2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)大聯(lián)考數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合A={x——無(wú)一2V。},B={.x|j=ln(l-x)},則AB=()

A.(-1,1)B.(-2,1]C.(-1,2)D.[-1,1)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(若-i)=(若+i『，則|z+2卜()

A.aB_2A/2C.2D.8

4x

3.已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=^~,若函數(shù)/7(x)在[-兀中]上的大致圖象如圖所示,

x-+l

則h{x)的解析式可能是()

A.力(尤)=/(無(wú))-g(無(wú))B.h(x)=f(x)+g(x)

C./z(x)=/(x)g(x)D./，(％)=乃?

g(x)

4.某校高三數(shù)學(xué)摸底考試成績(jī)X（單位：分）近似服從正態(tài)分布N（110,4）,且

P（90<X<130）=0.86,該校高三數(shù)學(xué)摸底考試成績(jī)超過(guò)90分的人數(shù)有930人，則（）

A.估計(jì)該校高三學(xué)生人數(shù)為1200

B.估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)不超過(guò)90分的人數(shù)為70.

C.估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)介于90到110分之間的人數(shù)為425.

D.估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)不超過(guò)90分的人數(shù)比超過(guò)130分的人數(shù)多.

5.已知點(diǎn)（兀,0）是函數(shù)"x）=sin（2x+e）+6sin（2x+5+'的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，其中

則曲線(xiàn)y=〃x）在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）

A.兀+'+百一.=0B.x+y+百一會(huì)=0

C.2%+y+括一事=0D.2x+y-y/3-^=0

6.已知圓柱底面的半徑為0,四邊形ABCD為其軸截面，若點(diǎn)E為上底面圓弧AB的

中點(diǎn)，異面直線(xiàn)。石與5C所成的角為;，則圓柱的表面積為（）

4

A.4（拒+1）兀B.2（行+1）兀C.40兀D.4（后一1）兀

22

7.已知耳，工是橢圓G：J+A=l（a>b>。）的兩焦點(diǎn)，工是橢圓與拋物線(xiàn)。2：爐=10天

ab

的公共焦點(diǎn)，A是c-G在第一象限的公共點(diǎn)，橫坐標(biāo)為若RtA4B為直角三角

形，則G的離心率為（）

A.上或走B,2或鼻C,鼻D.，

727557

8.如圖，正方體ABCD-A46R的棱長(zhǎng)為3,線(xiàn)段BQ上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,且EF=^，

B.2

D.4

二、多選題

9.已知a>0,b>0,Ma2+Z?2=1,則（）

2

A.a+b>2B.；<2""<2C.log2a+log2<-1D.a-b>-\

10.記公比為q的單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%+%=4,%+/=16,

則（）

A.q=2B.a“=—?2"

C.^=|（2"-1）D.=（1

11.已知函數(shù)=的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為不，%,若過(guò)點(diǎn)4（%,/（占））和

川與〃％））的直線(xiàn)/與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為卷，則直線(xiàn)/方程為（）

16c16,

A.y=-----x+2B.y=-----x-1

33

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

C.y=-■—x+1D.y=-3x+l

12.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過(guò)拋物線(xiàn)d=2y的焦點(diǎn)的直線(xiàn)/與該拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)

為4（尤1，%）,B（x2,y2）,則（）

A.拋物線(xiàn)在點(diǎn)x=l處切線(xiàn)方程為2x-2y-l=0

B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為（。,-；），則AATBN=O

C.\OA\+\OB\>y/5

D.若BN垂直拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)N,則AO,N三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上

三、填空題

13.［立+手一11的展開(kāi)式中，N項(xiàng)系數(shù)為.

