中考數(shù)學(xué)-黃金卷04（全國）（解析版）

第第頁【贏在中考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國通用）黃金卷04（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、，是正數(shù)，不符合題意；B、，是負(fù)數(shù)，符合題意；C、，是正數(shù)，不符合題意；D、，是正數(shù)，不符合題意；故選：B．2．打陀螺是北方人們比較喜愛的一種游戲，圖中是一款陀螺的示意圖，其俯視圖為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：該幾何體的俯視圖如圖，．故選：C．3．某校九年級1班10名同學(xué)在“二十大知識”競賽中的成績?nèi)绫硭荆?8，90，75，88，90，91，92，100，80，88則這個班學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（

）A．88，90 B．3， C．90，89 D．88，89【答案】D【解析】這個班學(xué)生成績的眾數(shù)是：88，中位數(shù)；75，80，88，88，88，90，90，91，92，100，，故選：D．4．如圖，點，，以為邊作正方形，點E是邊上一點，且，則點E的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：過點E作于點H，∵點，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴,∴點E的坐標(biāo)為，故選：A5．如圖，某園林公司計劃將一塊長200m、寬80m的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被．若要使種植植被區(qū)域的面積占整個公園總面積的90%，求小路的寬．設(shè)小路的寬為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：設(shè)小路的寬為x米，則種植植被區(qū)域的面積相當(dāng)于長為米，寬為米的矩形面積，∴，故選：A．6．拋物線的對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數(shù)有（）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解析】解：∵拋物線開口向下，與軸的交點在正半軸上，∴，∴；故①錯誤；∵拋物線與軸由2個交點，∴，故②正確；∵對稱軸為，∴，∴，故③錯誤；∵拋物線過點，關(guān)于對稱軸的對稱點為：，∴；故④正確；由圖象可知：當(dāng)時，函數(shù)值小于時的函數(shù)值0，即：，故⑤錯誤；綜上，正確的有2個，故選A．7．如圖，兩個反比例函數(shù)和（其中）在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點在上，軸于點，交于點，軸于點，交于點，則四邊形的面積為（）

A． B．k1-k2 C． 【答案】B【解析】根據(jù)題意可得四邊形PAOB的面積＝S矩形OCPD?S△OBD?S△OAC，由反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，可知其面積為k1?k2．故選B．8．如圖，將邊長為4，銳角為的菱形沿折疊，使頂點恰好落在邊的中點處，記為，則的長度為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】解：如圖，過作于點，，邊長為4，銳角為的菱形，，，，，是的中點，，，，，，點與重合，，，由折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，故選：B．9．如圖，扇形中，，點為的中點，將扇形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，連接，當(dāng)時，陰影部分的面積為()A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如圖，連接，∵，∴，∵是的中點，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴三點共線，∴陰影部分的面積為，故選：D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，點C在x軸正半軸上，且．點P為線段（不含端點）上一動點，將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖，過點P作軸，過點Q作軸，即，直線l：與坐標(biāo)軸交于A、B兩點，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，在和中，，，，，設(shè)，．點中，．，即，點是直線上的點，記直線與x軸交與點N，則，，，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)時，的長最短，，，，，，，，，．故選：A．二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）11．代數(shù)式﹣9m2+4n2分解因式的結(jié)果是．【答案】【解析】解：﹣9m2+4n2，＝（2n）2﹣（3m）2，＝（2n+3m）（2n﹣3m）．故答案為：．12．分式方程的解為．【答案】【解析】解：去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解．故答案為．13．現(xiàn)有四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．從中隨機抽取一張卡片，那么抽取的卡片上的數(shù)字不大于2的概率是．【答案】/【解析】解：共有4種情況，摸出的卡片的數(shù)字不大于2的有2種，∴摸出的卡片的數(shù)字不大于2的概率為：，故答案為：．14．如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，連接并延長至點F，使，連接并延長至點G，使，連接若，，則的度數(shù)為【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，是是中位線，，故答案為：15．如圖，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為．【答案】3【解析】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，，則四邊形為正方形，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，，，，，，而，①，小正方形和大正方形的面積分別為49和289，，，②，負(fù)值舍去，把代入①得，③，把③代入②中，得：，，負(fù)值舍去，直角三角形內(nèi)切圓的半徑為3，故答案為：16．如圖，是的直徑，，，點為弧的中點，點是直徑上的一個動點，則的最小值為．

