概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

第一章隨機(jī)事件與概率

基本概念：

隨機(jī)試驗(yàn)E一—指試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性(每次試驗(yàn)有且僅有一個(gè)結(jié)

果出現(xiàn)，且事先知道試驗(yàn)可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗(yàn)的確切結(jié)果

樣本點(diǎn)3--隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果

樣本空間。一一隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本點(diǎn)的全體

隨機(jī)事件——由樣本空間中的若干個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集

必然事件一-每次試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件。不可能事件0—每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件。

事件之間的關(guān)系：

⑧A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)

例1事件A,B互為對(duì)立事件等價(jià)于(I))

A、A,B互不相容B、A,B相互獨(dú)立C、AUB=。

D、A,B構(gòu)成對(duì)樣本空間的一個(gè)剖分

例2設(shè)P(A)=O,B為任一事件，則(C)

A、A=0B、AaBC、A與B相互獨(dú)立D、A與B互不相容

例3.設(shè)甲乙兩人朝同一目標(biāo)射擊，設(shè)八="甲命中目標(biāo)且乙未命中目標(biāo)”，貝的X=(D)

A)甲未命中目標(biāo)且乙命中目標(biāo)B)甲乙都沒命中目標(biāo)

C)甲未命中目標(biāo)D)甲未命中目標(biāo)或乙命中目標(biāo)

事件之間的運(yùn)算：

事件的交AB或ACIB

事件的并AUB

事件的差A(yù)-B注意：A-B=AT=A-AB=(AUB)-B

n

A?A"…,A”構(gòu)成。的一個(gè)完備事件組(或分斥)——指A?Az,…,A,兩兩互不相容，且徨科=0

例1設(shè)事件A、B滿足AC1B=0,由此推導(dǎo)不出(D)

A、AuBB、Az>BC、AUB=BD、ACB=B

例2若事件B與A滿足B-A=B,則一定有(B)

A、A=0B、AB=0C、AB=0D、B=A

運(yùn)算法則：

交換律AUB=BUAAnB=BClA

結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)(AHB)("lC=An(BC1C)

分配律(AUB)nC=(AC)U(BC)(AAB)UC=(AUC)n(BUC)

對(duì)偶律AUB萬(wàn)ACIB=Tu萬(wàn)

文氏圖

事件與集合論的對(duì)應(yīng)關(guān)系表：

記號(hào)概率論集合論

C樣本空間，必然事件全集

0不可能事件空集

co基本事件元素

A事件全集中的一個(gè)子集

A的對(duì)立事件A的補(bǔ)集

AuB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集

A=B事件A與事件B相等A與B相等

AUB事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A與B的并集

AB事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A與B的交集

A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集

AB=0事件A與事件B互不相容(互斥)A與B沒有相同的元素

古典概型：

古典概型的前提是Q={0,g,◎，…，co,,,),n為有限正整數(shù)，且每個(gè)樣本點(diǎn)◎出現(xiàn)的可能性相等。

.A包含樣本總個(gè)數(shù)

P(A)一樣本點(diǎn)總數(shù)

例1設(shè)3個(gè)球任意投到四個(gè)杯中去，問杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)的事件A”最多為2個(gè)的事件用的概率。

［解］:每個(gè)球有4種放入法，3個(gè)球共有43種放入法，所以|。|=4三64。

(1)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為1個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中取3個(gè)杯子，每個(gè)杯子恰有一個(gè)球，所以A|=C》3!

=24；則P(A,)=24/64=3/8.(2)當(dāng)杯中球的個(gè)數(shù)最多為2個(gè)時(shí)，相當(dāng)于四個(gè)杯中有1個(gè)杯子恰有2個(gè)

球(班給,另有一個(gè)杯子恰有1個(gè)球(C品)，所以|A/=C；C然耳=36；則P(AJ=36/64=9/16

例2從1,2,…,9,這九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，求：(1)三數(shù)之和為10的概率a；(2)三數(shù)之積為21的倍數(shù)的

概率⑶

41刎+母3

［解P'K可1

P尸----TM

c94

古典概型基本性質(zhì)；

(1)非負(fù)性，對(duì)于任一個(gè)事件A,有P(A)Z0;

⑵規(guī)范性:P(C)=1或P(0)=O；

(3)有限可加性：對(duì)兩兩互斥事件，…,A”有PlAWAzU…UAJ=P(AJ+P(A2)+-+P(A?)

