2024屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一)

數(shù)學(xué)試題

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)36,26,17,23,33,106,42,31,30,33的第60百分位數(shù)為()

A.23B.31C.33D.36

2.若復(fù)數(shù)z滿足3z+45=7+i,則|z+2i|=（）

A.lB，V2C*D.4

3.已知向量a=(1,1),0=(4,5),則卜―2'=()

A.^/130B.4V10C.3V7D.6vH

4.某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個(gè)圓臺型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1,且上底面圓直徑的

一端點(diǎn)的投影為下底面圓半徑的中點(diǎn)，高為3,則這個(gè)圓臺的體積為()

A.3兀B.5兀C.7兀D.8兀

sin(a+⑶1

5.已知一^--4=2,cososin4二:，則sin(a+「)=()

sin(cif-p)6

1212

A.-B.—C.-D.——

3393

19

6."=("是"直線bc—y+l+左=0與圓(x—2)2+(y—3)2=4相切”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.己知數(shù)列｛4｝滿足自著7=〃+1,則。2024=（）

k=i2k—1

A.2024B.2023C.4047D.4048

2jr

8.在中，AD=-AC,^ADB=-,若CD=2,則的最大值為（）

33BA2

1

A.73B.2C.V7-2D.2L__

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.函數(shù)"x)=Asin[ox+《卜0〉0,4〉0)的最小正周期為兀，將y=的圖象向左平移十個(gè)單位長度

得y=g(x)的圖象，則()

A.①=2

39

B.y=g(九)的圖象關(guān)于直線x-兀對稱

8

C./(x)-^(x)=4/，(2x)

D"(x)-g(x),,^A2

10.已知拋物線C:丁=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為X=-1,A(—1,0),P,Q為C上兩點(diǎn)，AP=AAQ(A>1)，則

()

/\.OPOQ=5Q.AP-AQ>8

C.若2=2,則p@=孚D.SPQO=4五,則|PQ|=16近

11.已知/(x)..O,且x>0時(shí)，/(2X)=COS2X-/(X),則()

7C

B.f(%)?2tanxf(2x)—+hr,^eZ

c.若d曰=j且g⑴=三多為常函數(shù)，則八%)=i在區(qū)間(o,i)內(nèi)僅有i個(gè)根

兀―sin2x

D.若/(1)=1,則“8)(為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合A={—2,—1,0,2,3,4},3=We>2_1>0},則AcB的子集個(gè)數(shù)為.

22(2j

13.已知8為雙曲線c：=—5=1(。〉0］〉0)上一點(diǎn)，A—(C為半焦距)為C的漸近線上一點(diǎn)，

ab\cc

2

若AB〃為軸，|O同=c,則雙曲線。的離心率為.

14.在以底面為等腰直角三角形的直三棱柱ABC-A4G中，M為底面三角形斜邊5C上一點(diǎn)，且

AM-BC=O,AC=A4=1,P為線段BG上一動點(diǎn)，則平面AMP截三棱柱所得截面面積的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）某中學(xué)為積極貫徹并落實(shí)教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動步槍社團(tuán)來促進(jìn)

同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動步槍社團(tuán)的某同學(xué)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，己知該同學(xué)每次射擊成

功的概率均為

2

（1）求該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；

（2）若該同學(xué)進(jìn)行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記

X為三次射擊總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

16.（15分）已知函數(shù)/（X）=511次+三一僅+2）X.

（1）當(dāng)A=1時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程；

（2）求/（尤）的單調(diào)區(qū)間.

17.（15分）在棱錐尸―A5CD中，24,平面A6CD,四邊形為平行四邊形.3。=3,

CD=1,AP=4,CP=2y/6.

（1）求yp-ABCD；

（2）求平面。CP與平面6cp夾角的余弦值.

22

18.（17分）已知橢圓c：%+云=I，A，A分別為橢圓c的左、右頂點(diǎn)，耳,工分別為橢圓c的左、右焦點(diǎn),

斜率存在的直線/交橢圓c于尸,Q兩點(diǎn)，記直線4尸，尸4，4Q，2A的斜率分別為左、內(nèi)&及.

3

（1）證明:左3,左4=；

4

3

(2)若匕+左4=—(^2+&)，求SF2PQ的取值范圍.

