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上海市靜安區(qū)上戲附中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知兩點(diǎn),若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),則面積的最大值為()A.13 B.3 C. D.2.某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的外接球表面積為()A. B. C. D.3.已知向量,,若與的夾角為,則()A.2 B. C. D.14.已知向量,,若,則銳角α為()A.45° B.60° C.75° D.30°5.已知a,b,c,d∈R,則下列不等式中恒成立的是()A.若a>b,c>d,則ac>bd B.若a>b,則C.若a>b>0,則(a﹣b)c>0 D.若a>b,則a﹣c>b﹣c6.設(shè)等比數(shù)列滿足,,則()A.8 B.16 C.24 D.487.在三棱錐中,已知所有棱長(zhǎng)均為,是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知直線l的方程是y=2x+3,則l關(guān)于y=-x對(duì)稱的直線方程是()A.x-2y+3=0 B.x-2y=0C.x-2y-3=0 D.2x-y=09.如圖所示,垂直于以為直徑的圓所在的平面,為圓上異于的任一點(diǎn),則下列關(guān)系中不正確的是()A. B.平面 C. D.10.設(shè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,則與的夾角的取值范圍是______.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則其通項(xiàng)公式__________.13.向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.14.已知數(shù)列,其中,若數(shù)列中,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.16.已知向量,,則的最大值為_(kāi)______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且分別滿足下列條件的直線的一般式方程.(1)傾斜角為45°;(2)在軸上的截距為5;(3)在第二象限與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.18.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,其中,.(1)求,的值.(2)若,,求的值.19.在中,,,的對(duì)邊分別為,,,已知.(1)判斷的形狀;(2)若,,求.20.一個(gè)工廠在某年里連續(xù)10個(gè)月每月產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與該月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間有如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(2)①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程;②通過(guò)建立的y關(guān)于x的回歸方程,估計(jì)某月產(chǎn)量為1.98萬(wàn)件時(shí),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為多少萬(wàn)元?(均精確到0.001)附注:①參考數(shù)據(jù):=14.45,=27.31,=0.850,=1.042,=1.1.②參考公式:相關(guān)系數(shù):r=.回歸方程=x+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:=,=-21.如圖,圓錐中,是圓的直徑,是底面圓上一點(diǎn),且,點(diǎn)為半徑的中點(diǎn),連.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)當(dāng)是邊長(zhǎng)為4的正三角形時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先求出直線方程,然后計(jì)算出圓心到直線的距離,根據(jù)面積的最大時(shí),以及高最大的條件,可得結(jié)果.【詳解】由,利用直線的截距式所以直線方程為:即由圓,即所以圓心為,半徑為則圓心到直線的距離為要使面積的最大,則圓上的點(diǎn)到最大距離為所以面積的最大值為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的幾何關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離,屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體,由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體如圖所示:所以該幾何體的外接球,即是長(zhǎng)方體的外接球.因?yàn)?,所以外接球直徑.故該三棱錐的外接球表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,并計(jì)算其外接球的表面積,意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

先計(jì)算與的模,再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)即可計(jì)算求值.【詳解】因?yàn)?,,所以?又,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的數(shù)量積,向量的模的計(jì)算,屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)向量的平行的坐標(biāo)表示,列出等式,即可求出.【詳解】因?yàn)?,所以,又為銳角,因此,即,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示.5、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí),A不成立;當(dāng)時(shí),B不成立;當(dāng)時(shí),C不成立;由不等式的性質(zhì)知D成立.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),不等式的性質(zhì)中,不等式兩邊乘以同一個(gè)正數(shù),不等式號(hào)方向不變,兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等式號(hào)方向改變,這個(gè)性質(zhì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤:一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù),二是不區(qū)分是否為1.6、A【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

取的中點(diǎn),連接、,于是得到異面直線與所成的角為,然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng),并利用余弦定理計(jì)算出,即可得出答案.【詳解】如下圖所示,取的中點(diǎn),連接、,由于、分別為、的中點(diǎn),則,且,所以,異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角,三棱錐是邊長(zhǎng)為的正四面體,則、均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,為的中點(diǎn),則,且,同理可得,在中,由余弦定理得,因此,異面直線與所成角的余弦值為,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算,利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下:(1)一作:平移直線,找出異面直線所成的角;(2)二證:對(duì)異面直線所成的角進(jìn)行說(shuō)明;(3)三計(jì)算:選擇合適的三角形,并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng),利用余弦定理計(jì)算所求的角.8、A【解析】將x=-y,y=-x代入方程y=2x+3中,得所求對(duì)稱的直線方程為-x=-2y+3,即x-2y+3=0.9、C【解析】

由平面,得,再由,得到平面,進(jìn)而得到,即可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榇怪庇谝詾橹睆降膱A所在的平面,即平面,得,A正確;又為圓上異于的任一點(diǎn),所以,平面,,B,D均正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直,熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可,屬于??碱}型.10、D【解析】Sn====3-2an.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