概率的公理化定義：

要求函數(shù)P(A)滿足以下公理：

(1)非負(fù)性,有P(A)Z0;

(2)規(guī)范性:P(0=1;

(3)可列可加性：對(duì)兩兩互斥事件Ai,法,…,A”有PlAiUAaU…UAj=P(Ai)+P(Aj+…+P(A?)

概率公式：

求逆公式P(T)=1-P(A)

加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);當(dāng)AnB時(shí)，有P(A-B)=P(A)-P(B)

注意：A-B==A-AB=(AUB)-B

p(AR)

條件概率公式：P(A|B)=^針;(P(B)>0)

P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)>0,P(B)>0)

一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)>0)

n

全概率公式：P(A)=XP(A|B,)P(B.)其中BhBz,…,B.構(gòu)成C的一個(gè)分斥。

m六加八十P(B|Ak)P(Ak)P(B|Ak)P(Ak)

貝葉斯公式：P(Ak|B)=---麗----=--------------(由果潮因)

XP(B|Ai)P(A,)

i=l

例：在一個(gè)腫瘤治療中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，這些病人中吸煙的占45%。據(jù)以往記錄，吸煙

的可疑病人中有90%確患有肺癌，在不吸煙的可疑病人中僅有5%確患有肺癌

(1)在可疑病人中任選一人，求他患有肺癌的概率；

(2)在可疑病人中選一人，已知他患有肺癌，求他是吸煙者的概率.

解：設(shè)A=｛患有肺癌｝,B=｛可疑病人吸煙｝,則由條件得：

BP(A|B)=0.9.P(A|B)=O.O5.

(1)由全概率公式得：

(2)由貝葉斯公式得：

P⑻A)=g2=P(A|B)P(2=ll

1P(A)P(A)136'

2.在一個(gè)每題有5個(gè)答案可供選擇的測(cè)驗(yàn)題中，假如有80%的學(xué)生知道指定問題的正確答案,

不知道正確答案的作隨機(jī)猜測(cè)，求：

1)任意指定的一個(gè)學(xué)生能正確回答率；(5分)

2)已知指定的問題被正確解答，求此是靠隨機(jī)猜測(cè)的概率

解設(shè)A=｛正確回答｝,B=｛隨機(jī)猜測(cè)｝,則由條件得：

BP(A\B)=1/5,P(A|B)=1.

(1)由全概率公式得：

(2)由貝葉斯公式得：

.試求：

(1)他來(lái)遲到的概率是多少？(5分)

(2)如果他來(lái)乙地遲到了，則他是乘輪船來(lái)的概率是多少？(5分)

解:設(shè)A=｛遲到｝.Bl=｛乘火車｝,B2=｛乘輪船｝,B3=｛乘飛機(jī)｝,則由條件得：

P(A|B1)=O.5,P(A|B2)=0.2,P(A忸3)=0.一(3分)

(1)由全概率公式得:

....(7分)

(2)由貝葉斯公式得:

P(AB2)_P(A|62)P(B2)_4

P(B2|A)=....(10分)

P(A)-P(A)-9

(2)試求當(dāng)收到信息是A時(shí)，問原發(fā)信息也是A的概率.(7分)

一、解設(shè)A=｛收到信息是A｝.B1=｛發(fā)出信息為A｝,B2=｛發(fā)出信息為B｝,則由條件得:

P(A|B1)=.....(3分)

(1)由全概率公式得：

xx1/3=(8分)

(2)由貝葉斯公式得:

0.98x2/3

P(B1|A)(3分)

0.66

196

(7分)

197

概論的性質(zhì):

應(yīng)用題:

若事件A、8相互獨(dú)立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,則P(4ljB)=

例1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三個(gè)事件A,B和C滿足條件:ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<l/2,且已知

