數(shù)值分析版試題及答案

例1、函數(shù)表

-112

/（X）-304

求/（X）的Lagrange二次插值多項(xiàng)式和Newton二次插值多項(xiàng)式。

解：

（1）由題可知

插值基函數(shù)分別為

/()(x)=

（與一百乂殉一巧）（-1-1）（-1-2）6

(一0)(一2)=(x+l)(x-2)=一；(兄+1)(%_2)

1(X1-與)(西-尤2)(l+l)(l-2)

（一x—人與。）（：元一人百口）人丁+，人〈二士1（犬_1）卜+1）

，2(%)=

（工2-％o）（巧-再）（2+1）（2-1）3

故所求二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為

2

W

左=0

=-3x：(x-l)(x-2)+0x-g1(x+l)(x-2)+4x；1(x+l)(x-l)

23

14

=一/(%T)(%_2)+§(%+1)(%T)

2

5237

=—X+—x——

623

12）一階均差、二階均差分別為

〃勾)―/(甌)30=3

丹與，尤1]=

殉—X]—1—12

〃尤1)-〃巧)_0一4

/[和%]=——葉

西一巧1-2

3_

.]/[/，為]一升和巧]2~5

/與，和它=--------------1=十一;

6

x0-x2-1-2

均差表為

xk/（4）一階二階

-1-3

103/2

2445/6

故所求Newton二次插值多項(xiàng)式為

鼻（力=〃%）+H%0聞（%-%0）+/%0，和巧］（工一%0乂%-西）

35

=-3+-（x+l）+-（x+l）（x-l）

2o

5237

=—x+—x——

623

例2、設(shè)/（x）=%2+3%+2,XG［0,1］,試求/（x）在［0,1］上關(guān)于"（%）=1,（I）=span{l,x}的

最正確平方逼近多項(xiàng)式。

解:

假設(shè)①=span{1,%},那么0o（x）=l,q\{x）=x,且=這樣，有

11]

（00，%）=口公=1，（/，/）=J%2d%

003

1]1

（。0,）=（。1,00）=jxdx=—,（九。o）=J（x2+3x+2）dx=一

2）6

o0

19

(九。1)=卜仔+3x+2^dx=—

o4

所以，法方程為

]_23

1

2。0~6

119

234

再回代解該方程,

故，所求最正確平方逼近多項(xiàng)式為S；(尤)=1+4x

6

例3、設(shè)/(x)=ex,XG［0,1］,試求/(x)在［0,1］上關(guān)于夕(x)=l,①=span{l,x}的最正確

平方逼近多項(xiàng)式。

解：

假設(shè)①=span{1,%},那么0o（x）=l,（pi{x）=x,這樣，有

（。0，冽）==l

0

1]

（例，9]）=卜2公=,

03

11

（。0，01）=（。1，。0）=jxdx=—

o2

1

（九。0）=Jexdx=1.7183

o

i

（九例）=公=1

o

所以，法方程為

1-

2%1.7183

1]_1

23

解法方程，得到頊=0.8732,q=1.6902,

故，所求最正確平方逼近多項(xiàng)式為

S：（x）=0.8732+1.6902%

例4、用“=4的復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分元。

解：

(1)用〃=4的復(fù)合梯形公式

由于力=2,1(%)=?,“=1+2左仕=1,2,3),所以，有

力3

=/⑴+2Z〃4）+〃9）]

乙k=l

°

=5函+2*（若+際+何+兩

=17.2277

[2）用〃=4的復(fù)合辛普森公式

由于Zz=2,f（x）=y[x9%左=1+2%（4=1,2,3）,x1=2+2左（左=0,1,2,3）,所以，有

k-\■一

2

^yfxdxbS4

L3f\3

=["⑴+?x+2Z〃4)+〃9)]

ti

6k=o<k~\—27k=l

例5、用列主元消去法求解以下線性方程組的解。

12國(guó)一3%2+3%=15

<—18西+3%2一g=—15

為+巧+%3=6

解：先消元

■12-3315■

(A|b)=-183-1-15

1116

--183-1-15

->12-3315

1116

7-183-1-15

，第1行x(r%)+第2行T■第2行

------1-----------：------------------->0-17/35

砥1=-=第1行x(-砥？+第3行f第3行

1807/617/1831/6

-183-1-15

07/617/1831/6

0-17/35

%2=-2第2行x(一?2)+第3行->第3行-183-1-15

------1----------------------------->07/617/1831/6

0022/766/7

再回代，得到為=3，九2=2,再=1

所以，線性方程組的解為題=1,巧=2,叼=3

例6、用直接三角分解法求以下線性方程組的解。

111

~X1+-x2=9n

111

<—Xj+—%2+二%二8o

+2電—8

解:

