北京市豐臺區(qū)北京第十二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

北京市豐臺區(qū)北京第十二中學(xué)2025屆高一下數(shù)學(xué)期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)移動時，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值2．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．253．已知扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為（）A． B． C． D．4．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A． B． C． D．5．有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為A． B． C． D．6．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．7．設(shè)，則（）A．3 B．2 C．1 D．08．在數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項和的最大值是（）A．136 B．140 C．144 D．1489．已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．10．函數(shù)的簡圖是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球面的表面積為__________.12．△ABC中，，，則=_____．13．已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____．14．_______________.15．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為________.16．若點在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，又，.（1）求和的通項公式；（2）令，求的前n項和.18．如圖，正方體．（1）求證：平面；（2）求異面直線AC與所成角的大?。?9．如圖，在三棱柱中，平面平面，，，為棱的中點.(1)證明:；(2)求點到平面的距離.20．已知向量且，（1）求向量與的夾角；（2）求的值.21．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線段BD上找一點H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，判斷A選項是否正確，根據(jù)錐體體積計算公式，判斷BCD選項是否正確.【詳解】對于A選項，易得平面與平面平行，所以平面成立，A選項結(jié)論正確.對于B選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以四面體體積為定值，故B選項結(jié)論錯誤.對于C選項，由于長度一定，所以三角形面積為定值.到平面的距離，也即到平面的距離一定，所以三棱錐體積為定值，故C選項結(jié)論正確.對于D選項，由于三角形面積為定值，到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.綜上所述，錯誤的結(jié)論為B選項.故選：B【點睛】本小題主要考查利用面面平行證明線面平行，考查三棱錐（四面體）體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題，.3、A【解析】

化圓心角為弧度值，再由扇形面積公式求解即可．【詳解】扇形的半徑為，圓心角為，即，該扇形的面積為，故選．【點睛】本題主要考查扇形的面積公式的應(yīng)用．4、B【解析】試題分析：直線的斜率，其傾斜角為．考點：直線的傾斜角．5、C【解析】選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，由古典概型公式，滿足題意的概率值為.本題選擇C選項.考點：古典概型名師點睛：對于古典概型問題主要把握基本事件的種數(shù)和符合要求的事件種數(shù)，基本事件的種數(shù)要注意區(qū)別是排列問題還是組合問題，看抽取時是有、無順序，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當(dāng)然簡單問題建議采取列舉法更直觀一些.6、B【解析】由題可知每天織的布的多少構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一天為首項,一月按30天計可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.7、B【解析】

先求內(nèi)層函數(shù)，將所求值代入分段函數(shù)再次求解即可【詳解】，則故選：B【點睛】本題考查分段函數(shù)具體函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題8、C【解析】

可得數(shù)列為等差數(shù)列且前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負(fù)數(shù)，可得前8或9項和最大，由求和公式計算可得．【詳解】解：∵在數(shù)列中,，

，即數(shù)列為公差為?4的等差數(shù)列，

，

令可得，

∴遞減的等差數(shù)列中前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負(fù)數(shù)，

∴數(shù)列的前8或9項和最大，

由求和公式可得

故選：C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)為定值，那么乘以后值不變，由基本不等式可消去x，y后，對得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【詳解】因為，，，所以.因為不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.【點睛】本題考查基本不等式，由為定值和已知不等式相乘來構(gòu)造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解題關(guān)鍵．10、D【解析】

變形為，求出周期排除兩個選項，再由函數(shù)值正負(fù)排除一個，最后一個為正確選項．【詳解】函數(shù)的周期是，排除AB，又時，，排除C．只有D滿足．故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選圖象，可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等排除某些選項，還可求出特殊值，特殊點，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢排除一些選項，從而得出正確選項．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】正方體體積為8，可知其邊長為2，正方體的體對角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長分別為，則其外接球半徑公式為:.12、【解析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點：正余弦定理13、（-4，2）【解析】試題分析：因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以考點：基本不等式求最值14、2【解析】

利用裂項求和法將化簡為，再求極限即可.【詳解】令...故答案為：【點睛】本題主要考查數(shù)列求和中的列項求和，同時考查了極限的求法，屬于中檔題.15、4【解析】

將變形為，展開，利用基本不等式求最值.【詳解】解：，當(dāng)時等號成立，又，得，此時等號成立，故答案為：4.【點睛】本題考查基本不等式求最值，特別是掌握“1”的妙用，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點求出冪函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求法，即可求解．【詳解】因為點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，則，所以原函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求法，以及反函數(shù)的求法，其中熟記反函數(shù)的求法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，以及等比數(shù)列的通項公式可得，是等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式可得首項和公差，可得所求通項公式；（2）求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，且相減可得：故：是公差為d的等差數(shù)列，，即為：.（2），前n項和：兩式相減可得：化簡可得：【點睛】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了等差等比數(shù)列的通項公式，項和轉(zhuǎn)化，乘公比錯位相減等知識點，屬于較難題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）證明，，即得證；（2）求出即得異面直線AC與所成角的大?。驹斀狻浚?）證明：因為為正方體，所以ABCD為正方形．所以，又因為平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面,所以平面．（2）因為，所以直線AC與所成的角或補(bǔ)角即為AC與的角，又三角形為等邊三角形，所以，即直線AC與所成的角為．【點睛】本題主要考查線面位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成角的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)見解析；(2)【解析】

（1）作為棱的中點，連結(jié)，，通過證明平面可得.（2）根據(jù)等體積法：可求得.【詳解】(1)證明:連接，.∵，，∴是等邊三角形.作為棱的中點，連結(jié)，，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴是菱形.∴.又，分別為，的中點，∴，∴.又，∴平面.又平面，∴.(2)解:連接，∵，，∴為正三角形.∵為的中點，∴.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∴.設(shè)點到平面，的距離.在中，，，則.又∵，∴，則.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了等體積法求點面距，屬于中檔題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡，進(jìn)而求出向量與的夾角；（Ⅱ）利用，對其化簡，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（Ⅰ）由得因向量與的夾角為（Ⅱ）【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，以及平面向量的夾角以及平面向量的模的求法，考查計算能力．21、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設(shè)AE，GC與BD分別交于M，N兩點，證明N點為所找的H點．【詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點，∴A