P(AUBUC)=9/16,則P(A)=。

［解］:P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(0-［P(AB)+P(AC)+P(BC)］+P(ABC),

令P(A)=x,則3x-3/=9/16n16x2-16x+3=0=>x=l/4或3/4(舍去)則P(A)=l/4

例2某射擊隊(duì)共有20個(gè)射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手1人，一、二、

三、四級(jí)射手能夠進(jìn)入正式比賽的概率分別是和，求任選一名選手能進(jìn)入正式比賽的概率。

［解］:設(shè)Ak選中第k級(jí)選手，k=l,2,3,4,8=進(jìn)入正式比賽。由已知P(A)=l/5,P(Aj=2/5,P(A：,)=7/20,

P(A,)=1/20;P(B|AIOT,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)+P(A,)P(B|A3)+P(A,)P(B|A,)=l/5xxxxD

例3某物品成箱出售，每箱20件，假設(shè)各箱中含0、1件次品的概率分別為和，一顧客在購(gòu)買時(shí)，他可以

開箱，從箱中任取三件檢查，當(dāng)這三件都是合格品時(shí)，顧客才買下該箱物品，否則退貨。試求：(1)顧客

買下該箱的概率a；

(2)顧客買下該箱物品，問該箱確無(wú)次品的概率Po

［解］:設(shè)事件AL■箱中0件次品，Ar-箱中1件次品，事件B一買下該箱。由已知P(A“

P(B|A)=1,P(B|A,)=19/20x18/19x17/18=17/20,

(1)a=P(B)=P(A?)P(B|Ao)+P(A,)P(B|Aixx

(2)B=P(A?|B)=P(A?B)/P(B)=P(A(,)P(B|Ao

例4.設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，A與B互不相容，且CUA,則必有(B)

A)P(A0=0B)P(BC)=0

C)P(A+C)=0D).P(B+C)=0

例5.設(shè)一批產(chǎn)品共有1000個(gè)，其中50個(gè)次品，從中隨機(jī)地不放回地選取500個(gè)產(chǎn)品，X表示抽到次品的

個(gè)數(shù)，則P(X=3)=(A)

「3「497

J。~5050c95()

「500~~A500

。000A]()00

例6.袋中有5個(gè)黑球,3個(gè)白球,大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰好有3個(gè)白球的概率為(D)

事件的獨(dú)立性：

如果事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。

結(jié)論：1.如果P(A)>0,則事件A與B螞。

2.事件A與事件B獨(dú)立。事件A與事件萬(wàn)獨(dú)立

o事件彳與事件B獨(dú)立o事件T與事件上■獨(dú)立

事件A?A2,…,A,相互獨(dú)立——指任意k個(gè)事件AH,A⑵…,理滿足P(A”D'2n…AAik)

=P(AiJP(Ai2)…P(Ai3其中k=2,3,…，n。

例1設(shè)P(A)=l/2,P(B)=l/3,P(A|B)=l/4,則P(A+B)=_3/4_

例2已知尸(A)=0.5,尸(8)=04,P(A+B)=0.6,則P(A|B)=(D)

貝努里概型：指在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)：每次試驗(yàn)的結(jié)果有且僅有兩種A與r各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立；

每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同P(A)=p,P(A)=1-P?

二項(xiàng)概率--在n重獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p),則

b(k;n,p)=(k=0,1,2,3,,,,,n)?

第二章隨機(jī)變量與概率分布

隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

分布函數(shù)定義：

F(x)=P{&Wx},-oo<x<+oo

分布函數(shù)(x)實(shí)質(zhì)上表示隨機(jī)事件P{&Wx}發(fā)生的概率。

分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)

(l)OWF(x)Wl;

⑵x%ocF(x)=O,

1im

x-?+xF(x)=l

(3)單調(diào)非減,當(dāng)x1<X2時(shí),F(XJWF(X2)

(4)右連續(xù)X—>XoF(X)=F(X,>)