設(shè)

j_J_j_

「0°口"11"12“13

“22

A=---=l2l100"23~LU

Ll，321JL°0

1“33_

-12

_2_

那么由A=￡。的對(duì)應(yīng)元素相等，有

_1_1_1

un=~9"12=>ui3=~^9

，2幽1=~^hi=~94IMH=/n，3]=2，

_11_11

41"12+〃22=：n〃22=_7X，41〃13+〃23=~^u23=~

460545

13

I3M2+132收2=1n/32=-36,，31413+，32〃23+%3=2=與3=百

因此,

-j_1J_

-100一456

八11

A=LU=3100————

36045

2-361

0八0八—13

15

100L-

%9

解=/?,即-10為=8，得％=9，為=-4，乃=-154

3

一為一8

2-361

456一為一-9一

0」」

解C/x=y,即芍=-4，得與=-177.69,x2=476.92國(guó)=—227.08

KAJvnjr4j5

，3_-154

0c0c—13

15

所以，線性方程組的解為國(guó)=-227.08,芍=476.92,^=-177.69

1、假設(shè)A是〃x〃階非奇異陣，那么必存在單位下三角陣L和上三角陣U,使

A=LU唯一成立。〔〕

2、當(dāng)〃28時(shí)小匕\￥1：011—（：01匕0型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性?！病?/p>

bn

f/（x）dxu（巧）

3、形如"i=i的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度

的次數(shù)為2"+1。（〕

10、

A=111

4、矩陣1°12）的2—范數(shù)同2=9。[）

’2aa0、

A=0a0

5、設(shè)b0?，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)。。。，方程組芥=。都是病態(tài)的。（用質(zhì)8）

6、設(shè)AeR』，QGR"",且有/（單位陣），那么有聞2T創(chuàng)2。

（〕

7、區(qū)間以用上關(guān)于權(quán)函數(shù)卬⑴的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯一。（〕

1、（X〕2、（V）3、（X〕4、（V〕5、（X]

6、（V〕7、（X）8、（X〕

一、判斷題（10XJ）

1、假設(shè)A是冏階非奇異矩陣，那么線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解。

（x）

2、解非線性方程五x）=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。（7）

3、假設(shè)A為〃階方陣，且其元素滿足不等式

>1

洋1

那么解線性方程組AX=6的高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。（X）

4、樣條插值一種分段插值。（7）

5、如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。（7）

6、從實(shí)際問題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及

舍入誤差。（7）

7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX=^。（X）

8、迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開始估計(jì)，直到最后一步迭代

計(jì)算的舍入誤差。（X）

9、數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，那么誤差的最正確分配原那么

是截?cái)嗾`差=舍入誤差。

（N）

10、插值計(jì)算中防止外插是為了減少舍入誤差。X)

1000i

1.用計(jì)算機(jī)求ZE時(shí)，應(yīng)按照〃從小到大的順序相加?！玻?/p>

n=l〃

2.為了減少誤差，應(yīng)將表達(dá)式同51-Ji頡改寫為~^=^^=進(jìn)行計(jì)算?！矊?duì)）

V2001+V1999

3,用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時(shí)，步長(zhǎng)越小計(jì)算就越精確。（）

4.用迭代法解線性方程組時(shí)，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)

項(xiàng)無關(guān)。（〕

復(fù)習(xí)試題

一、填空題：

-4-101

A=-14-1A=

04

1、LTJ,那么A的LU分解為L(zhǎng)JLJo

-1-4-10

A=-1/4115/4-1

a宏0-4/15156/15

答案：-

2、/(I)=1.0,/⑵=12/⑶=1.3那么用辛普生〔辛卜生〕公式計(jì)算求得

f3

Lf(x)dxu用三點(diǎn)式求得廣⑴

答案：2.367,0.25

3、/（1）=-1,*2）=2,/（3）=1＞那么過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中/的系數(shù)為

拉格朗日插值多項(xiàng)式為____________________________

￡2(X)=1(%-2)(^-3)-2(X-1)(X-3)--(X-W-2)

答案：-1,~22

4、近似值%*=0.231關(guān)于真值工=0.229有（2）位有效數(shù)字;

5、設(shè)/（%）可微，求方程x=/（x）的牛頓迭代格式是（）；

%一1Q")

Xn+1=Xn

答案1-/U)