先由得出,再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,所以,即,設(shè)與的夾角為,所以,因?yàn)?,所以,即與的夾角的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等,屬基礎(chǔ)題.12、【解析】分析:先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得當(dāng)時(shí),,再檢驗(yàn),時(shí),不滿足上述式子,所以結(jié)果用分段函數(shù)表示.詳解:∵已知數(shù)列的前項(xiàng)和,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,經(jīng)檢驗(yàn),時(shí),不滿足上述式子,故數(shù)列的通項(xiàng)公式.點(diǎn)睛:給出與的遞推關(guān)系求,常用思路是:一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系,先求出與之間的關(guān)系,再求.應(yīng)用關(guān)系式時(shí),一定要注意分兩種情況,在求出結(jié)果后,看看這兩種情況能否整合在一起.13、3【解析】

將向量平移至相同的起點(diǎn),寫(xiě)出向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),計(jì)算向量的夾角,從而求得面積.【詳解】根據(jù)題意,將兩個(gè)向量平移至相同的起點(diǎn),以起點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下所示:則,故.又兩向量的夾角為銳角,故,則該平行四邊形的面積為.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查用向量解決幾何問(wèn)題的能力,涉及向量坐標(biāo)的求解,夾角的求解,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

由函數(shù)(數(shù)列)單調(diào)性確定的項(xiàng),哪些項(xiàng)取,哪些項(xiàng)取,再由是最小項(xiàng),得不等關(guān)系.【詳解】由題意數(shù)列是遞增數(shù)列,數(shù)列是遞減數(shù)列,存在,使得時(shí),,當(dāng)時(shí),,∵數(shù)列中,是唯一的最小項(xiàng),∴或,或,或,綜上.∴的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性與最值.解題時(shí)楞借助函數(shù)的單調(diào)性求解.但數(shù)列是特殊的函數(shù),它的自變量只能取正整數(shù),因此討論時(shí)與連續(xù)函數(shù)有一些區(qū)別.15、.【解析】

設(shè)由,求出點(diǎn)軌跡方程,可判斷其軌跡為圓,點(diǎn)又在直線,轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn),只需圓心到直線的距離小于半徑,得到關(guān)于的不等式,求解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè),,,,整理得,又點(diǎn)在直線,直線與圓共公共點(diǎn),圓心到直線的距離,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線的軌跡方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.16、.【解析】

計(jì)算出,利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn),并求出的最大值,可得出的最大值.【詳解】,,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng),等號(hào)成立,因此,的最大值為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量模的最值的計(jì)算,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換思想的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)(3)【解析】

(1)利用斜率和傾斜角的關(guān)系,可以求出斜率,可以用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程,最后化為一般方程;(2)設(shè)出直線的斜截式方程,把點(diǎn)代入方程中求出斜率,進(jìn)而可求出方程,化為一般式方程即可;(3)設(shè)出直線的截距式方程,利用面積公式和已知條件,可以求出所設(shè)參數(shù),即可求出直線方程,化為一般式即可.【詳解】(1)因?yàn)橹本€的傾斜角為45°,所以斜率,代入點(diǎn)斜式,即.(2)因?yàn)橹本€在軸上的截距是5,所以設(shè)直線方程為:,代入點(diǎn)得,故直線方程為.(3)設(shè)所求直線方程為則,即,解之得,,所以直線方程為,即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用點(diǎn)斜式、截距式、斜截式求直線方程,正確選擇方程的形式是解題的關(guān)鍵.18、(1);(2).【解析】試題分析:(1)先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得y2=cos(2x+θ)為奇函數(shù),解得θ=,再根據(jù)解得a(2)根據(jù)條件化簡(jiǎn)得sinα=,根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得cosα,最后根據(jù)兩角和正弦公式求sin的值試題解析:(1)因?yàn)閒(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函數(shù),而y1=a+2cos2x為偶函數(shù),所以y2=cos(2x+θ)為奇函數(shù),由θ∈(0,π),得θ=,所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x),由f=0得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)得f(x)=-sin4x,因?yàn)閒=-sinα=-,即sinα=,又α∈,從而cosα=-,所以sin=sinαcos+cosαsin=×+×=.19、(1)為直角三角形或等腰三角形(2)【解析】

(1)由正弦定理和題設(shè)條件,得,再利用三角恒等變換的公式,化簡(jiǎn)得,進(jìn)而求得或,即可得到答案.(2)在中,利用余弦定理,求得,即可求得的值.【詳解】(1)由正弦定理可知,代入,,又由,所以,所以,所以,則,則或,所以或,所以為直角三角形或等腰三角形.(2)因?yàn)?,則為等腰三角形,從而,由余弦定理,得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵.通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí),運(yùn)用正弦定理求解;當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí),運(yùn)用余弦定理求解.20、(1)見(jiàn)解析;(2)①;②3.385萬(wàn)元.【解析】

(1)由已知條件利用公式,求得的值,再與比較大小即可得結(jié)果;(2)根據(jù)所給的數(shù)據(jù),做出變量的平均數(shù),根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸方程上,求出的值,寫(xiě)出線性回歸方程;將代入所求線性回歸方程求出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】(1)由已知條件得:,這說(shuō)明與正相關(guān),且相關(guān)性很強(qiáng).(2)①由已知求得,所以所求回歸直線方程為.②當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),此時(shí)產(chǎn)品的總成本為3.385萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的求解與應(yīng)用,屬于中檔題.求回歸直線方程的步驟:①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系;②計(jì)算的值;③計(jì)算回歸系數(shù);④寫(xiě)出回歸直線方程為;回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì),利用線性回歸方程可以估計(jì)總體,幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).21、(Ⅰ)見(jiàn)證明;(Ⅱ

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