一些概率可用分布函數(shù)來(lái)表示

P{a〈Wb}=F(b)-F(a),

P后a}=F(a)-F(a-0),P化<a}=F(a-O),

P{4>a}=l-F(a),

P化學(xué)a}=l-F(a-O),

x<0

例L設(shè)隨機(jī)變聯(lián)的分布函數(shù)為0<x<n/2則P{《《兀/4}二()(選C,因?yàn)?/p>

x>n/2

P{gW7i/4}=F(7t/4)=sinn/4)

A、0B、1/2C、y［2/21)、1

例2.設(shè)隨機(jī)變量。和生的分布函數(shù)分別為F,(x)和F2(X),為使F(x)=aF,(x)-bFKx)是某隨機(jī)變量的分布

函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取()

A、a=3/5,b=-2/5B、a=3/5,b=2/5

C、a=3/5,b=-3/5I)、a=2/5,b=2/5

(選A,因?yàn)镕(+8)=I=aFi(+0°)-bF2(+°°)=a-b)

例3.連續(xù)型隨機(jī)變量匕的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx,-oo<x<oo

求：(D常數(shù)A,B：(2)&落入(T,1)的概率。

［解］:因?yàn)镕(+8)=l,F(-CO)=O,所以A+Bn/2=1,A-BK/2=0,

解得A=l/2,B=1/K.即F(x)=<+,arctanx.

乙71

自落入(-1,1)的概率為P{Tq<l}=F(l)-F(T)

11A1...111

F十-arctanl-(彳+-arctan(-1))=7+7=o

/冗zn44/

例4.設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),則對(duì)于任意x值有(A)

(A)P(X=x)=0(B)F'(x)=/(x)

(C)P(X=x)=f(x)

5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=

求(1)系數(shù)A；(2分)(2)X的分布函數(shù)；(4分)(3)概率尸(|X|<L).

解由題意得:

?+iA1

(1)：dx=\,A=—.

2

Vl-x7T

0x<-l

—(arcsinx+—)-1<x<1

(2)F(x)=712

1X>\

P(|x|《)q

(3)

設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度

(1)確定常數(shù)左；(2)求X的分布函數(shù)E(x)；(3)求尸{1X<3.5}.

離散型隨機(jī)變量：

定義：隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)孤立的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡(jiǎn)稱為分布列:

[3P：P：:：；：:；]其中每一個(gè)田。且=I

i=l

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。

離散型隨機(jī)變量常見分布：

1)兩點(diǎn)分布X~(0,1)；X的取值只有0或1,其概率為P{X=O}=P,P{x=l}=l-p

2)二項(xiàng)分布X~B(n,p)；分布律為b(k;n,p)=P{X=k}=dp'(l-p)""(k=0,1,2,3,n)其中O〈p〈l

A*

3)泊松分布X~P(Q；分布律為P{X=k}=—e"(k=0,1,2,3,…)。

4)幾何分布：X~Ge(p)：分布列為P{X=k}=(l-p)l,p(k=0,1,2,3,???).

在伯努利試驗(yàn)序列中，記每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,如果X為事件A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，

則X的可能取值為1,2,…,稱X服從幾何分布。

如果說恰好出現(xiàn)K次，則用二項(xiàng)分布b(k;n,p)=P(X=k)=dp*(l-p)""(k=0,1,2,3,…,n)其中

kn-k

rtuVrv-M

5)超幾何分布：X"h(n,N,M)；分布列為P{X二k}-----(k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n})。

曙

設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，其中有M個(gè)不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)，則其中含有的不合格品個(gè)數(shù)X服從

超幾何分布。

離散型例題：

c

例1設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為P{片k}①，k=l,2,…，則常數(shù)C二()

A、1/4B、1/2C、1D、2

(因?yàn)閆P{?k}=l,即1°M=1,所以c=l)

1-1/2

k=l

例2匕的分布列。

［解］:自的分布列為

412345

例3設(shè)離散型隨機(jī)變量&的概率分布為g012

其分布函數(shù)為F(x),則F(3)=()

A、0

(選D,因?yàn)镕(3)=p(0)+p(l)+p(2)=l)

連續(xù)性隨機(jī)變量：

定義：-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個(gè)范圍，如果對(duì)于隨機(jī)變量q的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函

x

數(shù)p(x),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有F(x)=J_8P(u)du,則稱《為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中P(X)為的概率

密度函數(shù).

