2025屆上海市延安初級中學數學高一下期末達標檢測試題含解析

2025屆上海市延安初級中學數學高一下期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．數列1，，，，…的一個通項公式為（）A． B． C． D．2．已知正項數列，若點在函數的圖像上，則（）A．12 B．13 C．14 D．163．設為銳角三角形，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．24．盒中裝有除顏色以外，形狀大小完全相同的3個紅球、2個白球、1個黑球，從中任取2個球，則互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有一個白球；至少有一個紅球 B．至少有一個白球；紅、黑球各一個C．恰有一個白球：一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；都是白球5．為了治療某種疾病，研制了一種新藥，為確定該藥的療效，生物實驗室有只小動物，其中有3只注射過該新藥，若從這只小動物中隨機取出只檢測，則恰有只注射過該新藥的概率為()A． B． C． D．6．點關于直線對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．7．在正三棱錐中，，則側棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為()A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.89．將圖像向左平移個單位，所得的函數為（）A． B．C． D．10．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某住宅小區(qū)有居民萬戶，從中隨機抽取戶，調查是否安裝寬帶，調查結果如下表所示：寬帶租戶業(yè)主已安裝未安裝則該小區(qū)已安裝寬帶的居民估計有______戶．12．中,三邊所對的角分別為,若,則角______.13．設等差數列的前項和為，若，，則的值為______.14．已知x，y＝R+，且滿足x2y6，若xy的最大值與最小值分別為M和m，M+m＝_____.15．已知數列的前項和是，且，則______.（寫出兩個即可）16．函數的最小值為____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設數列滿足，，，.s（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項；（2）求數列的通項，并求數列的前項和；（3）若，且是單調遞增數列，求實數的取值范圍.18．在銳角中，角的對邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.19．已知，且與的夾角.（1）求的值；（2）記與的夾角為，求的值.20．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.21．已知數列的前項和，且滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

把數列化為，根據各項特點寫出它的一個通項公式.【詳解】數列…可以化為，所以該數列的一個通項公式為.故選：A【點睛】本題考查了根據數列各項特點寫出它的一個通項公式的應用問題，是基礎題目.2、A【解析】

由已知點在函數圖象上求出通項公式，得，由對數的定義計算．【詳解】由題意，，∴，∴．故選：A.【點睛】本題考查數列的通項公式，考查對數的運算．屬于基礎題．3、B【解析】

令，得直線在x、y軸上的截距，求得三角形面積并利用二倍角公式化簡，根據三角函數圖象和性質求得面積最小值即可.【詳解】令得直線在y軸上的截距為，令得直線在x軸上的截距為，其圍成的三角形面積：，求S的最小值轉化為求函數的最小值，因為為銳角，所以，當時取最小值?1，則，故圍成三角形面積最小值為8.故選：B.【點睛】本題考查直線方程與三角函數二倍角公式的應用，綜合題性較強，屬于中等題.4、B【解析】

根據對立事件和互斥事件的定義，對每個選項進行逐一分析即可.【詳解】從6個小球中任取2個小球，共有15個基本事件，因為存在事件：取出的兩個球為1個白球和1個紅球，故至少有一個白球；至少有一個紅球，這兩個事件不互斥，故A錯誤；因為存在事件：取出的兩個球為1個白球和1個黑球，故恰有一個白球：一個白球一個黑球，這兩個事件不互斥，故C錯誤；因為存在事件：取出的兩個球都是白球，故至少有一個白球；都是白球，這兩個事件不互斥，故D錯誤；因為至少有一個白球，包括：1個白球和1個紅球，1個白球和1個黑球，2個白球這3個基本事件；紅、黑球各一個只包括1個紅球1個白球這1個基本事件，故兩個事件互斥，因還有其它基本事件未包括，故不對立.故B正確.故選：B.【點睛】本題考查互斥事件和對立事件的辨析，屬基礎題.5、B【解析】

將只注射過新藥和未注射過新藥的小動物分別編號，列出所有的基本事件，并確定事件“恰有只注射過該新藥”所包含的基本事件的數目，然后利用古典概型的概率計算公式可該事件的概率．【詳解】將只注射過新藥的小動物編號為、、，只未注射新藥的小動物編號為、、，記事件恰有只注射過該新藥，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中事件所包含的基本事件個數為個，由古典概型的概率公式得，故選B．【點睛】本題考查古典概型的概率公式，列舉基本事件是解題的關鍵，一般在列舉基本事件有枚舉法和數狀圖法，列舉時應注意不重不漏，考查計算能力，屬于中等題．6、A【解析】

