江西省南昌市2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷

……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………保密★啟用前……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第試卷第=PAGE1頁(yè)共=SECTIONPAGES10頁(yè)……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………保密★啟用前……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第試卷第=PAGE2頁(yè)共=SECTIONPAGES10頁(yè)江西省南昌市2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷副標(biāo)題考試時(shí)間：**分鐘滿分：**分注意事項(xiàng)：1、填寫(xiě)答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫(xiě)2、提前xx分鐘收取答題卡一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共8題）1．已知向量，，則(

)A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C．1 D．3．已知集合，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則不等式的解集是(

)A． B． C． D．5．在三棱錐中，平面分別為AC，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．AF，BE是異面直線， B．AF，BE是相交直線；C．AF，BE是異面直線，AF與BE不垂直 D．AF，BE是相交直線，AF與BE不垂直6．已知，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的右支上有一點(diǎn)與雙曲線的左支交于，線段的中點(diǎn)為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐的三個(gè)側(cè)面沿，，展開(kāi)得到面，，，使得平面，，均與平面垂直，再將球放到上面使得，，三個(gè)點(diǎn)在球的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為，且，則球的表面積為(

)A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（共3題）9．為了解中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個(gè)表格：甲校樣本喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性15520女性81220合計(jì)231740乙校樣本喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性7030100女性4555100合計(jì)11585200則下列判斷中正確的是（）(參考公式及數(shù)據(jù)：).0.10.010.0012.7066.63510.828A．樣本中，甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例B．樣本中，甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例C．根據(jù)甲校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)D．根據(jù)乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)10．已知，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．在上可能單調(diào)遞減B．若在上單調(diào)遞增，則C．是的一個(gè)對(duì)稱中心D．所有的對(duì)稱中心在同一條直線上11．已知，為上一點(diǎn)，且滿足動(dòng)點(diǎn)滿足，為線段上一點(diǎn)，滿足，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．若，則為線段的中點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．點(diǎn)到，距離之和的最大值為D．的正切值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。（共3題）12．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為若，則.13．一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)題回答(抽后不放回).已知參賽人甲題答對(duì)的概率為題答對(duì)的概率為題答對(duì)的概率均為，則甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為.14．如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，將矩形按圖示方式折疊，使直線被折起的部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為過(guò)點(diǎn)再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線曲線在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)，則的面積的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（共5題）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，設(shè)，求的通項(xiàng)公式.16．一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值單位：服從正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：若則，，（1）生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；精確到（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取只電阻，測(cè)得阻值分別為：，，，，單位：你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說(shuō)明理由．17．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，求直線AB的斜率.18．已知且．（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面，且與底面所成二面角為，圖一中，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，圖二中，橢圓上的點(diǎn)在底面上的投影分別為，且均在直徑的同一側(cè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，若圖二中，點(diǎn)，，，將半圓均分成等份，求；證明：．答案第答案第=PAGE1頁(yè)共=SECTIONPAGES1頁(yè)答案第答案第=PAGE2頁(yè)共=SECTIONPAGES10頁(yè)【答案區(qū)】1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由，可得，故．故答案為：B.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得：，，

因?yàn)榧螦是集合B的真子集，可知“”是“”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】求集合A，B，根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.4．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)椋瑒t有當(dāng)，則，解得；

當(dāng)，則，解得；

綜上所述：不等式的解集是.

故答案為：B.

【分析】分和，結(jié)合一元二次不等式以及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線是異面直線；證明與垂直，證明如下：證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：

因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?故答案為：A．【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷直線，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點(diǎn)，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而證明．6．【答案】D【解析】【解答】解：由，

可得，，令，則，即，所以.故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件，利用余弦的兩角和公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)正弦的二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，且滿足，所以，

故為等腰三角形，又因?yàn)?，所以為正三角形，根?jù)雙曲線定義知：，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理可得：，解得.故答案為：D.【分析】由題意，利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：連接、、，取、、中點(diǎn)、、，連接、、如圖所示：由題意可知：，且，則，因?yàn)槠矫妫?，均與平面垂直，設(shè)，，三點(diǎn)所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因?yàn)楠?jiǎng)杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，因?yàn)椤眨?，所以是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，在直角中，，即，解得，所以球的表面積為．故答案為：C．【分析】作輔助線，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，可知，的外接圓半徑為，結(jié)合球的性質(zhì)可得，即可得球的表面積.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，