密度函數(shù)必須滿足條件：

(1)p(x)>0,-°°<x<+°°

(2)J_8P(x)dx=F(+8)=l

連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì):

1.分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù):

2F'(x)=p(x);

b

3P{^=a}=0,所以P{a<&Vb}=P{a<^<b}=P{a<^<b}=P{a<^<b}=fap(x)dx

4P(x<^<x+Ax}?p(x)Ax

常見連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布:

0x<a

a~X-b分布函數(shù)F(x)=,x-a

D均勻分布二U［a,b］：密度函數(shù)p(x)=<b-aa<x<b

b-a

0其他

1x>b

入e"x>0l-ex>0

2)指數(shù)分布二exp(九)；密度函數(shù)p(x)h分布函數(shù)F(x)二

0x<00x<0

1(-oo<<+oo)

3)正態(tài)分布匕~N(R,b)；密度函數(shù)p(x)二盅x

(L"

分布函數(shù)F(x)e26dt

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),它的分布函數(shù)中(x)可查表得到，一般F(x)=<D(4)。

例：已知4~N(2,a~),且1>t2<g<4I^<0}(B)

■\)'C)).

2、甲在上班路上所需的時(shí)間(單位：分)X-N(50,100).已知上班時(shí)間為早晨8時(shí)，他

每天7時(shí)出門，試求：

(1)甲遲到的概率;

解：P(甲遲到)=p(x>60)

連續(xù)型例題：

例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX==.

［解］：因?yàn)閄服從參數(shù)為1的泊松分布，所以EX2=DX+(EX)z=l+f=2,

于是P(X=EX2)=P{X=2)=1e□

例2設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故隙工作的時(shí)間EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開

機(jī)，出現(xiàn)故隙時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y

的分布函數(shù)F(y)<,

［解］:X~EQ),因?yàn)镋X=1/九=5=>九=1/5,每次開機(jī)無(wú)故障的時(shí)間Y=min{X,2},

易見當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)(y)=O；當(dāng)y22時(shí),F(y)=l；

當(dāng)0Vy<2時(shí)，F(xiàn)(y)=P{Y<y}=P{min{X,2}<y}=P{X<y}=l-ey/5o

-0若y<0

所以Y的分布函數(shù)F(y)=<l-e-,/5若0Vy〈2

,1若定2

隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布：

1.離散型的求法

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：FpX，X2…］，則X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為：

［P%)?…］'當(dāng)有相同情況時(shí)'概率為相應(yīng)之和。

2.連續(xù)型的公式法：

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為fx(x)，設(shè)g(x)是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域［a,可，且g，(x)#0,

記x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，則Y=g(X)的密度函數(shù)為h(，它“丫郃

3.連續(xù)型的直接變換法(分布函數(shù)法)：

F>(y)=P{Y<y}=P{g(x)<y}=P{X€S},其中$={x|g(x)4y},然后再把F1(y)對(duì)y求導(dǎo)，即得R(y)

(.fdFY(y)/dy當(dāng)F、(y)在y處可導(dǎo)時(shí)

0當(dāng)F、(y)在y處不可導(dǎo)時(shí)

隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的例題：

例1設(shè)X的分布律為：口，求Y二(X-1尸的分布律。

［解］:先由X的值確定Y的值，得到17?將Y的值相同的X的概率合在?起，得到Y(jié)的分

4101J

布律3□

例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FKx),求隨機(jī)變量Y=3X+2的分布函數(shù)F、(y).

解I：Fv(y)=P{YVy}=P{3X+2<y}=P{X今}=Fx(-y-)

-Y2—11

例3設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f,(x)=42*1Xi,求隨機(jī)變量Y=3X+2的密度函數(shù)fv(y).