14.招待客人時(shí)，人們常使用一次性紙杯，將其視為圓臺(tái)，設(shè)其杯底直徑為2R,杯口

直徑為3R,高為”,將該紙杯裝滿(mǎn)水（水面與杯口齊平）后，再將一直徑為2R的小鐵

球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的

15.已知sin（cr+/?）=—,tancr=-tany0,則cos（2a-2尸）=____

63

16.一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，若出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是3的倍數(shù)，則這次拋擲得

分為3,否則得分為—1.拋擲〃次，記累計(jì)得分為△若用3=10,則?！叮?.

四、解答題

17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝,滿(mǎn)足〃；二24,〃：-蜷=40.

⑴求｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式；

，2，、

⑵記=M+W求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S〃.

18.已知，ABC中，"c分別為角A仇。對(duì)應(yīng)的邊，且a=3,cosA=1,

sinB=—sinA-sinC.

3

⑴求/IBC的面積最大值;

(2)設(shè)cosC=巫，求AB邊上的高.

10

19.我校教研處為了解本校學(xué)生在疫情期間居家自主學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)調(diào)查了120個(gè)學(xué)生,

得到這些學(xué)生5天內(nèi)每天堅(jiān)持自主學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)y(單位：小時(shí))的頻數(shù)分布表，假如每人

學(xué)習(xí)時(shí)間長(zhǎng)均不超過(guò)5小時(shí).

時(shí)長(zhǎng)y[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5]

學(xué)生數(shù)3024401610

(1)估計(jì)這120個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)以表中y的分組中各組的頻率為概率，校領(lǐng)導(dǎo)要從120名學(xué)生中任意抽取兩名進(jìn)行家

長(zhǎng)座談.若抽取的時(shí)長(zhǎng)ye[0,1),則贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問(wèn)金100元；抽取的時(shí)長(zhǎng)ye[l,2),貝|

贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問(wèn)金200元；抽取的時(shí)長(zhǎng)ye[2,5],則贈(zèng)送家長(zhǎng)慰問(wèn)金300元.設(shè)抽取的2

名學(xué)生家長(zhǎng)慰問(wèn)金額之和為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，三棱柱ABC-中，AC_LgG，AB,AC±BtCt,AC=1,AAi=2.

(1)求證：平面ABC，平面ACCM；

⑵若銳二面角A-B月-C的余弦值為逅,求三棱柱ABC-AAG的體積.

3

r2v23

21.已知4，尸2是雙曲線(xiàn)E:3-與=1(。>0/>0)的左右焦點(diǎn)，其離心率為；，虛軸

長(zhǎng)為2百.

⑴求E的方程；

(2)直線(xiàn)/：x+y=2與E交于P,。兩點(diǎn)，設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為CM),△OPQ

的面積為S,求絲強(qiáng)的值.

S

22.已知函數(shù)/(無(wú))=處一尤2+x+l.

X

⑴求曲線(xiàn)y=f(x)在x=i處的切線(xiàn)；

⑵若對(duì)任意xe(0,+8),當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)/z(x)=/(x)-(辦-l-x?)存在兩個(gè)零

點(diǎn).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】求出集合A、B,利用交集的定義可得出集合AcB.

【詳解】因?yàn)?=卜產(chǎn)一元一2v0}=[-1,2],

2={x|y=ln(l-x)}={x|l-x>0}={x|x<l}=,故Ac3=[—1,1).

故選：D.

2.B

【分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：z(V3-i)=(V3+i)2=3+2V3i+i2=2+2V3i,

2+2后2(1+后)(6+i)4i>

石-i一(若T(若+i)一2一人

因止匕|z+2|=J22+2」=2&.

故選：B

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，定義域，結(jié)合函數(shù)圖象，即可判斷和選擇.

4(一九)4%

【詳解】易矢口/(尤)=sin尤為奇函數(shù)，由gO=(_尤)2+[=-=-g⑺，則g(無(wú))為奇函

數(shù)，

因?yàn)锳x)是奇函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，由圖象可知，所求函數(shù)是偶函數(shù)，而/(x)±g(x)是奇函

數(shù)，A,B不符合題意；

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y=嚕無(wú)意義,所以D不符合題意.

g(x)

故選：C.