6、對(duì)/（x）=x3+x+l,差商/[0,1,2,3]=（1）（/[0,1,2,3,4]=（0）；

7、計(jì)算方法主要研究（截?cái)啵┱`差和（舍入）誤差；

8、用二分法求非線性方程/（x）=0在區(qū)間（。力）內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為

b-a

(2.)；

10、汽1)=2,汽2)=3,汽4)=5.9,那么二次Newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為(0.15);

11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式J。八"(°22^/32^/3)，代數(shù)精度

為(5);

12、解線性方程組Ax=》的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為

零)。

s346

y=10H-------1--------2---------3-

13、為了使計(jì)算'—I(X—1)(X—D的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)

式改寫為一一1°+(3+?_6')山_二7_,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式同^~-如藥

2

改寫為J2001+J1999。

14、用二分法求方程/(X)=x3+x-l=°在區(qū)間［0山內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為

0.5,1.進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5,0.75o

plI—

15、計(jì)算積分Jos'xd'取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為04268,用

辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為0.4309,梯形公式的代數(shù)精度為，，辛卜生公

式的代數(shù)精度為3。

3%+5x=1f靖+i)=(1-5x產(chǎn))/3

<2<

16、求解方程組［02XI+4X2=。的高斯_塞德爾迭代格式為」x"…尸/20該迭代

1

格式的迭代矩陣的譜半徑P(M)=_12_。

17、設(shè)/(0)=0,/(1)=16"(2)=46,那么。(x)=_。(尤)=-%(%-2)的二次牛頓插

值多項(xiàng)式為_N2(X)=16X+7X(X—1)_。

bn

f/(x)dx?

18、求積公式k=。的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有

(2〃+1)次代數(shù)精度。

I

19、/(1)=1/(3)=5/(5)=-3,用辛普生求積公式求Ji八~(12)o

20、設(shè)/⑴=1,火2）=2,/（3）=0,用三點(diǎn)式求/”卜（2.5）。

21、如果用二分法求方程丁+x-4=。在區(qū)間口2]內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分（10）次。

23、/。（X），乙（%），…，（x）是以整數(shù)點(diǎn)工。，用，…，相為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，那么

￡?&（%）=七x"x?）=Y°力X：+xj+3兒（x）=42〃

k=o（1）,左=0（人j）,當(dāng)"22時(shí)々=0（x+x+3）。

26、改變函數(shù)/（x）=Vx+l-Vx（XAI）的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確

7+端+五o

27、假設(shè)用二分法求方程F（x）=°在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，那么需要對(duì)分_1Q

次。

[exdx

29、假設(shè)用復(fù)化梯形公式計(jì)算J。，要求誤差不超過1。，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用477個(gè)

求積節(jié)點(diǎn)。

再+1?6%2=1

<

30、寫出求解方程組〔一04七+%=2的Gauss-Seidel迭代

公式

'津旬=1-1.6x*g011°TS、

x”=2+0.4xf”''，迭代矩陣為_10此迭代法是否收斂」攵斂二

31、設(shè)AL3].那么ML=9。

482

-482u=016

A=2571

00——

136L2

32、設(shè)矩陣的4=心口，那么U=

33、假設(shè)/（*）=3/+2*+1,那么差商了[2,4,8,16,32]=________、__

34、數(shù)值積分公式9的代數(shù)精度為2

121

015

112[T

3

35、線性方程組口0LJ的最小二乘解為vJ

321

410

-32r0

-3T

A=204

21

36、設(shè)矩陣L1300

5分解為A=LU,那么U=LT

二、單項(xiàng)選擇題:

1、Jacobi迭代法解方程組及=》的必要條件是〔C〕。

A.A的各階順序主子式不為零B.P（A）＜1

1

C.。"0"=1,2,…,〃D,H-

~22-3-

A=051

2、設(shè)［0。-7），那么「（4）為（c）.

A.2B.5C.7D.3

3、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為（B）o

A.2B.5C.3D.4

4、求解線性方程組Ax=Z?的LU分解法中，A須滿足的條件是（B）o

A.對(duì)稱陣B.正定矩陣

C.任意陣D.各階順序主子式均不為零

5、舍入誤差是（A）產(chǎn)生的誤差。

A,只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值

C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值

6、3.141580是n的有（B）位有效數(shù)字的近似值。

A.6B.5C.4D.7

7、用1+x近似表示e*所產(chǎn)生的誤差是（C）誤差。

A,模型B.觀測(cè)C.截?cái)郉.舍入

8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是（A）。

A.控制舍入誤差B.減小方法誤差

C.防止計(jì)算時(shí)溢出D.簡(jiǎn)化計(jì)算

X

9、用1+§近似表示加金所產(chǎn)生的誤差是（D）誤差。

A.舍入B.觀測(cè)C.模型D.截?cái)?/p>

10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有（C）位有效數(shù)字。

A.5B.6C.7D.8

11、設(shè)/（-1）=1/（0）=3/（2）=4,那么拋物插值多項(xiàng)式中一的系數(shù)為（A）。

A.-0.5B.0.5C.2D.-2

12、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為（C）o

A.3B.4C.5D.2

13、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102。

(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10—1

14、用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=(p(x),那么f(x)=0的根是

(B)。

(A)y=(p(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B)y=x與y=(p(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(C)y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D)y=x與y=(p(x)的交點(diǎn)