19.(17分)約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)。除以整數(shù)加(加工。)所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，

我們就稱〃為根的倍數(shù)，稱相為〃的約數(shù).設(shè)正整數(shù)〃共有左個(gè)正約數(shù)，即為%,

4，,%一1，/<a2<<％).

(1)若Q=8,求左的值；

(2)當(dāng)左..4時(shí)，若｛久―/_1｝為等比數(shù)列，求正整數(shù)Q；

4111

(3)記A=+%。3++ak-\ak?證明：-------<1.

°k

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考(一)

數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

1.C【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為

33+33_

------二33,故選C,

2

2.B【解析】設(shè)z=x+yi(x,y$R),則3z+4彳=3x+3;yi+4x-4yi=7x-yi=7+i,解得x=l,y=-l,

故z=l—i，則|z+2i|=|l+i|=JL故選B.

3.A【解析】因?yàn)閍=(l,l)力=(4,5),所以

"=(1,1)—2(4,5)=(―7,—9),1—2同=J(—7『+(—9)?=同,故選A.

4.C【解析】如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為CAE為點(diǎn)。在底面的投影點(diǎn)，上、下底面圓的半徑分別

為CD,AB，由題意得AC=3,CD=1,A5=2,設(shè)上底面圓的面積與下底面圓的面積分別為SpS2,所以

該圓臺容器的容積V=g(H+S2+'ms2)/z=g(兀+4兀+,兀+4兀)義3=7兀,故選C.

4

sin(67+3=2可得sin((/+4)=2sin(a—4)=3cos?sin/7=sinccos/7.又

5.B【解析】由一一

sincr-

，：所以，所以(。+，)=，

cosasin=,sintzcos=g,sinsincrcos+coscrsin/?=—I—二一，故選B.

263

6.A【解析】圓(x—2)z+(y-3)2=4是以(2,3)為圓心，半徑為2的圓,所以點(diǎn)(2,3)到直線依一y+l+左=0

J2左-3+1+43左-212

的距離為—r-——'=^=^=2,解得左=?；蜃?一,故選A.

VF+1+15

7.C【解析】由題意可得％H——H—-+H-----—n+\,當(dāng)”=1時(shí)，％=2；當(dāng).2時(shí),

352n-l

2,〃=1,

CL+—+—++&」=〃，兩式相減得，^=1,即4=2〃—1.綜上所述，an=<所以

"352n-32n-l2n-1,n..2,

“2024=4047,故選C.

8.D【解析】依題意得AD=4,C￡>=2,設(shè)3￡>=。?>2),在.BCD中,

BC2=BD2+CD2-2BD-CDcosNCDB=/+4+2人在：,ABD中,

AB--BD2+AD2-2BD-AD-cos^ADB=r2+16-4^則

2

3c2t+4+2t,6?-12,6(Z-2)6,62+百

BA2r+16—4//_務(wù)+16("2)2+12(”2)+衛(wèi)2m2，當(dāng)且僅當(dāng)

"-2)2=12,即f=2+26時(shí)取等號，故選D.

解得a)=2,A正確；

ac兀兀71

—Asin2xH----1—=Acos，對稱軸為2x+—=E(keZ),解得

I24>+力4

得上=10,即ZeZ成立，則B正確;

5

/(x)g⑴=A2sin[2x+cos[2x+；[=；A2sin[4x+]]=；A2cos4x?A2,Af(2%)=A2.

sin14x+：19

w—Acos4x,所以c錯(cuò),。對.故選ABD.

2

10.ABD【解析】由題知，p=2,C:丁=4%,A、尸、。三點(diǎn)共線，故可設(shè)直線PQ：X=9—LP十,外,

(4J

Q與，為，聯(lián)立2\49+4=0,A=16/—16>0,解得

14)〔V=4%

2

t>l,yl+y2=4t,y1-y2=4,OP-OQ=^^-+yly,=4+l=5'A正確；

16

Ap.Ae=(Z^L+/±i+i+yi｝；2=6+2r±i>6+l3；i3；2=8)8正確；4=2時(shí)，由AP=2AQ,

得X=2%,貝ij%=2血,％=應(yīng)或％=—20,%=—0,|PQ|=半，故C錯(cuò)；

SPQO=POA—SgoA|=^'|-^|=5個(gè)(弘+為)—4%%=-1=40,得/'=±3,

耕―為|=8及,歸。|=而工|%-%|=16后,故。正確，故選4BD.

