浙江2022年數(shù)學(xué)高三年級上冊期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于函數(shù)/(x)=>1an：+cos2x,下列說法正確的是()

A.函數(shù)〃元)的定義域?yàn)镠

347T

B.函數(shù)/(尤)一個(gè)遞增區(qū)間為一丁，豆

OO_

TT

C.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于直線X=J對稱

O

D.將函數(shù)y=&sin2x圖像向左平移三個(gè)單位可得函數(shù)y=/(%)的圖像

8

2.設(shè)函數(shù)/(尤)=ln(x—1)的定義域?yàn)椤?,命題P：V%e￡),/(x)Wx的否定是()

A.VXGD,/(%)>XB.3x0eD,/(x0)<%0

C.\/x^D,/(%)>%D.3x0eD,/(%)>/

3.在正方體ABC。-4瓦GR中，球。?同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球。2同時(shí)與以G為公共頂點(diǎn)的三個(gè)

r

面相切，且兩球相切于點(diǎn)尸.若以尸為焦點(diǎn)，A用為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過Q,Q，設(shè)球Q，O?的半徑分別為彳，G，則,=

丫2

()

A.B.73-72C.1—顯D.2-73

22

4.如圖，已知三棱錐D—A3C中，平面平面ABC,記二面角。-AC-5的平面角為a,直線與平面

ABC所成角為￡,直線與平面ADC所成角為7,則()

A.a>p>yB.p>a>yC.a>y>pD.y>a>/3

5.把函數(shù)y=sin(x+J)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移J個(gè)單位，那么所

63

得圖象的一個(gè)對稱中心為()

A.(1,0)B.(^,0)C.(^,0)D.(0,0)

6.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為2,a,b,且2a+>=g(a>0,>>0),則

此三棱錐外接球表面積的最小值為()

A.—71B.—71C.47rD.57r

44

r

7.已知偶函數(shù)/(%)在區(qū)間(—8,0］內(nèi)單調(diào)遞減，a=/(log應(yīng)百)，Z?=/Lin^-1Kc=f，則

c滿足()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

8.觀察下列各式：X?y=2,x2(g)y2=4,x3(g)y3=9,%503;5=31>x6(8)y6=54,(g)=92,

,根據(jù)以上規(guī)律，則3°區(qū)丁1°=()

A.255B.419C.414D.253

9.設(shè)S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若。3=-3,跖=-7,則S"的最小值為()

A.-12B.-15C.-16D.-18

10.函數(shù)/(%)=[COSx圖象的大致形狀是()

11.已知貝！]“直線依+2y-l=0與直線(a+l)x-2ay+l=。垂直"是"。=3"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.下列說法正確的是()

A.命題“三人)<0,2/Wsinx?！钡姆穸ㄐ问绞?Vx>0,2x>sinxw

B.若平面a,￡,7,滿足則

C.隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(l,b2)(。>0),若P(0<J<l)=0.4,則P(J>0)=0.8

D.設(shè)x是實(shí)數(shù)，“x<0”是“工<1”的充分不必要條件

X

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若兇m；且X/0時(shí)，不等式|女2一無一422國恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

22

14.已知橢圓C：上+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,如圖A5是過片且垂直于長軸的弦，則AA38的內(nèi)切

圓方程是.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓G：，+(j,-i)三,(r>0)上存在點(diǎn)P,且點(diǎn)尸關(guān)于直線x—y=0的對稱點(diǎn)0

在圓C2：(x-2)2+(j-1)2=1±,則r的取值范圍是.

16.在面積為的AABC中，AB-AC=2A/3>若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，息N滿足AN=2NC，則BN-CM的最

2

大值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=A/3+?

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為「（f為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

y=-J3t

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cosd.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M（0,3）,直線/與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求」3+77二的值.

|MA||MB\

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=a/-V.

（1）若曲線f（x）存在與V軸垂直的切線，求。的取值范圍.

，

（2）當(dāng)心1時(shí)，證明：/（x）..l+x-13x2.

19.（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示:

年份201020112012201320142015201620172018

時(shí)間代號t123456789

廣告收入y（千萬元）22.22.52.832.52.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對f和>作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對力和y作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.

（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測.

