2020-2021學(xué)年上海市靜安區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020-2021學(xué)年上海市靜安區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共6小題）.

1.下列方程屬于二項方程的是（）

A.x+1=0B.V^-5=0C.x--=0D.X3-X=1

X

2.直線y=2x-1的截距是（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列方程中有實數(shù)解的方程是（）

1-x

A.x2+2x+3=0B.c.D.{+1=0

X-1X-1

4.下列關(guān)于向量的運算中，錯誤的是（）

A、a+b=b+aB.a"b=a+(-b，

c-；+（-a）=°D.a+(b+c)=(a+b)+c

5.下列說法正確的是（）

A.隨機事件發(fā)生的概率大于0且小于1

B.“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點，得到的四邊形是矩形”，這是不可能事件

C.不確定事件發(fā)生的概率為0.5

D.“取兩個非零實數(shù)，它們的積為正數(shù)”，這是必然事件

6.下列命題為假命題的是（）

A.四個內(nèi)角相等的四邊形是矩形

B.對角線的交點到各邊距離都相等的四邊形是菱形

C.一組鄰邊相等的矩形是正方形

D.兩組鄰邊分別相等的四邊形是平行四邊形

二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.（42）3=.

8.已知一次函數(shù)），=（k-1）x+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么常數(shù)k的取值范圍

是.

9.函數(shù)yT=的定義域是_______.

7x-1

10.方程Jx+4=2-x的根是.

11.已知方程9+T—=2%-2,如果設(shè)y=/-2x,那么原方程可化為關(guān)于y的方程，該

x-2x

方程是.

12.已知一次函數(shù)y=^+6的圖象如圖所示，當(dāng)x<l時，y的取值范圍是

13.現(xiàn)有分別畫有等邊三角形、正方形、平行四邊形、等腰梯形的四張相同的卡片，從中任

選兩張，選出的卡片上的圖形恰好同為中心對稱圖形的概率是.

14.某市某年的綠化面積是20萬畝，第二、三年的年增長率相同.已知第三年的綠化面積

達到了25萬畝，求第三年的年增長率，如果設(shè)該年增長率為x,那么可列關(guān)于x的方

程：.

15.如果從多邊形的一個頂點出發(fā)，共可畫出兩條對角線，那么這個多邊形的內(nèi)角和是

度.

16.在等腰梯形ABCQ中，AD//BC,/B=/C=30°,AD的長為3,高A”的長為

那么梯形的中位線長為.

17.過平行四邊形ABCD的對角線交點。作直線/,分別交直線AB、CD于點E、F,AE=

3A8,如果AB=a,那么。尸的長是.（用含有a的代數(shù)式表示）

18.如圖，在四邊形A3C。中，NA=NB=90°,AD//BC,JiAD>BC,AB=BC=\0,

點P在BC邊上，點B關(guān)于直線AP的對稱點為°,C。的延長線交邊于點R,如果

AR=CP,那么線段AP的長為.

三、解答題（本大題共8題，滿分66分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙上】

19.

解方程：a匚擊一裊.

x2-2xy+y2=4

20.解方程組:

2

x+xy-x=0

21.一輛汽車在某次行駛過程中，油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是

一次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)汽車加滿油后，行駛120千米時，油箱中還剩油40升；行駛180千米

時，油箱中還剩油35升.

(1)求出y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為10升時，該車儀表盤會亮燈提示加油.在距離出發(fā)點

500千米處有一加油站，該車在加滿油后,請判斷司機能否在亮燈提示前行駛至此加油站，

并說明理由.

22.如圖，點E、尸在平行四邊形A8CZ)的對角線上，且設(shè)前=：BA=b)

EC=c.

(1)試用向量Z、b'3表示下列向量：AC_，BE

=-----------------，F(xiàn)B=-----------------；

(2)求作：＞b-c.(請在原圖上作圖，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法)

23.我國水資源人均占有量遠低于世界平均水平.某小區(qū)居民響應(yīng)號召節(jié)約用水，現(xiàn)在日均

用水量比原來減少了3噸，300噸的水比原來400噸還可多用10天，求該小區(qū)原日均用

水量多少噸.

