高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 立體幾何綜合問題

專題14?立體幾何綜合問題

題型1由第之淺面位置定軌跡

題型6體積、面積、周長(zhǎng)、85W

題型2由角度定軌跡

題型7體積、面積的是值

題型3由定長(zhǎng)、等長(zhǎng)定軌跡

題型8距離、周長(zhǎng)的最值

題型4翻折中軌跡問題

題型9動(dòng)態(tài)問題

題型5空間角

小試牛刀

命題規(guī)律3

「,■?■?■■■■■?■,■■■?????■?■,■?■?■■■,■■■,■????,??■?■?■■■?■?■?■??■■,■?■?■?■■???■?■,■?■,?■■,■,■,■?■??■■?■?■??,■??■■?■?■???■?■,??■???■?■,■?■??■■?■?■?■???―?I

?空間幾何壓軸題（選填題）主要考查動(dòng)態(tài)軌跡問題和幾何體的相關(guān)量的計(jì)算（含i

II

i最值）兩個(gè)方面。空間中軌跡問題的解答思路：（1）根據(jù)已知條件確定和待求點(diǎn)相關(guān)i

ii

ii

:的平行、垂直等關(guān)系；（2）用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x、y、z表示相關(guān)點(diǎn)尸的坐標(biāo)x。、y。、Z。，i

ii

ii

［然后代入點(diǎn)戶的坐標(biāo)（%,%，Z°）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方j(luò)

ii

［程；（3）根據(jù)軌跡形狀即可求解出軌跡的長(zhǎng)度等其他量。\

題型歸納

題型1由線線、線面位置定軌跡

【解題技巧】

平行類：1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡；2.用法向量垂直關(guān)系求軌跡.

垂直類：1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡；2.利用空間坐

標(biāo)運(yùn)算求軌跡；3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡.

【例1】（2022?揚(yáng)中市校級(jí)開學(xué)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱

為“鱉牖”,在如圖所示的“鱉麝"P-ABC中，%J_平面ABC,NACB=90°,AC

=4,PA=2,。為AB的中點(diǎn)，E為△融。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），KPC.LDE,則當(dāng)E

在AC上時(shí)，AE=.點(diǎn)E的軌跡的長(zhǎng)度為.

p

【分析】取AC的中點(diǎn)E,可得OELAC,根據(jù)已知條件可證明面面ABC,再由

面面垂直的性質(zhì)定理可得OE_LPC,可得=g4C=2；過(guò)點(diǎn)E作EG_LPC,垂足為G,

可證明PC,面。EG,得到點(diǎn)E的軌跡，進(jìn)而可得軌跡的長(zhǎng)度.

【解答】解：取AC的中點(diǎn)E,連接OE,則。E〃BC,

因?yàn)镹AC8=90°,所以。ELAC,

因?yàn)楦?，平面ABC,%u面鞏C,所以面必。，面ABC,

因?yàn)槊媾驝P面48C=AC,DE1.AC,￡>EG?ABC,所以。EL面BIC,

因?yàn)镻Cu面血C,所以O(shè)EUC,AE=^AC=2,

過(guò)點(diǎn)E作EG_LPC,垂足為G,則PC_L面DEG,

即點(diǎn)E在線段EG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE上PC,所以點(diǎn)E的軌跡為線段EG,

貝“EG=EC-sinNPCA=2x蓼=2x,2=攣，

PC5

故答案為：2；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的軌跡問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題.

【例2】（2022?讓胡路區(qū)校級(jí)二模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-AiBGOi,點(diǎn)

E,尸分別是棱BC,CG的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCGB內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若AiP〃平面

AEF,點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，三棱錐P-AEF的體積為

【分析】分別取棱8b，BG的中點(diǎn)M,N,連接AiM,AiN,MN,BC\,NE,推導(dǎo)出

MN〃平面AEF,AN〃平面AER得到平面〃平面AER由此得以點(diǎn)尸的軌跡是

線段MN；再由等體積法求三棱錐P-AM的體積.

【解答】解：分別取棱88，BiG的中點(diǎn)M,N,連接AiM,AiN,MN,BCi，NE,

,：M,N,E,尸分別是其所在棱的中點(diǎn)，：.MN//BC\,EF//BC\,：.MN//EF,

AEF,EFu平面AEF,：.MN//AEF,

\'AAi//NE,AAi=NE,二四邊形AEMli為平行四邊形，：.AiN//AE,

?.?AiNC平面AEb,AEu平面AEf,，A]N〃平面AEb,

,.?4NCMN=N,二平面AiMN〃平面AEE,

：尸是側(cè)面BCCiBi內(nèi)一點(diǎn)，且AiP〃平面AEF,

.?.點(diǎn)P必在線段MN上，，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為MN=孝；

'：MN//EF,且MN與EF間的距離為，C=爍，EF=MN=

A到平面PEf的距離為1,

?_I711727241

??vp-AEF—VA-PEF=3X2X^-X^~X1=12,

4?…以二V21

故答案為：—;77-

212

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面故選的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練

了利用等體積法求多面體的體積，是中檔題.

