題意，即實(shí)數(shù)”的取值范圍為

故選：A.

第II卷(非選擇題)

二、填空題

1?2?

一tbr,lI71.Isina+sinacosa附/土江

13.已知tana=7,則---------------的值為_______.

2cosa+1

1

K答案可

3

sina+smacosa_sina+sinacosa_tana+tana

K解析H

cos2a+12cos2+sin2a2+tan2a

11

1?…sir?a+sinacosatan2cr+tantz4+71

2cos2a+12+tan2a13

9Zn---

4

故［［答案》為：

14.甲、乙二人用7張不同的撲克牌(其中紅桃4張，方片3張)玩游戲.他們將撲克牌洗

勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.則甲、乙二人

抽到花色相同的概率為.

3

k答案》|

k解析X因?yàn)橐还灿?張不同的撲克牌(其中紅桃4張，方片3張)，甲先抽，乙后抽，

所以甲、乙二人抽到花色相同的情況有：

①甲先抽到紅桃，乙后抽到紅桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，

所以甲、乙二人抽到花色相同的概率為三、=+三義工=三.

76767

3

故［答案］為：

15.已知/(%)=(%+〃+/?),若/(%)為偶函數(shù),則〃=__________.

Vx+b)

K答案X-

［解析［函數(shù)/(x)=(x+a+?lnh+-L7］=(x+Q+》)ln1￡1^］有意義，貝!

Vx+b)［x+b)x+b

解得x>-b^x<-b-l,所以函數(shù)/(九)定義域?yàn)?b-1)u(-Z?,+00),

因?yàn)?⑺為偶函數(shù)，則有4-1+(-6)=0,解得b=-g,

X+1

所以+——2.f(-x)=［-x+a-^\ln—2-,

X'J%+—

~22

111

x-\—x—XH----

_21Y_2I

由/(%)=/(一%),有+=—x+Q—In=X-CL~\----

1212

x——x+—X——

222

則有"卜科，所以"4故咯案』為"

16.在正四棱柱ABC。-4月62中，48=2,44,=4,平面a與棱朋,3練CG，。。1分別交

于點(diǎn)M,E,N,F,其中E,尸分別是B綜DQ的中點(diǎn)，且從CLME,貝I]=

K答案H3

k解析X因?yàn)槠矫鎍經(jīng)過棱8綜。2的中點(diǎn)，所以四邊形"ENF為菱形，

連接AC、BD,EF、MN,令EFMN=O,

則AC_L5￡),又M，底面A3C￡>,BDu平面ABCD,

故又AC、Mu平面44。，且ACHA41=A,

故皮)，平面MC,又瓦尸分別是B練。。的中點(diǎn)，故EFIIBD,

故EF,平面44。，由4Cu平面AAC,故EF^AC,

又因?yàn)锳C_LME,EF、MEu平面MENF,EFME=E,

故AC_L平面MEN/,又MNu平面MENF,

故ACLMN,則△A|M。與，AC4相似，

AC==22+2。=2\/2，4C=J4-+僅＞/5)=2-\/6,

]r~

故有裝=黑，即AM5a6,即AM=3.故R答案R為：3.

ACAA小一

三、解答題

（一）必考題

17.（12分）

2+12

已知數(shù)列｛（｝中，4=l,na?+i=（?）a?.

（1）求?！?；

,n+15

（2）設(shè)2=------，求證：bx+b2++bn<—.

冊.冊+216

（1）解：由題意，得肅臚=叁，故［為常數(shù)列.

72+1n+1_1F11

(2)證明：bn=------2

aa〃2.(〃+2)2-4n("+2)2

n'n+2

故。+力2+…+2

\/\/\

11111

——+---------------------------------------+---------------------------------

[(If("I)1(EK

1「1111]5

2

414(n+1)(〃+2)2」16

18.假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對該地區(qū)w名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上

半年前6個月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間。5,1」內(nèi)，

其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a,b,c"滿足d=c+0.5=b+l=a+1.5,

且從左到右6個小矩形依次對應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400.

(1)求a,b,c,d的值;

（2）現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查,

①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù);

②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量

X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，第五小組的頻率為0.8x01=0.08,又因?yàn)榈谖逍〗M的

9400

頻數(shù)為2400,所以樣本容量"==30000.

0.08

因?yàn)榈诹〗M的頻率為0.2x01=0.02,所以第六小組的頻數(shù)是30000x0.02=600.

由頻率之和為1,得(Q+/?+C+d+0.8+0.2)x0.1=1,

以a+b+c+d=9.

因?yàn)轭l率分布直方圖中的々也滿足d=c+0.5=〃+l=々+1.5,

所以0=〃+0.5,c=Q+l,d=tz+1.5.

所以代入a+人+c+d=9中，

a+a+0.5+Q+l+a+1.5=9,

得4a+3=9,解得Q=1.5.

所以Z?=2,c=2.5,d=3.

(2)①因?yàn)榍?組的頻率之比為a:A:=1.5:2:25:3=3:4:5:6,

且現(xiàn)從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，

所以在[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9)應(yīng)該抽取的人數(shù)分別是

18x-------------=3,18x--------——=4,18x-------------=5,18x--------------=6.

3+4+5+63+4+5+63+4+5+63+4+5+6

②由題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值是0』,2,3.

則尸(X=0)=]=*尸(X=l)=管=!|,尸(X=2)=詈=||,尸—3)京$

故隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

418191o

故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為萬強(qiáng))=0><石+k石+2x升+3x至=上

19.如圖，在三棱錐。-鉆。中，平面平面ABC,..ABC為等腰直角三角形，其中

AB=BC=1,E為。C中點(diǎn).

