《10.2 事件的相互獨(dú)立性》考點(diǎn)講解復(fù)習(xí)與同步訓(xùn)練

《10.2事件的相互獨(dú)立性》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】考法一相互獨(dú)立事件的判斷【例1】（多選）下列各對事件中,不是相互獨(dú)立事件的有()A．運(yùn)動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)”D．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”【一隅三反】1．（多選）下列各對事件中,為相互獨(dú)立事件的是()A．?dāng)S一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”2．從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對立事件的是（）A．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù) B．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)C．至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù) D．恰有一個(gè)偶數(shù)和沒有偶數(shù)考法二利用概率判斷互斥對立事件【例2】在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，發(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【一隅三反】1．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件2．已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則（）A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8考法三相互獨(dú)立事件概率計(jì)算【例3】甲?乙?丙三人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼,譯出的概率分別,,,則此密碼能被譯出的概率是()A． B． C． D．【一隅三反】1．甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.2．在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級:調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是:以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=(問卷調(diào)查評分/100)3．甲、乙兩名運(yùn)動員各投籃一次，甲投中的概率為0.8，乙投中的概率為0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）兩人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.《10.2事件的相互獨(dú)立性》考點(diǎn)講解答案解析考法一相互獨(dú)立事件的判斷【例1】（多選）下列各對事件中,不是相互獨(dú)立事件的有()A．運(yùn)動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)”D．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”【答案】ACD【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲?乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A?B不獨(dú)立,故選：ACD【一隅三反】1．（多選）下列各對事件中,為相互獨(dú)立事件的是()A．?dāng)S一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨(dú)立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點(diǎn)易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨(dú)立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事件，C錯(cuò)誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個(gè)事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件，D正確.故選：ABD.2．從1，2，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)，下列事件中是互斥事件但不是對立事件的是（）A．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù) B．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)C．至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù) D．恰有一個(gè)偶數(shù)和沒有偶數(shù)【答案】D【解析】從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)對于A,至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù),兩個(gè)事件有重復(fù),所以不是互斥事件,所以A錯(cuò)誤;對于B,至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù),兩個(gè)事件互斥,且為對立事件,所以B錯(cuò)誤;對于C,至少有一個(gè)奇數(shù)和至少一個(gè)偶數(shù),兩個(gè)事件有重復(fù),所以不是互斥事件,所以C錯(cuò)誤.對于D,恰有一個(gè)偶數(shù)和沒有偶數(shù),為互斥事件.且還有一種可能為兩個(gè)都是偶數(shù),所以兩個(gè)事件互斥且不對立,所以D正確.綜上可知,D為正確選項(xiàng)故選:D考法二利用概率判斷互斥對立事件【例2】在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，發(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【答案】D【解析】因?yàn)楸舜嘶コ獾氖录?，，，發(fā)生的概率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，所以與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故A錯(cuò)；與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故B錯(cuò)；與是互斥事件，且，所以也是對立事件，故C錯(cuò)；與是互斥事件，且，所以也是對立事件，故D正確.故選：D.【一隅三反】1．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【答案】D【解析】因?yàn)楸舜嘶コ獾氖录?，，發(fā)生的概率分別為0.2，0.2，0.3，0.3，所以與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故A錯(cuò)；與是互斥事件，但，所以與不是對立事件，故B錯(cuò)；與是互斥事件，且，所以與也是對立事件，故C錯(cuò)；與是互斥事件，且，所以與也是對立事件，故D正確.故選：D.2．已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則（）A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8【答案】A【解析】因?yàn)槭录突コ?，所?則，故.故答案為A.考法三相互獨(dú)立事件概率計(jì)算【例3】甲?乙?丙三人獨(dú)立地去譯一個(gè)密碼,譯出的概率分別,,,則此密碼能被譯出的概率是()A． B． C． D．【答案】C【解析】用事件A,B,C分別表示甲?乙?丙三人能破譯出密碼,則,,,且.∴此密碼能被譯出的概率為.故選：C【一隅三反】1．甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件A：甲破譯密碼，事件B：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.【答案】（1）0.42；（2）0.46.【解析】（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為AB，事件A，B相互獨(dú)立，由題意可知，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且,互斥所以.2．