4.B

【分析】由正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可求得尸(x>90),由頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求得結(jié)

果.

【詳解】解：由P(90<X<130)=0.86,得P(X490)=5x(1-0.86)=0.07,

.-.P(X>90)=1-0.07=0.93.

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

估計(jì)該校學(xué)生人數(shù)為：930+0.93=1000人，A不正確；

估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)不超過(guò)90分的人數(shù)為1000x0.07=70,B正確；

估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)介于90至IJ110分之間的人數(shù)為1000x0.86+2=430,C錯(cuò)誤；

由P(X<90)=尸(X>130)=1x(l-0.86)=0.07,

估計(jì)該校學(xué)生中成績(jī)不超過(guò)90分的人數(shù)與超過(guò)130分的人數(shù)相等，D錯(cuò)誤，

故選：B.

5.C

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為〃耳=2$吊(2工+。+弓］,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得/(x)=2sin2x,

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=sin(2x+0)+若sin(2x+^+e］=sin(2x+o)+石cos(2x+e)

=2sin［2x+e+1J,因?yàn)辄c(diǎn)(兀,0)是函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，可得2兀+0+方=祈，keZ,

又由附<］，得"=一三，所以〃x)=2sin2x,則「(x)=4cos2x,可得尸［二］=一2,且

俱=-亞

所以曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y+后=-2、-gj,即

2尤+y+6-g=0.

故選：C.

6.A

【分析】結(jié)合圓柱體的性質(zhì)和面積公式以及異面直線(xiàn)所成角的求法計(jì)算即可得.

【詳解】

設(shè)底面圓心為。，則。為C。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作底面圓于尸，

連接OE,OF,DF,BCHEF,

\?DEF為異面直線(xiàn)。E與BC所成的角，

TT

:.ZDEF=~,E是A8的中點(diǎn)，二尸是CO的中點(diǎn)，...CD，。',

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

又歷_1平面。9尸，「衣u平面CDb,EF±DF,

由已知OD=0,所以D尸=2,得EF=2,

則圓柱的表面積為S=2nrxEF+2兀/=4(0+1)兀.

故選：A.

7.D

【分析】拋物線(xiàn)C2：B=10X的焦點(diǎn)為F(|,o],|4用=*=3,根據(jù)拋物線(xiàn)和橢圓的定

義、結(jié)合勾股定理可求2”，分情況求橢圓的離心率e=￡.

a

【詳解】拋物線(xiàn)C2：y2=iox的焦點(diǎn)為\AF2\=^+^=3,

fd5

在橢圓q:-+^-=l(a>b>0)中，c=-,

ab2

在Rt中，若/月48二90,

由勾股定理得4c2=MK「+|A&「=25,得|前|=4,

2a=M+M=7,

.??橢圓C|的離心率為e=—=9，

a7

由點(diǎn)A橫坐標(biāo)為點(diǎn)尸2橫坐標(biāo)為g,故乙48居W90,

故選：D.

8.C

【分析】由正方體性質(zhì)可證AC，平面。次珥，所以可知A。三棱錐A-的高，由棱錐

體積公式可解.

連結(jié)交AC于0,由AC13D,AC1DDX,

BDDD{=D,BDu平面DQBB】,DDtu平面DIDBBI,

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

所以AC，平面2。8用，

得點(diǎn)A到平面BDD向的距離是4。=述，也即點(diǎn)A到平面BEF的距離是辿,

22

即為三棱錐A-BEF的高為AO=—,

2

又S&BEF=1-x3x72,

故三棱錐A-5EF的體積為L(zhǎng)x逑x(chóng)豆1=3.

3222

故選：C.

