江西省南昌市2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷

……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………保密★啟用前……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第試卷第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES10頁……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………保密★啟用前……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第試卷第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES10頁江西省南昌市2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷副標(biāo)題考試時間：**分鐘滿分：**分注意事項：1、填寫答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫2、提前xx分鐘收取答題卡一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。（共8題）1．已知向量，，則(

)A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C．1 D．3．已知集合，，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則不等式的解集是(

)A． B． C． D．5．在三棱錐中，平面分別為AC，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．AF，BE是異面直線， B．AF，BE是相交直線；C．AF，BE是異面直線，AF與BE不垂直 D．AF，BE是相交直線，AF與BE不垂直6．已知，則（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計了一個獎杯，如圖，獎杯的設(shè)計思路是將側(cè)棱長為的正三棱錐的三個側(cè)面沿，，展開得到面，，，使得平面，，均與平面垂直，再將球放到上面使得，，三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為(

)A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。（共3題）9．為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校的課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下兩個表格：甲校樣本喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計男性15520女性81220合計231740乙校樣本喜愛足球運(yùn)動不喜愛足球運(yùn)動合計男性7030100女性4555100合計11585200則下列判斷中正確的是（）(參考公式及數(shù)據(jù)：).0.10.010.0012.7066.63510.828A．樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例B．樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例C．根據(jù)甲校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)D．根據(jù)乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)10．已知，則下列說法中正確的是（）A．在上可能單調(diào)遞減B．若在上單調(diào)遞增，則C．是的一個對稱中心D．所有的對稱中心在同一條直線上11．已知，為上一點，且滿足動點滿足，為線段上一點，滿足，則下列說法中正確的是(

)A．若，則為線段的中點B．當(dāng)時，的面積為C．點到，距離之和的最大值為D．的正切值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。（共3題）12．在中，角A，B，C所對的邊分別為若，則.13．一次知識競賽中，共有個題，參賽人每次從中抽出一個題回答(抽后不放回).已知參賽人甲題答對的概率為題答對的概率為題答對的概率均為，則甲前3個題全答對的概率為.14．如圖，有一張較大的矩形紙片，，分別為，的中點，點在上，將矩形按圖示方式折疊，使直線被折起的部分經(jīng)過點，記上與點重合的點為，折痕為過點再折一條與平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線曲線在點處的切線與交于點，則的面積的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（共5題）15．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）當(dāng)時，求；（2）若，設(shè)，求的通項公式.16．一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時，生產(chǎn)的電阻阻值單位：服從正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：若則，，（1）生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間和內(nèi)各一只的概率；精確到（2）根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的知識，從服從正態(tài)分布的總體中抽取容量為的樣本，則這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布某時刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取只電阻，測得阻值分別為：，，，，單位：你認(rèn)為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由．17．已知橢圓經(jīng)過點為橢圓的右頂點，為坐標(biāo)原點，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作直線與橢圓交于A，B，A關(guān)于原點的對稱點為，若，求直線AB的斜率.18．已知且．（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面，且與底面所成二面角為，圖一中，點是橢圓上的動點，點在底面上的投影為點，圖二中，橢圓上的點在底面上的投影分別為，且均在直徑的同一側(cè)．（1）當(dāng)時，求的長度；（2）當(dāng)時，若圖二中，點，，，將半圓均分成等份，求；證明：．答案第答案第=PAGE1頁共=SECTIONPAGES1頁答案第答案第=PAGE2頁共=SECTIONPAGES10頁【答案區(qū)】1．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由，可得，故．故答案為：B.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得：，，

因為集合A是集合B的真子集，可知“”是“”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】求集合A，B，根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.4．【答案】B【解析】【解答】解：因為，則有當(dāng)，則，解得；

當(dāng)，則，解得；

綜上所述：不等式的解集是.

故答案為：B.

【分析】分和，結(jié)合一元二次不等式以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：經(jīng)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過點的直線是異面直線；證明與垂直，證明如下：證明：因為平面，平面，所以，因為，分別為的中點，連接，所以，因為，平面，所以平面，取的中點，連接，，如圖所示：

因為平面，所以，又因為，所以，因為，所以，又因為為的中點，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以.故答案為：A．【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷直線，是異面直線，再證明與垂直，連接，即可得到平面，取的中點，連接，，從而得到、，即可證明平面，從而證明．6．【答案】D【解析】【解答】解：由，

可得，，令，則，即，所以.故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件，利用余弦的兩角和公式化簡得，再根據(jù)正弦的二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：因為線段的中點為，且滿足，所以，

故為等腰三角形，又因為，所以為正三角形，根據(jù)雙曲線定義知：，設(shè)，則，解得，在中，由余弦定理可得：，解得.故答案為：D.【分析】由題意，利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求解即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：連接、、，取、、中點、、，連接、、如圖所示：由題意可知：，且，則，因為平面，，均與平面垂直，設(shè)，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因為獎杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，因為≌，，所以是邊長為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，在直角中，，即，解得，所以球的表面積為．故答案為：C．【分析】作輔助線，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，可知，的外接圓半徑為，結(jié)合球的性質(zhì)可得，即可得球的表面積.9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，

即甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，故A正確；B、甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，即甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例低于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例，故B錯誤；C、甲校中，故沒有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，故C錯誤；D、乙校中，故乙校樣本有的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，故D正確.故答案為：AD.【分析】根據(jù)甲乙兩校男女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動的比例大小即可判斷AB；根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)即可判斷CD.10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函數(shù)定義域為，求導(dǎo)可得，A、當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時，不恒成立，則函數(shù)不可能單調(diào)遞減，綜上所述，函數(shù)在上不可能單調(diào)遞減，故A錯誤；B、若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以，故B正確；C、因為，所以關(guān)于對稱，故C正確；D、因為，，所以關(guān)于對稱，所以所有的對稱中心在直線上，故D正確．故答案為：BCD．【分析】求函數(shù)的定義域，和導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)或時，不恒成立判斷A；計算導(dǎo)數(shù)，令計算即可判斷B；驗證是否成立即可判斷C；求得關(guān)于，對稱，即可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A，若，則，

可知.

再由知.可得，

則.所以，即為線段BC的中點，故A正確；對于B，當(dāng)時，，則，

且，則，

所以，故B錯誤；對于C，設(shè)，由可得，設(shè)如圖所示：因為，則，可得，即C的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓.又因為，可得，可知D的軌跡是以M，B為焦點，長軸長為2的橢圓，所以，所以點D到A，B的距離之和的最大值為5，故C正確；對于D：作交CM于N，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，N重合時取等號，且，可得，所以，故D正確.故答案為：ACD.【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷；對于B：由余弦定理可得，進(jìn)而可得，代入面積公式運(yùn)算求解；對于C：設(shè)，可得，設(shè)，分析可知C的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓.且D的軌跡是以M，B為焦點，長軸長為2的橢圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)分析求解；對于D：根據(jù)題意結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.12．【答案】【第1空】2；【解析】【解答】解：由，因為，所以存在，

再根據(jù)正弦定理可得：，因為中，，所以，

即.故答案為：.【分析】先由條件求得，由于，說明存在，再利用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求的值即可.13．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：5個題，甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合：抽中，中任取一題，且全部答對，則概率為：；抽中，且全部答對，則概率為：；抽中A，中任取兩題，且全部答對，則概率為：；抽中B，中任取兩題，且全部答對，則概率為：，所以甲前3個題全答對的概率為.故答案為：.【分析】由題意，將甲抽中的前三題按題型概率不同分成四種組合，根據(jù)每種組合中每題是否答對為獨立事件，計算每種組合下全部答對的概率，最后相加即可得甲前3個題全答對的概率.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：連接PQ，由題PQ與MQ關(guān)于對稱，，可知Q在以P為焦點、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，如圖，以PO中點G為原點，過G與AB平行的直線為軸，與AB垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：則，直線AB：，可知拋物線方程為：，即，則，設(shè)，則，即切點坐標(biāo)為，切線斜率為，所以拋物線在Q點處切線方程為，令，解得，即，因為，則，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，；即當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，所以的面積的最小值為.故答案為：.【分析】Q在以P為焦點、直線AB為準(zhǔn)線的拋物線上，建系，可得拋物線方程為：，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得，進(jìn)而得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)，即可得結(jié)果.15．【答案】（1）解：當(dāng)時，，即，則數(shù)列為等差數(shù)列，因為，所以，所以.（2）解：由已知，，所以，即，且，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【解析】【分析】（1）將代入，由已知條件推出數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解即可；（2）由已知條件推的數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的概念求解即可.16．【答案】（1），，生產(chǎn)正常時，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取只，則這只電阻阻值在和在的概率分別為：，，因此所求概率為：；（2）生產(chǎn)正常時，這個樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布，記，計算可得，這時，即，小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常．【解析】【分析】(1)由題意可知：，，根據(jù)原則結(jié)合正態(tài)分布的對稱性運(yùn)算求解；

(2)由題意可得：，，根據(jù)原則分析判斷.17．【答案】（1）解：因為的面積為，則，解得，又因為在橢圓上，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：因為為AC的中點，所以，設(shè)，設(shè)直線的方程，并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得，消去得，則有，因為，則，即，即，，即，解得，所以直線AB的斜率為.【解析】【分析】（1）由的面積求得，再根據(jù)點在橢圓上，代入求得，從而可得橢圓的方程；（2）由題意，推得，設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，消元整理利用韋達(dá)定理求解即可.18．【答案】（1）證明：當(dāng)時，，則，令，則，兩邊取對數(shù)得，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時，，即時，，所以時，，即，所以在上單調(diào)遞增；（2）解：，兩邊取對數(shù)得：，即，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又因