-x2+4X3=1

<一￡+2x2-9%3=0

15、用列主元消去法解線性方程組14七-=T,第1次消元，選擇主元為(A)。

(A)-4(B)3(C)4(D)-9

16、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B)，牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C)o

(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x—xl)(x—x2)...(x—xn—1)(x—xn),

fC)

Rn(x)=f(x)-Pn(x)=

(B)5+1)!

(C)f(x,x0,xl,x2,...,xn)(x—x0)(x—xl)(x—x2)...(x—xn—l)(x—xn),

LG)0?+i(x)

(D)(n+1)!

17、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式？(xl)MA)。

ZA〃)〃)g"(無

(A)----------------------⑺R-----------------------(rCc)-----x--o----+--------x--i--(D)-------I--—--------------

X]-XQXQ-X]XQ_X]JT]+XQ

18、用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿足(A)，那么它的解數(shù)列{xn}n=0』,2,…

一■定收斂到方程f(x)=O的根。

B,,

(A)/(x0)/(x)>0(B)f(x。)/(x)>0(C)/(x0)/(x)<0(D)/(無)<0

19、為求方程x3—x2—1=0在區(qū)間［1.3,1.6］內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成以下形式，并建立相

應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A)o

1，迭代公式:

X2xM=/1

x-1x

(A)yk—1

x=l+4,迭代公式:xk+1=1+3

(B)x4

=1+/,迭代公式：4+1=(1+X；)”3

X3-1=/,迭代公式:X=1+

k+l求

(D)+Z+1

21、解方程組4%=^的簡(jiǎn)單迭代格式x"川=3x("+g收斂的充要條件是〔)。

(1)夕(人)V1,(2)0(B)<1(3)p(A)>1,(4)P(B)>1

ff(x)dxa(b-a)￡c\")f5)⑺

22、在牛頓-柯特斯求積公式：山，=。中，當(dāng)系數(shù)0，是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定

性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)〔〕時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。

[1)n>8,(2)n>l,(3)n>\Q,[4)n>6,

23、有以下數(shù)表

X00.511.522.5

f(x)-2-1.75-10.2524.25

所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是()。

[1)二次；[2)三次；[3)四次；(4)五次

25、取百8L732計(jì)算x=(百一1),以下方法中哪種最好？〔)

1616

24

(A)28-16有；(B)(4-2A/3),?(4+2兩2.(D)(V^+l)o

27、由以下數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是()

陽(yáng)11.522.533.5

/(七)-10.52.55.08.011.5

(A)5；(B)4；(C)3；(D)2O

eb

[f(x)dx?A/(x,)+A,/(x)+A/(x,)

28、形如J”1l71-J29"3,的高斯〔Gauss〕型求積公式的代數(shù)精度為

【)

(A)9；(B)7；(C)5.(D)3O

29、計(jì)算外的Newton迭代格式為()

￡=_xlO_3

30、用二分法求方程/+4/—10=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為2,那么對(duì)分次

數(shù)至少為()

(A)10；(B)12；(C)8；(D)9o

9

__Z她(左)=

32、設(shè)4(“)是以無依=°，⑼為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，那么"=。()

(A)*；(B)k.[C)，；(D)lo

33、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度

(A)5；(B)4；(C)6；(D)3o

確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為（）

（A）4；（B）2；（C）l；（D）3o

37、5個(gè)節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為（）

（A）8；（B）9；（C）10；（D）llo

三、是非題〔認(rèn)為正確的在后面的括弧中打《否那么打X〕

1、觀察值（如為…，附，用最小二乘法求〃次擬合多項(xiàng)式PQ）時(shí)，尸,。）的

次數(shù)〃可以任意取。（）

%2

2、用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。（）

（x-x0）（x-x2）

3、。1-/）（玉一》2）表示在節(jié)點(diǎn)XI的二次（拉格朗日）插值基函數(shù)。（N）

4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級(jí)的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果。

（7）

’311、

-253

175

5、矩陣A='刁具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)。（）

四、計(jì)算題:

