2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1．（3分）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（）

A．x≥0B．x＞1C．x≥1D．x≠0

2．（3分）如圖是一個由5個相同的正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

A．B．C．D．

3．（3分）因深圳市委正緊緊圍繞打造“志愿者之城”4.0升級版，推動志愿服務(wù)事業(yè)朝著

更專業(yè)、更精細、更規(guī)范的方向不斷邁進，截至2022年底，深圳市注冊志愿者已達3510000

人，平均每5個深圳市民里就有一個志愿者．其中數(shù)據(jù)3510000用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A．3.51×105B．3.51×106C．3.51×107D．0.351×107

4．（3分）下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A．x2+2x＝0B．x2﹣x﹣2＝0C．3x2﹣4x+1＝0D．4x2﹣3x+2＝0

5．（3分）在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明

通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是

（）

A．5B．10C．12D．15

6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝﹣x2﹣1先向右平移1個單位長度，再向下平

移3個單位長度，得到的新拋物線的解析式為（）

A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4B．y＝﹣（x+1）2﹣4

C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+3

7．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝8，BD＝6，則

菱形ABCD的高BH＝（）

第1頁（共5頁）

A．4.6B．4.8C．5D．5.2

8．（3分）如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝2，∠AMN＝30°，B點是弧AN的中點，P是

直徑MN上的動點，則PA+PB的最小值為（）

A．B．C．1D．2

9．（3分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx﹣a在坐標(biāo)

系內(nèi)的大致圖象為（）

A．B．C．D．

10．（3分）如圖，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點A，BC邊與y

軸交于點D，若正方形OABC的面積為12，BD＝2CD，則k的值為（）

A．3B．C．D．

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11．（3分）分解因式：2ab2﹣8ab+8a＝．

12．（3分）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣1的圖象的頂點坐標(biāo)為．

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13．（3分）已知是方程ax+4y＝2的一個解，那么a＝．

14．（3分）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高

1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝14.8m．則建筑物CD的高是m．

15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，BC＝4，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點

D，弧AD沿直線AD翻折后經(jīng)過點O，那么陰影部分的面積為．

三、解答題（本大題共7小題，共55.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16．（5分）計算：﹣2﹣1﹣cos60°．

17．（7分）“雙減”政策下，將課后服務(wù)作為學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要陣地，聚力打造高品

質(zhì)和高成效的服務(wù)課程，推動提升課后服務(wù)質(zhì)量，助力學(xué)生全面健康成長．某校確立了A：

科技：B：運動；C：藝術(shù)；D：項目化研究四大課程領(lǐng)域（每人限報一個）、若該校小陸

和小明兩名同學(xué)各隨機選擇一個課程領(lǐng)域．

（1）小陸選擇項目化研究課程領(lǐng)域的概率是．

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求小陸和小明選擇同一個課程領(lǐng)域的概率．

18．（8分）如圖，在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，由于受風(fēng)力影響，它以20m/min的速度

沿著與水平線成75°角的方向飛行，30min后到達C處，此時熱氣球上的人發(fā)現(xiàn)熱氣球

與山頂P及小山西側(cè)的B處在一條直線上，同時測得B處的俯角為30°．在A處測得山

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頂P的仰角為45°，求A與B間的距離及山高（結(jié)果保留根號）．

19．（8分）某水果店出售一種水果，每箱定價58元時，每周可賣出300箱．試銷發(fā)現(xiàn)：每

箱水果每降價1元，每周可多賣出25箱；每漲價1元，每周將少賣出10箱．已知每箱

水果的進價為35元，每周每箱水果的平均損耗費為3元．

（1）若不進行價格調(diào)整，這種水果的每周銷售利潤為多少元？

（2）根據(jù)以上信息，你認為應(yīng)當(dāng)如何定價才能使這種水果的每周銷售利潤最多？

20．（8分）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，過A作OP的垂線AB，垂足為點C交⊙O

于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E．

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（2）若，求cos∠E．

21．（9分）拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的

坐標(biāo)為（4，0），拋物線的對稱軸為x＝1，直線AD交拋物線于點D（2，m）．

（1）求拋物線和直線AD的解析式；

（2）如圖1，點Q是線段AB上一動點，過點Q作QE∥AD，交BD于點E，連接DQ，

若點Q的坐標(biāo)為（m，0），求△QED的面積S與m的函數(shù)表達式，并寫出S是否存在最

大值？若存在，求出S的最大值，并直接寫出此時點E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，直線AD交y軸于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，