【答案】4【解析】解：作點B關(guān)于直徑的對稱點E，連接，根據(jù)兩點之間線段最短及軸對稱的性質(zhì)可得即為的最小值，如圖所示：

∴，∵，∴，∵點為弧的中點，∴與的度數(shù)為20°，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，即的最小值為4，故答案為：4．17．如圖，正方形ABCD中，，點E在CD邊上，且．將沿AE對折至，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF．則，．【答案】45°；【解析】解：∵正方形ABCD∴CD=BC=AB=6，∠D=∠B=∠BAD=∠BCD=90°，∵CD=3DE，∴DE=2，EC=4，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF=AB，DE=EF=2，∠D=∠AFE=90°，∠DAE=∠FAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∠BAG=∠GAF，BG=GF，∠AGB=∠AGE，∴∠GAF+∠FAE=∠BAG+∠DAE，即∠EAG=∠BAG+∠DAE，∵∠EAG+∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠EAG=45°，∵GE2=EC2+GC2，∴（BG+2）2=16+（6-BG）2，∴BG=3，∴CG=BC-BG=6-3=3，∵S△GCE==×4×3=6，GF=BG=3，GE=GF+EF=3+2=5，∴，即，∴S△GFC=，故答案為：45°；．三、解答題（本大題共8小題，共62分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18．（1）計算：；（2）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．【解析】解：（1）原式＝＝；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，∴不等式組的整數(shù)解為1，2．19．如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．(1)請畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形；(2)在軸上找一點，使的值最小，請直接寫出點的坐標(biāo)．【解析】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，點即為所求，由圖可得，點的坐標(biāo)為．理由：∵點與點關(guān)于軸對稱，∴，∴，根據(jù)兩點之間，線段最短，可得此時的值最小．故答案為：．20．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程的兩個根，滿足，求m的值．【解析】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得：；（2）解：∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵，∴，即，解得：，．又∵在（1）中求出，∴，故答案為．21．某中學(xué)為營造書香校園，計劃購進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜5個，乙種書柜2個，共需要資金1380元；若購買甲種書柜4個，乙種書柜3個，共需資金1440元．（1）甲乙兩種書柜每個的價格分別是多少元？（2）若該校計劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共24個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，問：學(xué)校應(yīng)如何購買花費資金最少，最少資金是多少？【解析】解：（1）設(shè)甲種書柜單價為元，乙種書柜的單價為元，由題意得：解得答：甲種書柜單價為180元，乙種書柜的單價為240元．（2）設(shè)購買甲種書柜個，則購買乙種書柜個，設(shè)所需資金為元．由題意得：．解得∵，隨增大而減小∴當(dāng)時，（元）．答：當(dāng)購買12個甲種書柜，12個乙種書柜時，所需資金最少，最少資金為5040元．22．如圖，在中，O為的中點，過點O作交于點，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的長．【解析】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵O為的中點，∴在與中，，∴，∴又，∴四邊形為平行四邊形又，∴四邊形為菱形．（2）過點B作交的延長線于點G．∵，∴，又∵，∴，設(shè)，則，∵四邊形為菱形，∴在中，，∴∴，即的長為2.8．23．【問題提出】小慧同學(xué)遇到這樣一道問題，如圖①，在中，點D為邊的中點，以點D為圓心，為直徑作圓，的平分線交此圓于點P，點P在內(nèi)部，連接．求證，的面積等于面積的一半．【問題解決】小慧的做法是連接并延長，交于點Q，利用形狀的特殊性解決問題，請你利用小慧的做法完成【問題提出】中的證明；【問題拓展】如圖②，在四邊形中平分．，若，則面積的最大值為．【解析】問題解決：解：如圖，連接并延長，交邊于點．∵為的直徑，∴．∴．∵平分，∴．∵，∴．∴．∵．∴點為的中點．，，∴的面積等于面積的一半．問題拓展：延長交于點，∵平分且，∴為等腰三角形，點為中點，∴，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，面積最大，即滿足題意，∵，∴面積的最大值為．故答案為：6．24．如圖，在矩形中，點為邊上一點，連接，過點作于點，交于點．(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；(2)若，，連接，求的最小值；(3)如圖2，矩形對角線與相交于點，交于點，若平分．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明；②連接，當(dāng)?shù)拿娣e是矩形的時，求的值．【解析】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，；（2）解：，點在以為直徑的圓上運動，如圖，取的中點，連接，當(dāng)點在線段上時，取得最小值，，，，，，即的最小值為2；（3）解：①，證明如下：如圖，過點作交于點，是的中點，，平分且，是等腰三角形，，，，，，；②如圖2，連接，設(shè)，，由①可知：，，，，在中，，，，，，，，即，解得：，的面積是矩形的，，，，，．25．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．【問題提出】如圖1，在中，，，點D在上，請用尺規(guī)作圖：在外側(cè)，以為邊作．【問題探究】小明：如圖2，分別以B、C為圓心，以、為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接、則即為所求作的三角形．小亮：如圖3，過點B作于點B，過點C作于點C，、相交于點E，則即為所求作的三角形．（1）小明得出的依據(jù)是______，小亮得出的依據(jù)是______．（橫線上填序號：①；②；③；④）【問題再探】（2）在（1）中的條件下，連接興趣小組的同學(xué)們用幾何畫板測量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，A組同學(xué)會試延長線段至F點，使，連接，從而得以證明如圖；B組同學(xué)過點D作于點M，過點E作于點N，從而得以證明如圖，請你選取A組或B組中的一種方法完成證明過程