廣東省揭陽市統(tǒng)考2024屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省揭陽市統(tǒng)考2024屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知a]-b=Q2^C=1°8|2j則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

2.復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)記作白已知復(fù)數(shù)Z1對應(yīng)復(fù)平面上的點(-1,-1),復(fù)數(shù)Z2：滿足)/2=-2.則忤|等于()

A.72B.2C.V10D.10

3.已知條件"：。=-1,條件4：直線x—ay+l=0與直線x+1=0平行，則。是《的()

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

4.過圓f+y2=4外一點M(4,-l)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是().

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0c.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

5.一輛郵車從A地往3地運送郵件，沿途共有“地，依次記為a,…4(A為A地，4為3地).從4地出

發(fā)時，裝上發(fā)往后面”-1地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達4,4,...A”各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為久(左=1,2,…,“).則知的表達式為

().

A.k(n-k+1)B.k(n—k—l)C.n(〃一k)D.k(n-k)

6.(2'-1)(2-2"),的展開式中8、的項的系數(shù)為()

A.120B.80C.60D.40

7.已知函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且/(x)—/(x)=ln(l+x)—ln(l—x)——，，若對,|/(依+1)|<|/(x—1)|

1—x62

恒成立，則。的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-4,-1)C.(-3,0)D.?0)

8.已知數(shù)列｛4｝中，囚=1,g=2,且當九為奇數(shù)時，?！?2-?！?2；當〃為偶數(shù)時，a?+2+l=3(a?+l).則此數(shù)

列的前20項的和為()

Q11oQ11ool2ool2o

A.^-—^+90B.^—^+100C.^—^+90D.^-—^+100

2222

9./(x)=W1在原點附近的部分圖象大概是()

sinx

10.設(shè)。耳廠分別為AABC的三邊3C,C4,A5的中點，則￡3+方。=()

A.1ADB.筋C.BCD.^BC

11.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=(2〃z+3)x+〃，若對任意的xw(0,+oo)總有/(x)Wg(x)恒成立，記(2加+3)〃

的最小值為了(m,八)，則/(，弭八)最大值為()

111

A.1B.—C.-z~D.~『

eey/e

12.已知函數(shù)/(x)=x+a-2x,g(%)=lnx-4a-2^,若存在實數(shù)/，使/(Xo)—g(%o)=5成立，則正數(shù)。的取

值范圍為()

A.(0,1]B.(0,4]C.[l,+oo)D.(0,ln2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ln(2—x)+ox(a>0),若/Xx)在(0,1]上的最大值為,，則。=.

2

"3x-2y+4>0,

14.設(shè)x,y滿足約束條件x+4y+620,,則z=f+/的最大值為.

%-2<0,

15.在AABC中，點。在邊AB上，S.DA=2BD>設(shè)C4=a，CB=b>則C￡>=(用。，匕表示)

16.已知直線4元-y=)被圓f+y2—2%—2y+l=0截得的弦長為2,則〃的值為—

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=xlnx與丁=。有兩個不同的交點4B,其橫坐標分別為占，%(七<%).

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

/c、_p_、丁13<7+2+e

(2)求證：ae+1<%-X]<---------------

18.(12分)眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改

善眼的疲勞，達到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全

體800名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；

(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進行了調(diào)查，得到下

表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系？

(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,

在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

不做操做操

是否近接

近視4432

不近視618

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

K22k0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

19.(12分)已知a>03>0,函數(shù)/(x)=k+a|+|2x-4的最小值為1.

(1)證明：2a+b=2.

(2)若。+252口人恒成立，求實數(shù)/的最大值.

221

20.(12分)已知橢圓C:j+W=l(a〉》〉0)與x軸負半軸交于4(—2,0),離心率e=,.

（I）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線=+與橢圓C交于/（%,%）,N（w，%）兩點，連接A昭AN并延長交直線x=4于

/\、1111

后（*3，%），尸（*4，必）兩點，若—+一?=—+—，直線"N是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是,

X%%丁4

請說明理由.

.X—t.、2c

21.（12分）在平面直角坐標系xQv中，直線/的參數(shù)方程為_0為參數(shù)），直線/與曲線C:（尤-1）~+丁=1交于

AJB兩點.

⑴求的長；

⑵在以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設(shè)點p的極坐標為,求點P到線段AB中點"

的距離.

x—一3---反----1

2

22.（10分）在平面直角坐標系中，直線/的參數(shù)方程為《L?為參數(shù)）.在以原點。為極點，》軸

正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為0=26sin0.

