遼寧省沈陽市實驗中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2021屆遼寧省沈陽市實驗中學(xué)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】首先解不等式表示集合，然后根據(jù)集合交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】∵，或∴或故選：D.2．復(fù)數(shù)滿足：，則的虛部等于（）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】首先化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)定義求虛部.【詳解】，所以的虛部是.故選：B3．某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從甲、乙兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了100個用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，分別得到甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖．若甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)分別為m1，m2；平均數(shù)分別為s1，s2，則下面正確的是（）A．m1＞m2，s1＞s2 B．m1＞m2，s1＜s2C．m1＜m2，s1＜s2 D．m1＜m2，s1＞s2【答案】C【分析】利用頻率分布直方圖分別求出甲地區(qū)和乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)和平均數(shù)，由此能求出結(jié)果．【詳解】由頻率分布直方圖得：甲地區(qū)[40，60）的頻率為：（0.015+0.020）×10＝0.35，[60，70）的頻率為0.025×10＝0.25，∴甲地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)m1＝6066，甲地區(qū)的平均數(shù)s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．乙地區(qū)[50，70）的頻率為：（0.005+0.020）×10＝0.25，[70，80）的頻率為：0.035×10＝0.35，∴乙地區(qū)用戶滿意度評分的中位數(shù)m2＝7010≈77.1，乙地區(qū)的平均數(shù)s2＝55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10＝77.5．∴m1＜m2，s1＜s2．故答案為C.【點睛】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的求法與比較，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．條形分布直方圖的面積表示的是概率值，中位數(shù)是位于最中間的數(shù)，故直接找概率為0.5的即可；平均數(shù)是每個長方條的中點乘以間距再乘以長方條的高，將每一個數(shù)值相加得到.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷與0和1的大小，即可得結(jié)果．【詳解】∵，，，

∴，故選B．【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.5．已知是第二象限角，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值，進而根據(jù)二倍角的正弦公式即可求解．【詳解】解：因為α是第二象限角，sinα，所以cosα，則sin2α＝2sinαcosα＝2．故選：A．6．四個人排一個五天的值班表，每天一人值班，并且每個人至少值班一次，則有（）種不同的排班方式．A．240 B．480 C．420 D．360【答案】A【分析】首先分步：天任選天安排一個人值班，然后余下的人全排即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析，①在人中選出人，天中任選天安排該人值班，有種；②將剩下人，安排到其余天值班，有種，則有種不同的排班方式.故選：A7．已知拋物線：（），過焦點的直線交拋物線于、兩點，交軸于點，若點為線段的中點，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過點作拋物線的準線的垂線，設(shè)與軸交于點，根據(jù)拋物線的焦點弦性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖所示，分別過點作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，設(shè)與軸交于點，因為點為線段的中點，則，，則，根據(jù)拋物線的焦點弦性質(zhì)：，所以，解得.故選：B8．在底面邊長為1的正四棱柱中，側(cè)棱長等于2，則（）A．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點有且只有一個B．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點有且只有兩個C．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點有且只有三個D．在正四棱柱的棱上到異面直線和距離相等的點有且只有四個【答案】D【分析】分類逐個討論，計算距離及其變化趨勢，進而判斷即可【詳解】如圖，為、的公垂線，故公垂線的中點到異面直線和距離相等的點，明顯地，點到異面直線和距離也相等；設(shè)為棱上某點到的距離，為該點到的距離，在，，，上，有，，無交集，排除；在上，，即，有交集，故有一個交點，在上，，，有交集，存在一點，與的交點，故有4個點，有且只有4個點滿足.故答案選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：設(shè)為棱上某點到的距離，為該點到的距離，對棱柱內(nèi)每條棱進行判斷即可，屬于中檔題二、多選題9．已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，則（）A．