題型2由角度定軌跡

【解題技巧】]

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面.

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面.

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡.

【例1】（多選）（2022秋?六安期末）已知長(zhǎng)方體中，AB=BC=2,

A4i=2衣,點(diǎn)P是四邊形內(nèi)（包含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角P-AD-8

的大小為a,直線PB與平面ABC。所成的角為0,若a=0,則（）

A.點(diǎn)P的軌跡為一條拋物線

B.線段P3長(zhǎng)的最小值為3

C.直線與直線CO所成角的最大值為巴

4

D.三棱錐體積的最大值為言

【分析】根據(jù)二面角的定義，線面角的概念，拋物線的定義，異面直線所成角的概念，

三棱錐的體積公式，即可分別求解.

【解答】解：對(duì)A選項(xiàng)，過(guò)尸點(diǎn)作P。垂直與底面A8CD,垂足為。，

過(guò)。作OH_LA。，垂足為“，連接。8,PH,PB,則NP"O=a,/PBO=B，

又a=B，:OH=OB,而。為P點(diǎn)在底面的投影，...PHuPB,過(guò)P作

垂足點(diǎn)為M,連接P8，則易得PM=PS,點(diǎn)的軌跡是以Bi為焦點(diǎn)，AA為準(zhǔn)

線的拋物線的一部分，如圖所示，.?*選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)P點(diǎn)在48的中點(diǎn)時(shí)P8最短，此時(shí)P8=3,選項(xiàng)正確；

對(duì)C選項(xiàng)，與CD所成的角即雨?與G2所成的角，...當(dāng)P與G重合時(shí)，PA\

與G。所成的角最大為巴，，C選項(xiàng)正確，

4

對(duì)。選項(xiàng)，?."P—BQ=%-PAG，???當(dāng)尸點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)到4G距離最大，

三角形陽(yáng)。面積最大，三棱錐P-A13G體積最大，此時(shí)/_“遙]=4-PA?

2夜孚2夜=竽，二。選項(xiàng)正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的定義，線面角的概念，拋物線的定義，異面直線所成角的

概念，三棱錐的體積公式，屬中檔題.

題型3由定長(zhǎng)、等長(zhǎng)定軌跡

【解題技巧】]

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定

義等知識(shí)求解軌跡.

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡.

【例1】（2022?江西模擬）已知正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P在

的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且。尸=舊，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.V2TTB.2nC.2V2irD.3IT

【分析】連接BQ,BQi，證明SDJ?平面AiGB,設(shè)其垂足為。，可求得O。，連接

OP,則ODLOP,推出點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)。為圓心，&為半徑的圓在AAiGB內(nèi)部及

其邊界上的部分，然后轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：正方體A8CQ-4囪G。的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上

運(yùn)動(dòng)，連接一￡>,B\D\,則AiCjBiDi,AiCi±DDi,B\D\CyDD\=D\,如圖：

所以AiG_L平面BQ",所以AICJLBI。，

同理4B_L5ID,所以囪。_1_平面4G8,

設(shè)其垂足為。，可求得。。=|8m2=B，連接OP,則OOLOP,DP=V14,

所以O(shè)P=，DP2-0￡）2=J（V14）2-（2V3）2=V2,

可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)。為圓心，魚為半徑的圓在山內(nèi)部及其邊界上的部分,

是圓心角為J且半徑為企的三段圓弧，故所求軌跡的長(zhǎng)度為3x號(hào)x企=/兀，

3o

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，軌跡的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及

計(jì)算能力，是中檔題.

【例2】（多選）（2022春?湖北月考）已知正方體ABC。-A山iGOi的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)M

是棱4。的中點(diǎn)，N是棱CO的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，P在四邊形A3CD內(nèi)（包含

邊界），點(diǎn)。在線段3N上，若PM=VT5,則（）

A.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為7T

B.線段MP的軌跡與平面ADC\B\的交線為圓弧

C.尸。長(zhǎng)度的最大值為3企

D.PQ長(zhǎng)度的最小值為駕］

【分析】取AO中點(diǎn)0,則MO_L平面A8CD,即MOLOP,由已知得到OP=1,可知

點(diǎn)尸在以。為圓心，以1為半徑位于平面ABC。內(nèi)的半圓上，然后逐一分析每個(gè)選項(xiàng)

的正確性即可.