11.AD【解析】由/（2X）=COS24（X）,得/⑴=COS2m,,/「），/正確;

/(x)="2")=h+tan2x)./(2x)，%w二十也左wZ,又1+tan2x?tanx,2tanxf(2x),B錯(cuò)誤;

cosx')2

<l,g⑺…

則則

sinx

22

g(/2>、)=4x4-scoisnxf'(?x)

-2

g(x)=1,則/(%)=si、％,令Mx)=x-sinx(x..O),則〃(x)=l-co&x…。恒成立,所以

?2?2

/z（x網(wǎng)0）=0,.”sinx（短0）,.?.史手＜1,即/（力=與詈=1在區(qū)間（0,1）內(nèi)無實(shí)根,C錯(cuò);

XX

6

/(8)=cos24/(4)=cos24-cos22/(2)=cos24-cos22-cos2If(1)=(cos4-cos2-cosl)2<(cos2cosl)2,

令cos21=t，得/⑻</(2f—1)2,令°G)=/(2"l)2,/e[,￡|,則

^(r)=(2r-l)2+4r(2r-l)=(2f-l)(6r-l),令0'(f)=0,得/=，或

6

%=不1，<0(71=):1乂47；=2二,，”8)2成立，D正確.故選AD.

216/692727

12.4【解析】由題意可得3=(2,+。)，所以AcB={3,4},共兩個(gè)元素，所以其子集的個(gè)數(shù)為2?=4.

13.72【解析】設(shè)3(4,%)，由AB〃x軸可得%=他，..XB==土,+g.又因?yàn)?/p>

IOfi|=C,；./+1+客=°2,又〃2=。2—。2a2c2+/+片卜2—。2)=04,整理可得2/=02C的

離心率e=JR=V2-

14.1【解析】分如下三種情況，①如圖1,延長交耳。于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作4cl的垂線交AC]于

2一

點(diǎn)S,連接AS,則四邊形AAWS為所求截面；②如圖2,延長上。交8。］于點(diǎn)M，過點(diǎn)乂作gG的垂

線交8用于點(diǎn)跖，連接AS1，則四邊形AMNS為所求截面；③如圖3,延長交BB］于點(diǎn)乂，連接AN2,

則三角形

圖1圖2圖3

顯然①②中的截面面積均大于或等于③中的截面面積，故只需考慮①②中的情況，易知①②中的情況相

/

同，故只需考慮情況①即可.在①中，易知SN//AM,AMLMN,設(shè)GN=x源此則

x4+>/2x+-1,易知函數(shù)

7

y=x4+^x+』在0,上單調(diào)遞增，故s,,工+后也+」=也,故截面面積的最大值為

42242

受

~T

15.解：（1）記"該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功為事件8"，

1111111113

則=———I——X—x——I——X—X—=—.

',2222222228

（2）設(shè)事件4,4分別表示第一次射擊成功，第二次射擊成功，第三次射擊成功,

根據(jù)題意可知x=0,2,4,6,8.

故p(x=o)=p(A)P(a)P(A)=:；

p(x=2)=p(a)p(a)p(A)+p(A)p(4)p(A)=：；

P(X=4)=P(A)P(4)P(A)+P(A)P(A)P(A,)=：；

P(X=6)=P(4)P(A)^(A)+^(A)^(A)^(A)=^

p(x=8)=p(A)p(4)p(A)=d=1

所以X的分布列為：

X02468

￡￡J_

P

84448

故X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0xg+2x；+4><：+6x；+8><；=4.

16.解：(1)當(dāng)/?=1時(shí)，/(x)=lnx+x2-3x,/(l)=-2,

r(x)」+2x-3,

X

/‘⑴=o，

故曲線y=/（九）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線方程為y=-2

(2)/(x)=Z?lnx+x2-(Z?+2)x,其定義域?yàn)?0,+動,

2x2-僅+2)%+b

xX

8

A

①當(dāng)5，,0,即伉,0時(shí)，令/'(x)<0,得0<x<l,令/''(x)>。，得x〉l，

故/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,l)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+。).