從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺得哪個(gè)方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

小概率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

（2）某購物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電

子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購買的讀者比例為10%,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

20.（12分）已知函數(shù)/（》）=111%一//?-加2_￥2（相61{_）.

（1）討論函數(shù)/（九）的極值；

⑵記關(guān)于x的方程/（力+療］2=。的兩根分別為p,g（?<4），求證：ln〃+lnq>2.

21.（12分）聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

年份20102012201420162018

需求量（萬噸）236246257276286

（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份一2014”為橫坐標(biāo)x,“需求量—257”為

縱坐標(biāo)V,請完成如下數(shù)據(jù)處理表格：

年份一20140

需求量一2570

（2）根據(jù)回歸直線方程亍=%+6分析，2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸，問是否能夠滿足該

地區(qū)的糧食需求？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,%）,（%,%），…，（玉，%），其回歸直線$=良+6的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

〃__

^x^-nxy__

別為：3=號-------,d=y-bJc.

fx；-nx

i=\

22.（10分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會提出“堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，建

立解決相對貧困的長效機(jī)制”對當(dāng)前和下一個(gè)階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準(zhǔn)扶貧全面消

除絕對貧困，實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品

加工生產(chǎn)銷售進(jìn)行指導(dǎo)，經(jīng)調(diào)查知，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2

萬元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)A,3兩市場以往100個(gè)銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表：

A市場:

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)205030

3市場:

需求量

90100110

(噸)

頻數(shù)106030

把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設(shè)該廠在下個(gè)銷售周期內(nèi)生產(chǎn)“噸該產(chǎn)品，在4、3兩市場同時(shí)銷售，以X

(單位：噸)表示下一個(gè)銷售周期兩市場的需求量，Y(單位：萬元)表示下一個(gè)銷售周期兩市場的銷售總利潤.

(1)求X>200的概率；

(2)以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，確定下個(gè)銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=190噸還是“=200噸?并說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

化簡到/(x)=0sin[2x+?)根據(jù)定義域排除ACD,計(jì)算單調(diào)性知5正確，得到答案.

【詳解】

/(x)=+cos2x=sin2x+cos2x=42sinf2x+—|,

1+tanx\4J

TF

故函數(shù)的定義域?yàn)?左陽左eZ,故A錯(cuò)誤；

、2J

S77"TTTTTTTT

當(dāng)xe時(shí)，2x+-e,函數(shù)單調(diào)遞增，故3正確；

_88J4L22_

當(dāng)x=-[,關(guān)于x=g的對稱的直線為尤不在定義域內(nèi)，故C錯(cuò)誤.

4X2

平移得到的函數(shù)定義域?yàn)镽,故不可能為y=/(%),。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

2、D

【解析】

根據(jù)命題的否定的定義，全稱命題的否定是特稱命題求解.

【詳解】

因?yàn)镻：V%e￡),是全稱命題，

所以其否定是特稱命題，即f(x0)>x0.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查命題的否定，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面4耳和。處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)。2到點(diǎn)廠的距離即半徑弓，也即

點(diǎn)。2到面CDDG的距離，點(diǎn)。2到直線A4的距離即點(diǎn)。2到面ABB,A的距離因此球。2內(nèi)切于正方體，設(shè)々=1,

兩球球心和公切點(diǎn)都在體對角線AG上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出4,進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)。2到點(diǎn)口的距離與到直線A耳的距離相等，其中點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離即半徑馬，也即點(diǎn)。2到

面CDD￡的距離，點(diǎn)Q到直線A31的距離即點(diǎn)02到面ABB^的距離，因此球02內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)馬=1,兩

個(gè)球心Q,Q和兩球的切點(diǎn)R均在體對角線AG上，兩個(gè)球在平面AEG。處的截面如圖所示，則

O2F—r2—1,AO2——=~J3,所以AF=AO2-O-,F=yfi—1.又因?yàn)锳F=AO{+OtF=+4，因此+1)(=\/3—1,

得12-g,所以二=2-五

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

4、A

【解析】

作切」于。，。石AC于E，分析可得e=?DED',P=ZDA。,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得a>/3,

再根據(jù)線面角的最小性判定/之/即可.