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當(dāng)四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)．

22．（10分）綜合與探究

在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上的點

F處．

（1）如圖①，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)AB＝5，且AF?FD＝10時，求EF的長；

（3）如圖③，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF＝AN+FD

時，請直接寫出的值．

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2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可

以求出x的范圍．

【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣1＞0，

解得：x＞1．

故選：B．

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，掌握當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體

實數(shù)，當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0，當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，

被開方數(shù)非負．

2．【分析】根據(jù)三視圖的定義解決此題．

【解答】解：根據(jù)俯視圖的定義，從上往下看，C符合題意．

故選：C．

【點評】本題主要考查三視圖，熟練掌握三視圖的定義是解決本題的關(guān)鍵．

3．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看

把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕

對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．

【解答】解：3510000＝3.51×106，

故選：B．

【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其

中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

4．【分析】求出各選項方程根的判別式的值，判斷出正負即可確定一元二次方程是否有實數(shù)

根．

【解答】解：A．x2+2x＝0，b2﹣4ac＝4＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以A選

項不符合題意；

B．x2﹣x﹣2＝0，b2﹣4ac＝1+8＝9＞0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以B選項不

符合題意；

C．3x2﹣4x+1＝0，b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以C

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選項不符合題意；

D．4x2﹣3x+2＝0，b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，方程沒有實數(shù)根，所以D選項符合題意；

故選：D．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．

5．【分析】設(shè)袋子中紅球有x個，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右列出關(guān)于x的方程，

求出x的值，從而得出答案．

【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個，

根據(jù)題意，得：＝0.25，

解得x＝5，

∴袋子中紅球的個數(shù)最有可能是5個，

故選：A．

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固

定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．

6．【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．

【解答】解：將拋物線y＝﹣x2﹣1先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，

得到的新拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2﹣1﹣3，即y＝﹣（x﹣1）2﹣4．

故選：A．

【點評】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并

用規(guī)律求函數(shù)解析式．

7．【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出OA、OB，再根據(jù)勾股定理列式求出AB，

然后利用菱形的面積列式計算即可得解．

【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∵AC＝8，BD＝6，

∴OA＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×6＝3，

在Rt△AOB中，AB＝＝5，

∵DH⊥AB，

第2頁（共14頁）

∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝AB?DH，

即×6×8＝5?DH，

解得DH＝4.8，

故選：B．

【點評】本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)菱形的面積的

兩種表示方法列出方程是解題的關(guān)鍵．

8．【分析】首先利用在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和

最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點

與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點P的位置，然后根據(jù)弧的度數(shù)發(fā)現(xiàn)一個

等腰直角三角形計算．

【解答】解：作點B關(guān)于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則P點就是所求作

的點．

此時PA+PB最小，且等于AC的長．

連接OA，OC，根據(jù)題意得弧AN的度數(shù)是60°，

則弧BN的度數(shù)是30°，

根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30°，

則∠AOC＝90°，

又∵OA＝OC＝1，

則AC＝．

故選：B．

【點評】此題主要考查了軸對稱最短路徑問題，找到A的對稱點，確定點P的位置，利

用垂徑定理是關(guān)鍵步驟．

9．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖形判斷出a，b，c的符號，可得結(jié)論．

【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，對稱軸在y軸右邊，與

y軸的交點在y軸正半軸，

∴a＞0，﹣＞0，c＞0，

∴b＜0，﹣a＜0，

∴一次函數(shù)y＝bx﹣a的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

故選：A．

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【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)

的關(guān)系和一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．

10．【分析】過B作BH⊥x軸于H，過A作AM⊥x軸于M，CN⊥BH于N，交y值于E，

通過證得△AOM≌△COE，△COE≌△BCN，得出CN＝OE＝OM，BN＝CE＝AM，由

BD＝2CD，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得CE：CN＝CE：OE＝AM：OM＝1：3，利

用勾股定理以及正方形的面積即可求得A的坐標(biāo)，進而求得k的值．

【解答】解：過B作BH⊥x軸于H，過A作AM⊥x軸于M，CN⊥BH于N，交y值于E，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠COE+∠AOE＝∠AOE+∠AOM＝90°，