（1）寫出直線I的普通方程和圓C的直角坐標方程;

⑵若點P坐標為（3,6），圓C與直線/交于A8兩點，求|PA|+|P3|的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和0」做對比，即可判斷.

【詳解】

由于0<

--1r

0.22=—=V5

C

10gl2<峭1=0

33

故/?>a>c.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

__2

根據(jù)復(fù)數(shù)4的幾何意義得出復(fù)數(shù)4,進而得出為,由zjz,=-2得出Z2=-=可計算出Z2,由此可計算出"|.

Z1

【詳解】

由于復(fù)數(shù)4對應(yīng)復(fù)平面上的點(―1,—1),.?"]=-1—i,則)=—1+"

2,二2=-錄=口=a_v=i+z，Sltfc,|z2|=7p7F=V2.

故選：A.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計算，考查了復(fù)數(shù)的坐標表示、共朝復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的除法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

先根據(jù)直線x-ay+l=0與直線x+/y_1=o平行確定a的值，進而即可確定結(jié)果.

【詳解】

因為直線x—ay+l=。與直線x+—1=0平行，

所以/+4=(),解得。=0或。=一1；即0a=0或。=一1；

所以由。能推出q；q不能推出P；

即p是q的充分不必要條件.

故選C

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

4、A

【解析】

過圓x2+y2=產(chǎn)外一點(m,n),

引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為如+0-r=0,故選A.

5^D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第左站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第左站時，一共裝上了(〃-D+("-2)+……-/)一件郵件,

2

需要卸下1+2+3+……(左-1)=*T)件郵件，

e(2n-1一k)xkkx(k-V),,、

則為=------廣--------~-=k(zn-k),

故選：D.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

6、A

【解析】

化簡得到(2'-1)(2-2')5=2'?(2-205-(2-2*)5,再利用二項式定理展開得到答案.

【詳解】

(2x-l)(2-2r)5=2%.(2-2")5-(2-2")5

展開式中8V的項為2*C23(-21)2-C；22(—2*)3=120x8\

故選：A

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.

1、A

【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得了(%),/'(%),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】

因為函數(shù)/■(%)是奇函數(shù),

所以函數(shù)/'(X)是偶函數(shù).

f(-X)-f\-x)=ln(l-%)-ln(l+x)-----,

1-x

即—/(x)-/⑺=ln(l-x)-ln(l+x)—三，

1-x

X/(%)-/'(%)=ln(l+x)-ln(l-x)-，

1-x-

2

所以/(x)=ln(l+x)-ln(l—x),f'(x)=-----

1-x-

2

函數(shù)/Xx)的定義域為(—1,1),所以1(x)=—2>0,

1-x

則函數(shù)Z(X)在(-1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù).又在(0,1)上，

/(x)>/(0)=0,所以|/(到為偶函數(shù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增.

S|/(tzx+l)|<|/(x-l)|,

\cix+11<lx—1111

可得《Lllr對恒成立，

|d!X+l|<1-X1——<a<-\

/對恒成立,,

則2

——<a<02c62

——<a<0

I%x

一3<a<-1

得

H<a<0

所以。的取值范圍是(-3,-1).

故選：A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.

8、A

【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前幾項和公式求出前20項的奇數(shù)項的和，利用等比數(shù)列的前〃項和公式求出前20項

的偶數(shù)項的和，進而可求解.

【詳解】

當“為奇數(shù)時，?！?2-?！?2,

則數(shù)列奇數(shù)項是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

當/為偶數(shù)時,4什2+1=3(4+1),

則數(shù)列中每個偶數(shù)項加1是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.

所以kS*2Q=q+%+43++〃20=q+/++%9+%++….+〃20

1f)xQ

=10x1+--—x2+(a2+l)+(tz4+1)+(a20+1)-10

3(1—3)3"—3

=100+-^-----^--10=-----+90-

1-32

故選：A

【點睛】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前〃項和公式、等比數(shù)列的前”項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.

【詳解】

令sinx/0,可得左左，左eZ},即函數(shù)y=/(x)的定義域為左左，左wZ},定義域關(guān)于原點對稱，

cos(-x)COSX

/(-%)=-^7—；=---=-/(%),則函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，排除c、D選項；

sin(—x)sinx

cosx

當0<x<7t時，cosx>0?sinx>0,則=----〉0,排除B選項.

esinx

故選：A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

10、B

【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示：

A

E

E

EB=-1(BC+JBA),FC=-1(CB+

EB+FC=—g(BC+BA)—g(CB+

=-AB+-AC=AD

22

故選:B

【點睛】

本題考查了向量加法的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

對任意的xe（O,+。。）總有/（x）Wg（x）恒成立，因為lnx<（2m+3）x+〃，對xw（0,+a。）恒成立，可得2m+3〉0,

令y=ln尤—（2加+3）龍—n,可得y'=’―（2加+3）,結(jié)合已知，即可求得答案.

