2024高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)回顧（解析版）

集合運(yùn)算時(shí)要根據(jù)代表元素注意區(qū)分集合的形式如：—函數(shù)的定義域；—函數(shù)的值域；—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.已知集合、元素間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，注意驗(yàn)證集合元素的互異性如：已知集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】依題意，，若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），綜上所述，或.故選：B3.條件為，在討論的時(shí)候不要遺忘了的情況如：已知全集為，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，解得：，所以，，所以，，所以，則當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：．綜上：或．故答案為：或．.4.已知集合中有n個(gè)元素，如何確定子集、真子集的個(gè)數(shù)？（子集2n,真子集2n-1個(gè)）如：已知集合，那么的真子集有個(gè)．【答案】3【詳解】，所以的真子集有個(gè).故答案為：35.如何判斷充分必要條件？定義法、集合法、圖示法.如：寫出“成立”的一個(gè)必要而不充分條件_____（答：比范圍大即可）6.會(huì)寫全稱命題、特稱命題的否定嗎？轉(zhuǎn)換量詞否定結(jié)論7.利用基本不等式求最值的三個(gè)條件是什么？一正二定三相等8.利用基本不等式求最值的常見模型有哪些？(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（5）模型五：“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.如：（2024廣東廣州模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=xy，則2xy?2x?y的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【解答】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足2x+y=xy，所以1x則2xy?2x?y=2x+y=2x+y當(dāng)且僅當(dāng)y=2x且1x+2y=1故選：C.判斷函數(shù)是否相同的三要素是什么？定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域函數(shù)的定義域一定要寫成集合或區(qū)間形式還知道嗎？如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？如：若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開____（答：）一定要在函數(shù)的定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，多個(gè)單調(diào)區(qū)間不能用連接還記得嗎？關(guān)于單調(diào)性的常用結(jié)論還知道嗎？（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．（2）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．（3）函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．5、已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，要注意什么？每段的單調(diào)性和分段處函數(shù)值的大小關(guān)系如：已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)5）圖像的對(duì)稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是．故選:B．6、奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一必要條件還記得嗎？7、已知函數(shù)的奇偶性如何求參數(shù)？特殊值法、定義法.如（2024·甘肅蘭州·三模）若函數(shù)fx=x+1x+axA．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】B【詳解】由題意可得，x≠0，f(?x)=?f(x)，∴(?x+1)(?x+a)?x整理可得，2(a+1)x=0對(duì)任意x≠0都成立，∴a+1=0，∴a=?1.故選：B.8、常見奇偶性函數(shù)模型有哪些？(1)奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．(2)偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù).9、函數(shù)的周期性常用結(jié)論(a是不為0的常數(shù))(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；(4)若f(x+a)=，則T=2a；(5)若f(x+a)=，則T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，則T=|a-b|(a≠b);10、對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(b-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)+f(b-x)=c，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.11、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(2)若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；(3)若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.如（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有fx+1=f1?x，當(dāng)f?3A．2 B．?2 C．0 D．?4【答案】A【詳解】定義在R上的函數(shù)fx是奇函數(shù)，且對(duì)任意x∈R都有f故函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴fx=f∴fx=?f2+x則f2023故選：A．12.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：賦值求值、探究性質(zhì)、構(gòu)造特殊函數(shù)13.借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究中常見的函數(shù)模型有哪些？①正比例函數(shù)型：---------------；②冪函數(shù)型：--------------，；③指數(shù)函數(shù)型：----------，；④對(duì)數(shù)函數(shù)型：---，；⑤三角函數(shù)型：-----。14.恒成立問題的求解策略有哪些？分離參數(shù)法；最值法；化為一次或二次方程根的分布問題.如：（1）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是__（答：）（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答;m<1）15.