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點A(2,加)和點8(6,2)同在一個反比例函數(shù)的圖象上.

(1)求直線AB的表達式；

(2)求△AOB的面積及點A到OB的距離AH.

25.已知：如圖，四邊形ABCQ的對角線AC、80相交于點O,AO=BO=CO,ZBAC=

ZACD.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)如果點E在邊A8上，OE平分NAC8,揚B,求證：BD=AD+AE.

26.已知：如圖，平行四邊形A8CD中，AB=5,BD=8,點E、F分別在邊8C、CD1.(點

E、F與平行四邊形A8C。的頂點不重合)，CE=CF,AE=AF.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)設(shè)BE=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)如果AE=5,點P在直線AF上，ZVIBP是以A8為腰的等腰三角形，那么△ABP

的底邊長為.(請將答案直接填寫在空格內(nèi))

備用圖

參考答案

一、選擇題（本大題共6題，每題3分，滿分18分）【每題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)位

置填涂】

1.下列方程屬于二項方程的是（）

A.x+1=0B.V^-5=0C.x--=0D.x3-x=\

x

解：8選項未知數(shù)x的次數(shù)不是正整數(shù)，所以不符合.

C選項除了含有x的1次項還含有-1次項，所以不符合.

。選項除了常數(shù)項以外，含有x的3次項和1次項，所以不符合.

根據(jù)定義可以判斷x+l=0是符合的，「A.

2.直線y=2r-1的截距是（）

A.1B.-1C.2D.-2

解：當(dāng)x=0時，y=2x-1=-1,

???直線y=2x-1的截距為-1.

故選：B.

3.下列方程中有實數(shù)解的方程是（）

A.x2+2x+3=0B.\[x=xC.1_xD.+1=0

x-lxTVx

解：A.N+2/3=0,

△=22-4X1X3=-8<0,

所以方程無實數(shù)解，故本選項不符合題

B.

.*.x=x2,

Ax2-x=0,

Ax（x-1）=0,

解得：x=0或1,

經(jīng)檢驗x=0或1都是原方程的解，即方程有實數(shù)解，所以方程有實數(shù)解，故本選項符合

題意；

X-1X-1

去分母，得1=X,

即x=1,

當(dāng)x=l時，x-1=0,所以尤=1是增根，

即原方程無實數(shù)根，故本選項不符合題意；

D.?.?4+1=0,

Vx="L

...方程無解（算術(shù)平方根是非負數(shù)），即方程無實數(shù)解，故本選項不符合題意；

故選：B.

4.下列關(guān)于向量的運算中，錯誤的是（）

A.a+b=b+aB.（-百

C-a+（-a，D.a+（b+C）=（a+b）+c

解：A、正確，本選項不符合題意.

B、a-b=a+<-b）-正確，本選項不符合題意.

C,>（-a）=0,錯誤應(yīng)該等于用，本選項符合題意?

D、之+（5+^）=（之+4）+%本選項不符合題意?

故選：C.

5.下列說法正確的是（）

A.隨機事件發(fā)生的概率大于0且小于1

B.“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點，得到的四邊形是矩形”，這是不可能事件

C.不確定事件發(fā)生的概率為0.5

D.“取兩個非零實數(shù)，它們的積為正數(shù)”，這是必然事件

解：A、隨機事件發(fā)生的概率大于0,小于1,故本選項正確，符合題意；

8、“順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點，得到的四邊形不能確定”，這是隨機事件，故本選

項錯誤，不符合題意；

C、不確定事件發(fā)生的概率為大于0且小于1,故本選項錯誤，不符合題意；

。、“取兩個非零實數(shù)，它們的積為正數(shù)”，這是隨機事件，故本選項錯誤，不符合題意;

故選：A.

6.下列命題為假命題的是（）

A.四個內(nèi)角相等的四邊形是矩形

B.對角線的交點到各邊距離都相等的四邊形是菱形

C.一組鄰邊相等的矩形是正方形

D.兩組鄰邊分別相等的四邊形是平行四邊形

解：A、四個內(nèi)角相等的四邊形是矩形，正確，是真命題，不符合題意；

8、對角線的交點到各邊距離都相等的四邊形是菱形，正確，是真命題，不符合題意;

C、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，是真命題，不符合題意：

。、兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，符合題意，

故選：D.