在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級:調(diào)查評分心理等級有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評分分層抽取人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評分在的市民心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?（3）心理調(diào)查機(jī)構(gòu)與該市管理部門設(shè)定的預(yù)案是:以抽取的樣本作為參考，若市民心理健康指數(shù)平均值不低于則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂．根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=(問卷調(diào)查評分/100)【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析.【解析】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1，所以，解得.（2）由（1）知，所以調(diào)查評分在的人數(shù)占調(diào)查評分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評分在有人，有人，因?yàn)榻?jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級均達(dá)不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級轉(zhuǎn)為良好的概率為.（3）由頻率分布直方圖可得，，估計(jì)市民心理健康問卷調(diào)查的平均評分為，所以市民心理健康指數(shù)平均值為，所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.3．甲、乙兩名運(yùn)動員各投籃一次，甲投中的概率為0.8，乙投中的概率為0.9，求下列事件的概率：（Ⅰ）兩人都投中；（Ⅱ）恰好有一人投中；（Ⅲ）至少有一人投中.【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.【解析】設(shè)“甲投中”，“乙投中”，則“甲沒投中”，“乙沒投中”，由于兩個(gè)人投籃的結(jié)果互不影響，所以與相互獨(dú)立，與，與，與都相互獨(dú)立，由己知可得，，則，；（Ⅰ）“兩人都投中”，則；（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且與互斥，則；（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、兩兩互斥，所以.《10.2事件的相互獨(dú)立性(精練）)同步練習(xí)【題組一獨(dú)立事件的判斷】1．(多選）下列各對事件中,不是相互獨(dú)立事件的有()A．運(yùn)動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)”D．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”2．(多選）下列各對事件中,為相互獨(dú)立事件的是()A．?dāng)S一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”【題組二利用概率判斷互斥對立事件】1．下列命題：①對立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．42．(多選）已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．如果，那么，B．如果與互斥，那么，C．如果與相互獨(dú)立，那么，D．如果與相互獨(dú)立，那么，3．（多選題）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以，表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再從乙罐中隨機(jī)取出1個(gè)球，以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是（）A． B．事件B與事件相互獨(dú)立 C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，互斥4．(多選）下面結(jié)論正確的是（）A．若，則事件A與B是互為對立事件B．若，則事件A與B是相互獨(dú)立事件C．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件D．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則A與也是相互獨(dú)立事件【題組三相互獨(dú)立事件的概率的計(jì)算】1．暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.2．已知隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對立，且，，則______.3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀_________，甲獲勝的概率是__________，甲不輸?shù)母怕适莀_________.4．某人群中各種血型的人所占的比例見下表：血腥ABABO該血型的人所占的比例/%2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血.該人群中的小明是B型血，若他因病需要輸血，問：（1）任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？（2）任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？5．某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？6．袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個(gè)，其中白球3個(gè)，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的．（1）求取球3次即終止的概率；（2）求甲取到白球的概率．7．袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只(所有的球除顏色外都相同)，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只球顏色全相同的概率；（2）3只球顏色不全相同的概率.8．為普及抗疫知識、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.（1）從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.9．某高校的入學(xué)面試中有4道不同的題目，每位面試者都要回答這4道題目．已知李明答對第1題、第2題、第3題、第4題的概率分別為假設(shè)對這4道題目能否答對是獨(dú)立的，該高校要求至少答對其中的3道題才能通過面試．用Ai表示事件“李明答對第i道題”（i＝1，2，3，4）．（1）寫出所有的樣本點(diǎn)；（2）求李明通過面試的概率．10．小王某天乘坐火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8，0.7，0.9，假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求：（1）這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；（2）這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率；（3）這三列火車恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.11．甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和.（1）求2個(gè)人都譯出密碼的概率；（2）求2個(gè)人都譯不出密碼的概率；（3）求至多1個(gè)人都譯出密碼的概率；（4）求至少1個(gè)人都譯出密碼的概率.《10.2事件的相互獨(dú)立性(精練）)同步練習(xí)答案解析【題組一獨(dú)立事件的判斷】1．下列各對事件中,不是相互獨(dú)立事件的有()A．運(yùn)動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)”D．甲?乙兩運(yùn)動員各射擊一次,“至少有1人射中目標(biāo)”與“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”【答案】ACD【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在B中,甲?