有解問題的求解策略呢？，使得a≥f(x)成立a≥[f(x)]min,;，使得a≤f(x)成立a≤[f(x)]max;如：已知函數(shù)，，函數(shù)，．若對(duì)任意，總存在，使成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是（答：）導(dǎo)數(shù)的定義式你知道嗎？導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義、物理意義、幾何意義分別是什么？如：一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為_____（答：5米/秒）求導(dǎo)公式和法則是知道哪些？①常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。②導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：；；如何區(qū)分在P點(diǎn)的切線和過P點(diǎn)的切線？如何求兩個(gè)曲線的公切線？如（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.故選：C利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要注意什么？注意定義域，寫成區(qū)間，不能取并含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在討論時(shí)要注意幾方面：系數(shù)正負(fù)、根的存在性（是否有根，根是否在定義域）和根的大小關(guān)系。如何求函數(shù)的極值？已知函數(shù)的極值求參數(shù)要注意什么？要檢驗(yàn)是否滿足，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)如：函數(shù)處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本策略是什么？如（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，．若，則，在上單調(diào)遞減：若，則由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法1，當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以，從而．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即；方法2：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，從而，令，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)?shù)忍?hào)成立；所以，當(dāng)時(shí)，，即.什么是極值點(diǎn)偏移和隱零點(diǎn)問題？如隱零點(diǎn)問題：證明：．證明：令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在存在唯一?shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)?，即，故，所以．處理?shù)列中的最值問題的基本策略有哪些？數(shù)列單調(diào)性法（2）不等式法（3）分類討論：含有按奇偶數(shù)討論（4）函數(shù)法（5）找變號(hào)項(xiàng)（等差數(shù)列和的最值問題）如：（1）在數(shù)列{an}中，an=(n+1)7A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)【答案】AB

（2）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2n－15)，其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別為()A．1，－eq\f(1,7)B．0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7)D．1，－eq\f(1,11)答案A解析因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)1≤n≤3時(shí)，an＝eq\f(1,2n－15)<0，且單調(diào)遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，an＝eq\f(1,2n－15)>0，且單調(diào)遞減，所以最小項(xiàng)為a3＝eq\f(1,8－15)＝－eq\f(1,7)，最大項(xiàng)為a4＝eq\f(1,16－15)＝1.如何證明等差、等比數(shù)列？等比數(shù)列基本量計(jì)算中要注意是同號(hào)的。如：等比數(shù)列中，求等差、等比數(shù)列常用的性質(zhì)有哪些？（1）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）；（2）若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），則ak＋al＝am＋an；（3）若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差為md的等差數(shù)列；（4）數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，公差為m2d.（2）等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm(k，m∈N*)．(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．(4)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)求通項(xiàng)公式的常見題型及解題策略有哪些？累加法（2）累乘法（3）已知求：兩大步一小結(jié)（4）已知求：轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的關(guān)系或和的關(guān)系，注意一定要判斷遞推關(guān)系是否到首項(xiàng)?。。。。?）構(gòu)造法數(shù)列的求和有哪些基本方法？每種方法適用于什么樣的題型？（1）裂項(xiàng)相消法（分式型和根式型）（2）錯(cuò)位相減（差比數(shù)列）（3）并項(xiàng)法（前后項(xiàng)的和為常數(shù)或特殊數(shù)列）（4）倒序相減（首尾等距的兩項(xiàng)和為常數(shù)或特殊數(shù)列）7.分段數(shù)列求和的基本策略是什么？注意奇偶數(shù)的討論，復(fù)雜問題可列一列看一看，先求n為偶數(shù)的情況，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求則不用討論。設(shè)是等差數(shù)列，是公比大于0的等比數(shù)列，已知，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，且．依題意得，解得，所以或．又因?yàn)?，所以，所以，故，．?），．空間幾何體空間幾何體的體積、面積公式記得嗎？圓臺(tái)的側(cè)面積公式是什么？體積公式是什么？表面積與側(cè)面積的區(qū)別是什么？如：（2024·廣東·二模）某圓臺(tái)上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為2，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，高為h，因?yàn)閳A臺(tái)上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，母線，因此圓臺(tái)的高為，所以圓臺(tái)的體積為.