9.BCD

【分析】對(duì)于AC利用基本不等式可判斷；對(duì)于B利用不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

即可判斷；對(duì)于D直接根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】">。，b>0,且/+/=1,.「八廿0，+6）一,

2

.-.a+b<42,當(dāng)且僅當(dāng)。=>=乎取等號(hào)，故A不正確；

a>Of"0,且a2+/=1,

:.0<a<W<b<l,:.-l<a-b<l,.-.-<2a-b<2,故B正確；

2

則故D正確；

a>0b>0,且〃2+人2=],：A=a2+b2>2abyWflab<-

f2f

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=受取等號(hào)，貝lJlog2a+log26=log2（a6）Wlog2j=T，故C正確.

22

故選：BCD,

10.ABC

【分析】先求得心進(jìn)而求得的,由此求得4，s”,s向-s“，進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為4（4彳0）,由％+%=4,%+。6=16,

得=4,解得q=2或g=_2,

又因?yàn)閿?shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以4=2,故A正確；

2

所以2q+8%=4,解得4=弓，

71

所以q,=M?2--?2",故B正確；

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

一O））,〃+1

2（2「1），5?一5“=夕2?一1）一半2"-1）=二、2"=可，故C正確，D

錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.BC

x?——2aX[—1八

【分析】由題意/'（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則A>0求參數(shù)a范圍，再根據(jù)21代

%二-—1

入了（占）、/（再）確定已知點(diǎn)所在直線(xiàn)，進(jìn)而求截距并列方程求。值.

【詳解】由題意尸。）=爐+2依+1有兩個(gè)不同零點(diǎn),

貝！IA=44一4>0,所以/>1,即或av—1,

%；+2叼+1=0

由2即

x2+2ax2+1=0

f(%)—~%；+6ZX：+玉——Xj(--1)+CIX^+X|

Q22Q/小八22八2、a

=§玉%=—(~2axi-1)+—=-(l-a)%--,

同理有/(々)=|(1一/)々一三，

所以伍,/伍))均在了=|<1-/)_￥-三上,

令丫=￡(1一/)彳一,=0,則*=J2,

33Lyy-a)

令x=0,則y=—|

1aa看即a13

則直線(xiàn)/與坐標(biāo)軸圍成三角形面積S=―X-----X

22(1—儲(chǔ))33(1-/)-8'

即9(l-a2)=±8a2,

33

Ja

綜上，q=3,出=-3,a32

因?yàn)榧碼>l或av-1,故q=3,a2=-3,得>=一1％±1,

故選：BC

12.AD

【分析】直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，然后表示出％+%，占尤2，%+丫2，%%，即可

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

判斷A、B；當(dāng)直線(xiàn)A3與x軸平行時(shí)求出|圖、]。目可判斷C；直線(xiàn)。4的方程為y=^x=^-x,

求出與x=3的交點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由拋物線(xiàn)V=2y,得y=得y=x,拋物線(xiàn)在點(diǎn)Al處切線(xiàn)斜率為

k=y=x=i,

方程為了一；=%一1,即2x-2y—l=0,A正確；

對(duì)于B,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0,彳1\，設(shè)直線(xiàn)A8的方程為了=丘+1:，聯(lián)立廠y=kxH—2,

I272[f=2y

可得了2—2fcv-1=0，所以玉+%2=2左,演％2=—1，X+%=左(％+%2)+1=2k2+1,

X%[履1+h2+；)=+；左(玉+%)+；=；,

則AM=(-%,-[一%)]-%,-；-%]=%%+：+g(X+%)+%%=公，

即B不正確；

對(duì)于C,當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸平行時(shí)，|0川=[08|=半，]。4|+|。回=石，故C不正確;

對(duì)于D,BN垂直拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)N,即》=%與準(zhǔn)線(xiàn)y=-;的交點(diǎn)，得N1%,-：),

直線(xiàn)04的方程為y=^x=^x,與x=%的交點(diǎn)坐標(biāo)為N'(X2,號(hào)，,

因?yàn)榉?一;，得即N與N'重合，所以AO,N三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，

故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱

坐標(biāo)之積為定值，以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切.