即甲校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，故A正確；B、甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，即甲校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例低于乙校女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例，故B錯(cuò)誤；C、甲校中，故沒(méi)有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤；D、乙校中，故乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故D正確.故答案為：AD.【分析】根據(jù)甲乙兩校男女學(xué)生喜愛(ài)足球運(yùn)動(dòng)的比例大小即可判斷AB；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)即可判斷CD.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，A、當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，不恒成立，則函數(shù)不可能單調(diào)遞減，綜上所述，函數(shù)在上不可能單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；B、若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；C、因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，故C正確；D、因?yàn)椋?，所以關(guān)于對(duì)稱，所以所有的對(duì)稱中心在直線上，故D正確．故答案為：BCD．【分析】求函數(shù)的定義域，和導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)或時(shí)，不恒成立判斷A；計(jì)算導(dǎo)數(shù)，令計(jì)算即可判斷B；驗(yàn)證是否成立即可判斷C；求得關(guān)于，對(duì)稱，即可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，若，則，

可知.

再由知.可得，

則.所以，即為線段BC的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，

且，則，

所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，由可得，設(shè)如圖所示：因?yàn)?，則，可得，即C的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓.又因?yàn)?，可得，可知D的軌跡是以M，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，所以，所以點(diǎn)D到A，B的距離之和的最大值為5，故C正確；對(duì)于D：作交CM于N，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，N重合時(shí)取等號(hào)，且，可得，所以，故D正確.故答案為：ACD.【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B：由余弦定理可得，進(jìn)而可得，代入面積公式運(yùn)算求解；對(duì)于C：設(shè)，可得，設(shè)，分析可知C的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓.且D的軌跡是以M，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.12．【答案】【第1空】2；【解析】【解答】解：由，因?yàn)?，所以存在?/p>

再根據(jù)正弦定理可得：，因?yàn)橹?，，所以?/p>

即.故答案為：.【分析】先由條件求得，由于，說(shuō)明存在，再利用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求的值即可.13．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：5個(gè)題，甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，中任取一題，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中A，中任取兩題，且全部答對(duì)，則概率為：；抽中B，中任取兩題，且全部答對(duì)，則概率為：，所以甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為.故答案為：.【分析】由題意，將甲抽中的前三題按題型概率不同分成四種組合，根據(jù)每種組合中每題是否答對(duì)為獨(dú)立事件，計(jì)算每種組合下全部答對(duì)的概率，最后相加即可得甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對(duì)稱，，可知Q在以P為焦點(diǎn)、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，如圖，以PO中點(diǎn)G為原點(diǎn)，過(guò)G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：則，直線AB：，可知拋物線方程為：，即，則，設(shè)，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以拋物線在Q點(diǎn)處切線方程為，令，解得，即，因?yàn)椋瑒t，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，所以的面積的最小值為.故答案為：.【分析】Q在以P為焦點(diǎn)、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，建系，可得拋物線方程為：，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)，即可得結(jié)果.15．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，則數(shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，所?（2）解：由已知，，所以，即，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【解析】【分析】（1）將代入，由已知條件推出數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解即可；（2）由已知條件推的數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的概念求解即可.16．【答案】（1），，生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為：，，因此所求概率為：；（2）生產(chǎn)正常時(shí)，這個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，記，計(jì)算可得，這時(shí)，即，小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常．【解析】【分析】(1)由題意可知：，，根據(jù)原則結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性運(yùn)算求解；

(2)由題意可得：，，根據(jù)原則分析判斷.17．【答案】（1）解：因?yàn)榈拿娣e為，則，解得，又因?yàn)樵跈E圓上，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：因?yàn)闉锳C的中點(diǎn)，所以，設(shè)，設(shè)直線的方程，并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因?yàn)?，則，即，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.【解析】【分析】（1）由的面積求得，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入求得，從而可得橢圓的方程；（2）由題意，推得，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，消元整理利用韋達(dá)定理求解即可.18．【答案】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，令，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即時(shí)，，所以時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；（2）解：，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因