【解答】解：如圖，取AO中點(diǎn)。，則MO_L平面ABC。，即MO_LOP,〈PM=同,

，0P=J（VTU）2-32=1,所以點(diǎn)P在以。為圓心，1為半徑位于平面ABCD內(nèi)的半圓上，

???點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為［故A正確；

線段MP的軌跡為以M。為軸的半個(gè)圓錐側(cè)面，由圓錐曲線的定義可知，線段MP的

軌跡與平面ADCiBi的交線為橢圓弧，故B錯(cuò)誤；

0到BN的距離減去2即為PQ長(zhǎng)度的最小值，作OHLBN于H,ABON的面積為S

△BON=3X3—^x3X1—xx2—x3x'=芋，S&BON=3BN*0H=；xVlO,OH=芋，

解得O”=空，，PQ長(zhǎng)度的最小值為OH-1=氧獸，故C正確；

PQ長(zhǎng)度的最大值為52+32m3vL故。錯(cuò)誤.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，是中檔題.

題型4翻折中軌跡問題

【解題技巧】

1.翻折過(guò)程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡.

2.翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡.

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡.

【例1】（多選）（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）已知菱形A8CO的邊長(zhǎng)為2,/ABC=120°,

沿對(duì)角線AC折疊成三棱錐Bi-AC。，使得二面角3-AC-。為直二面角，設(shè)E為

CD的中點(diǎn)，尸為三棱錐Bi-ACO表面上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.四面體Bi-ACO的外接球的半徑為近

B.8c與AE所成的角。6（0,J）

C.線段Eb的最大值是6

D.若AC，E凡則點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為1+孝

【分析】A,設(shè)△ACO的外心為。1，△ABC的外心為。2,取AC中點(diǎn)為“，過(guò)。|作面

ACB的垂線，過(guò)Q作面AC。的垂線，兩垂線的交點(diǎn)。為四面體以-ACO的外接球的

球心，其半徑R=J.+O.，即可判定；

B,由|cos4KONI=零",所以與AE所成的角。€(0,勃即可判定；

C,AE=yjAD2+DE2-2AD-DEcosl20°>V5,即可判定；

D,分別取BCOC的中點(diǎn)”，I,連接E”，HI,IE,求得5"+"/+化=1+乎即可.

【解答】解：對(duì)于A,如圖1,設(shè)△ACO的外心為Oi，△ABC的外心為。2，取AC中

點(diǎn)為“，因?yàn)槎娼荁-AC-。為直二面角，所以8HJ_面ACD,面ACB,且

Oz^DH,可得，過(guò)Oi作面AC31的垂線，過(guò)Q作面ACD的垂線，兩垂線的

22

交點(diǎn)O為四面體B\-ACD的外接球的球心,其半徑R=JD02+0102==V5.故

A正確；

對(duì)于B,分別取AC,ABi，EC的中點(diǎn)O,K,N,連接OK,ON,KN,OK=\,ON冉,

KN=居,故|COSNKON|=翳*,所以BC與AE所成的角。6(0,1),即8正確；

對(duì)于C,AE=y]AD2+DE2-2AD-DEcosl20°>V5,故C錯(cuò)；

對(duì)于。，若AC_LER分別取8C,0c的中點(diǎn)H,/,連接E”，HI,IE,則點(diǎn)/軌

跡的長(zhǎng)度為后“+"/+四=1+￥，即。成立.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

題型5空間角

\【解題技巧】I

ii.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異

:面直線的問題化歸為共面直線問題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移；②定（證明）；

;③計(jì)算；④取舍.

i2.計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：①利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，

;進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；②在構(gòu)成線面

:角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度〃，從而不必作出線面角，則

：線面角。滿足sind=：（/為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；③建立空間直角坐標(biāo)系，

;利用向量法求解，設(shè)〃為直線/的方向向量，”為平面的法向量，則線面角。的正弦值

!sin0=|cos<a,n>|.

rr

u-v

\3.計(jì)算二面角，常用方法：①向量法：二面角4的大小為。（0""）,|cosM=不.

:②定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二

;面角的平面角；③垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個(gè)半平面，兩條交線所成

!的角即為二面角的平面角.

[例1]（2022秋?安慶月考）已知在正方體中，E,F,G分別是棱

DiCi,AB,的中點(diǎn)，H是棱。。上一點(diǎn)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）

①異面直線DyH與AB之間的距離為定值；

②平面EFG〃平面ADiH；

③設(shè)平面AiA"C平面AiBiCiDi=l,則AH//1；

④直線AiG與平面ABGOi所成的角為30°.

A.4B.3C.2D.1

【分析】①中，異面直線之間的距離找公垂線段；

②中，面面平行結(jié)合性質(zhì)定理驗(yàn)證；

③中，線面平行的性質(zhì)定理可證；

④中，由線線角確定線面角，計(jì)算角的大小驗(yàn)證.