故選：A2、外接球、內(nèi)切球問題(1)長(zhǎng)方體的外接球的直徑為體對(duì)角線，正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)．(2)正四面體的外接球、內(nèi)切球球心重合，且在垂線上，R外接球∶r內(nèi)切球＝3∶1.(3)直棱柱的外接球球心為上、下底面的外心連線的中點(diǎn)．(4)棱錐中若有三條側(cè)棱兩兩垂直，一般補(bǔ)成長(zhǎng)方體．(5)棱錐中若有一條側(cè)棱垂直于底面，一般補(bǔ)成直棱柱，如圖①②.(6)三棱錐中，若對(duì)棱相等，一般補(bǔ)成長(zhǎng)方體，使三棱錐的棱為面對(duì)角線．(7)棱錐中若沒有側(cè)棱垂直于底面，一般找兩個(gè)面，再找這兩個(gè)面的外心，過外心作面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為外接球球心．【注意】旋轉(zhuǎn)體的外接、內(nèi)切問題一般畫軸截面進(jìn)行分析.如：在三棱錐中，平面，，為邊長(zhǎng)等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】易知的外接圓的半徑為1，將三棱錐補(bǔ)形為一個(gè)直三棱柱，如圖，分別是上下底的外心，則的中點(diǎn)是外接球的球心，由題設(shè)，易得底面外接圓半徑，，則，即外接球的半徑為，其外接球的表面積是.3．直觀圖與斜二測(cè)畫法任何一個(gè)平面圖形的面積S與它的斜二測(cè)畫法得到的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系為S′＝eq\f(\r(2),4)S.二、空間位置關(guān)系的證明：平行關(guān)系的證明線面平行的證明：思路一：線面平行的判定定理思路二：面面平行的性質(zhì)定理：即構(gòu)造一個(gè)包含該直線的平面，先證面面平行，再證線面平行.思路三：坐標(biāo)法線線平行的證明：思路一：線面平行的性質(zhì)定理思路二：平行公理注：經(jīng)常出現(xiàn)的結(jié)論和定理：（1）垂直于同一平面的兩直線平行；（2）兩平行平面與第三個(gè)平面相交，則交線平行.垂直關(guān)系的證明線面垂直的證明：思路1：線面垂直的判定定理思路2：面面平行的性質(zhì)定理.線線垂直：線面垂直的性質(zhì)定理和勾股定理（涉及長(zhǎng)度關(guān)系的相交直線）面面垂直：面面垂直的判定定理注：能直接建系也可以用向量法證明3.如何建系求坐標(biāo)建系三原則：重合性原則、對(duì)稱性原則和右手系原則注：必須先證垂直關(guān)系再建系4、求點(diǎn)的坐標(biāo)（1）直接法：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)記憶：“在哪哪非零，其他都為零”．空間點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)初始點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)對(duì)稱軸(平面)x軸上y軸上z軸上Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)(x，y，－z)(－x，y，z)(x，－y，z)記憶“關(guān)于誰對(duì)稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”．空間點(diǎn)在坐標(biāo)平面投影點(diǎn)的坐標(biāo)初始點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)坐標(biāo)平面Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)投影點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)記憶“投影到哪哪不變，第三個(gè)坐標(biāo)為零”．用法：以上規(guī)律一般逆用，在寫空間中點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先寫坐標(biāo)平面內(nèi)的投影點(diǎn)的坐標(biāo)，再確定第三個(gè)坐標(biāo)，而第三個(gè)坐標(biāo)為該點(diǎn)到該坐標(biāo)平面的距離．如在棱長(zhǎng)為1的正方體中的點(diǎn)B1，在Oxy平面內(nèi)的投影為B，而B(1，1，0)，則B1(1，1，1)．（2）公式法：涉及到中點(diǎn)或重心的點(diǎn)的坐標(biāo)，可直接利用公式求解：若點(diǎn)Ax1,y1三角形ABC的重心(x（3）根據(jù)向量關(guān)系向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，兩用向量之間的相等、平行、垂直等關(guān)系求解．待定系數(shù)法類型1：當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，可直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)再根據(jù)條件求解類型2：當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，用一個(gè)變量就可以表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，如，再根據(jù)向量相等表示出點(diǎn)的坐標(biāo)或直接利用向量的線性運(yùn)算求出所需向量的坐標(biāo)．三角函數(shù)法當(dāng)知道OP與坐標(biāo)軸的夾角時(shí)，可以利用三角函數(shù)的知識(shí)求出P點(diǎn)坐標(biāo)注：“與哪個(gè)軸的夾角已知，該軸上的坐標(biāo)就是該點(diǎn)與原點(diǎn)的距離與夾角的余弦的乘積，另一個(gè)軸上的坐標(biāo)就是該點(diǎn)與原點(diǎn)的距離與夾角的正弦的乘積，第三個(gè)軸上的坐標(biāo)為零”．5.空間角與距離的計(jì)算公式（1）異面直線所成的角：已知兩條直線的方向向量分別為：，異面直線所成的角為，則（2）直線與平面所成的角：已知直線的方向向量和平面的法向量分別為：，，直線與平面所成角為，則（3）點(diǎn)到平面的距離已知平面的法向量為，則（4）.二面角：已知兩個(gè)半平面的法向量分別為：，銳二平面角為，則（5）點(diǎn)到線的距離公式1.扇形的弧長(zhǎng)和面積在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為αrad，那么|α|＝eq\f(l,r).相關(guān)公式：(1)l＝|α|r.(2)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.任意角的三角函數(shù)的定義是什么？同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式還記得嗎？注意：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式求值時(shí)，不要忽視角的范圍，要先判斷函數(shù)值的符號(hào)．三角變換涉及到的公式有哪些？變換的基本策略是什么？能寫出二倍角公式及其變形嗎？cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，降冪公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)有哪些？注意：（1）在求三角函數(shù)的值域(或最值)時(shí)，不要忽略x的取值范圍．（2）求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號(hào)，當(dāng)ω<0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解．