一定是遞增數(shù)列 B．可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列C．、、仍成等比 D．，【答案】BCD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)，時，為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，當(dāng)，時，為遞減數(shù)列，當(dāng)，時，為遞增數(shù)列，故B正確；對C，等比數(shù)列，則、、仍成等比，故C正確；對D，等比數(shù)列中，，則必不為0，故D正確.故選：BCD.10．定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，且時函數(shù)單調(diào)遞增，則（）A． B．是周期函數(shù)C．方程有唯一實數(shù)解 D．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】AC【分析】對A，令即可得出；對B，由已知可得的圖象關(guān)于對稱，再根據(jù)單調(diào)性可判斷；對C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得；對D，根據(jù)對稱結(jié)合當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增可得.【詳解】對A，，令，則，則，故A正確；對B，，即，的圖象關(guān)于對稱，且時函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故不是周期函數(shù)，故B錯誤；對C，在上單調(diào)遞增，且，所以方程有唯一實數(shù)解，故C正確；對D，當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是得出的圖象關(guān)于對稱.11．為了得到的圖象只需把函數(shù)的圖象（）A．向右平移 B．向左平移C．關(guān)于直線軸對稱 D．關(guān)于直線軸對稱【答案】ABD【分析】利用三角函數(shù)的平移變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】向右平移，可得，故A正確；向左平移，可得，故B正確；設(shè)，若關(guān)于直線軸對稱，則，故C錯誤；若關(guān)于直線軸對稱，故D正確.故選：ABD12．方程的根為，的根為，則（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】觀察兩個函數(shù)的解析式易發(fā)現(xiàn)與和函數(shù)的交點，即為函數(shù)和的零點，作出函數(shù)圖象即可判斷選項A；通過構(gòu)造函數(shù)，再利用其單調(diào)性來構(gòu)造相關(guān)的不等式，可以判斷選項B；利用基本不等式的相關(guān)性質(zhì)可判斷選項C；構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性和的取值范圍進行分析求解，即可判斷選項D.【詳解】令，，則函數(shù)與和函數(shù)的交點，即為函數(shù)和的零點，作出函數(shù)、、、的圖象如下所示，選項A，因為點關(guān)于點對稱，且，又因為，所以，且，故A錯誤；選項B，因為，由零點存在性定理可知，記，則，故當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，即，又，故，故B正確；選項C，因為點關(guān)于點對稱，且，又因為，所以，由基本不等式可得，而，所以，故C錯誤；選項D，記，則，，則，由，易知在單調(diào)遞增，故，故D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，涉及了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為、、函數(shù)的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，綜合性比較強，對于學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、構(gòu)造函數(shù)的能力以及計算能力都有很高的要求.三、填空題13．已知，為雙曲線的左、右焦點，則______．【答案】10【分析】由雙曲線方程可知，，從而可得，進而求出焦距.【詳解】由，則，，所以，所以.故答案為：1014．已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為______．【答案】8【分析】利用“1”的代換，將轉(zhuǎn)化為，然后化簡整理，利用均值不等式即可求出結(jié)果.【詳解】∵∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：8.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意三個必須滿足的條件：1.一正：各項必須均為正數(shù)；2.二定：求和的最小值時必須把構(gòu)成的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；求積的最大值時，必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化為定值；3.三相等：利用均值不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值.15．某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了足球、籃球、排球、羽毛球四個興趣小組，要求每一名學(xué)生選擇其中的兩個小組參加．現(xiàn)有，，，四位同學(xué)，已知與沒有選擇相同的興趣小組，與沒有選擇相同的興趣小組，與選擇的興趣小組恰有一個相同，且選擇了足球興趣小組．給出如下四個判斷：①可能沒有選擇足球興趣小組；②、選擇的兩個興趣小組可能都相同；③可能沒有選擇籃球興趣小組；④這四人中恰有兩人選擇足球興趣小組；其中正確判斷是______．【答案】①③④【分析】利用圖示法說明①③正確；由反證法思維說明②錯誤；直接推理證明④正確．