【解答】解：如圖所示：對(duì)于①，過(guò)〃點(diǎn)作AD的平行線，與A8相交于點(diǎn)則

為異面直線口〃與A8的公垂線段，且長(zhǎng)度等于正方體棱長(zhǎng)，.?.異面直線?！ㄅcA8之

間的距離為定值，.?.①正確；

對(duì)于②，???平面A8COA平面￡7燈=96,平面A8CDC平面ADi//=AH,若平面ER7

〃平面ADiH,則有而/G〃AH不一定成立，.?.②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，?.?平面ABCO〃平面AiSGQi,A”u平面ABC。，.?.4"〃平面48]。|出，

AHu平面4AH,平面平面43iGOi=/,J.AH//1,.?.③正確；

對(duì)于④，YN為的中點(diǎn)，連接AiN,CiN,又平面ABGOi_L平面ADDiA”平面

ABCiDiD平面ADD\A\=AD],AiNu平面ADD\A\,A\NLAD\,A|N_L平面ABC\D\,

直線4G與平面ABC。所成的角為NAGN,在RtZ\4CN中，A.N=Z

AiGN=30°,.?.直線4G與平面ABGDi所成的角為30°,.?.④正確.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查異面直線之間的距離問題，面面平行的判斷問題，線面平行的性質(zhì)定

理，線面角的求解，屬中檔題.

【例2】（多選）（2022春?瓊山區(qū)校級(jí)月考）如圖，菱形A8CO邊長(zhǎng)為2,ZBAD=60°,

E為邊AB的中點(diǎn)，將△AOE沿。E折起，使A到4,且平面A\DEd_平面8EOC,

連接A3、A'C,則下列結(jié)論中正確的是（）

B.三棱錐A'-COE外接球的表面積為8ir

C.二面角3-AC-O的余弦值為-學(xué)

D.若P在線段DE上，則異面直線8P與AC所成角的范圍是阜芻

【分析】對(duì)于A,利用面面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于8,將三棱錐A'-CDE補(bǔ)

全為長(zhǎng)方體E/CO-A'MNQ,利用長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C,建立合適的

空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式即可判斷；對(duì)于D,表示出|cosV而，應(yīng):>|=

陰刃-,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷.

2履出+1

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,在菱形A3C0中，AE=1,AD=2,ZBAD=60°,由余弦

222

定理有，。52=人序+4。2-2AD?AECOS60°=3,則AE+DE=AD,：.DE±AB,翻折后，

對(duì)應(yīng)地有，DE1A'E,DE1BE,又及ECBE=E,A'Eu平面A'BE,BEu平面A'

BE,平面A'BE,又。Eu平面A'DE,，平面A'DEJ_平面A'BE,選項(xiàng)A

正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,在菱形A3CO中，DELAB,AB//CD,則OE_LC0,又平面A'DEI.

BEDC,平面A'BEDC=DE,DEIA'E,A'Eu平面A'DE,：.Af

E_L平面CDE,將三棱錐A'-CDE補(bǔ)全為長(zhǎng)方體E/CO-A'MNQ,則三棱錐A'

-COE的外接球的直徑為2R=4C=2VL則R=VL.?.三棱錐A'-Q9E外接球的

表面積為4nR2=8n,選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),4(0,0,1),C(2,

0),D(0,V3,0),設(shè)平面A'BC的法向量為蔡=(x,y,z),BC=(1,y[3,0),

=0,1),則色=x+By=0,則可取益=(6-1,V3),設(shè)平面4co

m-BA!=—x+z=0

的法向量為n=(a,b,c),DC=(2f0,0),后，=(0,-遮，1)，則

n-DC—2a—0,則可取￡=(0,1,V3),/.cos<m,￡>=77t=g,由圖象

n-DA'=—V5b+c=0lmllnl

可知,二面角8-A'C-。的平面角為鈍角，則二面角8-A'C-。的余弦值為一g,

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。，可設(shè)點(diǎn)P（0，t,0）,0<t<V3,則晶=（一1,t,0）,4c=（2,V3,-1）,

??^DDA^r\i\y/3t—2\；八z-z.x3t2-4>/5t+421—4V3tc/+/rriil

??|cos<BP，AC>\=———1——!一，攻/（t）=n---------=3d——n,0<t<V3,貝1J

2叵出+1t+1+1

[⑷=2（2t+?-2）,當(dāng)te（o,竽）時(shí)，[⑺V0,/⑺單調(diào)遞減，當(dāng)te（等，

8）時(shí)，/⑺>0,/⑺單調(diào)遞增，且/（0）=4,fG③=*，/（孥）=0,.,.當(dāng)te[o,

VI]時(shí)，/（f）￡[0,4],則IcosV麗，A'C>\G[0,孝],.,.異面直線BP,A'C所成角

的范圍為生芻，選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的綜合運(yùn)用，涉及了面面垂直的判定，利用空間向量求解

異面直線所成角，二面角，三棱錐外接球的表面積等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的值域，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，屬于較難題目.