如何進(jìn)行三角函數(shù)圖像的變換？三角函數(shù)圖象變換中，注意由y＝sinωx的圖象變換得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象時(shí)，平移量為，而不是φ.如何根據(jù)圖像求函數(shù)的解析式？三角函數(shù)根據(jù)單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的基本策略是什么？如（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是，．【解答】解：，，函數(shù)的周期為，，可得，函數(shù)在區(qū)間，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，可得，所以．故答案為：，．利用正弦定理解三角形時(shí)如何判斷解的個(gè)數(shù)？大邊對(duì)大角以及正弦值的范圍如：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則（）【答案】A中，已知，，.（角對(duì)邊型）（1）若恰有一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）若有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）若無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；【答案】（1）（2）（3）解三角形中的“三線”問題的處理策略是什么？中線或比例端點(diǎn)的處理策略：如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB，AC，及∠A，求中線AD長(zhǎng)． 策略一：如圖，倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等,再用余弦定理即可策略二：向量法，,等式兩邊再進(jìn)行平方策略三：兩次余弦定理，鄰補(bǔ)角余弦值為相反數(shù)，即補(bǔ)充：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“”也適用，此時(shí)需要倍長(zhǎng)等分線構(gòu)造相似角平分線問題的處理策略：△ABC中，AD平分∠BAC.

策略一：角平分線定理：策略二：利用兩個(gè)小三角形面積和等于大三角形面積處理S?策略三：角互補(bǔ)：∠ABD+∠ADC=π?cos解三角形中的范圍問題如何求解？在銳角中，，，(1)求角A；(2)求的周長(zhǎng)l的范圍.【詳解】（1）∵，，所以，所以，因?yàn)椋?，，所?（2），所以,所以，，所以,因?yàn)槭卿J角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.直線方程的五種形式和使用環(huán)境是什么？直線方程的五種形式(1)點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)(直線過點(diǎn)P0(x0，y0)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(3)兩點(diǎn)式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)．(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)．如：（1）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是【答案】或（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)（-2，3），且原點(diǎn)到直線l的距離是2，直線l的方程2.如何判斷兩條直線的位置關(guān)系？(1)當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率都存在時(shí)：①兩直線平行：l1∥l2?k1＝k2.②兩直線垂直：l1⊥l2?k1k2＝－1.提醒當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略．(2)直線方程一般式是Ax＋By＋C＝0.①若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－B1A2＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．②若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.提醒無論直線的斜率是否存在，上式均成立，但平行求參數(shù)時(shí)一定檢驗(yàn)是否重合！?。。纾喝糁本€與直線垂直，則的值為（）或-3【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線不存在，故舍去；當(dāng)時(shí)，滿足題意，故選.【答案】3.點(diǎn)到直線的距離公式是什么？(1)點(diǎn)到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．(2)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0))．提醒應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．直線與圓的位置關(guān)系有幾種？如：已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓心為，半徑為，由直線與圓相離，可知圓心到直線的距離，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選.【提醒】二元二次方程對(duì)應(yīng)的軌跡為圓是有條件的，滿足，即圓的半徑大于0.求過某點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)要注意什么？點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定切線條數(shù)，勿忘斜率不存在的情況。注意：圓的切線方程，切線長(zhǎng)公式，切點(diǎn)弦方程，直線和圓相交的弦長(zhǎng)，與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)直線與圓關(guān)系,常化為線心距與半徑關(guān)系，如：用垂徑定理,構(gòu)造Rt△解決弦長(zhǎng)問題，過圓x2+y2=r2上點(diǎn)P(x0,y0)的切線為:x0x+y0y=r2;過圓x2+y2=r2外點(diǎn)P(x0,y0)作切線后切點(diǎn)弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點(diǎn)作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直x軸.圓錐曲線的定義知道是什么嗎？三種圓錐曲線定義中的限制條件各是什么？橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式還記得嗎？如：已知橢圓上有一點(diǎn)分別為左、右焦點(diǎn)，的面積為，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．面積的最大值為 D．若為鈍角三角形，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于橢圓，設(shè)，，，則，由此可得…①，所以的面積.