.0其它

2V-21

[解]:用公式法：設(shè)y=g(x)=3x+2,y=g(x)的反函數(shù)為x=h(y)=k,-1<-<1=>-Ky<5,|h?y)|二q

則Y=g(X)的密度函數(shù)為

3v-21f12

Jfx(h(y))|h，(y)[a<y<p)xg-l<y<5J]^(y-2)T<y<5

10其它,0其它10其它

例4設(shè)X在區(qū)間［0,2］上服從均勻分布，試求Y=X，的概率密度。

1/2釐2。用分布函數(shù)法分段討論：當(dāng)y<0時(shí),

[解]:因X~U[0,2],所以f(x)=

x0

3廠沏1

33

F,(y)=P{Y<y}=P{X<y}=0,當(dāng)0<y<8時(shí),Fy(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P{XW而}4Q-dx,f、,(y)=F二(y)二

11上133乙]

zT(y)3=-----,當(dāng)y>8時(shí),FY(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P{X<y[y]=j^dx=1,fY(y)=F\(y)=0.fY(y)=

b'y

I-'—0<y<8

|6既

I0其它

5.1加1的概率密度為f(X)=-------,則3J的概率密度函數(shù)為__________

不(1+廠)

6.設(shè)X~,則隨機(jī)變量■=X?在(0.42內(nèi)的概率密度函數(shù)為

-U(0<y<4),|

4(y)={24y

,o(其他).|

7.設(shè)隨機(jī)變量x在(0,1)服從均勻分布，則/v.(j)=-a-y&的概率密度為

y

第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布

二維隨機(jī)變量：

二維隨機(jī)向量&n)的聯(lián)合分布函數(shù)指F(X,y)=p{nx,n<y)

0<F(x,y)<l;F(-°°,+°°)=F(x,-°°)=y)=0;F(+o°,+oo)=l;

P{xi^<X2,yi<r|<y2}=F(x2,y2)-F(x2,yi)-F(x?,y2)+F(x?,yD

二維隨機(jī)向量&n)的邊緣分布函數(shù)

+o

坨(x)=P{&《x}=F(x,+8),Fn(y)=P{r|<y}=F(°,y)

二維離散隨機(jī)變量：

二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布

P{^=xbr|=y.i)=pu,其中ZZP；J=1且PM>0

i=lj=l

可用一個(gè)分布列表或分布列矩陣(p.,)來(lái)表示

自的邊緣分布列為P{片xJ=Zpu=

J=1

r|的邊緣分布列為P{“二yj=ZPij=p.

i=l

例i設(shè)二維隨機(jī)向量?，n)的聯(lián)合分布律為

世12

11/61/3

21/4a

則常數(shù)a=()

A、1/6B、1/4C、1/3D、1/2

［答案］:ZZPu=l所以a=l/4,選B.

i=lj=l

二維連續(xù)隨機(jī)變量：

xy

二維連續(xù)型隨機(jī)向量(&,r|)的分布函數(shù)F(x,y)=1818P(5v)dudv

+oo4-oo

8F(x,y)

p(x,y)稱為隨機(jī)向量T|)的聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)>0,J_J_p(x,y)dxdy=l,=P(x,y)

0000dxdy

利用密度函數(shù)求概率P{(&r))sD}='p(x,y)dxdy

二維連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣分布，p§(x),Pn(y)稱為邊緣密度函數(shù)

+84-00

P4(x)=I_00P(x,y)dypn(y)=f_QOP(x,y)dx

條件分布:

離散型：在條件Y=y,下隨機(jī)變量X的條件概率分布為

..,P{X=Xt,Y=yj}Pij

P{X=x,|Y=yJp(Y=y)'=-,i=l,2,-

連續(xù)型：在條件Y刊下隨機(jī)變量X的條件分布函數(shù)Fx、(x|y)與條件概率密度函數(shù)fxY(x|y)分別為:

f(u,y)f(x,y)

Fx、(x|y)二T(?rdufxv(x|y)

fv(y)

例1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在X=x(0〈x〈l)的條件下，隨機(jī)變量Y在區(qū)間(0,x)上

服從均勻分布，求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度：

［解］:X的概率密度為fx(x)="。黑:，在X=x(0<x<l)的條件下，

10具他

Y的條件概率密度為f,x(y1x)=

當(dāng)0〈y〈x〈l時(shí)，隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=fx(x)f、“(y|x)=1/x