題型6體積、面積、周長(zhǎng)、距離

【解題技巧】

1.等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性.

2.盡可能尋找在表面的三個(gè)點(diǎn).

口丁莉甬殍中同冠騫嵩,幫N商廟口福嵩;.…

：4.大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐.

i5.多從四棱錐底面對(duì)角線或者幾何體表面四邊形對(duì)角線處尋找分割的“刀口”.

U.直接求體積，大多數(shù)是難度較大.

利用等體積轉(zhuǎn)化（或者不等體積轉(zhuǎn)化），或?qū)ふ液线m的底面和平行高轉(zhuǎn)化.

【例1】（2022?上海開學(xué)）祖曬原理：“基勢(shì)既同，則積不容異”.即：夾在兩個(gè)平行平

面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面

的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.有一個(gè)球形瓷碗，它可以看成半球

的一部分，若瓷碗的直徑為8,高為2,利用祖唯原理可求得該球形瓷碗的體積為一.

【分析】解：設(shè)瓷碗所在球的半徑為凡則（R-2）2+42=7?2,得R=5,由題意構(gòu)造幾

何體，然后結(jié)合祖瞄原理求解其體積即可.

【解答】解：設(shè)瓷碗所在球的半徑為七則（R-2）2+42=/?2,得R=5,

設(shè)從瓷碗截面圓心處任意豎直距離為力，則瓷碗的截面面積為可52-（3+〃）/

構(gòu)造一個(gè)圓柱減去一個(gè)圓臺(tái)的模型，V=限-%=%?52.2-如.53-n.33）=等兀.

52

故答案為：—7T.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體體積的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題.

題型7體積、面積的最值

|【解題技巧】]

j熟記公式，列出等式求解.

【例1】（2023?焦作二模）在正四棱錐S-ABCO中，M為SC的中點(diǎn)，過(guò)AM作截面將

該四棱錐分成上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為0，%，則高的最大值是一

【分析】根據(jù)給定條件，作出過(guò)AM的正四棱錐S-A3CO的截面，再求出多的表達(dá)式

并結(jié)合均值不等式求解作答.

【解答】解：記正四棱錐S-ABCO的體積為心學(xué)的最大值，由口+丫2=丫為定值知，

V1

只需求V1的最小值，

設(shè)過(guò)AM的截面分別交SB和S。于E,F,平面SAC與平面SBD的交線為SO,SO

與AM相交于G,則G為△SAC的重心，

s

-

口,12ASESFn/TI*—11口11

則SG=^S。，令一=x,—=y,貝lJSG=2（SD+SB）=*SE+4SF,即有一+—=1,

3SBSD3'3x3y3%3y

SFSE

匕=^S-AFM+^S-AEM~^F-SAM+^E-SAM~元,^D-SAM+麗,^B-SAM

=y?；VD-SAC+%3VB-SAC=?（%+y）=苧（％+y）（*+曲=e（2+'+令斗’

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=如寸取等號(hào)，此時(shí)/=~~=/一14彳一1=2,

所以爭(zhēng)的最大值是2.

V1

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積的比值的最小值的求法，考查空間中線線、線面,、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

【例2】（2022?莆田模擬）定義：若A,B,C,。為球面上四點(diǎn)，E,尸分別是AB,CD

的中點(diǎn)，則把以“1為直徑的球稱為AB,CQ的“伴隨球”.已知A,B,C,。是半

徑為2的球面上四點(diǎn),AB=C￡>=2。則A&C。的“伴隨球”的直徑取值范圍為—；

若A,B,C,。不共面，則四面體ABC。體積的最大值為.

【分析】設(shè)。為A,B,C,。所在球面的球心，則由題可知E、F均是以O(shè)為球心，1

為半徑的球面上的點(diǎn)，據(jù)此即可求出爐范圍；根據(jù)以-88=2匕_皿=裂4但〃（cl為

點(diǎn)A到平面COE距離），求出SACDE，d的最大值即可得體積最大值.

【解答】解：設(shè)。為A,B,C,。所在球面的球心，.?.OAnOCuZ.

?.ZB=CD=2V5,且E,?分別是AB,CD的中點(diǎn),

/.OELAB,OELCD,且4E=CF=W，/.OE=OF=\,

則E、尸均是以。為球心，1為半徑的球面上的點(diǎn)，

若以EF為直徑作球，則0<EF〈OE+OF=2,

即AB,C。的伴隨球的直徑取值范圍是（0,2］；

是A3中點(diǎn)，；.VA-BCD=2匕-COE=|^ACDE-d,d為點(diǎn)A到平面CDE距離，d44E=V3,

又SACDE=\cD-h,h為點(diǎn)E至IJCD距離,YER2,，以-BCD<|xxV3=4,

當(dāng)且僅當(dāng)E,O,尸三點(diǎn)共線，且ABLCO時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：（0,2］；4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的新定義，球與多面體的切接問題等知識(shí)，屬于中等題.