∴∠COE＝∠AOM，

在△COE與△AOM中，

，

∴△AOM≌△COE（AAS），

∴OM＝OE，AM＝CE，

同理，△COE≌△BCN，

∴CN＝OE，BN＝CE，

∵BH∥y軸，

∴＝，

∴BD＝2CD，

∴＝，

∴＝＝，

∵OA2＝OM2+AM2，正方形OABC的面積為12，

∴12＝9AM2+AM2，

∴AM＝，

∴OM＝，

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∴A（，），

∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象經(jīng)過正方形OABC的頂點A，

∴k＝×＝，

解法二：tan∠COD＝tan∠AOM＝，

設(shè)AM＝a，OM＝3a，

∴AO＝a，

由題意10a2＝12，

∴a2＝，

∴k＝3a2＝．

故選：B．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11．【分析】直接提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．

【解答】解：2ab2﹣8ab+8a

＝2a（b2﹣4b+4）

＝2a（b﹣2）2．

故答案為：2a（b﹣2）2．

【點評】此題主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正確運用乘法公式是解題

關(guān)鍵．

12．【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求得頂點坐標(biāo)．

【解答】解：二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣1的圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

故答案為（﹣1，﹣1）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，找出函數(shù)圖象的頂點坐

標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

13．【分析】知道了方程的解，可以把這組解代入方程，得到一個含有未知數(shù)k的一元一次

方程，從而可以求出k的值．

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【解答】解：把代入方程ax+4y＝2，得

a+2＝2，

∴a＝0．

【點評】解題關(guān)鍵是把方程的解代入原方程，使原方程轉(zhuǎn)化為以系數(shù)a為未知數(shù)的方程．

14．【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出CD的長，從而可以解答本題．

【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴＝，

∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝14.8m，

∴AC＝AB+BC＝16m，

∴＝，

解得，DC＝20，

即建筑物CD的高是20m．

故答案為：20．

【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答．

15．【分析】設(shè)點O′是的中點，連接OO′．AO′，DO′，OD，AD與OO′交于E，

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AO′＝AO，DO′＝DO，推出四邊形AODO′是菱形，得到∠AOO′

是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠O′AO＝∠AOO′＝∠DOO′＝60°，求

得∠BAC＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

【解答】解：設(shè)點O′是的中點，連接OO′．AO′，DO′，OD，AD與OO′交于

E，

∵弧AD沿直線AD翻折后經(jīng)過點O，

∴AO′＝AO，DO′＝DO，

∵AO＝OD，

∴AO′＝DO′＝AO＝DO，

第6頁（共14頁）

∴四邊形AODO′是菱形，

∵AO＝OO′，

∴∠AOO′是等邊三角形，

∴∠O′AO＝∠AOO′＝∠DOO′＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∵BC＝4，∠ABC＝90°，

∴AB＝BC＝4，

∴，

∴OE＝AO＝，AD＝2AE＝6，

∴陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣扇形OO′D＝

＝8﹣2π，

故答案為：8﹣2π．

【點評】本題考查了扇形面積的計算，折疊的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共7小題，共55.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16．【分析】首先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后從左

向右依次計算，求出算式的值即可．

【解答】解：﹣2﹣1﹣cos60°

＝+1﹣2﹣﹣

＝﹣．

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．

17．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小麗和小寧選同一個課程的結(jié)果有4種，

再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）小陸選擇項目化研究課程領(lǐng)域的概率是，

第7頁（共14頁）

故答案為：；

（2）畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中小麗和小寧選同一個課程的結(jié)果有4種，

∴小陸和小明選同一個課程的概率為＝．

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，用列表法或畫樹狀圖法不重復(fù)不

遺漏的列出所有可能的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．

18．【分析】過點A作AD⊥BC于D，過點P作PE⊥AB于E，根據(jù)正弦的定義求出AD，

再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB，設(shè)PE＝xm，用x表示出BE、AE，計算

即可．

【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC于D，過點P作PE⊥AB于E，

由題意得：∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝20×30＝600m，

則AD＝AC?sin∠ACD＝600×＝300m，

∵∠B＝30°，

∴AB＝2AD＝600m，

設(shè)PE＝xm，

∵∠PAE＝45°，

∴AE＝PE＝xm，

∵∠B＝30°，

∴BE＝＝xm，

∴x+x＝600，

解得：x＝300（﹣）m，

答：A與B間的距離為600m，山高為300（﹣）m．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，正確作出輔助線、掌握銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