二、填空題(本大題共12題，每題3分，滿分36分)【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】

7.(a2)3=.

解：原式=。6.

故答案為a6.

8.已知一次函數(shù)y=(&-1)x+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，那么常數(shù)&的取值范圍是

k>l.

解：?.?一次函數(shù)y=(Jl-1)x+1(%為常數(shù)，2#0)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，

：.k-l>0.

解得：k>l,

故答案為：

9.函數(shù)的定義域是x>l

解：根據(jù)題意得到：X-1>0,

解得

10.方程力x+4=2-x的根是4=0

解：Nx+4=2-x,

兩邊平方，得x+4=(2-x)2,

整理得：N-5x=0,

解得：4=0或5,

經(jīng)檢驗x=0是原方程的解，x=5不是原方程的解,

故答案為：x=0.

11.已知方程/+T-=2%-2,如果設(shè)y=/-2x,那么原方程可化為關(guān)于y的方程，該

x-2x

方程是)2+2y+1=0.

解：方程N+―J=2x-2,即方程N-2x+—J+2=0,

x-2xx-2x

設(shè)y=x2-2x,則T—原方程可變?yōu)椋?/p>

x-2xy

y+-^-+2=0,

y

去分母得，盧2>1=0,

故答案為：產(chǎn)+2)，+1=0.

12.已知一次函數(shù)>=履+。的圖象如圖所示，當(dāng)xVl時，y的取值范圍是yV-2.

解：一次函數(shù)丁="+。的圖象與y軸交于點(0,-4),

.\b=-4,與x軸點(2,0),

???0=2女-4,

：.k=2,

.\y=kx+b=2x-4,

??.x=(y+4)4-2<l,

Ay<-2.

故答案為yV-2.

13.現(xiàn)有分別畫有等邊三角形、正方形、平行四邊形、等腰梯形的四張相同的卡片，從中任

選兩張，選出的卡片上的圖形恰好同為中心對稱圖形的概率是4-

一6一

解：等邊三角形、正方形、平行四邊形、等腰梯形分別用1、2、3、4表示，

列表如下：

1234

1---(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)---(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)---(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)---

所有等可能情況數(shù)為12種，其中兩張卡片上圖形都是中心對稱圖形的有2種,

貝(1P兩個都為中心對稱

126

故答案為：1■.

6

14.某市某年的綠化面積是20萬畝，第二、三年的年增長率相同.已知第三年的綠化面積

達到了25萬畝，求第三年的年增長率，如果設(shè)該年增長率為x,那么可列關(guān)于x的方程：

20(l+x)2=25..

解：設(shè)每年增長率為x,則第二年綠化面積20(1+x)萬畝，第三年綠化面積20(1+x)2

萬畝，

根據(jù)題意得出：20(l+x)『25.

故答案為：20(1+x)2=25.

15.如果從多邊形的一個頂點出發(fā)，共可畫出兩條對角線,那么這個多邊形的內(nèi)角和是J40

度.

解：多邊形的邊數(shù)是2+3=5,

則內(nèi)角和是(5-2)X180=540".

故答案是：540.

16.在等腰梯形ABCO中，AD//BC,NB=/C=30°,的長為3,高A”的長為

那么梯形的中位線長為6.