在其它點(diǎn)(x,y)處，有f(x,y)=0,即X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={#線

例2：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X概率分布為P{X=i}=l/3(i=-l,01),

f10<v<l,

概率密度為fY(y)二%最也，記Z=X+Y,求P{Z《l/2|X=0}。

i1i“4i

[解]:(1)P[Z<-|X=0}=P{X+Y<-|X=0)=P{Y<-}=!ldy=-

乙乙乙nu乙

二元正態(tài)分布:

二元正態(tài)分布山,6；GJ,p)的密度函數(shù)

/X1[1「2P(x-g)(y-氏)(y-

P(x，加京exp{-而a”>

66V

2

二元正態(tài)分布N(W，R,3：sip)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布二N(2,O『)，r)~N(R2,Q2)

1止山)'163’

邊緣概率密度為fx(x)=-r=Q2c)2，f)(y)二一產(chǎn)2Q2

5、/27c6弋2兀2

二元均勻分布：

(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布一設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為A。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)具有

概率密度f(wàn)(x,y)=]Aa''"'。，則稱(X,Y)在區(qū)域口上服從均勻分布。

.0其他

例1:設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D：{(x,y)：aWxWb,cWy〈d}上的均勻分布，求

(1)(X,Y)的聯(lián)合概率密度p(x,y)；(2)X,Y的邊際概率密度px(x),pY(y);

[解]:(1)f(x,y)=\(b-a)(d-c)a<x<bc<y<d

I0其他

4-oo]

WxWb/、f+8/x,Jf7]7C<y<d

(2)px(x)=18P(x,y)dy="b-a,PY(y)=8P(X，y)dx=jd-c

、0其他[0其他

例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctan；)(C+arctan")°試求：⑴常數(shù)A,B,C；(2)(X,Y)

的概率密度。[解]:由分布函數(shù)性質(zhì)，得到F(+8,+8)=A(B+^)(C號(hào))，F(xiàn)(x,-?>)=A(B+arctan|)(C^j)=0,

F(-8,y)=A(B-^)(C+arctan6=0,解得A=?,B=C=^.即F(x,y)=/(g+arcta%)考+arctan令。

/x、_的~'(x,y)_______6

(92)ft(X,y)-dx8y-/(x：+9)(戶4)-

例2:設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間［0,3］上的均勻分布，求P{max{X,Y}Vl}。.

［解］:P{max{X,Y}￡l}=P{41且YS1},因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以

P{XM且YM1}=P{X<l}P{Y<l)=1x7=7o(這里P{X4}=信dx=1)□

jjyujj

例3:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，(x,y)={；：°〈x"鹿y〈2x

求：(1)(X,Y)的邊緣概率密度次(x),d(y)；(2)Z=2X-Y的概率密度6(z)。

「80<x<l,^x［2x0<x<l

［解］:⑴fx(x)=J_oof(x,y)dy====fldy=2x,所以邊緣概率密度f(wàn)x(x)二:

,+o°0<y<2,11fl-y/20<y<2

fY(y)=Lgf(X,y)dx===21dx=1-尹，所以邊緣概率密度f(wàn)Y(y)=jo其它

,,0<z/2<l12x-z1z2

(2)Fz(z)=P(2x-y<z}=fff(x,y)dxdy====1-ffldxdy=l-Jz//2dxf°Idy=l-fz/2(2x-z)dx=z--

2x_y<z

(1-7/90<7<2

得到Fz(z)=jz-z740%〈2,所以Z的概率密度做z)=F〃z)=I。*它

4.設(shè)隨機(jī)變量X和丫具有聯(lián)合概率密度

4x2<y<x

/(x,y)={'-一:求邊緣概率密度及%同〈引??

U,#c匕.

例4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

.、fx2+cxy0<x<<y<2

f(x>y)=t0其他

求(1)常數(shù)C;(2)P{X+Y21};(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).

