2024高考數(shù)學(xué)模擬試卷與答案 (二)

皿

數(shù)J學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第3頁(yè)，第n卷第4

至第6頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上

所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致。

2.答第I卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。

3.答第n卷時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)，要求字體工整、筆跡清

晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。

必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上答題無(wú)

效。

4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。）

1.若a（2+i）+b（l—2i）=4—3i,其中a,beR,i是虛數(shù)單位，貝“。+歷|=

A.2B.V5C.3D.5

2.已知集合/=卜卜+1）（4—2）>。｝,集合8=<xcosd<0>,則2口8=

A.（-1,2）B.（0,2）C.（1,2）D.（2,3）

3.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲T8歲的男生體重（kg）,

得到頻率分布直方圖如下：

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在［56.5,64.5）的學(xué)生人數(shù)是

A.20B.30C.40D.50

4.若=主匚為偶函數(shù)，則。=

V1+3J3x+l

A.1B.0C.-1D.--

2

Y2V2V22

5.若雙曲線I；：--^=1（。>0,b>0）的離心率為2,則雙曲線匕：，一r彳=1的離心率為

abba

A.----B.V2C.\/3D.y/~5

3

6.已知曲線ke”在點(diǎn)4（a,e"）,3他叫處的切線分別為?。ǎ?，4與工軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為項(xiàng)，

X2,若玉+、2=—1，則。+6=

A.0B.1C.2D.3

7.設(shè)公差為2的等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S,，若對(duì)于任意正整數(shù)”，都有鼠為定值，則Eo=

S"

A.60B.80C.100D.120

8.已知sin5a=5sina-20sin3a+16sin5a,則sin72°cos18°=

.V5+1V5-15—455+V5

A.-----B.-----C.-----D.-----

4488

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）

9.在平面直角坐標(biāo)系x。中，A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（2,0）,則下列結(jié)論正確的是

A.若PA?—PB?=2,則點(diǎn)尸的軌跡為直線B.若N4PB=45。，則點(diǎn)尸的軌跡為圓

C.若24+必=4,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓D.^\PA-PB\=2,則點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線

10.投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示.

表1股票甲收益的分布列

收益X（元）-102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益丫（元）012

概率0.30.40.3

關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是

A.E（2X+1）=3.2B.￡>（27+1）=2.2

C.投資股票甲的期望收益較大D.投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高

11.已知函數(shù)/卜）=6合，—爐M，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有

A./（x）為周期函數(shù)B./（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C./（x）在區(qū)間上是減函數(shù)口.關(guān)于x的方程/（x）=e-J有實(shí)數(shù)解

12.在三棱錐尸-48C中，與△45C都是邊長(zhǎng)為2G的正三角形，且二面角P-42-C為直角，則下列結(jié)

論正確的有

A.PCLABB.PC與平面48C所成角為45°

C.A8上存在一點(diǎn)Q,使得/尸0。為鈍角D.三棱錐P-/8C的外接球表面積為20〃

（在此卷上答題無(wú)效）

第II卷（非選擇題共90分）

考生注意事項(xiàng)：

請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.已知向量a,否滿足.一囚=同，[2。一3|=3,貝!]1+囚=.

14.一個(gè)正四棱臺(tái)形油槽可以裝煤油190L,假如它的上下底面邊長(zhǎng)分別為60cm和40cm,則該油槽的深度為

_____________cm.

15.函數(shù)/（%）=sinx-cos2x的所有正零點(diǎn)從小到大依次記為再，x2,???，則再+3+…+/6=-

16.已知一組圓G，G，…，Q均與三個(gè)定圓一+/=4,x2+y2=64,（x—5丫+>2=3相切，則圓儲(chǔ)，

c2,最的面積和為.

四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）

17.（10分）

心20

記△48C的二個(gè)內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=5,c=3,且cos3=—sinC.

9

B

（1）求tan—的值；

2

（2）求a的值.

18.（12分）

記Sn為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，兒=7s6-

（1）若Si?=12,求邑4的值；

（2）若S6〉0,求證:56n+6>2S6n.

19.（12分）

甲和乙每人擲五枚硬幣，每個(gè)硬幣正面朝上或反面朝上的概率相等，且每個(gè)結(jié)果相互獨(dú)立，如果甲的硬幣正面

朝上的數(shù)量比乙的多，那么這個(gè)游戲甲獲勝.如果甲乙兩人正面朝上的硬幣數(shù)量相同，那么這個(gè)游戲就是平局.

（1）求甲乙兩人平局的概率0；

（2）求甲獲勝的概率2.

20.（12分）

如圖，設(shè)E-/8CD與尸-/BCD為兩個(gè)正四棱錐，且NE4F=90°,點(diǎn)P在線段NC上，且CCP=3PA.

cos（a+

（1）記二面角E-5CY,尸-5C-4的大小分別為a,。,求一）——V的值;

cos（a一,）

（2）記EP與F2所成的角為，，求COS。的最大值.