4石+2X2+x3=11

尤i+4X2+2X3=18

、為+它+尤?。ā悖ㄊ?，迭代四次（要求

1、用高斯-塞德爾方法解方程組253=22,x=0,0,0

按五位有效數(shù)字計(jì)算）。

答案：迭代格式

xf+1）=：（n—2x*—琮））

xf+D=；（18-e-2球））

x,+D=g（22-2靖旬-琮旬）

丫（攵）只。天仆）

k

0000

12.75003.81252.5375

20.209383.17893.6805

30.240432.59973.1839

40.504202.48203.7019

r11

ff(x}dx+/(I)]+B[/(--)+‘'a"的代數(shù)精度盡量高,

2、求A、3使求積公式JT2

并求其代數(shù)精度；利用此公式求1X（保存四位小數(shù)）。

答案：/（x）=Lx，/是精確成立，即

2A+23=2

得"TV

2A+-B=-

23

，…公=!"（-1）+/（1）］+箝（-3+心］

求積公式為9922

2J

當(dāng)/（%）=/時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)/（x）=，時(shí)，左=二,右=3。所以代數(shù)精

度為3o

，2]t=2x—3、

11J1r1118r11

—dx—dt~—[-----1----]H—[------------31/2+3

1X-"+39-1+31+39-1/2+3

97

0.69286

140

3、

1345

/（看）2654

分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求/（%）的三次插值多項(xiàng)式舄（了）,并求〃2）的近

似值〔保存四位小數(shù)〕。

2(X-3)(X-4)(X-5)+6(X-1)(X-4)(X-5)

答案：(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)

1g(x-l)(x-3)U-5)?4(X-1)(X-3)(X-4)

(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)

差商表為

一階均差二階均差三階均差

12

362

45-1-1

54-101/4

q(x)=N3(x)=2+2(x_l)_(x_l)(x_3)+；(x_l)(x_3)(x—4)

/(2八舄(2)=5.5

6、sin無區(qū)間［0.4,0.8］的函數(shù)表

xi0.40.50.60.70.8

為0.389420.479430.564640.644220.71736

如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最??？并求該近似值。

答案：解：應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差

|&(x)區(qū)學(xué)■3(x)1

盡量小，即應(yīng)使l03(X)l盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)

{050.6,0.7}最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果

sin0.63891-0.596274

且

|sin0.63891-0.596274|

|(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|

<0.55032xlO-4

7、構(gòu)造求解方程域+1。％-2=0的根的迭代格式/+1=。(/)，〃=0，1，2,…,討論其收斂性,

XX10-4

并將根求出來，?n+\~n1<o

答案：解：令/U)=e'+10x-2,/(0)=-2<0,/(l)=10+e>0

且尸(x)=e'+10>°對(duì)V無e(—co,+8),故/。)=°在(0/)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程

/(x)=°變形為

x=—(2-e^)

10

那么當(dāng)Xe（°」）時(shí)

9（x）=W（2-e*）”（x）?記〈歷<1

故迭代格式

收斂。取%=85,計(jì)算結(jié)果列表如下:

n0123

Xn0.50.0351278720.0964247850.089877325

n4567

0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008

且滿足I巧—近區(qū)0.00000095<10-6所以九*a0.090525008

西+2冗2+3%3=14

<2x1+5X2+2X3=18

8,利用矩陣的LU分解法解方程組13苞+々+5%3=20。

-11F123

A=LU=211-4

答案：解：卜-5-24_

令Ly=b得y=（14,—10,—72）T,Ux=y^x=（l,2,3）r

3%i+2%2+10x3=15

<10%i-4X2-打=5

9,對(duì)方程組［2xi+10/-4士=8

（1）試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由；

（2）取初值x（0>=（°，°，°了，利用〔1〕中建立的迭代公式求解，要求

||/+1）—x（幻11VIO-

00O

解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)

10b-4X2一叼二5

<2/+10x2~4X3=8

3x1+2X2+10x3=15

故對(duì)應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂.迭代格式為

+4

+⑸8

取x(0)=(0,0,0),經(jīng)7步迭代可得:

X*aX⑺=(0.999991459,0.999950326,1.000010)r

10、以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

Xi1.361.952.16

款)16.84417.37818.435

試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。

解：當(dāng)0<%<1時(shí)，/"3=ex,那么且好”有一位整數(shù).

|7?.(,7)(/)|<-xlO-4

要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差??2

由W)⑺/口固⑹

只要

即可，解得

=67.30877--?

所以〃=68,因此至少需將[0,1]68等份。

1-1iJxJF-4

5-43x2=-12

11

11、用列主元素消元法求解方程組211JLX3JL

-1-11