對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由①知（當(dāng)且僅當(dāng)即點(diǎn)是短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），所以，因此不可能是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)為短軸的端點(diǎn)時(shí)，面積的最大值為，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：由以上分析可知，不可能是鈍角，由對(duì)稱性不妨設(shè)是鈍角.先考慮臨界情況，當(dāng)時(shí)，易得，此時(shí)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)是鈍角時(shí)，故D正確；故選：ACD.拋物線的焦點(diǎn)弦常用性質(zhì)你知道多少？設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，且y1>0>y2，則(1)焦半徑|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα).(2)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(3)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).(4)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).(5)以弦AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切．(6)S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O為拋物線的頂點(diǎn))．如：已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則，所以，所以，由拋物線定義可得，，所以，解得，故A正確．選項(xiàng)B：由A得拋物線的方程為，，直線的方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線的方程并化簡(jiǎn)，得，得或，所以，故，故，B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：由，，得，故C正確．選項(xiàng)D：由上知，得，故，故D正確．故選：ACD9.圓錐曲線在審題時(shí)的關(guān)鍵是什么？（1）圓錐曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？（不要受慣性思維影響默認(rèn)焦點(diǎn)在x軸）（2）動(dòng)點(diǎn)的變化誰起決定性因素？10.如何求動(dòng)點(diǎn)的軌跡：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參法注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).11.如何處理圓錐曲線中“定”的問題：圓錐曲線中的“定”問題常有以下類題型：題型1：定值問題——解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．定值問題的解法：選好參數(shù)，求出題目所需的代數(shù)表達(dá)式，然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行直接推理、計(jì)算，并在推理計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定值．這種方法可簡(jiǎn)記為：一選（選好參變量）、二求（對(duì)運(yùn)算能力要求頗高）、三定值（確定定值）．題型2：定點(diǎn)問題——解析幾何中直線過定點(diǎn)或曲線過定點(diǎn)問題是指不論直線和曲線（中的參數(shù)）如何變化，直線和曲線都經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)．定點(diǎn)問題的三種解法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再進(jìn)行一般性的證明．二是設(shè)出直線方程y=kx+b，再根據(jù)條件尋找k,b的關(guān)系；三是根據(jù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程，根據(jù)直線方程判斷所過定點(diǎn)（此時(shí)可利用恒成立求解或結(jié)合對(duì)稱性判斷出定點(diǎn)位置，進(jìn)而求出）.題型3：定直線問題——對(duì)于求證某個(gè)點(diǎn)不管如何變化，始終在某條直線上的題目，其本質(zhì)就是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．12、設(shè)點(diǎn)斜式要討論！?。?！何時(shí)何地、何情何景都需要13、聯(lián)立方程要看二次項(xiàng)系數(shù)和判別式14、如何求離心率？別忘自帶范圍15、弦長(zhǎng)公式的一式三變16、最值范圍問題的求解策略排列數(shù)、組合數(shù)公式還記得嗎？（1）排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)=eq\f(n！,n－m！)（2）組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0?。?，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.（3）組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).2、排列、組合問題的求解方法與技巧(1)特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題排除法處理．(7)正難則反，等價(jià)條件．如：為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則下列說法正確的是（）A．某學(xué)生從中選2門課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂”“射”排在相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”不排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有480種排法【答案】ABC【詳解】A：6門中選2門共有種選法，故A正確；B：課程“樂”“射”排在相鄰的兩周時(shí)，把這兩個(gè)看成一個(gè)整體，有種排法，然后全排列有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，“樂”“射”相鄰的排法共有種，故B正確；C：課程“御”“書”“數(shù)”排在不相鄰的三周，先排剩下的三門課程有種排法，然后利用插空法排課程“御”“書”“數(shù)”有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有種排法，故C正確；D：分2種情況討論：若先把“禮”排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，若先把“禮”不排在最后一周，再排“數(shù)”，有種排法，所以，共有種排法，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.3、會(huì)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)嗎？公式法、原理法.二項(xiàng)式定理應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)(1)注意區(qū)別“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”，審題時(shí)要仔細(xì)．