【詳解】

作￡>￡）」于。,DE_LAC于E.

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC,￡>￡>'，平面

故AC_L平面DED'.故二面角￡）一4。一6為￡=?DED'.

又直線ZM與平面ABC所成角為分=ZDAD',因?yàn)閆M之DE,

DD'DD'

故sin?DE。'——?——5也？94。'.故［2，,當(dāng)且僅當(dāng)4石重合時(shí)取等號.

DEDA

又直線AB與平面ADC所成角為/，且分="AD'為直線AB與平面ADC內(nèi)的直線AD所成角，故尸》九當(dāng)且僅

當(dāng)5D，平面ADC時(shí)取等號.

故aN/32y.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷，需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系，同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.

屬于中檔題.

5、D

【解析】

試題分析：把函數(shù)y=Sin(x+1)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得y=sin(1x+^)的圖象;

再將圖象向右平移￡個(gè)單位，可得丁=豆比!口--)+工]=豆11工十的圖象，那么所得圖象的一個(gè)對稱中心為(0,0),

32362

故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

6、B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長方體A3。-4耳￡4的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐A-CqD，且

長方體ABC?！?6cq的長、寬、高分別為2,4,)，

...此三棱錐的外接球即為長方體ABCD-46^2的外接球,

且球半徑為R='2-+〃[,

22

二三棱錐外接球表面積為4?"+"+”=?(4+/+/)=5?(?！ぃ?/p>

121

.?.當(dāng)且僅當(dāng)。=1,6=7時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二》.

24

故選B.

【點(diǎn)睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通

過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

7、D

【解析】

Sin

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)/（X）在［0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，再由loga6>H),即可判定大小

【詳解】

因?yàn)榕己瘮?shù)“X）在（7,0］減，所以/（九）在［0,轉(zhuǎn)）上增,

2

713

log^A^>l,sinG14,c<b<a.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不同類型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個(gè)中間數(shù)，通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.

8、B

【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛??｝然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算.

，an=4T+限+n

【詳解】

以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字2,4,9,17,31,54,92,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛凡｝,可得數(shù)列｛%｝滿足

an=an_x+an_2+n（n>3,neN*）,

則/=%+4+8=54+92+8=154,

cig=/+%+9=154+92+9=255,tz10=%+/+10=255+154+10=419.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng).

9、C

【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，判斷出5“最小時(shí)n的值，由此求得S”的最小值.

【詳解】

a,+2d=-39

依題意rr，解得"=—7,d=2,所以4=2〃—9.由4=2〃—94。解得所以前〃項(xiàng)和中，前

7q+21d=—72

4項(xiàng)的和最小，且=46+6d=-28+12=—16.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

判斷函數(shù)/(%)的奇偶性，可排除A、C,再判斷函數(shù)/(%)在區(qū)間［。弓］上函數(shù)值與。的大小，即可得出答案.

【詳解】

一(2、(l-exy

解：因?yàn)閥(x)=|；~--1cosx=-——-COSX,

(1+/)U+eJ

(1一0一工)ex-11-ex,

所以/(-x)=-~~—cos(-x)=^—cosx=-~~-cos%=-/(%),

、J-I匕)&IJ-J-I匕

所以函數(shù)/(九)是奇函數(shù)，可排除A、C；

又當(dāng)“o，m，/(%)<o,可排除口；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.

11、B

【解析】

由兩直線垂直求得則。=0或a=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，"直線ax+2y-i=Q與直線(?+l)x-2ay+1=0垂直”

則a(a+l)+2x(—2a)=。，解得。=0或a=3,

所以“直線依+2y—1=0與直線(a+l)x—2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得。的值，同時(shí)

熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；。，分可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；

!<1nX<0或無>1,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.

X

【詳解】

命題，咱不<0,2/Wsin%"的否定形式是“VxWO,2x>sinx",故A錯(cuò)誤；al7,

…,則4分可能相交，故B錯(cuò)誤；若與0<。<1)=0.4,則P(l<J<2)=0.4,所以

1-04-041

P(^<0)==0.1,故P(J>0)=0.9,所以C錯(cuò)誤；由一<1,得了<0或%>1,

2x

故“x<0”是“工<1”的充分不必要條件，D正確.