21.（12分）

已知橢圓r：「+4=1(?！?〉0)的左右焦點(diǎn)分別為公，耳，離心率為工，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,31.

a2b21221

第21題圖

(1)求橢圓「的方程;

(2)若經(jīng)過(guò)片的直線4與橢圓r交于/,c,經(jīng)過(guò)心的直線，2與橢圓r交于以D,4與4交于點(diǎn)P(點(diǎn)尸在

橢圓「內(nèi))，求證：7+1-----r=17+:----------r.

網(wǎng)\PC\\PB\\PD\

22.(12分)

2

已知函數(shù)/(%)=—x+ax+ln(l-x),其中a〉0.

(1)當(dāng)1=2時(shí)，若點(diǎn)尸為函數(shù)/(x)圖像上的任意一點(diǎn)，求尸點(diǎn)處切線斜率的最大值;

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增.

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②證明：左2("+l)lnn-n+2,n￡N*.

k=i\k)

題號(hào)123456789101112

答案BCCDABCDADACDABCABD

1.【答案】B

,、/、2。+6=4{a=\

【解析】：由(2a+b)+(a—2b)i=4—3i,得，解得＜

'7v)\a-2b=-3[b=2

所以|l+2i|=君.

2.【答案】C

【解析】：4=(-1,2),8=(4左+1,4—+3),k^Z,所以418=(1,2).

3.【答案】C

【解析】：(0.03+0.05x2+0.07)x2xl00=40.

4.【答案】D

【解析】：函數(shù)定義域?yàn)?/p>

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

3x+l1Y3x-l

即a+------In---------

3'+1)3x-l3T+1J3x+l

3'1

所以4+

3'+13'+1

-1口1

可得a=—.

2

5.【答案】A

【解析】：因?yàn)殡p曲線I；的離心率q=所以匕2=3片,

所以雙曲線「2的離心率02=

6.【答案】B

hh

【解析】：由題意知4：.v—e"=e"(x—a),/2：y-e=e(x-6),

所以玉=1—1,x2=b-l,

所以a-\-b=l.

7.【答案】C

3〃(3〃T)X2

q3〃。1+-3叫+3〃(3〃-1)_9〃+3q—3

【解析工/=------2

S""("T)。nax+n(n-1)n+a{-1

na{+--------x2

2

設(shè)&=9〃+34—3=左,

可得（左一9）”+（左一3）（q_l）=0,

Snn+a1-l

k-9=0k=9

若等式對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，貝人可得＜

(^-3)(^-1)-0q=1

所以品=100.

8.【答案】D

、/?-15+、氏

【解析】：由題意知sinl8°=二一，LUsin720cos18°=cos218°=1-sin218°=.

48

9.【答案】AD

【解析】:

選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)尸（x,y）,可得x=（,軌跡為直線；

選項(xiàng)B：點(diǎn)P軌跡為圓必+口―2）2=8上的一段弧（y＞0）；

選項(xiàng)C：點(diǎn)P軌跡為線段

選項(xiàng)D：點(diǎn)尸軌跡為雙曲線，軌跡方程為1-匕=1.

3

10.【答案】ACD

【解析】：

E（X）=1.1,E（Y）=1,D（X）=1.29,D（Y）=0.6,

￡（2X+1）=2￡（X）+1=3.2,

￡＞（27+1）=4￡＞（y）=2.4.

11.【答案】ABC

【解析】：

選項(xiàng)A：/（x+2?）=/°e+2"）_eSm（x+2"）=eC°sx—esmx=/（x）,是周期函數(shù)；

選項(xiàng)B：/?！獂）==UE=_/（x）,所以函數(shù)/（x）關(guān)于點(diǎn)?中心對(duì)稱(chēng);

選項(xiàng)C：xe0,|/'(x)=—sinx/os-cosx，x=—曲'.產(chǎn)』05丘網(wǎng))<0,所以函數(shù)/(月

在區(qū)間o，T上為減函數(shù);

111

選項(xiàng)D：ecosx_,eesin%e,當(dāng)且僅當(dāng)ec°s”=e,—時(shí)方程有解，即cosx=l,sinx=—1同時(shí)

ee

7T

成立時(shí)方程有解，但x=2左乃和x=2hr—-無(wú)法同時(shí)滿足，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

2

12.【答案】ABD

【解析】：取中點(diǎn)M,則平面尸A/C,

所以/8_LPC,且/尸CM為直線尸C與平面/8C所成的角,

因?yàn)槭琈=CM,所以NPCM=45°.

故A、B選項(xiàng)正確.

在43上任取一點(diǎn)。（不同于M）,則

PQ2=PM2+QM-,

CQ2=CM2+QM2,

在△。。中，由余弦定理可得

PQ2+CQ2-PC2=2QM2>0,

所以/尸℃為銳角，故C選項(xiàng)不正確.

記〃為△48C的中心，在平面內(nèi)，過(guò)X引CW的垂線與CP的中垂線交于點(diǎn)。，則。為三棱錐尸-4BC

外接球的球心，易知CO=NMH2+CH2=也,所以三棱錐P-45。外接球表面積為20%,故選項(xiàng)D正確.

p

\

。?