項(xiàng)的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項(xiàng)式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正．(2)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.如：（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為【答案】AB【詳解】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故A正確；對(duì)于B,二項(xiàng)式系數(shù)最大為，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C,，為有理項(xiàng)，可取的值為，所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,令，則所有項(xiàng)系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤.（2）若，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于D，令，令，兩式相減得，故D正確；易知，而中的常數(shù)項(xiàng)為1，含項(xiàng)為，含項(xiàng)為，含項(xiàng)為，同理中的常數(shù)項(xiàng)為，含項(xiàng)為，含項(xiàng)為，含項(xiàng)為，所以，故B錯(cuò)誤；，故C正確.4.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(Beq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)).如：（2024·河北邢臺(tái)·二模）為加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，邢臺(tái)市第一中學(xué)積極組織學(xué)生參加課外體育活動(dòng).現(xiàn)操場(chǎng)上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設(shè)甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項(xiàng)正確的是（

）A．第一次投籃的人是甲的概率為B．第三次投籃的人是乙的概率為C．已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為D．設(shè)第n次投籃的人是甲的概率為，則【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，直接使用古典概型方法知，第一次投籃是甲的概率都是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)分別表示“第一次投籃的人是甲”和“第二次投籃的人是乙”，則，故C正確；對(duì)于B，D，設(shè)表示“第n次投籃的人是甲”，則有.故，，這得到，，及，故B，D正確.故選：BCD.5.統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：①在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)．②頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)百分位數(shù)：給出樣本數(shù)據(jù)如何求？給出頻率分布直方圖如何求？(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖如何求(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差：反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的分散程度．方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).思考：（1）給出頻率分布直方圖如何求方差呢？公式是否一樣？分層抽樣中每一層的平均數(shù)和方差與總體平均數(shù)、方差有什么關(guān)系？如：（2024·貴州貴陽·二模）數(shù)據(jù)2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位數(shù)為（

）A．7.5 B．8 C．7 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百位數(shù)的定義和計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由題意，上四分位數(shù)是分位數(shù)，又由，所以分位數(shù)為.故選：A．（2）為了調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某高校開展了兩會(huì)知識(shí)問答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們得分（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．若全校參與該活動(dòng)的學(xué)生共2000人，則得分在內(nèi)的人數(shù)約為650B．全校參與知識(shí)問答活動(dòng)的學(xué)生的平均分約為65分C．該校學(xué)生得分的分位數(shù)約為77.7（結(jié)果精確的到0.1）D．若此次知識(shí)問答的得分，則【答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:得分在內(nèi)的頻率為0.325，因此人數(shù)約為650，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:該校學(xué)生得分的分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D:，故D正確．故選:ABD．6.離散型隨機(jī)變量(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)均值公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(3)均值的性質(zhì)①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np；③若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn=E(X2)-(EX)2，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(DX).(5)方差的性質(zhì)①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)；③若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．7.如何判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立？P(AB)＝P(A)P(B)．如：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A=“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，B=“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，D=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法正確的有（）A.A與B不互斥且相互獨(dú)立B.A與D互斥且不相互獨(dú)立C.B與D互斥且不