乙各射擊一次,“甲射中10環(huán)”發(fā)生與否對“乙射中9環(huán)”的概率沒有影響,二者是相互獨(dú)立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲?乙都射中目標(biāo)”與“甲?乙都沒有射中目標(biāo)“不可能同時(shí)發(fā)生,二者是互斥事件,不獨(dú)立;在D中,設(shè)“至少有1人射中目標(biāo)”為事件A,“甲射中目標(biāo)但乙未射中目標(biāo)”為事件B,則,因此當(dāng)時(shí),,故A?B不獨(dú)立,故選：ACD2．下列各對事件中,為相互獨(dú)立事件的是()A．?dāng)S一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”【答案】ABD【解析】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨(dú)立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點(diǎn)易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨(dú)立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事件，C錯(cuò)誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個(gè)事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件，D正確.故選：ABD.【題組二利用概率判斷互斥對立事件】1．下列命題：①對立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意①中，根據(jù)對立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.2．已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A．如果，那么，B．如果與互斥，那么，C．如果與相互獨(dú)立，那么，D．如果與相互獨(dú)立，那么，【答案】BD【解析】A選項(xiàng)：如果，那么，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如果與互斥，那么，，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.3．（多選題）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以，表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再從乙罐中隨機(jī)取出1個(gè)球，以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是（）A． B．事件B與事件相互獨(dú)立 C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，互斥【答案】AD【解析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事件的樣本點(diǎn)數(shù)：因此，，，A正確；又，因此，B錯(cuò)誤；同理，C錯(cuò)誤；，不可能同時(shí)發(fā)生，故彼此互斥，故D正確，故選：AD．4．下面結(jié)論正確的是（）A．若，則事件A與B是互為對立事件B．若，則事件A與B是相互獨(dú)立事件C．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件D．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則A與也是相互獨(dú)立事件【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)，要使為對立事件，除還需滿足，也即不能同時(shí)發(fā)生，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，包含于，所以與不是互斥事件，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識可知，B選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，根據(jù)相互獨(dú)立事件的知識可知，D選項(xiàng)正確.故選：BD【題組三相互獨(dú)立事件的概率的計(jì)算】1．暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是__________.【答案】【解析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，所以.故答案為：.2．已知隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對立，且，，則______.【答案】0.7【解析】隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對立，且（A），（C），（B）（C），（A）（B）．故答案為：0.7．3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀_________，甲獲勝的概率是__________，甲不輸?shù)母怕适莀_________.【答案】0.【解析】甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P（A）＝，P（B）＝，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝1，∵甲獲勝的事件為C，則C與事件A+B為是對立事件，∴P（C）＝1﹣1＝0，∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝，故答案為：，0，.4．某人群中各種血型的人所占的比例見下表：血腥ABABO該血型的人所占的比例/%2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血.該人群中的小明是B型血，若他因病需要輸血，問：（1）任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？（2）任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？【答案】（1）（2）【解析】（1）對任一人,其血型為A,B,AB,O型血分別記為事件A',B',C',D',它們是互斥的,由已知得,因?yàn)锽,O型血可以輸給B型血的人,故“任找一個(gè),其血可以輸給小明”為事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,有（2）由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“任找一個(gè)人,其血不能輸給小明”為事件,根據(jù)概率的加法公式,得.5．某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)事件“電話響第聲時(shí)被接”為，那么事件彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得.（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為.根據(jù)對立事件的概率公式，得.6．袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共7個(gè)，其中白球3個(gè)，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的．（1）求取球3次即終止的概率；（2）求甲取到白球的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)事件A為“取球3次即終止”.即甲第一次取到的是黑球，接著乙取到的是黑球，甲取到的是白球，因此，（2）設(shè)事件B為“甲取到白球”，“第i次取到白球”為事件，，因?yàn)榧紫热?，所以甲只可能在?次，第3次和第5次取到白球，所以．7．袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只(所有的球除顏色外都相同)，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只球顏色全相同的概率；（2）3只球顏色不全相同的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）3只球顏色全相同包括3只球全是紅球(記為事件A)，3只球全是黃球(記為事件B)，3只球全是白球(記為事件C)，且它們彼此互斥，故3只球顏色全相同這個(gè)事件可記為A+B+C.又P(A)=P(B)=P(C)=，故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.（2）記“3只球顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只球顏色全相同”.又P()=P(A+B+C)=，所以P(D)=1－P()=1－，故3只球顏色不全相同的概率為.8．為普及抗疫