D

(1)證明：平面。3C_L平面ZMB；

(2)已知/D4B=120,二面角E-AB-D的大小為45,求三棱錐Z>-ABC的體積.

(1)證明：由題知，平面ABE>_L平面ABC,

且平面ABDc平面ABC=AB,

又.ABC為等腰直角三角形，其中AB=3C=1,

所以CB_LAB,又CBu平面ABC,

則CB_L平面AB￡),

又CBu平面D3C,

則平面DBC±平面DAB.

由平面ABDJ_平面ABC,平面ABDc平面ABC=AB,

知上上平面ABC,

因?yàn)镹D4B=120,所以ZDA尸=60,

設(shè)融=。，則。4=2<7,。下=嗎，

以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立C8,AB所在直線為x,y軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則3(0,0,0),A(0,-1,0),*0,-1-a,0),。倒,一1-a,萬a)C(-1,0,0),

因?yàn)镋為。C中點(diǎn)，所以E

1+Q

則&4=(0,-I,0),BE=--

設(shè)平面EAB的法向量為〃=（尤,％z）,

-y=0

n?BA=0

則x1+aJia

n-BE=O--------yH--------z=0

222

令z=l,貝“y=0,x=y[3a,

則”=（底,0,1）,

又由⑴得，平面麗的一個法向量機(jī)=（1,0,0）,

?I\m-n\=也

所以?則=卜目=--

cos一彳’

|制|川IxJ3a2+1

解得4=避^或。=-理（舍）,

33

故DF=島=1,

則三棱錐D-MC的體積叱=｝苧xl=g

20.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為（-26,0）,長軸長為8.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）記E的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)C（2,0）的直線/與￡交于M,N兩點(diǎn)（M,N均

不與A,B重合），直線與A?交于點(diǎn)P,試探究點(diǎn)P是否在定直線上，若是，則求出該

直線方程；若不是，請說明理由.

22

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為=+2=1（。>6>0）,依題意，可得

ab

C=2A/3

a=4

2a=8解得

b=2

b2+c2-a2

22

故所求E的標(biāo)準(zhǔn)方程為次》「

(2)

由(1)可得A(T,O),8(4,0),設(shè)M(X，M，N(孫力),

顯然直線I的斜率不為0,所以設(shè)直線I的方程為尤=陽+2,

、q[x=my+2

聯(lián)立q2+4丁=16'

消去x得(m2+4)/+4my-12=0,且△=64(m2+3)>0,

/|YYI]2

則%+%=一；77?%%=一；^，阿為=3(必+幻，

直線MM的方程為>=一”(％+4),直線A?的方程為y=上;(％-4),

%+4x2-4

聯(lián)立直線MA的方程和直線NB的方程可得

x+4=丫2a+4)=%。孫+6)="明%+6%=3%+3%+6%=3%+9%=3

x-4%(9-4)%(加%-2)myly2-2yl3弘+3%-2必%+3%

由￥三+4=3得，x=8,即%=8,

由此可得點(diǎn)P在定直線x=8上.

21.已知函數(shù)

(1)當(dāng)4=1時(shí)，求/⑺的圖象在點(diǎn)(。,〃。))處的切線方程;

(2)若函數(shù)g(x)=〃尤)+」一有2個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

I6Z

解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，〃"=叱；),"0)=0,

x+2_ln(無+1)1

41—L2,(⑼=5,

(%+2)2

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，/(%)的圖象在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=gx；

⑵g(x)=3+-U

ax+a+lax+a

令g(x)=0,即1仆+1)=_J；

ax+a+1ax+a

整理為：a(x+l)ln(x+l)+〃(x+l)+l=0,

設(shè)，=x+l>0,

即a，ln，+a，+l=0,貝!Ja〃(ln、+l)+l=0,

化簡為In.H---F1=0,。>0,

at

設(shè)力⑺=InZH--1-1,

〃⑺=1—g=21'令〃。)=0，得/=L〃〉0,

''tatat、'a

當(dāng)0<.<!，單調(diào)遞減，

當(dāng)然；,/(。>0,單調(diào)遞增，

所以當(dāng)r時(shí)，函數(shù)〃⑺取得最小值，彳￡|=-lna+2,

若函數(shù)g(x)有2個零點(diǎn)，即函數(shù)有2個零點(diǎn)，

所以-lna+2<。，得a〉?2,

h(l)=j+l>0,則/7、4(1)<0,則在區(qū)間有1個零點(diǎn),

,rn.1efl.ea,ea-a2+a

Deflaaa

設(shè)x)=e*-d+%,A：>e2,

mz(x)=ex-2x+l,設(shè)加(x)=〃(％)=e*—2x+l,

"(x)=e"—2>0,所以加(x)=〃(%)在(d,+8)上單調(diào)遞增,

m/(x)>m'(e2)>0,則m(x)=ex-x2+x在(e2,+oo)上單調(diào)遞增,

m(x)>m(e2)>0,即彳j[〉。，則

根據(jù)函數(shù)大單調(diào)性可知，在區(qū)間I5]1有1個零點(diǎn)，

所以函數(shù)g(x)有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是(e\+00).

(二)選考題

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

2t

22.在直角坐標(biāo)系g中，曲線C的參數(shù)方程為J（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為2pcose-0sine+2=O.

（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;

（2）判斷直線/與曲線C的交點(diǎn)個數(shù)，若有兩個交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離.