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容

易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(-°0,-2][2,+oo)

【解析】

將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形，然后得到對應(yīng)不等式組，對。的取值進(jìn)行分類，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間

0,|上恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍，列出對應(yīng)不等式組，即可求解出。的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)槌?_X_422卜|,所以(加7—4“2區(qū))2,所以(加—X—(2x)2,

2

ax2-3x-a>0ax-3x-a<Q

所以(口2-x-a2x)(依2—x—a+2x)>0,所以〈

ax2+x-a>0ax2+x-a<0

當(dāng)a=0時(shí)，同22國對國v；且x/O不成立,

2

當(dāng)4>0時(shí)，?。?工,ax-3x-a>0ax2-3x-a<0

顯然不滿足,所以

2ax2+x-a>0ax2+x-a<0

ax2-3x-a>0

顯然不滿足,所以《

ax2+x-a>0

綜上可得。的取值范圍是：（—,-2][2,+s）.

故答案為：（f「2][2,y）.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論

法：分析參數(shù)的臨界值，對參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨(dú)分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)

系求解出參數(shù)范圍.

4

2

14、（x+g+y

-9-

【解析】

利用公式S.B=g＞計(jì)算出廠，其中/為AABg的周長，廠為AABg內(nèi)切圓半徑，再利用圓心到直線A3的距離等

于半徑可得到圓心坐標(biāo).

【詳解】

由已知,A（-2,當(dāng),3（-2,-當(dāng),居（2知）,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為?,0）（方＞-2）,半徑為r,則

S39(如福故有*4=4后,

2248

解得「=耳，由|"(—2)|=§,/=-§或/=—§(舍)，所以AABg的內(nèi)切圓方程為

(4丫24

I3「9

故答案為:(x+胃+，2=，

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一

道中檔題.

15、[72-1,72+1]

【解析】

設(shè)圓G上存在點(diǎn)尸(xo,jo),則0(yo,xo),分別滿足兩個(gè)圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)

范圍.

【詳解】

設(shè)圓G上存在點(diǎn)尸(xo,jo)滿足題意，點(diǎn)尸關(guān)于直線x—y=0的對稱點(diǎn)。(jo,xo),

故只需圓X2+(J-1)2=戶與圓(X-1)2+(J-2)2=1有交點(diǎn)即可，所以|「_1區(qū)5(1_0)2+(2—1)29+1,解得

V2-l<r<V2+l-

故答案為：[、歷-1,、歷+1]

【點(diǎn)睛】

此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)問題，兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.

16、^-276

3

【解析】

由任意三角形面積公式與A3?AC=26構(gòu)建關(guān)系表示以為30,再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積

的運(yùn)算轉(zhuǎn)化BNCM，最后由重要不等式求得最值.

【詳解】

由』ABC的面積為必得!\AB\\AC\sinZBAC=—,

222

所以|AB||ACsinNBAC=Jg,①

又A3-AC=2代，即|A5||AC|cosNR4c=2/，②

由①與②的平方和得：|A5||AC|=3也，

又點(diǎn)M是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足AN=2NC，

所以BMC"=(5A+A7V).(G4+AM)=,A5+gAc),AC+gA“

42-21-2

=-ABAC——AC——AB

332

_8A/32-21286912-21,2_873久

3323V323

當(dāng)且僅當(dāng)|402=34/0,,=苧,。|時(shí)，取等號，

即BNCM的最大值是為雙1-2灰.

3

故答案為：述一2幾

3

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量，進(jìn)而由重要不等式求最值，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)&+y-3=0,(x-2)?+y2=4(2)2t

9

【解析】

⑴利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)/即可得到直線/的

直角坐標(biāo)方程；

(2)由于用(0,3)在直線/上，寫出直線I的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程，代入曲線C的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出

1111\ti+t2\____

--------1----------1―\+1―F-—j廠求解即可.