解：過點。作。于G,

；AH_LBC,

J.AH//DG,

?JAD//BC,

：.四邊形AHGD為平行四邊形,

?：DGA.BC,

平行四邊形AHGO為矩形，

：.HG=AD=3,

在RtZ\4B”中，NB=30°,AH=?,

:.AB=2AH=2M，

由勾股定理得：^=VAB2-AH2=7(2V3)2-(^3)2=3>

同理可得：GC=3,

：.BC=BH+HG+GC=9,

.?.梯形的中位線長=界(3+9)=6,

17.過平行四邊形ABC。的對角線交點O作直線/,分別交直線A3、CO于點E、F,AE=

3AB,如果48=“，那么。尸的長是44或2a.(用含有a的代數(shù)式表示)

解：分兩種情況：

①如圖1所示，當(dāng)點E在區(qū)4的延長線上時，AE=3AB=3a,

：.BE=AB+AE=4a,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

.?.80=。。，AB//CD,

二ZE=NF,

在△BOE和△OO尸中，

2E=NF

<NBOE=NDOF，

BO=DO

:.△BOE'^XDOF(A45),

；?DF=BE=4a；

DC

②如圖2所示，當(dāng)點E在AB的延長線上時，AE=3AB=3a,

：.BE=AE-AB=2a,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BO=DO,AB//CD,

：.NE=NF,

在△BOE和△。0尸中，

2E=NF

<ZB0E=ZD0F-

BO=DO

：.^\BOE^/\DOF(A45),

:.DF=BE=2a；

圖2

綜上所述，D尸的長為4a或2”.

故答案為：4a或2a.

18.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD//BC,JiAD>BC,AB=BC=\0,

點尸在8c邊上，點8關(guān)于直線AP的對稱點為。，CQ的延長線交邊AD于點凡如果

AR=CP,那么線段4P的長為二娓

,.?PC=AH,PC//AR,

???四邊形APCR是平行四邊形,

:.AP//CR9

?:B,。關(guān)于AP對稱,

???OB=OQ,

:?BP=CP=5,

在中，ZABP=90°,AB=10,BP=5,

AP=VAB2+BP2=V102+52=58

故答案為：5娓.

三、解答題（本大題共8題，滿分66分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙上】

914x

19.解方程：-4-+l=—------f.

x-2x+24-x”

4x一

解：原方程化為:

x-2x+2(x+2)(x-2)

方程兩邊都乘以Cr+2)(x-2),得2(x+2)+(x+2)(x-2)=x-2+4x,

整理，得N-3X+2=0,

解得：xi=2,xi=1,

經(jīng)檢驗加=2是增根，舍去，X2=l是原方程的解,

所以原方程的解是x=L

x2-2xy+y2=4

20.解方程組：，

2

x+xy-x=0

解：先對方程①進行因式分解得:

(x-y)』4,

(x-y)2-4=0,

(x-y)2-22=0,

(x-y+2)(x-y-2)=0,

'.x-y+2=0或x-y-2=0.

由方程②得:

xCx+y-1)=0,

Ax=0或x+y-1=0.

???所以原方程轉(zhuǎn)化為:

x-y+2=0或者’~-2=0或者卜-y+2=0或者卜-y-2+0

x=0Ix=0Ix+y-l=0[x+y-l=0

(x=0

所以原方程組的解:或者《或者，

ly=-2_3_i

*y至

21.一輛汽車在某次行駛過程中，油箱中的剩余油量y（升）與行駛路程x（千米）之間是

一次函數(shù)關(guān)系.當(dāng)汽車加滿油后，行駛120千米時，油箱中還剩油40升；行駛180千米

時,油箱中還剩油35升.

（1）求出y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）已知當(dāng)油箱中的剩余油量為10升時，該車儀表盤會亮燈提示加油.在距離出發(fā)點

500千米處有一加油站，該車在加滿油后,請判斷司機能否在亮燈提示前行駛至此加油站,

并說明理由.

解：1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=Ax+b（%#0）,根據(jù)題意得：

（120k+b=40

1180k+b=35

'，一1

解得｛k~l2,

b=50

^-x+50（0<xW600）；

（2）不能在亮燈提示前行駛至此加油站，理由如下：

當(dāng)）'=1°時，—^-x+50=10>

解得x=480,

即當(dāng)油箱中的剩余油量為10升時，該車行駛路程為480千米，

因為480V500,所以該車在加滿油后，不能在亮燈提示前行駛至此加油站.