【詳解】對于①，若沒有選擇足球興趣小組，則與相同的為其它三項中的一項，可以是如下選法：故①正確；對于②，、選擇的兩個興趣小組都相同，因為與不同，所以與不同，而與有一個相同，故必有一個與相同，與題意不符，故②錯誤；由分析①的圖示可知，可能沒有選擇籃球興趣小組，故③正確；對于④，已選了足球，則不選足球，若選足球，則不選足球，若選足球，則不選足球，且與中必有一人選足球，故這四人中恰有兩人選擇足球興趣小組，故④正確．故答案為：①③④．16．已知，，是平面向量，，是單位向量，且，若，則最大值是______．【答案】【分析】以的正方向為x軸的正方向，以的起點為坐標原點O，建立直角坐標系，設(shè)，，根據(jù)原等式可知的終點B在圓上，作出圖象，利用的幾何意義即可得解．【詳解】以的正方向為x軸的正方向，以的起點為坐標原點O，建立直角坐標系，則由已知得，設(shè)，，則由得，即，所以的終點B在圓上，圓心，半徑，又單位向量與的夾角為，所以的終點A在射線上，所以，設(shè)，則，又，所以的最大值等于圓心C到點M的距離加上圓的半徑，如下圖，所以，故答案為．四、解答題17．在①②③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，的面積是，______？【答案】答案見解析.【分析】利用正弦定理的邊角互化以及三角形的面積公式求出，選①：解方程組可得，，再利用余弦定理即可求解；選②：利用正弦定理的邊角互化求出，，再利用余弦定理即可求解；選③：利用正弦定理的邊角互化可得，進而求出，再利用余弦定理即可求解；【詳解】解：由知，，則，即．由得，．選①：，又，則，，代入，則，整理得，，則或（舍），即，由知．選②：，則，則，．由余弦定理知，．所以，．選③：，由正弦定理得，，所以．由，知．由余弦定理知，．所以，．18．某公司在聯(lián)歡活動中設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同．游戲參與者可以選擇有放回或者不放回的方式從中依次隨機摸出3個球，規(guī)定至少摸到兩個紅球為中獎．現(xiàn)有一位員工參加此摸獎游戲．（1）如果該員工選擇有放回的方式（即每摸出一球記錄后將球放回袋中再摸下一個）摸球，求他能中獎的概率；（2）如果該員工選擇不放回的方式摸球，設(shè)在他摸出的3個球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該員工選擇哪種方式摸球中獎的可能性更大？請說明理由．【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）在有放回的摸球方式下，該員工中獎可能性更大，理由見解析.【分析】（1）如果是有放回的摸球，則每此摸到紅球的概率都是，再按照中獎規(guī)則求概率；（2）如果是不放回的摸球，則按照超幾何分布列出分布列，并求數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，分別求中獎的概率的大小.【詳解】解：（1）在有放回方式下，記“他能中獎”為事件，則．（2）由題意，隨機變量的可能值為0，1，2，3；，，，；所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．（3）由（2），在不放回方式下，該員工能中獎的概率為；由，所以，在有放回的摸球方式下，該員工中獎可能性更大．19．在四棱錐中，底面，底面是菱形，，，點在棱上．（1）若，在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（2）若直線與平面所成的角的正弦值是，求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，點為中點，理由見解析；（2）.【分析】（1）取，中點，，連接，，得出可證；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量關(guān)系可求.【詳解】解：（1）存在，點為中點．取，中點，，連接，，，，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面．（2）取中點，連，又，底面是菱形，則，由題，，，兩兩垂直．以為坐標原點，以，，的方向為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．則，，，設(shè)，（），，，設(shè)平面的法向量為，，，取，又，記直線與平面所成的角是，，整理得，，即，則或（舍）．則平面的法向量為，,設(shè)平面法向量，則，即，令，則，即．，由圖可得二面角為鈍角，則二面角的余弦值是．【點睛】思路點睛：利用法向量求解空間線面角、面面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20．已知數(shù)列前項和為，且，，數(shù)列為等差數(shù)列，，且，（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）若，求的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）首先利用數(shù)列和的關(guān)系式，求數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列基本量法求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ），利用裂項相消法求和.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時，．因為，所以，當(dāng)時，，，兩式相減得（），又因為，數(shù)列是從第二項起，是公比為3的等比數(shù)列，所以．又因為，且，解得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，，時，得，當(dāng)時，成立所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列求通項和數(shù)列求和，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是確定的通項公式是分段形式，所以求時，需分和兩種情況討論數(shù)列的和，最后再合為一個形式.21．已知橢圓中心在坐標原點，焦點、在軸上，離心率，經(jīng)過點（為橢圓的半焦距）．（1）求橢圓的標準方程；（2）的平分線與橢圓的另一個交點為，為坐標原點，求直線與直線斜率的比值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)