［解］：(1)由的概率密度性質(zhì)得到

+8+8122］

2

(X,y)dxdy=fofo(x+cxy)dxdy=^+cnc=^;

(2)

P{X+Y>1}=\Jf(x,y)dxdy=fff(x,y)dxdy

x+y>l19

121H41

可肘八(x*)dyj(凝飛叩出二—

vIXJVO?5Ctl乙

(3)當(dāng)x<0或y<0時(shí)，

xy

F(x,y)=1818P(u,v)dudv=0;

當(dāng)OWxl,0<y<2W,

x丫xy322

F(x,y)=J_8〕-8PI,v)dudv=Jf(1?宣)dudv=LY+-y;

VV?JO14

當(dāng)OKxl,yN2時(shí)，

xyx2?32

2

F(x,y)=J_818P(】v)dudv=Jofo(u+y)dudv=-y+y;

當(dāng)xNl,04y<2時(shí),

xy1y2

2

F(x,y)=J_81-8P(5v)dudv=f0JQ(u+y)dudv=1+y^;

當(dāng)x>l,y>2時(shí),

xy

F(x,y)=1818P(1v)dudv=1

綜上所述

r0x<0或y<0

W；OKxl及0Ky<2

32

2Xx

F(x,y)=S—+—OKxl及yN2

I1xNl及yN2

獨(dú)立性：

若F(x,y)=F^(x)Fn(y),則稱隨機(jī)變量自與r|相互獨(dú)立。

幾個(gè)充要條件：

連續(xù)型隨機(jī)變量&與T|相互獨(dú)立op(x,y)=p^(x)pn(y)

離散型隨機(jī)變量自與“相互獨(dú)立=Pi^p,p,

二元正態(tài)分布N(內(nèi),3、比,6,；p)隨機(jī)變量g與H相互獨(dú)立u>p=0。

X與Y相互獨(dú)立nf(X)與g(Y)也相互獨(dú)立。

例：袋中有2只白球，3只黑球，現(xiàn)進(jìn)行無(wú)放回地摸球，定義：

11第一次摸出白球

I0第一次摸出黑球

=(1第二次摸出白球

LI0第二次摸出黑球

求：(D“)的聯(lián)合分布；

(2)自，n的邊際分布：

(3)n是否相互獨(dú)立？

［解］：(&,n)的聯(lián)合分布與邊際分布為

6n01P自

03/103/106/10

13/101/104/10

Pn6/104/10

因?yàn)?/p>

p(0,0)=3/10^(0)pn(0)=9/25

所以，與n不獨(dú)立。

例2：設(shè)A,B是二隨機(jī)事偉隨機(jī)變量X1、駕端現(xiàn)粵溫現(xiàn)

試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。

例3設(shè)(X,Y)的概率密度為，f(x,y)={8>"爛1器片*,求：關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣概率密度，并判

斷X與Y是否相互獨(dú)立。

+8X

3

［解］:關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)x(x)=Lof(x，y)dy,當(dāng)國(guó)父時(shí)，fx(x)=f08xydy=4x,當(dāng)x<0或x>l時(shí)，

2

fx(x)=O;所以fx(x)=14：°同理當(dāng)OWyWl時(shí)，fv(y)=fy8xydx=4y(1-y),其它情況fi(y)=O,所

以關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)(y)=.因?yàn)楫?dāng)04x41,OAyKl時(shí),f(x,y)wfx(x)f、(y),所

vI0其他

以X與Y不獨(dú)立。

設(shè)二維隨機(jī)變量(％y)的概率密度函數(shù)為關(guān)于

[2,0<x<l,0<y<x

2個(gè)'上]。，其它.

求：(1)「關(guān)于才的邊緣分布密度函數(shù)人伊(》1X)，并判斷X與Y是否獨(dú)立？(6分)

⑵E(XY).(4分)

解由條件得：

當(dāng)0<x<l時(shí)，則X(x)=Jf(x,y)dy=￡'2dy=2x,從而

當(dāng)0<y<l時(shí)，則人(y)=Jf(x,y)dx=J2dx=2(1-y),Affo

1.

—,0n<x<1

⑴人|x(y|%)=<x

0,其它

因?yàn)?①y)//、.1)/、。