\MA\\MB\同心||佑|

【詳解】

(1)直線/的普通方程為y=-后+3,即G+y-3=0,

根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，x=pcosO,夕2=1+/,

而Q=4COS。，則/?2=4/?COSO,

即(x—2/+y2=4,

故直線1的普通方程為氐+y-3=0,

曲線C的直角坐標(biāo)方程(x—2)2+V=4

(2)點(diǎn)河(0,3)在直線/上，且直線/的傾斜角為120。,

可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),

代入到曲線C的方程得

/+(2+3百)/+9=0,力中2=_(2+3石),巾2=9,

]1_11_，1+胃_2+3』

由參數(shù)的幾何意義知麗T'H而T同+口=,閔=9

【點(diǎn)睛】

熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線/的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，難度一般.

2

18、(1)6,-(2)證明見解析

e

【解析】

2x2x

(1)/'(%)=aex-2%=0在1￡區(qū)上有解,a———設(shè)g(x)=”,求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.

331

(2)證明/(X)..l+X—只需證緇―%2.1+%—記飄X)="+QX2—X—1,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得

到函數(shù)的最小值，得到證明.

【詳解】

(1)由題可得，/'(%)=。蜻—2工=0在大€區(qū)上有解,

2x...2x...2-2x

則。=:，令g(x)=＞，g(x)=——

eee

當(dāng)尤<1時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

2

所以x=l是g(x)的最大值點(diǎn)，所以小一.

e

(2)由oe"ex,所以/(%).."-％2,

要證明了(%)..1+九一3/%2,只需證/—x2..1+]—3即證/+己1/一%―I..。.

記h{x}-ex+~x?-x-l,/zr(x)=ex-bx-1,h\x)在R上單調(diào)遞增，且/z'(O)=0,

當(dāng)x<0時(shí)，〃(%)<0,"(%)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，。(％)>0,/z(x)單調(diào)遞增.

所以x=0是//(X)的最小值點(diǎn)，/?(%)./(0)=0,則-+1/一x—L0,

2

3

故了(%)..1+尤-5尤2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.

Q1

19、(1)選取方案二更合適；(2)—

125

【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年

的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值Q984>0.959,所以有99%的把握認(rèn)為V與/具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；⑵

32

求得購買電子書的概率為只購買紙質(zhì)書的概率為二，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電

子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

【詳解】

(1)選取方案二更合適，理由如下：

①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告

收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)

數(shù)據(jù)的依據(jù).

②相關(guān)系數(shù)“越接近L線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值0.243<0.666,我們沒有理

由認(rèn)為V與f具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值Q984>0.959,所以有99%的把握認(rèn)為V

與/具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)因?yàn)樵谠摼W(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購買的讀者比

113

例為10%,所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為7+二==，只購買紙質(zhì)書的概率

2105

2

為二，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率

【點(diǎn)睛】

本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能

力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的

事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

進(jìn)行解答.

20、（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；

（2），4是方程/（%）+加2%2=0的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.

【詳解】

（1）依題意，/6）」-〃，-2，島」—"a—2〃選=（1+如）（1-2向；

XXX

若加=0,則/'（x）=!＞0,則函數(shù)/（九）在（0,+。）上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/（尤）既無極大值，也無極小值；

若機(jī)＞0,貝Ul+mx＞0,令/'（x）=。，解得x=^—,

2m

故當(dāng)xe（0,，一）時(shí)，f（x）＞0,/（九）單調(diào)遞增；

2m

當(dāng)xe（J,+s）時(shí)，/'（%）＜0,/（力單調(diào)遞減，

2m

此時(shí)函數(shù)/（九）有極大值/（，一）=,無極小值；

2m2m2m2m2m4

若加＜0,則l-2mx＞0,令/'（x）=。，解得%=--,

m

故當(dāng)％￡（o,—工）時(shí)，r（x）＞o,〃%）單調(diào)遞增；

m

當(dāng)xe（—工,+8）時(shí)，f'（x）＜Q,單調(diào)遞減，

m

此時(shí)函數(shù)/（X）有極大值一~—|=ln（一~-）-m\一~—）-m2（一~—）2=ln（一~—）,無極小值；

mJmmmm

（2）依題意，lnx-mx=0,貝!）1口夕=枕，lnq=my,

故Ing-Inp=m{q-p),Inp+lnq=m(p+q)?

要證：lnp+In4>2,即證n?(p+q)>2,

In?-Inp、-,q2(q-p)

即證：———~(zp+q