13.—

64

【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3,即可求出/項(xiàng)系數(shù).

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

由(y-1/展開(kāi)式通項(xiàng)為卻=.1)-=(-1)〃q?二

令6-1=6,解得r=0,

則V項(xiàng)為(一碟,兒，=。尤3,則/項(xiàng)系數(shù)為占.

64?6464

故答案為：y?.

64

14.4

【分析】利用圓臺(tái)及球的體積公式結(jié)合條件即得.

1(0/?2C)R2197rA2為

【詳解】解：由題可得紙杯的體積為兀1+，5一尺2+&,

\7

4

小鐵球的體積為§兀*,

,,-ZE，419nR2h4n7?3/t.

由題可得一x---------=--------，即nn一=4.

19123R

故答案為：4

15.—

72

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求出sin?-尸),

再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)閟in(a+/?)=sinacos[3+cosasin/?=—,

6

1sina1sin0\

ffUtan=-tan,即----=------,即sinacos'=—cososin尸，

3cosa3cosp3

因此，cosasinjS=-f因此sinacos/=上，

824

貝Usin(6Z-P)=sinacosP-cosisin尸=一5，

i71

所以cos(2a-2尸)=cos2(a-/3)=l-2sin2(cr—4)=1—2x(——)2=—.

71

故答案為：—.

【分析】利用古典概型概率公式可得拋擲一次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是3的倍數(shù)的概率，記拋擲〃

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

次拋擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3倍關(guān)系的次數(shù)為X,則*~8卜,￡|,J=3X—伍-X)=4X-a,即

可判斷.

【詳解】由題可知一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子有36種等可能的結(jié)果，

其中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是3倍關(guān)系的有12種等可能的結(jié)果，

121

所以?huà)仈S一次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是3倍關(guān)系的概率為夕=建=：,

363

記拋擲〃次拋擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)和是3倍關(guān)系的次數(shù)為X,

J=3X_(〃_X)=4X_〃，

由雙X)=g,得碓)=4磯X)-〃=g=10,得”=30,

于是￡＞途)=30、3)-J=當(dāng)，

D(^)=42Z)(X)=16X^=^|2.

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)分布的期望與方差公式，及利用期望與

方差的性質(zhì)求新的期望與方差.

17.(1)?！?2w-l

(2)j2〃+l-l

【分析】(1)由已知遞推關(guān)系，可得”“+「4=2,即可寫(xiě)出｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)知2=j2w+l—j2〃一l,裂項(xiàng)相消法即可求前兀項(xiàng)和S”.

【詳解】(1)由題意，得《一。；=24,。；一片=40,

即(g)=24,(%+%)(。4-%)=40,

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,又各項(xiàng)均為正數(shù)，

即2(%+%”=24,2(%+%”=40,

相減得2x2dxd=16,得d=2,貝！]2(4]+2d+a])d=24,

4=1,故?！?2〃一1.

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

22________

（2）由（1）矢口2-/==/T—~~~7===y/2n+l-^2n-l,

也+1冊(cè)+172n-1+12n+1

5,=4+4++b〃=（6-，+（有-6）+（a-曲）++（J2〃+1-，2巳-1）=y/2n+1—1.

18.（咯

4^+3AA0

10'

【分析】(1)由已知可得cosA=g,再利用正弦定理求出6,然后利用基本不等式即得;

(2)由兩角和公式結(jié)合(1),求sinB即可.

【詳解】(1)在一ABC中，由cosA=；,Ae(O,?r),得$畝4=乎，

由正弦定理及sinB=』sinA-sinC,^b=-a-c,由a=3,得b+c=l,

33

則［包］=工，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=g時(shí)，取得等號(hào)；

I2J42

所以ABC的面積SABc=LbcsinAwLxLx22g=Yl,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)取得等號(hào),

ABC2243122

故.ABC的面積最大值為變.