22.如圖，點E、尸在平行四邊形ABCO的對角線8。上，且EB=F￡>,設(shè)前=:以=高

EC=c-

⑴試用向量；、芯、3表示下列向量：AC=-a-b--BE=_a^c->FB=--c^

b-：

（2）求作：a+1-c-（請在原圖上作圖，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法）

解：（1）如圖，設(shè)AC交8。于點O.

西邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

?；BE=DF,

：.OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

：.EC=AF,AF//EC,

?■?AC=AB+BC=a-b'

?,保=友+赤D

-'?FB=FA+AB=-c-b-

故答案為：a"b'a-c--c-b-

（2）如圖，作CT//EB,HCT=BE,連接BT,DT,則五即為所求.

23.我國水資源人均占有量遠低于世界平均水平.某小區(qū)居民響應(yīng)號召節(jié)約用水，現(xiàn)在日均

用水量比原來減少了3噸，300噸的水比原來400噸還可多用10天，求該小區(qū)原日均用

水量多少噸.

解：設(shè)該小區(qū)原日均用水量為x噸，則現(xiàn)在日均用水量為(x-3)噸，

根據(jù)題意得：^---=10,

x-3x

解得：x=8或》=-15(舍去)，

經(jīng)檢驗x=8是原方程的解，

答：該小區(qū)原日均用水量為8噸.

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面中，點A(2,w)和點8(6,2)同在一個反比例函數(shù)的圖象上.

(1)求直線AB的表達式；

(2)求△AOB的面積及點A到OB的距離AH.

?.?點4(2,機)和點8(6,2)在y=K的圖象上

X

:?2=2"2=6X2

解得m=6f,

??.點A的坐標(biāo)為(2,6),

設(shè)直線AB的表達式為y=ax+Z?,

2a+b=6

把A(2,6)和B(6,2)代入得

6a+b=2‘

a=-l

解得

b=8

直線A8的表達式為)，=-x+8；

(2)設(shè)直線4B與x軸的交點為C,

在直線AB為y=-x+8中，令y=0,則x=8,

：.C(8,0),

二SAAOB=SAAOC-5ABOC=yX8X6-yX8X2=16.

'：B(6,2),

~VB2+22=2，/10,

?"△'。8=微。2乂H=16,

25.已知：如圖，四邊形ABC￡>的對角線AC、相交于點O,AO=BO=CO,/BAC=

ZACD.

(1)求證：四邊形ABC。是矩形；

(2)如果點E在邊AB上，￡>E平分NADB,80=揚B,求證：BD=AD+AE.

【解答】證明：(1)在△AOS和△C。。中,

'ZBAO=ZOCD

<AO=CO，

ZAOB=ZCOD

?'△AO哈△COO(ASA),

:?BO=DO,

,.?AO=CO,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

■:AO=BO=CO,BO=DO,

：.AO=BO=CO=DOf

：.AC=BD,

???平行四邊形ABC。是矩形；

(2)過點七作后尸，8。于F,如圖所示:

由(1)得：四邊形A3CO是矩形，

：.ZBAD=90°,

???△A8。是等腰直角三角形，

AZABD=45°,

VEF1BD,

：.ZEFB=ZEFD=90°,

???△BE尸是等腰直角三角形，

:.FE=FB,

???￡>￡平分N4O8,

???/ADE=NFDE,

在△4￡>￡和△尸。E中，

'ZEAD=ZEFD=90°

<ZADE=ZFDE，

DE=DE

???△ADE出AFDE(A4S),

：.AD=FDfAE=FE,

：.AE=FB,

?：BD=FD+FB,

：.BD=AD+AE.

26.已知：如圖，平行四邊形A8CZ）中，A2=5,BD=8,點E、F分別在邊8C、CD±（點

E、廠與平行四邊形A8C。的頂點不重合），CE=CF,AE=AF.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）設(shè)BE=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）如果AE=5,點P在直線AF上，ZXABP是以A8為腰的等腰三角形，那么AABP

的底邊長為8或芋或6.（請將答案直接填寫在空格內(nèi)）

5

9

\AE=AF,CE=CF,AC=ACf

：./\ACE^/\ACFCSSS),

???ZACE=ZACFf

即NAC8=NACO；

*/四邊形ABCD是平行四邊