X

【詳解】

對任意的X￡（0,y）總有/（x）<g⑴恒成立

/.lnx<(2m+3)x+n,對l￡(0,+8)恒成立,

2m+3>0

令y=In%一(2m+3)x-n,

可得V=—~(2m+3)

%

1

令y'=0,得犬=

2m+3

1

當九〉y<o

2m+3

當o<尤<一-一y>0

2m+3

11

x=--------，%=ltn------------l-n<02m+3>e~x~n

2m+32m+3

Yl

故(2m+3)n>=/(m,ri)

r<x"

令g=o,得〃=1

二當〃>1時，f\m,n)<0

當"1,f'(m,n)>0

二當”=1時，=!

e

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考

查了分析能力和計算能力，屬于難題.

12、A

【解析】

根據(jù)實數(shù)％滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形4a2』=1叫+5-%,構(gòu)造函數(shù)/z(x)=liu+5—%,并由

導(dǎo)函數(shù)求得可”的最大值；由基本不等式可求得a.2%+4a?2'的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)〃

的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)/(x)=x+a?2*,g(x)=hu-4a，

v

由題意得/(毛)_8(%0)=%+82%-lnx0+4?-2-°-5,

x

即a?2%+4a?2-°=liu0+5-x0,

令〃(X)=1TLX+5-x,

h'(x)———1—-——,

XX

.?"(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

???秋)吟=%⑴=4，而a.2%+4a.2,22a也為42%=4a，

當且僅當2%=4-2/，即當面=1時，等號成立，

:.4a<4,

/.0<<1.

故選：A.

【點睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13、a=—

2

【解析】

2X-2

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由/(%)=不為+。在(0,1］上/'。)>0,可得FW在(0,1］上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為

即可求出參數(shù)的值.

【詳解】

解：/(x)=lnx+In(2—%)+6定義域為(0,2)

/(x)=—H——-——\-a=~+a

xx-2x(x-2)

-xe(0,l］,a>0

2r-2

f\x)=--------+<7>0

x(x-2)

??./(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，

故/(x)在(0,1］上的最大值為/(I)=a=:

故答案為：—

2

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.

14、29

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代

入目標函數(shù)得答案.

【詳解】

-3x-2y+4>0,

由約束條件<x+4y+620,作出可行域如圖：

x-2<0,

3x-2y+4=0,

聯(lián)立，解得A(2,5),

x—2=0,

目標函數(shù)Z=Y+丁是以原點為圓心，以G為半徑的圓，

由圖可知，此圓經(jīng)過點A時，半徑正最大，此時z也最大，

最大值為z=22+52=29.

所以本題答案為29.

【點睛】

線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何

意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最

值取法、值域范圍.

12,

15、-ciH-b

33

【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將CD轉(zhuǎn)化為用向量CA,CB表示，即可得到結(jié)果.

【詳解】

在ACLD中=C4+A。，因為DA=2BD，

2

所以CD=CA+jAB,又因為=—CA，

—.—.?--2——-1—2-12

所以CD=C4+1AB=C4+1(C5_CA)=.

1?

故答案為：—a+—b

33

【點睛】

本題主要考查三角形中向量的線性運算，關(guān)鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.

16、1

【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得.

【詳解】

解：圓d+V-2x-2y+1=0的圓心為(1,1),半徑r=1,

因為直線4元一>=6被圓工2+/一2%一2丁+1=0截得的弦長為2,

所以直線4x-y-8=0經(jīng)過圓心(1,1),

；.4—1—6=0,解得b=3.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)一；(2)見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=xhu的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；

11(fl

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x-xlnx,hCx)=----(x—l)—xlnx可證得：-x>xlnx,----(x-l)>xlnxxe-,1

e-1e-1I\e

分析直線y=_%,y='(x_l)與y=a

從左到右交點的橫坐標，/(X)在x=e-3,x=l處的切線即得解.