題型8距離、周長(zhǎng)的最值

【解題技巧】］

構(gòu)造函數(shù)法比較大小的總體思路：先化簡(jiǎn)變形，再?gòu)男问缴蠈ふ夜残?，最終構(gòu)造函數(shù).

【例1】（2022?大慶模擬）已知四面體A8CO的所有棱長(zhǎng)均為/，M,N分別為棱AD,

BC的中點(diǎn)，尸為棱A8上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①線段MN的長(zhǎng)度為1；

②存在點(diǎn)F滿足CO_L平面FMN；

③四面體ABCD的外接球表面積為3m

④△MEN周長(zhǎng)的最小值為夜+1.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為—.

【分析】①連接AN,DN,易知△AND為等腰三角形，即MNLA。，即可求MN的長(zhǎng);

②若E為AC中點(diǎn)，連接ME易知ME〃。&假設(shè)存在則MEJ_平面FMN,再由線面垂

直的性質(zhì)推出矛盾結(jié)論；③求出正四面體外接球半徑，再由表面積公式求面積；④將面

ABD、面ABC展開為一個(gè)平面，判斷MF+PN最小的情況即可.

【解答】解：連接AN,DN,四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為企，則AN=DN=當(dāng)且MN

1AD,所以MN=J|-1=1,①正確；

若E為AC中點(diǎn)，連接ME,M為棱AO的中點(diǎn)，則ME〃/）C,顯然ME,MN不垂直，

要使CD_L平面FMN,即MEJ_平面FMN,又MNu平面FMN,則MEIMN,出現(xiàn)矛

盾，②錯(cuò)誤；

由題設(shè)知：四面體ABCO為正四面體，故外接球的半徑『=梟直=器，所以表面積

為③正確；

△MFN周長(zhǎng)的最小，只需MF+FN最小,將面AB。、面4BC展開為一個(gè)平面，如下

圖：當(dāng)M,F,N共線時(shí)，MF+FN最小為MN=a,故△MFN周長(zhǎng)的最小值為夜+1,

④正確.

故答案為：①③④.

A

:

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合，屬于中檔題.

【例2】（2022?山西模擬）如圖，在直三棱柱ABC-AiBG中，ACA.BC,AC=1,A4i

=2,AB=3,點(diǎn)E,尸分別是A4i，AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)GE+EF+F3的長(zhǎng)度最小時(shí)，

三棱錐Bi-CE/外接球球面上的點(diǎn)到平面EFC\的距離的最大值為一.

【分析】把平面AA\C\C沿A4i展開到與平面ABB\Ay共面的A41GC的位置，確定當(dāng)

Cl1,E,F,四點(diǎn)共線時(shí)，GE+EF+FBi的長(zhǎng)度最小，求出此時(shí)的線段的長(zhǎng)度，△EFB

的外接圓是以EBi的中點(diǎn)。為圓心，絲1=包為半徑的圓，三棱錐B\-GER外接球的

22

球心O到平面EFC\的距離等于Bi到平面EFC\的距離h的一半，利用等體積法求得h

即可.

【解答】解：把平面44CC沿A4i展開到與平面ABBA1共面的A4iG'C的位置，

延長(zhǎng)BiB到引，使得BBT=BiB,連結(jié)引尸,如圖1所示，

則B\F=B\F,要使得C\E+EF+FB\的長(zhǎng)度最小，則需Ci',E,F,8「四點(diǎn)共線，此

時(shí)CiE+EF+FBi=C\E+EF+FB\'^C\B\',

因?yàn)镚3'=4,BB「=4,ZBi'BiCi-90°,所以/8'=NBi'GB=45°,

所以Bb=8Bi'=2,AlE=AlCi'=l,故AE=Ab=l,NAFE=NBFBi=45°,

所以N8iFE=90°,EF=0,B\F=2近,EB尸國(guó),所以△BiFE是直角三角形，所

以的外接圓是以EBi的中點(diǎn)O為圓心，等=尊為半徑的圓

22

所以三棱錐B\-C\EF外接球的球心0,到平面EFCy的距離等于Bi到平面EFC\的距

離。的一半，由等體積法可得力=2,所以三棱錐囪-GE/外接球球面上的點(diǎn)到平面

EFG的距離的最大值為1+緣=當(dāng)我

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，求距離的最小值問題，考查空間想象能力，運(yùn)算

求解能力，屬中檔題，

題型9動(dòng)態(tài)問題

【解題技巧】

建立空間直角坐標(biāo)系或臨界情況求解。

【例1】（2022秋?南充月考）如圖所示，正方體ABCO-AICiDi的棱長(zhǎng)為2,E、尸分

別是棱BCCG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCGBi(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若出”面

AEF,則線段Rh長(zhǎng)度的最小值是()

&

AB

aD.2A/3

A.娓B.3C.乳

【分析】建系，利用向量法及函數(shù)思想即可求解.