（2）由（1）知cosA=:，得$畝4=迪，由cosC=^0,C?0㈤得sinC=孑叵,

331010

mHf"〃272yflO13質(zhì)475+3^

所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=x—F-X=---------------，

31031030

4君+394小+3回

得AB邊上的高/z=a-sinB=3x

3010

19.（1）2.1

(2)分布列見(jiàn)解析；期望為460

【分析】(1)根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)直接列式即可計(jì)算；

(2)由題可得X的所有可能取值為200,300,400,500,600,求出X取不同值對(duì)應(yīng)的概

率，即可得出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)這120個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)

-1

y=—(0.5x30+1.5x24+2,5x40+3,5x16+4.5x10)=2.1.

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

301

⑵依題意可得ye［?！唬┑母怕蕿樵?xún)=“

c、A/djfd241「。ui弘4?口f忙40+16+1011

yer[i1,2)的概率為-ye[2,5]的概率為———=—.

1NUD12XJZU

X的所有可能取值為200,300,400,500,600,

P(X=200)=-x-=—,P(X=300)=2x-x-=—,

44164510

63

P(X=400)=2x-x—+-x-=

42055200

P(X=500)=2x-x—=—P(X=600)=—x—=—

520502020400

則X的分布列為

X200300400500600

116311121

p

16io20050400

^E(X)=200x—+300x—+400x—+500x—+600x—=460

v7161020050400

20.（1）證明見(jiàn)解析

⑵述

4

【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理、性質(zhì)定理得出AC，平面A8C,再由面面垂直的判

定定理可得平面ABCJ_平面ACGA；

（2）以C為原點(diǎn)，C4、CB、C4所在直線(xiàn)分別為X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出

平面88。、平面4即1的一個(gè)法向量，由面面角的向量求法可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)锳C，4G，BCHB\G，所以AC/BC,

由AC_L4G,BC//BG，得AC_LBC,

由AC_LA8,ABOBC^B,AB、BCu平面ABC,

得A,C_L平面ABC,ACu平面ABC,所以AC_LAC,

又ACBC=C,AC、8Cu平面ABC,

平面ABC,ACu平面ACC0,

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

所以平面ABC，平面ACGA；

(2)由(1)知：CA.CB、C4兩兩垂直，以C為原點(diǎn),

C4、CB、C4所在直線(xiàn)分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(1,0,0)、C(0,0,0),A(0,0,V3),設(shè)點(diǎn)3(0,。,0),其中>>0,

設(shè)平面84c的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

CB=(0,&,0),CCX=A\=(-1,0,A/3),

n-CB=by=0「

l，取x=則>=。，z=l,得〃=(6,0,1),

n-CCj=-x+<3z=0

設(shè)加=(石,％，4)為平面A網(wǎng)的一個(gè)法向量，AB=(-l,t>,0),

m?AB=-x,+by=0廠C

,

由<；m.M=-x1+A=o取％=6則％=丁’[1，

可得加二

n-m3+1_76

cosn,m=——；~■解得6等

\nm

所以三棱柱"C-G的體積為T(mén)xix爭(zhēng)員苧

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法:

(1)定義法：由異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，

再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；

(2)向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角(兩直線(xiàn)的方向向量、直

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

線(xiàn)的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.

x2y2

21.(1)-匕=1；

45

(2的

10

【分析】（1）由給定離心率及虛軸長(zhǎng)求出實(shí)半軸長(zhǎng)即可得解.

（2）聯(lián)立直線(xiàn)/與右的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算AP.AQ,S,即可得竺了.

【詳解】（1）雙曲線(xiàn)E的半焦距為c,由離心率為三,得一==，

2a2

而虛軸長(zhǎng)為26=2若，又/=/+廿，解得〃=4,

22

所以雙曲線(xiàn)E：土-匕=1.

45

x+y=2

（2）設(shè)尸（為,%）,。（々,女），由y2