【詳解】

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=xhix,

/'(x)=1+lrtr,

令y(x)>0,x>L4,/'(x)<0,0<x<—

故/(九)在(0，)單調(diào)遞減，在［,包)單調(diào)遞增，

；X.0+時/(九)f0；/(1)=0；Xfy時/(九)->+oo

f,

貝！J令g(%)=-x-xiwc,A：efo,-j,

，^Wmin>min<0,g')

=g(X)max=g("2=0

/

=^>-x>xlnxXG|0,—

7

②過點(l，o),的直線為y

e-1

1、

則/z(x)=—^―xGI—,1

1

e八-11e7

-hw-l>0n/z(x)在;,1上單調(diào)遞增

h'(x)^—

e-1

/

On^—(x-l)>xlnx、

nh(x)>h

7“61

e-V7

③設(shè)直線丁=-X,y=」一(x—l)與y=a

e-1

從左到右交點的橫坐標依次為％3=—a,X4=a(e-l)+l,

由圖知4~X1>X4~X3=^+l.

④戶x)在x="3,x=l處的切線分別為y=—2元—"3,y=x-l9同理可以證得

、,-lx-e~3<xlnxxe（0,、

x-1<xlwcxel—,1

7I7

記直線y=。與兩切線和/z(x)從左到右交點的橫坐標依次為匕，出%,4,

3a+2-c

2

【點睛】

本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.

18、(1)144(2)能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系(3)詳見解析

【解析】

(1)由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級

視力在5.0以上的的人數(shù)；

(2)由題中數(shù)據(jù)計算左2的值，對照臨界值表可得答案;

(3)由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人，可得

X可取0,1,2,分別計算出其概率，列出分布列，可得其數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由圖可知，第一組有3人,第二組7人,第三組27人,因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有100-(3+7+27)=63

(人)

所以后三組頻數(shù)依次為24,21,18,

所以視力在5.0以上的頻率為0.18,

故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為800x0.18=144人

⑵*100x（44x18-32x6）、、.895>7.879

50x50x76x2419

因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關(guān)系.

Q1

(3)調(diào)查的100名學(xué)生中不近視的共有24人，從中抽取8人，抽樣比為一=-,這8人中不做眼保健操和堅持做眼

243

保健操的分別有2人和6人，

X可取0,1,2,

P（X=0）=管=（，P（X=1）=臀4=）（X=2）=魯=1|，

CZoC8Zo/C8Zo

X的分布列

X的數(shù)學(xué)期望后(*)=0義2+1義工+2義竺=1.5.

282828

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，獨立性檢測及離散型隨機變量的期望與方差等相關(guān)知識，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)

據(jù)的能力，屬于中檔題.

9

19、(1)2；(2)—

2

【解析】

分析：(1)將/(x)=|x+a|+|2x—4轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值

(2)分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可.

b

詳解：(I)證明：—a<—

2

-3x-a+b,x<-a

上單調(diào)遞減，在+8］上單調(diào)遞增,

；?/(%)=,

一元+a+b,—a<x<—9顯然/(x)在I—oo,——I

b

3x+a-b,x>—

bb1

所以“X)的最小值為了—I,即2〃+b=2.

(II)因為a+252幻Z?恒成立，所以恒成立,

ab

a+2bI2￡)I(中

2—I—=2a+6=g5++竺

abba22aA

2a+2b9

當且僅當a=b=—時，------取得最小值三，

3ab2

99

所以/《彳，即實數(shù)1的最大值為不.

22

點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解

很關(guān)鍵，屬于中檔題.

2,2

20、(1)—+^=1(2)直線恒過定點(1,0),詳見解析

43

【解析】

（I）依題意由橢圓的簡單性質(zhì)可求出。力，即得橢圓c的方程;

（2）設(shè)直線AM的方程為：x=t,y-2,聯(lián)立直線AM的方程與橢圓方程可求得點〃的坐標，同理可求出點N的坐

標，根據(jù)的坐標可求出直線的方程，將其化簡成點斜式，即可求出定點坐標.

【詳解】

C1Jr2-V2

(1)由題有a=2,e=—=—..?.c=l,???62="—。2=3..?.橢圓方程為L+2_=l.

a243

x-txy-2

（）設(shè)直線的方程為：x=ty-l貝！%2y2

2AMx9J=>(3z1+4)/-12z1y=0

I43

CI_C12AC6Z,2-86d—8nt.

?..y=°或…"-“而-2=赤,同理"參彳

，6{6)f6)1111

當七=4時，由占=6%-2有%=/..?.￡14,—同理尸4,—,又一+—=—+—

It,)X%%”

3/；+4?3d+4/=&+幻(3不2+4)_4+，2

12t112t266'12能6

當4+/2/0時，生=T；?直線的方程為y一%=：（x—xJ

12rl12t2

12%3/；+43/；+4/-8