【解答】解：分別以D4、DC、。以所在直線為.x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)、E(1,2,0)、F(0,2,1),Ai(2,0,2),

設(shè)點(diǎn)P(x,2,z),其中x、zG[0,2],

AEA=(1,-2,0)，EF=(-1,0,1)，ApP=(x-2,2,z-2)J

n-EA=Xi-2y.=0

設(shè)平面AE尸的法向量為二=g，，v,2,)，則,--c，取W=(2,1,2)，

n-EF=-x1+z1=0

...4P〃平面AEF,...不石=2(X-2)+2+2(Z-一2)=0，??x+z~30,

IATP|=V(X-2)2+4+(Z-2：)2=V(x-2)2+4+(1-x)2=V2X2-6X+9

{26卷/卷＞嚶，當(dāng)且僅當(dāng)*=目時(shí)，4P的長(zhǎng)度取最小值區(qū)0，

22

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法求解距離問題，函數(shù)思想的應(yīng)用，屬中檔題.

最新模擬

一.選擇題

1.（2022春?北硝區(qū)校級(jí)期末）已知正方體ABC。-AiBGDi的棱長(zhǎng)為2,E為。彷口

點(diǎn)，/為棱CO上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面3EF截該正方體所得的截面為四邊形,

則線段的的取值范圍是（）

A.（A,1）B.（上，1）C.（1,1）D.（0,1]

3223

【答案】D

【題型】動(dòng)態(tài)問題

【解析】解：如圖，當(dāng)C「=l時(shí)，截面為等腰梯形

當(dāng)0VCFV1時(shí)，截面是四邊形8FEN,當(dāng)CE>1時(shí)，截面是五邊形.

若平面截該正方體所得的截面為四邊形，則線段Cb的范圍為（0,1].

故選：D.

2.（2022?山西自主招生）如圖，在直三棱柱ABC-48G中，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1

的等邊三角形，A4i=2,E,尸分別在側(cè)面AAiBiB和側(cè)面A41cle內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界）,

且滿足直線A4i與平面AE廠所成的角為30°,點(diǎn)Ai在平面AEb上的射影“在AAEF

內(nèi)（含邊界）.令直線與平面ABC所成的角為0,則tan0的最大值為（)

C.V3D.3(2-V3)

【答案】A

【題型】由角度定軌跡

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)〃為4在平面AEE上的射影，所以平面AEE

連接AH,則故“在以A4i為直徑的球面上.

又AAi與面AEb所成的角為30°,所以NHAAi=30°,過(guò)H作“。_LA4i于點(diǎn)Oi,

如圖1所示，則易得HA?=1?HA=V3?”。1=苧，AO1=

所以“在如圖2所示的圓錐A。的底面圓周上，

又“在內(nèi)（含邊界），故”在三棱柱ABC-4SG及其內(nèi)部，其軌跡是以。|

為圓心，為半徑的圓中圓心角為60°的圓弧，且H在底面ABC上的射影”■的軌

跡（以A為圓心，手為半徑的一段圓?。┤鐖D3所示，

連接BH',易知直線BH與平面ABC所成的角且tan。=罌;=鏘=嬴，

故當(dāng)B”最小時(shí)，tan。最大，A是圓弧圓心，則當(dāng)”'在A3上時(shí)，BH最小,

最小值為1一孚=2產(chǎn),所以（tan8）max=|x2-^=3（2+a），

故選：A.

45,G

3.(2022?天津模擬)在△A3C中，AB=5,4C=3,tanA=$點(diǎn)M,N分別在邊AB,

BC移動(dòng)，旦MN=BN,沿MN將△3MN折起來(lái)得到棱錐3-AMNC,則該棱錐的體

積的最大值是（）

16^2?警16展309

A.------BCD.----

15?15128

【答案】C

【題型】體積、面積、周長(zhǎng)、距離

【解析】解：由tanZ=舞cosA=|,由余弦定理得CB=4,

則△ABC是直角三角形，。為直角，對(duì)MN的任何位置，當(dāng)面MNBJ/面AMNC時(shí),

此時(shí)的點(diǎn)8到底面AMNC的距離最大,此時(shí)4NMB即為MB與底面AMNC所成的角,

、,.Q-1QQ

2

設(shè)BM=2x,在叢MNB中，tanB="S&MNB=%2x,x?tanB--^x,sinZ-NMB—sinB—耳,

點(diǎn)B到底面AMNC的距離力=MBsin/NMB=等

3

則^B-AMNC=(SfBC—S&MNB)h=百人一)X2)-6x24x—3x

T=-10

2

V/-9X+24=一白（%+孚）0-第,

B-AMNC-10

令V'B-AMNC=O,解得X=±號(hào)可得下表:

2y/6

X(0,嗎z2765.