設點關于直線對稱的點為，根據斜率關系和中點坐標公式，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，設點關于直線對稱的點為，則，解得，即點關于直線對稱的點為，故選A.【點睛】本題主要考查了點關于直線的對稱點的求解，其中解答中熟記點關于直線的對稱點的解法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.7、B【解析】

利用正三棱錐的性質，作出側棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.8、B【解析】

由平均數與方差的計算公式，計算90，90，93，94，93五個數的平均數和方差即可.【詳解】90，89，90，95，93，94，93，去掉一個最高分和一個最低分后是90，90，93，94，93，所以其平均數為，因此方差為.故選B【點睛】本題主要考查平均數與方差的計算，熟記公式即可，屬于基礎題型.9、A【解析】

根據三角函數的圖象的平移變換得到所求．【詳解】由已知將函數y＝cos2x的圖象向左平移個單位，所得的函數為y＝cos2（x）＝cos（2x）；故選：A．【點睛】本題考查了三角函數的圖象的平移；明確平移規(guī)律是解答的關鍵．10、D【解析】

根據所給等量關系,用表示出可得.代入中,構造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應用,注意構造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

計算出抽樣中已安裝寬帶的用戶比例，乘以總人數，求得小區(qū)已安裝寬帶的居民數.【詳解】抽樣中已安裝寬帶的用戶比例為，故小區(qū)已安裝寬帶的居民有戶.【點睛】本小題主要考查用樣本估計總體，考查頻率的計算，屬于基礎題.12、【解析】

利用余弦定理化簡已知條件，求得的值，進而求得的大小.【詳解】由得，由于，所以.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.13、－6【解析】

由題意可得，求解即可.【詳解】因為等差數列的前項和為，，所以由等差數列的通項公式與求和公式可得解得.故答案為-6.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

設，則，可得，然后利用基本不等式得到關于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，進而得到結論.【詳解】∵x，y＝R+，設，則，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值與最小值分別為M和m，∴M，m，∴M+m.【點睛】本題考查了基本不等式的應用和一元二次不等式的解法，考查了轉化思想和運算推理能力，屬于中檔題.15、或【解析】

利用已知求的公式，即可算出結果．【詳解】（1）當，得，∴，∴．（2）當時，，兩式作差得，，化簡得，∴或，即（常數）或，當（常數）時，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，所以；當時，數列是以1為首項，﹣1為公比的等比數列，所以．【點睛】本題主要考查利用與的關系公式，即，求的方法應用．16、【解析】

將函數構造成的形式，用換元法令，在定義域上根據新函數的單調性求函數最小值，之后可得原函數最小值?！驹斀狻坑深}得，，令，則函數在遞增，可得的最小值為，則的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了換元法，以及函數的單調性，是基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差數列的定義可證明出數列是等差數列，并確定該數列的首項和公差，即可得出數列的通項；（2）利用累加法求出數列的通項，然后利用裂項法求出數列的前項和；（3）求出，然后分為正奇數和正偶數兩種情況分類討論，結合可得出實數的取值范圍.【詳解】（1），等式兩邊同時減去得，，且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，因此，；（2），，，；（3）.當為正奇數時，，，由，得，可得，由于數列為單調遞減數列，；當為正偶數時，，，由，得，可得，由于數列為單調遞增數列，.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用等差數列的定義證明等差數列，同時也考查了累加法求通項、裂項求和法以及利用數列的單調性求參數，充分利用單調性的定義來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理邊轉化為角，逐步化簡，即可得到本題答案；（2）由余弦定理得，，綜合，得，從而可得到本題答案.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，又，所以，由為銳角三角形，則；（2）因為，所以，所以，即（當且僅當時取等號），所以.【點睛】本題主要考查利用正弦定理邊角轉化求角，以及余弦定理和基本不等式綜合運用求三角形面積的最大值.19、（1）；（2）.【解析】

(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夾角公式可以求得.【詳解】（1）根據題意可得：故（2），則故.【點睛】本題考查向量的數量積運算，求向量的模和夾角，屬于基礎題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【解析】

（I）通過證明平面來證得平面平面.（II）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過證明平面證得，通過計算證明證得，由此證得平面.【詳解】證明：（Ⅰ）因為平面，所以.因為，，所以平面.因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中點，連結，因為為的中點所以，且.因為為的中點，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因為平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因為平面，所以.因為，所以平面.所以.在△中，設交于.因為，且分別為的中點，