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19．【分析】（1）根據(jù)已知列式計算即可；

（2）分兩種情況：若每箱水果降價x元，這種水果的每周銷售利潤為y元，可得：y＝

（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，若每箱水果漲價x'元，這種水果的

每周銷售利潤為y'元，有y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由

二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．

【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），

∴若不進行價格調(diào)整，這種水果每周銷售利潤為6000元；

（2）若每箱水果降價x元，這種水果的每周銷售利潤為y元，

根據(jù)題意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x＝4時，y的最大值為6400元；

若每箱水果漲價x'元，這種水果的每周銷售利潤為y'元，

根據(jù)題意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)x'＝5時，y'的最大值為6250元；

綜上所述，當(dāng)每箱水果定價為54元時，這種水果的每周銷售利潤最大為6400元．

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分情況列出函數(shù)關(guān)系式．

20．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理證明OP垂直平分AB，則PB＝PA，所以∠PBA＝∠PAB，而

∠OBA＝∠OAB，則∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠PAB+∠OAB＝∠PAO＝90°，即可證明

PB為⊙O的切線；

（2）由∠PBO＝∠BCO＝90°，得∠BPO＝∠CBO＝90°﹣∠BOP，則＝tan∠BPO

＝tan∠CBO＝＝，所以BP＝3OB，設(shè)AE＝x，OE＝y(tǒng)，OA＝OB＝a，則PA＝PB＝

3a，y2﹣x2＝a2，由＝＝cos∠E，得y2﹣x2＝3ax﹣ay，則a2＝3ax﹣ay，所以a

＝3x﹣y，于是得y2﹣x2＝（3x﹣y）2，整理得5x＝3y，則cos∠E＝＝．

【解答】（1）證明：∵OP⊥AB于點C，

∴BC＝AC，

∴PB＝PA，

∴∠PBA＝∠PAB，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB，

第9頁（共14頁）

∵PA為⊙O的切線，A為切點，

∴PA⊥OA，

∴∠PBO＝∠PBA+∠OBA＝∠PAB+∠OAB＝∠PAO＝90°，

∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，

∴PB為⊙O的切線．

（2）解：∵∠PBO＝∠BCO＝90°，

∴∠BPO＝∠CBO＝90°﹣∠BOP，

∴＝tan∠BPO＝tan∠CBO＝＝，

∴BP＝3OB，

設(shè)AE＝x，OE＝y(tǒng)，OA＝OB＝a，則PA＝PB＝3a，

∵∠OAE＝90°，

∴y2﹣x2＝a2，

∵＝＝cos∠E，

∴＝，

∴y2﹣x2＝3ax﹣ay，

∴a2＝3ax﹣ay，

∴a＝3x﹣y，

將a＝3x﹣y代入y2﹣x2＝a2，得y2﹣x2＝（3x﹣y）2，

整理得5x＝3y，

∴cos∠E＝＝＝．

【點評】此題重點考查垂徑定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線

的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，證

明∠BPO＝∠CBO是解題的關(guān)鍵．

21．【分析】（1）由待定系數(shù)法得到拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；直線AD的解析式

為y＝x+2；

（2）作EG⊥x軸，設(shè)Q（m，0），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EG＝，求得S△QDE

2

＝S△BDQ﹣S△BEQ＝﹣（m﹣1）+3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

第10頁（共14頁）

（3）點F的坐標(biāo)為F（0，2），過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，﹣2），連

接DF′交對稱軸于M，x軸于N，由條件可知點C，D是關(guān)于對稱軸x＝1對稱，則四邊

形CFNM的周長最小，可求出直線DF'的解析式，則可得出答案．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得，，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；

∵B（4，0），對稱軸為x＝1，

∴A（﹣2，0），

∵D（2，m）在拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+x+4上，

∴D（2，4），

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b1，

∴，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝x+2；

（2）如圖1，作EG⊥x軸，設(shè)Q（m，0），

∵QE∥AD，

∴△BEQ∽△BDA，

∴，

第11頁（共14頁）

即，

解得：EG＝，

∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，

2

∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m+m+＝

﹣（m﹣1）2+3，

∴△QED面積的最大值是3，

此時E點坐標(biāo)是（3，2）；

（3）如圖2，由（1）可知直線AD的解析式為：y＝x+2，

當(dāng)x＝0時，y＝2，

∴點F的坐標(biāo)為F（0，2），

過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，﹣2），連接DF′交對稱軸于M，x軸于N，

由條件可