MHJ

13.【答案】3

'-2一一

a-2a?b=0一一一2-2

【解析】：由題意知｛一？___2，消去。年可得2。+b=9,

4a-Aa-b-^-b=9

|—_IM2一--2/-2-2

所以6+2a-b+b=72a+b=3.

14.【答案】75

【解析】：正四棱臺(tái)體積％=；(S上+JS上.S下+S下)/?,lL=1000ml=1000cm3,代入數(shù)據(jù)可得

〃二75cm.

15.【答案】221%

【解析】：令f(x)=sinx-cos2x=2sin2x+sinx-1=(2sinx-l)(sinx+l)=0,

_/口.1_txrLLy-s-r-Ej、rn57r37r137r177r77r

可得smx二一或一1,所有的正零點(diǎn)為一，——，——，-----，------，——，…

2662662

則+%2T-------Fx26=22ITT.

16.【答案】136萬(wàn)

22222

【解析】：設(shè)。：x+y=4,C2：X+/=64,C3：(X-5)+J=3,

若圓與q,g內(nèi)切，與。2內(nèi)切時(shí)，設(shè)圓心為（加,〃），半徑為八可得

由8—外外一2可知，r=5且有兩個(gè);

同理，若圓與G，G外切，與。2內(nèi)切時(shí)，可得廠=3,且有兩個(gè);

若圓與G內(nèi)切，與G外切，與。2內(nèi)切時(shí)，可得廠=5,且有兩個(gè);

若圓與G內(nèi)切，與G外切，與。2內(nèi)切時(shí)，可得外=3,且有兩個(gè);

綜上所述，共有8個(gè)圓滿足題意，面積和為136〃.

17.解:

(1)由正弦定理可得

sin3b5

-=一,

sinCc3

又因?yàn)閏osB=^sinC，

9

3

所以tanB=—,且5為銳角,

4

34

所以sin5=—,cosB=—,

55

.Bsin51

所cri以tan—=-------——?

21+cosB3

（2）由余弦定理可知a?+<?-2accos5，

,24

所以a~---?-16=0,

5

4(3+V34)

解得a=—--------^或a=（舍去）

5

4(3+南)

故<7=一^--------

5

18.解:設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為公則

由兒=7、可得S6（，2+q6_6）=0,

所以$6=0或/=2,

所以q=—l或q6=2,

(1)因?yàn)?12=12,所以qw—1,即/=2,

所以54=幾(1+產(chǎn))=5幾=60.

(2)因?yàn)?、?,所以qw—1，即/=2,

6〃+6_i

6n+6

所以%+6=￡-=S6-q-S6=2(S6n+6-S6n)-S6<2(S6n+6-S6?

qt

^S6n+6>2S6n.

19.解：

52

(1)甲乙兩人的硬幣正面朝上的數(shù)量相同共有X(C)=252等可能的情形，

i=0

每種情形發(fā)生的概率為亍■?亍■=3y，

故甲乙兩人平局的概率Pi=——二---.

2256

(2)注意到甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同，

所以Pi+222=1,

193

進(jìn)一步解得夕2=市.

20.

(1)解：記正方形48CQ的中心為。，則所經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,

E

A

所以有所，。/,又因?yàn)镹E4F=90°,所以。￡?(?尸=0/2,

記8C的中點(diǎn)為M,連結(jié)FM,OM,則

EMLBC,FMLBC,OMLBC,

所以/EMO,/FW分別為二面角E-3C-/,尸U/的平面角,

OEOFOEOFOA2

所以tanatan/3

OMOMOM2~OM2

cos(a+/3)cosacos/3-smasin/31-tanatan/31

所以一

cos1a-/3)cosacos13+smasin/31+tan?tan/33

(2)以。為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,近方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)缶,0,0),8(0,缶,0),E(0,0,e),F(0,0,7),則|切=2〃,

——(亞)

由CP=3尸/可知尸為N。的中點(diǎn)，則P—tz,0,0,

2

\7

麗/交a,0?],FB=

2

7

2

所以當(dāng)|/|=2忖時(shí)，cos6取到最大值「

21.解：

（1）因?yàn)闄E圓r的離心率為工，

2

所以々=1_《3

a"a'4

又因?yàn)闄E圓r經(jīng)過(guò)點(diǎn)

19

所以=+==1,

a-4b2

解得/=4,b2=3,

故橢圓r的方程為工+匕=1.

43

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（/Jo）,直線的斜率為勺（z=1,2）,

則直線/]的方程為.V=左（X-X。）+外,

代入橢圓r的方程工+匕=1,

43

J_+J_=何=|U-xJ-（x0-xc）|2,；+?一；（勺…。1]

網(wǎng)+網(wǎng)-_一"（/_%）（/有一聲？1_<_<

43

因?yàn)?經(jīng)過(guò)大（—1,0）,所以為—左項(xiàng)）=左，

所以1-----[+1-------[=----------

M因