AA

②當(dāng)5〉o,即〃>0時(shí)，由/'(x)=o,得石=萬,々=1.

b

(i)當(dāng)0<—<1,即0<Z?v2時(shí)，

2

AA

令/''(x)>。，可得0<x<5或x〉l；令/''(x)<0,可得5<%<i,

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為?和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為C，lj.

(ii)當(dāng)g=1，即6=2時(shí)，/⑺=(2X2)(X—1)=2(1)20

2xx

故/(九)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。)，無單調(diào)遞減區(qū)間.

b

(iii)當(dāng)一〉1,即/?>2時(shí)，

2

AA

令/''(x)>。，可得0<%<1或》〉]；令/''(%)<0，可得i<x<5，

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和1,+[,單調(diào)遞減區(qū)間為

綜上，當(dāng)伉,0時(shí)，/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+")；

當(dāng)0<Z?<2時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為?和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為1，1

當(dāng)b=2時(shí)，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)6>2時(shí)，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和單調(diào)遞減區(qū)間為[1,^].

17.解：(1)R4_L平面ABCD,

:.PA±AC.

在RtE4c中，A。=/pc?—AT?=2及,

在〈CAB中，AB-+AC2=1+8=9=BC2,

：.CA±AB,

'''S四邊形ABC?='AC=2A/2,

9

VP-ABCD=gx4x20=

(2)由(1)知A&AP、AC兩兩互相垂直.

以A為原點(diǎn)，A3、AP、AC所在直線為x,〉,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(1,0,0),0(0,0,2后),￡>(-1,0,20),月(0,4,0),

所以℃=(1,0,0),CP=(0,4,—2后),CB=(1,0,-272).

設(shè)m=(%4),“=(無2,%，Z2)分別為平面CDP與平面BCP的法向量,

m-DC=0,玉二0,

則得VL令4=夜，得％=1,所以加=倒,1,、巧)為平面CDP的一個(gè)法向量.

m,CP=0,[2%-丹=0,

nCP=0,2y2—V2Z2=

令Z2=A/2,得馬=4,%=1,所以〃=(4』,、歷)為平面CBP的一個(gè)法向

nCB=0,x2-2S12Z2=

量.

設(shè)平面。cp與平面5cp夾角為。，則

cose=|cos(?,附|=回以=L3=里平面OCP與平面BCP夾角的余弦值為血.

|m||7z|73x7191919

x-ty+m,

2

18.(1)證明：設(shè)/的方程為x="+m,聯(lián)立＜x2y2消去工，得(3/+4)/+6mty+3m-48=0.

----1-----=1,

11612

-6mt3m2-48

設(shè)尸&，x)，Q(%,%)，則%+為

易知A(T,0),4(4,0),所以匕,&?於4K_yi3

x；-16_424,

31

22

%%=%=%3

同理上3,左4=左24,左2A2

1X,+4—4x/—16424.

-“2

10

⑵解：因?yàn)樨?%=2(幺+%)，則由(0知，一3一3=|■他+“3)，即'[I=!■(&+%)，

34左24左33、4k2k33

9o

由/與x軸不垂直可得網(wǎng)+&*0,所以&&=一五，即左飛?%4=—五，

V,y,9/、/、

所以1一7=一布，即20yly2+9(^+m-4)((y2+m-4)=0,

%—4%一4NU

整理得(%2+20)%%+%(加一4)(弘+%)+9(一-4>=0,

(9/+20).3；；-：+%(吁司.；+外加_打=0,

整理得—3〃z—4=0，解得加=—1或機(jī)=4.

3m-48

因?yàn)镻、Q在x軸的兩側(cè)，所以%%=:+；＜°，解得-4＜相＜4,

又加=—1時(shí)，直線/與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此加=—1,直線/恒過點(diǎn)。(—1,0).

,6t-45

當(dāng)z加=-1時(shí)，X+%=E，JV2=R'

S-第/加I》-W=[4乂+%)2-4%%=|J[工]14?二=18^P，

_____/vc1844/+572272

設(shè)14/+5=2,則由/與x軸不垂直得彳＞石，且3可＞。=3產(chǎn)+4=豆41=1一7，