X,一)

3332

VB-AMNC+0-

VB-AMNCt極大值

故當(dāng)x=孚時(shí)，該棱錐的體積最大，為譬

故選：C.

二.多選題

4.（2022春?黃山期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A1BCQ1中，已知點(diǎn)P在面對(duì)角

線AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E,F,G分別為A01，A\B\,的中點(diǎn)，點(diǎn)M是該正方體表面

及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且BM〃平面ADC,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.DiP〃平面48G

B.平面平面43G

C.過(guò)E,F,G三點(diǎn)的平面截正方體ABC。-AiBiGDi所得的截面面積為彳§

D.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是2百

【答案】ABD

【題型】由線線、線面位置定軌跡

【解析】解：對(duì)于A,\'AC//AiCi，AD\//BC\,ACQADi=A,4cm8G=G，???平

面AQC〃平面A8G,?.?。砂（=平面4。|。，，。|「〃平面43。1,故A正確；

VAiCilBiDi，DDiLAiCi，DDiQBiDi=Di，...AiC」平面DDiBi，'：B\DLA\C\,

同理，B\DLBC\,?.?BGnAiG=G,?平面4BG,.?.8。＜=平面/＞。囪，

平面PDBi，平面43Ci,故3正確；

對(duì)于C,如圖，作出過(guò)E,F,G三點(diǎn)的平面截面圖形，由圖知截面為正六邊形，邊

長(zhǎng)為近，,截面面積為5=6＞＜梟（?）2=3次，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于O,如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-48G。中，點(diǎn)M是該正方體表面及其

內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且〃平面ADxC,由面面平行的性質(zhì)得當(dāng)BM始終在一個(gè)與平面

AOC平行的平面內(nèi)，即滿足題意，作出過(guò)點(diǎn)3的平面與平面ADC平行，連接

BG，AC，則平在AiBG〃平面AOC，.?.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是=

|x2V2x^x2V2=2V3,故D正確.

5.（2022?揭陽(yáng)模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AIBGDI中，。為正方體的

中心,M為。的中點(diǎn),E為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足BiF〃平面8GM,

A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足△。外的面積為三的點(diǎn)有12個(gè)

B.動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段

C.三棱錐的體積是隨點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的

D.若過(guò)A,M,G三點(diǎn)作正方體的截面。，Q為截面Q上一點(diǎn)，則線段4Q長(zhǎng)度的

取值范圍為［孥，2夜］

【答案】BD

【題型】由線線、線面位置定軌跡

【解析】解：設(shè)。'為底面正方形的中心，連接AO,A。'，0。'，則AO'=1AC=V2,

00'=i/L4i=l,：./\00'A的面積為％?00'=￥，所以在底面A8C。上點(diǎn)尸與

點(diǎn)0'必重合.同理正方形8AA所的中心，正方形。CCQ1的中心都滿足，又當(dāng)點(diǎn)P

為各正方體各條棱的中點(diǎn)時(shí)也滿足△。出的面積為立，故A不正確；

2

如圖，分別取A4”49的中點(diǎn)“，G連接BiG,GH,HB\,AD\,因?yàn)?/p>

GH//BC\,8i”u平面BG”，GMu平面BGM，GHu平面8G”,BQu平面8GM,

BCiAGM=G,所以平面BiG"〃平面BC\M,而B聲〃平面BGM,所以u(píng)平面B\GH,

所以點(diǎn)尸軌跡為線段G",故8正確；

由選項(xiàng)8可知，點(diǎn)廠的軌跡為線段GH,因?yàn)镚"〃平面BGM,則點(diǎn)F到平面8GM

的距離為定值，又△BGM的面積為定值，從而可得三棱錐尸-BGM的體積是定值，

故C不正確；如圖，設(shè)截面Q與平面BAA\B\交于AN,N在BBi上，因?yàn)榻孛鍽A

平面DAA\D\=AM,平面QA4iDi〃平面CBB\C\,

所以AM〃NG，同理可證AN〃MC，所以截面AMGN為平行四邊形，所以點(diǎn)N為

BBi中點(diǎn)，在四棱錐4-AMGN中，側(cè)棱4G最長(zhǎng)，且4G=2或，設(shè)四棱錐4-